8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

Transkriptio

1 H uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että d n d, mssä n on psteessä P lskettu pnnn normln suuntnen ykskkövektor. Olkoon F(x, y, z jokn (ntegrotuv vektorkenttä. Eräs vektorkentän F pntntegrl on F d F n d. (8.12 Tämä ntegrl kuv vektorn F vuot pnnn läp. Huom: jos kyseessä on suljettu pnt, ntegrl merktään F d. Jos pnt e ole suljettu, sllä on luonnollsest reunvv. Esm. Nesteen vrtus Jos ρ on nesteen theys j v sen nopeus, nn ρv d ρv n d on pntelementn d läp kykskössä kulkevn nesteen määrä. ektorn µ ρv vuo pnnn läp, µ d, on kykskössä pnnn läp kulkevn nesteen määrä. Muunls pntntegrlej ovt esm. F d F n d; φ d; φ d. Esm. dlkenttä pllokuoren yl: Olkoon v rf(r, j pllonkuor r 2 r 2 2. Nyt n r/r, j v d f(r r/d f( d 4π 3 f( mssä käytettn teto pllon l 4π 2. Esm. I ( F d, kun F y + xj + zk, j on puolpllon x 2 + y 2 + z 2 2 ; z pnt Nyt j k F x y z y x z 2k. Pnnn yhtälö on g x 2 + y 2 + z 2 2, g 2x + 2yj + 2zk 2r. Pllopnnn ykskkönorml n on ss n g g r r x + yj + zk, r el rdusvektorn suuntnen ykskkövektor. Edelleen F d 2k n d 2 cos θ d, mssä θ on rdusvektorn j z-kseln välnen kulm. H I E B G H I E B Kuv 8.13 Pntelementt plloll Kuvss φ rdusvektorn xy-tsoll olevn projekton j x-kseln välnen kulm. Kuten kuvst nähdään, pllon pnnll pllokoordntten θ j φ dfferentls muutoks dθ j dφ vstv pntelementt d on d r 2 sn θ dθ dφ. (8.13 Puolpllon pnnll kulmt θ j φ svt rvot Integrl I on ss I π/2 θ π 2 φ 2π. F n d dθ 2π dφ 2 cos θ 2 sn θ π/2 4π 2 cos θ sn θ dθ 4π 2 π/2 / sn 2 θ 2 2π Gussn luse Edellä lskettn vektorkentän v rf(r vuo -sätesen pllon pnnn läp, tuloksell v d 4π 3 f( Lsketn nyt v ntegrotun pllon tlvuuden yl: nyt v (rf(r f(r r+r f (r r 3f(r+rf (r 67

2 N D O Ss vd dω Smme ss tuloksen v d drr 2 (3f(r+rf (r 4π vd (8.14 mssä on lueen pnt. Tämä tulos pätee ylesest, kklle vektorkentlle j tlvuukslle, j stä snotn Gussn lks: vektorn v normlkomponentn ntegrl yl suljetun pnnn on sm kun sen dvergenssn ntegrl pnnn sulkemn tlvuuden yl. Tosn: kentän v vuo suljetun pnnn läp kentän v lähteet pnnn ssällä! Gussn lk on 3-ulottenen ylestys 1-ulottes ntegrlej koskevlle totuudelle b df dx f(b f( dx Gussn luseen trkemp todstus Krjotetn vektor F komponentettn: j trkstelln ntegrl F F x + F yj + F O 4 z d. Kuv 8.14 Gussn luseen todstus Olkoot 1 j 2 tlvuutt ympärövän suljetun pnnn lj yläpnt, jot esttävät yhtälöt 1 : z f 1 (x, y 2 : z f 2 (x, y. Olkoon pnnn (t 1 t 2 projekto xy-tsoll. Tällön z d z dzdxdy [ f2 (x,y f 1 (x,y z dz ] dxdy [F z(x, y, f 2 F z(x, y, f 1 ] dxdy Olkoon n pnnn ykskkönorml, n 1 lpnnn 1 ykskkönorml j n 2 yläpnnn 2 ykskkönorml. Nyt dr r (r 3 f(r 4π 3 f( lpnnll: dxdy k n 1 d 1 yläpnnll: dxdy k n 2 d 2 pnnll: dxdy k n d, 68 Smme ss [F z(x, y, f 2 F z(x, y, f 1 ] dxdy F zk n 2 d F zk n d. 1 F zk n 1 d 1 z d F zk n d. stvst vodn osott, että F y y d F yj n d F x x d F x n d, kken kkkn on el ( Fx x + Fy y F d + Fz d z ( Fx + F yj + F zk n d, F n d F d. Esm. ektorn r vuo -sätesen j h-korkusen sylntern pnnn läp Olkoon sylnterä rjottv pnt (mukn luken pohjt j sylntern tlvuus. Kuv 8.15 Sylnter Dvergenssluseen perusteell vuo I on I r d r d.

3 Kosk on r x + yj + zk, r x x + y y + z z 3, I 3 d 3 3π 2 h. b Lsketn vuo pntntegrln. ( Yläpnnll n k j yläpnt ( Pohjll n k j r n r k z h, r n d h d π 2 h. r n z, pohj r n d. ( pll ykskkönorml on sllä vpn yhtälö on j nn ollen vektor n x + yj, f x 2 + y 2 2, f 2x + 2yj on kohtsuorss vpp vstn. Nyt vpp r n x2 + y 2 r n d 2, Lskemll kkk vuot yhteen sdn I 3π 2 h. d 2πh. Esm. Newtonn grvttopotentl φ toteutt yhtälön 2 φ 4πGρ, mssä G on grvttovko j ρ msstheys. Määrtetään grvttokenttävomkkuus pllosymmetrsessä tpuksess Merktään K φ, jollon K 2 φ 4πGρ. Jos tlvuudess olev kokonsmss on M, nn K d 4πG ρ d 4πGM. Toslt Gussn luseen mukn on K d K d, kun on tlvuutt rjottv pnt. Oletetn, että M-mssnen kpple on pllosymmetrnen j otetn tlvuudeks ko. kppleen ssäänsä sulkev r-sätenen kpplekesknen pllo. Tällön lmesestkn K on vko pllon pnnll j K on rdusvektorn suuntnen (t vstkkssuuntnen, ts. vodn krjott K K(re r, mssä e r on rdusvektorn suuntnen ykskkövektor. ektor e r on tetystkn myös ykskkönorml ko. pllon pnnll, r-sätenen pllo K d K(re r e r d K(r d K(r 4πr 2 4πGM. Smme ss tutun Newtonn grvttoln t vektorlsest K(r GM r 2, K(r GM r 2 e r. 8.5 Stokesn luse oottorn fysklst tulknt etsessämme smme tuloksen (7.18, jonk mukn xy-tsoss psteen (x, y ympär kertyvä vrtus ol ds z µ x (x, y dy/2, zdx + µ y (x + dx/2, y, zdy µ x (x, y + dy/2, zdx µ y (x dx/2, y, zdy [ µy x µ ] x dx dy. y 69

4 O " N Kuv O Kuvn muksest vomme krjott tämän muotoon µ dr ( µ z dx dy, 1 mssä vektorlset dfferentlt ovt dr 1 dx, dr 2 dy j, dr 3 dx sekä dr 4 dy j j vrttheys on lskettv n vstvll nfntesmlsen suorkteen svull. Yhtälön okekn puol on lusuttvss kompktmmn, kun otmme käyttöön vektorlsen pnt-lkon d dx dy k. Nän päädymme reltoon µ dr ( µ d, 1 mssä nyt sekä dr että µ on lskettv summusndeksn lttyvällä suorkteen svull. Tämä yhtälö on tok vomss melvltsellekn (dfferentotuvlle vektorkentälle F j mten thns orentotuneelle pntelementlle d: F dr ( F d, ( mssä vsemmll puolen kerretään d vstpävään. Trkstelln nyt melvltst pnt. Jetn nfntesmlsn plsn d. Kusskn pnt-lkoss on vomss ( F d F dr, j1 mssä vsemmll puolen roottor lsketn lueen d keskpsteessä j okell puolen sek F että dfferentlt lueen d summusndeksstä j rppuvll reunll. Summtn yl kkken plsten, jollon ( F d F dr. (8.16 j1 Trkstelln kht verekkästä pnt-lkot, snotn lkot 1 j 2. Näden yhtesellä reunll tosen suorkteen dr on vstkknen tosen suorkteen vstvlle dfferentllle kun ts kenttä F on sm. Summss (8.16 yhtesn reunohn lttyvät termt kumoutuvt, jäljelle jäävät vn lueen reunohn rjottuven pnt-lkoden ulkoreunt el ( F d F dr. :n ulkoreun Yhtälön vsen puol on suureen F pntntegrl yl pnnn j oke puol vvntegrl pnt rjottvn reunkäyrän ympär. Kosk joknen pnt-elementt yhtälön (8.15 j kuvn 8.16 muksest kerrettn postvseen kertosuuntn, smn suuntn kerretään myös pnt. Olemme nän päätyneet Stokesn luseen tunnettuun pnt- j vvntegrlej stovn reltoon F dr ( F d. (8.17 Snllsest Stokesn luse on lmstvss muodoss ektorkentän F vvntegrl pnnn reunkäyrän ympär on sm kun kentän F roottorn normlkomponentn pntntegrl pnnn yl. Huom. Integrln rvo e muutu sellsss ntegrontpnnn deformtoss, joss reunkäyrä sälyy muuttumttomn. Esm. F d kun F y + xj + zk j on puolpllon x 2 + y 2 + z 2 2 ; z pnt 1 Suorn pntntegrln. Ktso edellä (pntntegrlt. 2 vntegrln Stokesn lusett sovelten. Nyt F dr ( y + xj + zk (dx + dy j + dz k y dx + x dy + z dz. Puolpllon pnnn reunkäyrä on xy-tson ympyrä Tällä käyrällä x 2 + y 2 2 ; z. x cos θ y sn θ z, kun θ on vektorn r (x, y, j x-kseln välnen kulm. Tällön käyrällä dx sn θ dθ dy cos θ dθ dz, F dr y dx + x dy 2 sn 2 θ dθ + 2 cos 2 θ dθ 2 dθ. 7

5 Stokesn luseen mukn on ( F d 2π 2. F dr 2π 2 dθ 3 Pntntegrl on sm mlle thns käyrän rjottmlle pnnlle. ltn xy-tson ympyrä. Kosk F 2k, on ( F d x 2 +y 2 2 2k k d x 2 +y π 2. Stokesn luseen perusteell pyörteettömälle kentälle F on vomss F dr ( F d, olp mkä thns suljettu käyrä j sen ssäänsä sulkem pnt. Tähän tulokseen päädymme jo vvntegrlen yhteydessä konservtvs vektorkenttä trkstellessmme (ks. kv (