Kvaterniot. Anna-Kaisa Markkanen. Matematiikan pro gradu -tutkielma

Transkriptio

1 Kvaterniot Anna-Kaisa Markkanen Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 014

2

3 Tiivistelmä: A-K. Markkanen, Kvaterniot (engl. Quaternions), matematiikan pro gradu -tutkielma, 53 sivua, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kesä 014. Kvaterniot ovat muotoa x 1 + ix + jx 3 + kx 4 olevia neliulotteisia lukuja, jotka muodostavat omien yhteen- ja kertolaskusääntöjensä kanssa kvaternioiden joukon H. Irlantilainen matemaatikko Sir William Hamilton kehitti kvaterniot vuonna 1843 etsiessään kompleksiluvuista seuraavaa lukualueiden laajennusta. Kuten jokainen kompleksiluku voidaan esittää kahden reaaliluvun avulla, voidaan jokainen kvaternio esittää kahden kompleksiluvun avulla muodossa q = z + jw, missä z = x 1 + ix ja w = x 3 + ix 4. Kvaterniot voidaan esittää vaihtoehtoisesti myös matriisimuodossa siten, että kvaterniota q = x 1 + ix + kx 3 + kx 4 vastaa matriisi [ ] x1 + ix q = x 3 + ix 4. x 3 + ix 4 x 1 ix Joitakin kvaternioiden ominaisuuksia on helpompi tutkia niiden matriisimuotojen kautta. Kvaternioiden kertolasku ei ole kommutatiivinen, joten kvaternioiden joukko H varustettuna kvaternioiden yhteen- ja kertolaskulla ei ole kunta. Se on kuitenkin jakorengas. Kvaterniot voidaan jakaa reaalisiin kvaternioihin α = x 1 ja imaginaarisiin kvaternioihin u = ix +jx 3 +kx 4, ja jokainen kvaternio voidaan esittää muodossa q = α+u. Imaginaariset kvaterniot voidaan samaistaa avaruuden R 3 vektoreihin x = (x 1, x, x 3 ), ja tällöin avaruuden R 3 vektoreiden ominaisuuksia voidaan tarkastella kvaternioiden avulla. Erityisesti avaruuden R 3 kiertoja voidaan tarkastella imaginaaristen kvaternioiden avulla. Kun määritellään kuvaus T q0 : Im(H) Im(H), T q0 (q) = q 0 qq 1 missä q 0 H, saadaan kuvausten T q0 ja imaginaaristen kvaternioiden avulla esitettyä kaikki avaruuden R 3 kierrot. Kvaternioiden avulla voidaan myös osoittaa, että jokainen alkuluku voidaan esittää neljän kokonaisluvun neliön summana. Tämä tapahtuu määrittelemällä Hurwitzin kvaterniot, jotka ovat sellaisia kvaternioita, joiden reaalilukukomponentit ovat kaikki joko kokonaislukuja tai parittomien kokonaislukujen puolikkaita. Koska jokainen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona, saadaan osoitettua, että jokainen kokonaisluku voidaan esittää neljän kokonaisluvun neliön summana. Kvaternioista seuraava lukualueiden laajennus on kahdeksanulotteisten oktonioiden joukko. Kuten jokainen kvaternio voidaan esittää kahden kompleksiluvun avulla, voidaan jokainen oktonio esittää kahden kvaternion avulla. Oktonioiden kertolasku ei ole kommutatiivinen eikä edes assosiatiivinen, joten oktoniot eivät muodosta ryhmää. 0, i

4

5 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Historiaa 3 Luku. Kvaterniot 5 Luku 3. Kvaternioiden matriisiesitys 11 Luku 4. Kvaternioiden algebraa 17 Luku 5. Imaginaariset kvaterniot avaruuden R 3 vektoreina 1 Luku 6. Kvaterniot kolmiulotteisen avaruuden kiertoina 7 Luku 7. Neljän neliön summa 37 Luku 8. Oktoniot 47 Kirjallisuutta 53 iii

6

7 Johdanto Kvaterniot ovat neliulotteisia lukuja, jotka ovat muotoa x 1 +ix +kx 3 +kx 4, missä x 1, x, x 3, x 4 R ja i, j ja k ovat imaginaariyksiköitä. Kvaternioille on määritelty omat yhteen- ja kertolaskusäännöt. Kvaterniot keksi pitkän tutkimisen jälkeen irlantilainen Sir William Hamilton vuonna Hän yritti pitkään laajentaa kompleksilukuja kolmiulotteisiksi hyperkompleksiluvuiksi, joiden kertolasku toteuttaisi reaalilukujen kertolaskun säännöt. Nykyään voidaan helposti osoittaa, että tällaista lukukolmikoiden kertolaskua ei voida löytää. Hamilton keksi lopulta laajentaa lukukolmikot neliulotteisiksi luvuiksi, kvaternioiksi. Kappaleessa 1 käydään läpi hieman Hamiltonin henkilöhistoriaa sekä enemmän kvaternioiden löytymisen historiaa. Kvaternioiden joukko H on neliulotteinen avaruus varustettuna kvaternioiden yhteen- ja kertolaskuilla. Peruskvaternioiden kertolaskusäännöt ovat i = j = k = 1, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j. Näistä johtamalla saadaan laskettua kertolaskusääntö kahdelle kvaterniolle. Luvussa esitellään kvaternioiden laskusäännöt sekä käydään läpi kvaternioiden yleisiä ominaisuuksia. Luvussa kerrotaan, että kvaterniot voidaan esittää muodossa q = α + u, missä α = x 1 on reaalinen kvaternio ja u = ix + jx 3 + kx 4 imaginaarinen kvaternio. Myöhemmissä luvuissa huomataan, että erityisesti imaginaariset kvaterniot ovat hyödyllisiä monissa sovelluksissa. Jokainen kvaternio voidaan esittää myös kahden kompleksiluvun avulla, jolloin voidaan merkitä q = z + jw, missä z = x 1 + ix ja w = x 3 + ix 4 ovat kompleksilukuja. Vaihtoehtoinen tapa merkitä kvaternioita on esittää kvaternio q = x 1 +ix +jx 3 +kx 4 matriisina [ ] x1 + ix q = x 3 + ix 4. x 3 + ix 4 x 1 ix Luvussa 3 näytetään, että kvaternioiden laskutoimitukset vastaavat matriisien laskutoimituksia. Matriisimuodossa esittäessä monia kvaternioiden ominaisuuksia on helpompi todistaa. Luvussa 4 tutkitaan kvaternioiden algebraa. Tässä luvussa osoitetaan, että peruskvaternioiden joukko G = {±1, ±i, ±j, ±k} varustettuna kvaternioiden kertolaskulla on ryhmä ja että kvaternioiden joukko H varustettuna kvaternioiden yhteenlaskulla ja kertolaskulla on vino jakorengas, jonka keskus on Re(H) eli reaalisten kvaternioiden joukko. Imaginaariset kvaterniot voidaan samaistaa avaruuden R 3 vektoreihin niin, että imaginaarista kvaterniota u = ix 1 + jx + kx 3 vastaa avaruuden R 3 vektori x = (x 1, x, x 3 ). Luvussa 5 huomataan, että imaginaaristen kvaternioiden kertolasku 1

8 JOHDANTO voidaan kirjoittaa muodossa uv = u, v + u v, missä u, v on vektoreiden u ja v sisätulo ja u v ristitulo. Luvussa 5 käydään läpi avaruuden R 3 vektoreiden, eli imaginaaristen kvaternioiden, ominaisuuksia, muun muassa sisätulon ja ristitulon laskusääntöjä. Luvussa 6 näytetään, kuinka avaruuden R 3 kiertoja voidaan esittää kvaternioiden avulla määrittelemällä kuvaus T q0 : H H, T q0 (q) = q 0 qq0 1, missä q 0 on yksikkökvaternio. Tässä luvussa käydään läpi kuvauksen T q0 ominaisuuksia ja osoitetaan muun muassa että kuvaus T q0 on bijektio ja että se kuvaa imaginaariset kvaterniot imaginaarisiksi. Luvun lopussa osoitetaan, että kuvausten T q0 avulla saadaan esitettyä kaikki avaruuden R 3 kierrot. Esimerkin avulla näytetään, kuinka tämä käytännössä toimii. Luvussa 7 määritellään Hurwitzin kvaterniot, eli sellaiset kvaterniot, joiden kaikki reaalilukukomponentit ovat joko kokonaislukuja tai parittomien kokonaislukujen puolikkaita. Hurwitzin kvaternioita apuna käyttäen todistetaan, että mikä tahansa alkuluku voidaan esittää neljän kokonaisluvun neliön summana. Tätä tulosta apuna käyttäen osoitetaan, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää neljän kokonaisluvun neliön summana. Kun Hamilton oli löytänyt kvaterniot, alettiin luonnollisesti etsiä seuraavia lukualueiden laajennuksia. Luvussa 8 tutustutaan lyhyesti oktonioihin, kahdeksanulotteisiin lukuihin, jotka käyttäytyvät hyvin samankaltaisesti kuin kvaterniot. Kuten jokainen kvaternio voidaan esittää kahden kompleksiluvun avulla, voidaan jokainen oktonio esittää kahden kvaternion avulla. Oktonioille ei voida määritellä kommutatiivista eikä edes assosiatiivista kertolaskua, joten oktonioiden joukko O ei muodosta ryhmää.

9 LUKU 1 Historiaa Historian tietojen lähteenä on käytetty teoksia [9] ja [11]. Sir Willian Hamilton ( ) oli irlantilainen matemaatikko. Hän oli jo lapsena poikkeuksellisen älykäs ja opiskeli setänsä johdolla koko lapsuutensa ajan useita eri kieliä, muun muassa latinaa, kreikkaa ja hepreaa. 13-vuotiaana hän koki saaneensa tarpeekseen kielistä, ja hänen kiinnostuksensa matematiikkaa kohtaan heräsi. Hän aloitti opiskelut Dublinin Trinity Collegessa 18-vuotiaana ja toimi siellä myös astronomian opettajana jo ennen valmistumistaan. Hänen uransa eteni vauhdilla. Hänet nimitettiin vuonna 187, -vuotiaana, Irlannin kuninkaalliseksi astronomiksi. Vuonna 1835, vain 30-vuotiaana, hänet lyötiin ritariksi ja hänestä tuli sir William Hamilton. Hamiltonin kiinnostus kvaternioita kohtaan alkoi kompleksiluvuista. Yksi hänen aiemmista tunnetuista saavutuksista olikin, kun hän vuonna 1835 esitti, että kompleksiluvut voidaan määritellä reaalilukupareina x + iy = (x, y) ja että reaalilukujen yhteen- ja kertolaskun lait assosiatiivisuus, kommutatiivisuus ja distributiivisuus pätevät myös kompleksiluvuille. Hamilton mietti, kuinka lukualueita voisi laajentaa kompleksiluvuista eteenpäin. Hän halusi laajentaa kompleksiluvut kolmiulotteisiksi hyperkompleksiluvuiksi, eli sellaisiksi lukukolmikoiksi, jotka ovat muotoa α + iβ + jγ = (α, β, γ), missä i ja j ovat imaginaariyksiköitä joille pätee i = j = 1. Ehtona oli, että lukujen täytyisi käyttäytyä yhteen- ja kertolaskun suhteen samoin kuin reaalilukujen. Lisäksi kun luvuille määritellään normi N(α+iβ +jγ) = α +β +γ, tulisi kertolaskun olla yhteensopiva sen kanssa, eli N(xy) = N(x)N(y) kaikilla lukukolmikoilla x ja y. Lukukolmikoille oli helppo määritellä yhteenlasku, joka toimii kuten reaalilukujen yhteenlasku; lasketaan luvut yhteen komponenteittain kuten kompleksilukujenkin yhteenlaskussa, (α, β, γ)+(a, b, c) = (α +a, β +b, γ +c). Kertolaskun määritteleminen kuitenkin aiheutti ongelmia. Hamilton yritti vuosia keksiä lukukolmikolle kertolaskua (α, β, γ)(a, b, c) = (A, B, C), joka toimisi kuten reaalilukujen kertolasku ja joka olisi yhteensopiva normin kanssa, mutta ei yrityksistään huolimatta koskaan onnistunut. Ennen kuolemaansa hän kirjoitti kirjeessä pojalleen: Joka aamu, kun tulin aamiaiselle, kysyit minulta: 'Isä, joko sinä osaat kertoa lukukolmikoita?' Joka kerta jouduin vastaamaan pään pudistuksen kera 'Ei, osaan vain laskea niitä yhteen ja vähentää.' Nykyään on helppo osoittaa, että tällaista kertolaskua ei voida määritellä lukukolmikolle: Olkoot 1 = (1, 0, 0), i = (0, 1, 0) ja j = (0, 0, 1) perusyksiköitä siten, että i = j = 1. Tällöin olisi ij = α + βi + γj 3

10 4 1. HISTORIAA joillakin α, β, γ R. Jos oletetaan, että kertolasku on assosiatiivinen, niin pätee i(ij) = (ii)j = j. Nyt j = i(ij) = i(α + βi + γj) = (αi β + γij) = αi β + γ(α + βi + γj) = (γα β) + (γβ + α)i + (γ )j. Siis olisi γ = 1, mikä ei voi olla mahdollista, sillä γ R. Itse asiassa ranskalainen matemaatikko Adrien Marie Legendre osoitti jo luvulla, että lukukolmikoille ei voida määritellä reaalilukujen tapaan toimivaa kertolaskua. Jos Hamilton olisi lukenut lukuteoriaa ja kuullut tästä tuloksesta, hän ei luultavasti olisi käyttänyt turhaan vuosia tällaisen kertolaskun etsimiseen. Kvaternioiden löytymisen läpimurto tapahtui vuonna Tarinan mukaan Hamilton oli 16. lokakuuta vuonna 1843 kävelemässä vaimonsa Lady Hamiltonin kanssa tapaamiseen Kuninkaalliseen Irlannin Akatemiaan. Kävellessään Broughamin sillalla hän viimein tajusi, että kahden imaginaarisen yksikön sijaan hän tarvitsisi kolme. Hän raapusti keksimänsä imaginaariyksiköiden laskusäännöt sillan kiveen: i = j = k = ijk = 1. Hamiltonista tuli kvaternioiden luoja, ja kvaternioita kutstutaankin myös Hamiltonin kvaternioiksi. Hamilton käytti lähes koko loppuelämänsä kvaternioiden tutkimiseen ja kirjoitti niistä myös kirjallisuutta. Kvaternioista tuli Dublinin yliopistossa myös oma opetettava aineensa. Monet matemaatikot vähättelivät kvaternioiden merkitystä, sillä niiden kertolasku ei ollut kommutatiivinen, eli ne eivät toimineet kuten tavalliset luvut. Hamilton kuitenkin uskoi, että kvaternioilla tulisi olemaan tärkeä rooli fysiikassa luvulla Josiah Willard Gibbs ja Oliver Heaviside kehittelivät nykymuotoista vektorianalyysia ja keksivät käyttää kvaternioita vektoreina erottamalla niistä reaali- ja imaginaariosan erilleen. Tässä tarkoituksessa kvaternioita käytetään yhä edelleen fysiikan ja tekniikan sovelluksissa. Kvaternioiden löytymisellä oli toinenkin tärkeä seuraus; ne olivat ensimmäiset luvut jotka eivät toteuttaneet tavallista algebraa. Vaikka kaikki eivät heti hyväksyneetkään kvaternioita oikeiksi luvuiksi, niiden kehittäminen vapautti algebrallista ajattelua ja avasi ovia uudenlaiselle matemaattiselle ajattelulle.

11 LUKU Kvaterniot Luvun tietoja on poimittu lähes kaikista lähteistä. Pääasiallisina lähteinä on käytetty luentomonistetta [4] sekä teoksia [1], [] ja [10]. Merkitään vektoriavaruudessa R 4 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1). Tällöin kaikki avaruuden R 4 alkiot voidaan kirjoittaa muodossa x = (x 1, x, x 3, x 4 ) = x x i + x 3 j + x 4 k = x 1 + ix + jx 3 + kx 4, missä x 1, x, x 3, x 4 R. Tällaisia neliulotteisia lukuja kutsutaan kvaternioiksi. Kvaternioita 1, i, j ja k kutsutaan peruskvaternioiksi. Kvaternioiden joukko H on neliulotteinen avaruus varustettuna kvaternioiden yhteen- ja kertolaskulla. Olkoot q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 ja p = y 1 + iy + jy 3 + ky 4 kvaternioita. Vektoriavaruuden laskusääntöjen nojalla kvaternion q ja reaaliluvun s tulo on sq = s(x 1 + ix + jx 3 + kx 4 ) = sx 1 + isx + jsx 3 + ksx 4, kvaternioiden q ja p yhteenlasku on ja vähennyslasku q + p = (x 1 + ix + jx 3 + kx 4 ) + (y 1 + iy + jy 3 + ky 4 ) = (x 1 + y 1 ) + i(x + y ) + j(x 3 + y 3 ) + k(x 4 + y 4 ) q p = (x 1 + ix + jx 3 + kx 4 ) (y 1 + iy + jy 3 + ky 4 ) = (x 1 y 1 ) + i(x y ) + j(x 3 y 3 ) + k(x 4 y 4 ). Kvaternioiden q ja p kertolaskun määrittelemiseksi määritellään ensin peruskvaternioiden kertolaskusäännöt, joiden avulla voidaan johtaa yleinen kahden kvaternion kertolasku. Peruskvaternioiden kertolaskukaavat ovat i = j = k = ijk = 1 ij = ji = k jk = kj = i ki = ik = j. Peruskvaternioiden kertolaskut voidaan esittää taulukkona: 5

12 6. KVATERNIOT 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 Taulukko 1. Peruskvaternioiden kertolasku Olettaen, että tavalliset kertolaskusäännöt pätevät kvaternioille, saadaan peruskvaternioiden kertolaskukaavojen avulla saadaan johdettua lauseke kahden kvaternion kertolaskulle: qp = (x 1 + ix + jx 3 + kx 4 )(y 1 + iy + jy 3 + ky 4 ) = x 1 y 1 + x 1 iy + x 1 jy 3 + x 1 ky 4 + ix y 1 + ix iy + ix jy 3 + ix ky 4 + jx 3 y 1 + jx 3 iy + jx 3 jy 3 + jx 3 ky 4 + kx 4 y 1 + kx 4 iy + kx 4 jy 3 + kx 4 ky 4 = x 1 y 1 + ix 1 y + jx 1 y 3 + kx 1 y 4 + ix y 1 x y + kx y 3 jx y 4 + jx 3 y 1 kx 3 y x 3 y 3 + ix 3 y 4 + kx 4 y 1 + jx 4 y ix 4 y 3 x 4 y 4 = x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 + (x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 )i + (x 1 y 3 + x 3 y 1 x y 4 + x 4 y )j + (x 1 y 4 + x 4 y 1 + x y 3 x 3 y )k. Kvaternioiden kertolasku on assosiatiivinen, mutta ei kommutatiivinen, sillä esimerkiksi ij = k, mutta ji = k. Kvaternioiden kertolasku on myös distributiivinen, ja distributiivisuudelle saadaan kaksi eri sääntöä: q 1 (q + q 3 ) = q 1 q + q 1 q 3 ja (q + q 3 )q 1 = q q 1 + q 3 q 1. Seuraavassa luvussa käydään läpi vaihtoehtoinen tapa tutkia kvaternioiden ominaisuuksia ja siellä osoitamme, että nämä laskusäännöt pätevät. Määritelmä.1. Olkoon q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 kvaternio. Sanotaan, että q on reaalinen kvaternio, jos x = x 3 = x 4 = 0 eli q = x 1. Jos taas x 1 = 0, eli q = ix +jx 3 +kx 4, sanotaan, että q on imaginaarinen kvaternio. Merkitään reaalisten kvaternioiden joukkoa Re(H) = {x R} ja imaginaaristen kvaternioiden joukkoa Im(H) = {ix + jx 3 + kx 4 : x, x 3, x 4 R}. Huomautus.. Jokainen kvaternio q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 voidaan kirjoittaa muodossa q = α + u, missä α = x 1 Re(H) ja u = ix + jx 3 + kx 4 Im(H). Huomautus.3. Koska Re(H) = {x R} = R, voidaan reaalilukujen joukko R tulkita kvaternioiden H osajoukoksi, kun samaistetaan reaaliluku x kvaternioksi (x, 0, 0, 0). Määritelmä.4. Kvaternion q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 konjugaatti eli liittoluku on q = x 1 ix jx 3 kx 3 moduli eli itseisarvo on q = x 1 + x + x 3 + x 4 normi on N(q) = q = x 1 + x + x 3 + x 4.

13 Huomautus.5. Kaikille q, p H pätee (1) q = q () q + p = q + p (3) N(q) = N(q) (4) jos q Re(H), niin N(q) = q (5) jos q Im(H), niin q = q.. KVATERNIOT 7 Lause.6. Olkoot q ja p kvaternioita. Tällöin (1) qq = qq = N(q) () qp = p q (3) N(qp) = N(q)N(p). (4) qp = q p Todistus. Olkoot q = x 1 +ix +jx 3 +kx 4 ja p = y 1 +iy +jy 3 +ky 4 kvaternioita. (1) Laskemalla saadaan qq = (x 1 + ix + jx 3 + kx 4 )(x 1 ix jx 3 kx 4 ) = (x 1 + x + x 3 + x 4) + ( x 1 x + x x 1 x 3 x 4 + x 4 x 3 )i + ( x 1 x 3 + x 3 x 1 + x x 4 x 4 x )j + ( x 1 x 4 + x 4 x 1 x x 3 + x 3 x )k = x 1 + x + x 3 + x 4. Vastaavasti qq = (x 1 ix jx 3 kx 4 )(x 1 + x + x 3 + x 4 ) = (x 1 + x + x 3 + x 4) + ( x 1 x + x x 1 x 3 x 4 + x 4 x 3 )i + ( x 1 x 3 + x 3 x 1 + x x 4 x 4 x )j + ( x 1 x 4 + x 4 x 1 x x 3 + x 3 x )k = x 1 + x + x 3 + x 4. Siis qq = qq = N(q). () Nyt saadaan qp = (x 1 + ix + jx 3 + kx 4 )(y 1 + iy + jy 3 + ky 4 ) ja = (x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 ) (x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 )i (x 1 y 3 + x 3 y 1 x y 4 + x 4 y )j (x 1 y 4 + x 4 y 1 + x y 3 x 3 y )k = (x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 ) + ( x 1 y x y 1 x 3 y 4 + x 4 y 3 )i + ( x 1 y 3 x 3 y 1 + x y 4 x 4 y )j + ( x 1 y 4 x 4 y 1 x y 3 + x 3 y )k p q = (y 1 iy jy 3 ky 4 )(x 1 ix jx 3 kx 4 ) = (y 1 x 1 y x y 3 x 3 y 4 x 4 ) + ( y 1 x y x 1 + y 3 x 4 y 4 x 3 )i + ( y 1 x 3 y 3 x 1 y x 4 + y 4 x )j + ( y 1 x 4 y 4 x 1 + y x 3 y 3 x )k. Koska x 1, x, x 3, x 4, y 1, y, y 3, y 4 R, niin qp = p q. (3) Edellisten kohtien perusteella N(qp) (1) = (qp)(qp) () = qpp q (1) = qn(p)q = qqn(p) = N(q)N(p)

14 8. KVATERNIOT (4) Normin määritelmän ja edellisen kohdan nojalla qp = N(qp) = N(q)N(p) = q p. Siis qp = q p. Huomautus.7. Merkitään q = α + u, missä α Re(H) ja u Im(H). Tällöin sillä jos q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4, niin N(q) = N(α + u) = N(α) + N(u), N(q) = x 1 + x + x 3 + x 4 = (x 1) + (x + x 3 + x 4) = N(α) + N(u). Määritelmä.8. Kvaternio q on parillinen (tai pariton), jos sen normi N(q) = x 1 + x + x 3 + x 4 on parillinen (tai pariton) kokonaisluku. Määritelmä.9. Kvaternio q on yksikkökvaternio, jos N(q) = 1. Erityisesti imaginaarinen kvaternio u, jolle pätee N(u) = 1, on imaginaarinen yksikkökvaternio. Jos q 0, on kvaterniolla q olemassa käänteiskvaternio q 1, jolle pätee qq 1 = q 1 q = 1. Käänteiskvaternion lauseke saadaan ratkaistua lauseen.6 avulla: qq = N(q) q = 1 q N(q) q 1 = q N(q) Huomautus.10. Jos q on yksikkökvaternio, myös q 1 on yksikkökvaternio ja q 1 = q. Osoitetaan seuraavaksi kvaternioiden avulla, että jos kerrotaan keskenään kaksi sellaista lukua, jotka koostuvat neljän kokonaisluvun neliön summasta, saadaan tulokseksi taas luku, joka koostuu neljän kokonaisluvun neliön summasta. Lause.11. Jokaiselle x 1, x, x 3, x 4, y 1, y, y 3, y 4 Z pätee joillakin z 1, z, z 3, z 4 Z. (x 1 + x + x 3 + x 4)(y 1 + y + y 3 + y 4) = z 1 + z + z 3 + z 4 Todistus. Olkoot q = x 1 +ix +jx 3 +kx 4 ja p = y 1 +iy +jy y +ky 4 kvaternioita siten, että x 1, x, x 3, x 4, y 1, y, y 3, y 4 Z. Nyt (x 1 + x + x 3 + x 4)(y 1 + y + y 3 + y 4) = N(q)N(p). Kvaternioiden kertolaskusääntöjen nojalla qp = x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 + (x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 )i + (x 1 y 3 + x 3 y 1 x y 4 + x 4 y )j + (x 1 y 4 + x 4 y 1 + x y 3 x 3 y )k,

15 . KVATERNIOT 9 joten N(qp) = (x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 ) + (x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 ) + (x 1 y 3 + x 3 y 1 x y 4 + x 4 y ) + (x 1 y 4 + x 4 y 1 + x y 3 x 3 y ). Normin laskusääntöjen nojalla N(q)N(p) = N(qp), joten (x 1 + x + x 3 + x 4)(y1 + y + y3 + y4) = N(q)N(p) = N(qp) on muotoa z1 + z + z3 + z4, joten lause pätee.

16

17 LUKU 3 Kvaternioiden matriisiesitys Tämän kappaleen pääasiallisina lähteinä on käytetty teosta [1] sekä tutkielmaa [6]. Hamilton osoitti, että jokainen kompleksiluku voidaan esittää kahden reaaliluvun avulla: x + iy = (x, y). Samalla tavoin jokainen kvaternio voidaan esittää kahden kompleksiluvun avulla: q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 = (x 1 + ix ) + (x 3 + ix 4 )j = z + jw = (z, w), missä z = x 1 + ix C ja w = x 3 + ix 4 C. Osoitetaan seuraavaksi, että kvaternio q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 voidaan esittää myös matriisina [ ] [ ] x1 + ix q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 = x 3 + ix 4 z w = M x 3 + ix 4 x 1 ix w z (C). Tällöin kvaternioiden joukko voidaan esittää muodossa { [ ] } z w H = : z, w C. w z Näytetään, että matriisimuotoisten kvaternioiden joukko H todellakin on sama kuin luvussa määritelty kvaternioiden joukko. Määritellään kuvaus h : R 4 H asettamalla Kuvaus h on lineaarikuvaus, sillä h(x) = h(x 1, x, x 3, x 4 ) [ ] [ ] x1 + ix = x 3 + ix 4 z w =. x 3 + ix 4 x 1 ix w z h(ax + by) = h(ax 1 + by 1, ax + by, ax 3 + by 3, ax 4 + by 4 ) [ ] ax1 + by = 1 + i(ax + by ) ax 3 + by 3 + i(ax 4 + by 4 ) ax 3 by 3 + i(ax 4 + by 4 ) ax 1 + by 1 i(ax + by ) [ ] [ ] x1 + ix = a x 3 + ix 4 y1 + iy + b y 3 + iy 4 x 3 + ix 4 x 1 ix y 3 + iy 4 y 1 iy = ah(x) + bh(y) kaikilla a, b R. Osoitetaan, että kuvaus h on bijektio. 11

18 1 3. KVATERNIOIDEN MATRIISIESITYS Lause 3.1. Kuvaus h on bijektio. Todistus. Osoitetaan, että kuvaus h on (1) injektio ja () surjektio. (1) Olkoot [ ] z w q = ja p = w z [ ] z w w z matriisimuotoisia kvaternioita. Merkitään z = x 1 + [ ix, z = ] x 1 + [ ix, ] z w z w = x 3 + ix 4, w = x 3 + ix w 4. Olkoon q = p, eli = w z w z. Tällöin z = z ja w = w, mistä seuraa, että x 1 = x 1, x = x, x 3 = x 3 ja x 4 = x 4, eli (x 1, x, x 3, x 4 ) = (x 1, x, x 3.x 4). Kuvaus h on siis injektio. () Osoitetaan, että h(r 4 ) = H. Selvästi h(r[ 4 ) H. Osoitetaan ] siis, että z w H h(r 4 ). Olkoon q H. Tällöin q = joillakin z = x w z 1 + ix ja w = x 3 + ix 4. Merkitään x = (x 1, x, x 3, x 4 ), jolloin [ ] [ ] x1 + ix h(x) = h(x 1, x, x 3, x 4 ) = x 3 + ix 4 z w = = q, x 3 + ix 4 x 1 ix 4 w z joten kuvaus h on surjektio. Kuvaus h on siis bijektio. Koska kuvaus h on bijektio, jokaista avaruuden R 4 alkiota eli myös jokaista kvaterniota vastaa täsmälleen yksi matriisimuotoinen kvaternio. Osoitetaan vielä, että matriisien yhteen- ja kertolasku vastaavat kvaternioiden yhteen- ja kertolaskua. Olkoot [ ] [ ] z w x1 + ix q = = x 3 + ix 4 M w z x 3 + ix 4 x 1 ix (C) ja [ ] t v p = = v t [ ] y1 + iy y 3 + iy 4 M y 3 + iy 4 y 1 iy (C). Tällöin kun lasketaan matriisien yhteenlaskusäännön avulla, saadaan matriisien q ja p summaksi [ ] [ ] [ ] z w t v z + t w + v q + p = + = w z v t w t z + v [ ] x1 + y = 1 + i(x + y ) x 3 + y 3 + i(x 4 + y 4 ). x 3 y 3 + i(x 4 + y 4 ) x 1 + y 1 i(x y ) Matriisia q + p vastaa siis kvaternio (x 1 + y 1 ) + i(x + y ) + j(x 3 + y 3 ) + k(x 4 + y 4 ), mikä on sama kuin kvaternioiden q = (x 1 +ix +jx 3 +kx 4 ) ja p = (y 1 +iy +jy 3 +ky 4 ) summa. Matriisien kertolaskusäännön avulla taas saadaan [ ] [ ] z w t v qp = w z v t [ ] zt wv zv + wt =. wt z v wv + z t

19 Lasketaan matriisin alkiot auki yksitellen: 3. KVATERNIOIDEN MATRIISIESITYS 13 zt wv = (x 1 + ix )(y 1 + iy ) (x 3 + ix 4 )(y 3 iy 4 ) = (x 1 y 1 x y ) + i(x 1 y + x y 1 ) ((x 3 y 3 + x 4 y 4 ) + i( x 3 y 4 + x 4 y 3 ) = (x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 ) + i(x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 ) zv + wt = (x 1 + ix )(y 3 + iy 4 ) + (x 3 + ix 4 )(y 1 iy ) = (x 1 y 3 x y 4 ) + i(x 1 y 4 + x y 3 ) + (x 3 y 1 + x 4 y ) + i( x 3 y + x 4 y 1 ) = (x 1 y 3 x y 4 + x 3 y 1 + x 4 y ) + i(x 1 y 4 + x y 3 x 3 y + x 4 y 1 ) wt z v = (x 3 ix 4 )(y 1 + iy ) (x 1 ix )(y 3 iy 4 ) = ((x 3 y 1 + x 4 y + i(x 3 y x 4 y 1 )) ((x 1 y 3 x y 4 ) + i( x 1 y 4 x y 3 )) = ( x 3 y 1 x 4 y x 1 y 3 + x y 4 ) + i( x 3 y + x 4 y 1 + x 1 y 4 + x y 3 ) wv + z t = (x 3 ix 4 )(y 3 + iy 4 ) + (x 1 ix )(y 1 iy ) = ((x 3 y 3 + x 4 y 4 ) + i(x 3 y 4 x 4 y 3 )) + (x 1 y 1 x y + i( x 1 y x y 1 ) = ( x 3 y 3 x 4 y 4 + x 1 y x y ) + i( x 3 y 4 + x 4 y 3 x 1 y x y 1 ). Matriisia qp vastaa siis kvaternio qp = (x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 ) + (x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 )i + (x 1 y 3 x y 4 + x 3 y 1 + x 4 y )j + (x 1 y 4 + x y 3 x 3 y + x 4 y 1 )k, mikä on sama kuin kvaternioiden q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 ja p = y 1 + iy + jy 3 + ky 4 tulo. Nyt on osoitettu, että joukko { [ ] } z w H = : z, w C w z todellakin vastaa luvussa määriteltyä kvaternioiden joukkoa H. Kvaternioita voidaan siis nyt tutkia myös niiden matriisiesityksen kautta. Erityisesti matriisiesitys on kätevä kvaternioiden ominaisuuksien tarkastelulle. Matriisien avulla laskemalla voidaan säästyä pitkiltä laskutoimituksilta. Kvaternioille pätevät nyt siis luonnollisesti samat laskusäännöt kuin matriiseille. Esimerkiksi matriisien yhteenlasku on tunnetusti assosiatiivinen ja kommutatiivinen, joten myös kvaternioiden yhteenlasku on assosiatiivinen ja kommutatiivinen. Kvaternioiden kertolasku taas on assosiatiivinen, mutta ei kommutatiivinen, sillä esimerkiksi [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i 0 0 i i i 0 = =. 0 i i i 0 0 i Matriisien kertolasku on myös tunnetusti distributiivinen, joten luvussa annetut kvaternioiden distributiivisuussäännöt q 1 (q + q 3 ) = q 1 q + q 1 q 3 ja (q + q 3 )q 1 = q q 1 + q 3 q 1 voidaan nyt perustella matriisien laskusääntöjen nojalla. Tutkitaan seuraavaksi kvaternioiden ominaisuuksia niiden matriisiesityksen kautta. Määritellään joukon H nolla- ja yksikkömatriisi

20 14 3. KVATERNIOIDEN MATRIISIESITYS 0 = [ ] ja 1 = I = [ ] Tiedetään, että kaikille A M pätee A + 0 = 0 + A = A ja AI = IA = A. Jokainen matriisi q H voidaan pilkkoa osiin seuraavasti: [ ] x1 + ix q = x 3 + ix 4 x 3 + ix 4 x 1 ix [ ] [ ] [ ] [ ] x1 0 ix 0 0 x3 0 ix4 = x 1 0 ix x 3 0 ix 4 0 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 i i = x 1 + x x 0 i 3 + x i 0 Merkitään jolloin q voidaan taas kirjoittaa muodossa [ ] [ ] 1 0 i 0 1 =, i =, i [ ] [ ] i j =, k =, 1 0 i 0 q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4. Luvussa annettiin kvaternion q 0 käänteiskvaterniolle lauseke q 1 = 1 N(q) q. Johdetaan tästä käänteiskvaterniolle matriisiesitys: q 1 = 1 N(q) (x 1 ix j 3 kx 4 ) = 1 [ ] x1 ix x 3 ix 4. N(q) x 3 ix 4 x 1 + ix Jos merkitään z = 1 (x N(q) 1 ix ) ja w = 1 ( x N(q) 3 ix 4 ), saadaan käänteiskvaternion matriisiesitys muotoon [ ] z q 1 w = w z. Koska x, w C, niin q 1 H. Tutkitaan, millainen matriisimuotoisen kvaternion konjugaatti on: q = x 1 ix jx 3 kx 4 [ ] x1 ix = x 3 ix 4 x 3 ix 4 x 1 + ix [ ] z w =, w z

21 3. KVATERNIOIDEN MATRIISIESITYS 15 kun z = x 1 + ix ja w = x 3 + ix 4. Huomataan, että kvaternion q konjugaatti saadaan ottamalla konjugaatti sen transpoosin q T jokaisesta alkiosta, sillä [ ] z w q T =. w z Kun lasketaan matriisimuotoisen kvaternion determinantti, saadaan yhteys determinantin ja kvaternion normin välille: [ ] x1 + ix det q = det x 3 + ix 4 x 3 + ix 4 x 1 ix = (x 1 + ix )(x 1 ix ) (( x 3 + ix 4 )(x 3 + ix 4 )) = (x 1 + x ) + i( x 1 x + x x 1 ) (( x 3 x 4)( x 3 x 4 + x 4 x 3 )) = x 1 + x + x 3 + x 4. Nähdään siis, että det q = N(q).

22

23 LUKU 4 Kvaternioiden algebraa Tutkitaan seuraavaksi kvaternioiden joukon H algebraa. Osoitetaan, että peruskvaternioiden joukko G = {±1, ±i, ±j, ±k} varustettuna kvaternioiden kertolaskulla on ryhmä sekä että joukko H varustettuna kvaternioiden yhteenlaskulla ja kertolaskulla on jakorengas. Tämän luku perustuu pääasiassa lähteisiin [5] ja [6]. Lause 4.1. Joukko G = {±1, ±i, ±j, ±k} varustettuna kvaternioiden kertolaskulla, (G, ), on ryhmä. Todistus. Jotta joukko olisi ryhmä, sille täytyy päteä seuraavat ominaisuudet: (1) Kertolasku on joukon G sisäinen laskutoimitus () Kertolasku on assosiatiivinen (3) Kertolaskulla on neuraalialkio (4) Jokaisella joukon G alkiolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen. Osoitetaan, että nämä ominaisuudet pätevät joukolle (G, ): (1) Olkoot q, p G. Tällöin peruskvaternioiden kertolaskusääntöjen nojalla esimerkiksi taulukosta 1 nähdään, että qp G. Kertolasku on siis joukon G sisäinen laskutoimitus. () Kuten jo aiemmin on todettu, kvaternioiden kertolasku on assosiatiivinen. (3) Joukossa G on neutraalialkio kertolaskun suhteen, 1 = [ ], sillä 1 q = q 1 = q kaikilla q G. (4) Koska 1 1 = 1, ii = i( i) = 1, jj = j( j) = 1 ja kk = k( k) = 1, on jokaisella q G käänteisalkio kertolaskun suhteen, ja jokaisen q G käänteisalkio on myös joukon G alkio. Joukko G = {±1, ±i, ±j, ±k} varustettuna kvaternioiden kertolaskulla on siis ryhmä. Lause 4.. Joukko H varustettuna yhteenlaskulla ja kertolaskulla, (H, +, ), on jakorengas. Todistus. Jotta joukko (H, +, ) olisi jakorengas, sille täytyy päteä seuraavat ominaisuudet: (1) Joukko (H, +) on kommutatiivinen ryhmä () Kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen (3) Kertolaskulla on neutraalialkio (4) Kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, eli jokaisella joukon H nollasta poikkeavalla alkiolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen. Osoitetaan, että nämä ominaisuuden pätevät joukolle (H, +, ): 17

24 18 4. KVATERNIOIDEN ALGEBRAA (1) Jo aiemmin on todettu, että kvaternioiden yhteenlasku on assosiatiivinen ja kommutatiivinen. Joukossa H on myös neutraalialkio yhteenlaskun suhteen, [ ] =, 0 0 sillä q + 0 = 0 + q = q kaikilla q H. Jokaisella q H on lisäksi käänteisalkio yhteenlaskun suhteen, q H, sillä q + ( q) = q + q = 0. Joukko (H, +, ) on siis kommutatiivinen ryhmä. () Luvussa on todettu, että kvaternioiden kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen. (3) Joukossa H on neutraalialkio kertolaskun suhteen, [ ] =, 0 1 sillä 1 q = q [ 1 = q kaikilla ] [ q H. ] z w x1 + ix (4) Olkoon q = = x 3 + ix 4 H siten, että q 0. w z x 3 + ix 4 x 1 ix [ ] z Luvussa 3 määritettiin kvaternion q käänteiskvaternio q 1 w = w z, missä z = 1 (x N(q) 1 ix ) ja w = 1 ( x N(q) 3 ix 4 ). Koska nyt q 1 H ja qq 1 = q 1 q = 1, niin jokaisella kvaterniolla q 0 on käänteisalkio q 1 kertolaskun suhteen, eli jokainen q H on yksikkö. Joukko (H, +, ) on siis jakorengas. Joukko H ei kuitenkaan ole kunta, sillä kuten jo aiemmin on todettu, kvaternioiden kertolasku ei ole kommutatiivinen. Tutkitaan vielä, mikä on joukon H keskus. Määritelmä 4.3. Renkaan (G, +, ) keskus on joukko Z(G) = {z G : zg = gz kaikilla g G} eli joukko, jonka jokainen alkio on kertolaskun suhteen vaihdannainen jokaisen joukon G alkion kanssa. Osoitetaan, että kvaternioiden joukon H keskus on joukko Re(H). Todistetaan ensin yksi aputulos: Lemma 4.4. Olkoon q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 H joillakin x 1, x, x 3, x 4 R. Tällöin (1) jos qi = iq, niin x 3 = x 4 = 0 () jos qj = jq, niin x = x 4 = 0 (3) jos qk = kq, niin x = x 3 = 0. Todistus. (1) Kvaternioiden kertolaskusäännön nojalla saadaan qi = (x 1 + ix + jx 3 + kx 4 )i = x 1 i + ix i + jx 3 i + kx 4 i = ix 1 x kx 3 + jx 4 = x + ix 1 + jx 4 kx 3,

25 4. KVATERNIOIDEN ALGEBRAA 19 ja vastaavasti iq = i(x 1 + ix + jx 3 + kx 4 ) = ix 1 + iix + ijx 3 + ikx 4 = ix 1 x + kx 3 jx 4 = x + ix 1 jx 4 + kx 3. Näistä huomataan, että qi = iq x 3 = x 4 = 0. Kohtien () ja (3) todistus saadaan vastaavilla laskuilla. Lause 4.5. Olkoon q = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 H joillakin x 1, x, x 3, x 4 R. Tällöin zq = qz kaikilla z H jos, ja vain jos x = x 3 = x 4 = 0. Todistus. Olkoon q H. Oletetaan, että zq = qz kaikilla z H. Valitaan ensin z = i. Edellisen lemman perusteella jos iq = qi, niin x 3 = x 4 = 0. Valitaan sitten z = j. Tällöin jos jq = qj, niin x = x 4 = 0. Yhdistämällä nämä huomataan, että jos zq = qz kaikilla z H, niin x = x 3 = x 4 = 0. Jos taas x = x 3 = x 4 = 0, niin q = x 1 R, ja zq = qz kaikilla z H. Edellisen lauseen perusteella siis renkaan (H, +, ) keskus on joukko Z(H) = {z = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 H : x = x 3 = x 4 = 0} = Re(H).

26

27 LUKU 5 Imaginaariset kvaterniot avaruuden R 3 vektoreina Imaginaariset kvaterniot ix 1 + jx + kx 3 voidaan samaistaa kolmiulotteisiin vektoreihin siten, että imaginaarista kvaterniota ix 1 + jx + kx 3 vastaa avaruuden R 3 vektori (x 1, x, x 3 ). Avaruuden R 3 vektoreiden ominaisuuksia voidaan siis tutkia imaginaaristen kvaternioiden avulla. Muistellaan ensin hieman avaruuden R 3 vektoreiden ominaisuuksia. Lähteinä esitiedoille on käytetty pääasiassa luentomonisteita [7] ja [8]. Olkoot x = (x 1, x, x 3 ) ja y = (y 1, y, y 3 ) kolmiulotteisen avaruuden vektoreita. Vektoreiden x ja y sisätulo on x, y = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 R. Vektoreiden sisätulo on tunnetusti assosiatiivinen, distributiivinen ja kommutatiivinen. Tiedetään myös, että (5.1) x, y = 0 jos ja vain jos x y. Vektoreiden x ja y välinen ristitulo on x y = (x y 3 x 3 y, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y x y 1 ) R 3. Vektoreiden ristitulo taas ei ole assosiatiivinen eikä kommutatiivinen. Sen sijaan se on distributiivinen sekä antikommutatiivinen eli x y = (y x). Tutkitaan seuraavaksi imaginaaristen kvaternioiden kertolaskun yhteyttä kolmiulotteisten vektoreiden sisätuloon ja ristituloon. Tämän luvun lähteenä on käytetty pääasiassa teosta []. Olkoot u = ix 1 +jx +kx 3 = (x 1, x, x 3 ) ja v = iy 1 +jy +ky 3 = (y 1, y, y 3 ) imaginaarisia kvaternioita. Kvaternioiden kertolaskusääntöjen mukaan uv = (ix 1 + jx + kx 3 )(iy 1 + jy + ky 3 ) = (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 ) + (x y 3 x 3 y )i + (x 3 y 1 x 1 y 3 )j + (x 1 y x y 1 )k. Huomataan, että alkuosa x 1 y 1 +x y +x 3 y 3 on vektoreiden u ja v sisätulo, ja loppuosa (x y 3 x 3 y )i + (x 3 y 1 x 1 y 3 )j + (x 1 y x y 1 )k on vektoreiden u ja v ristitulo. Nämä yhdistämällä saadaan imaginaaristen kvaternioiden kertolasku muotoon (5.) uv = u, v + u v. Tästä saadaan kvaternioiden sisätulo ja ristitulo seuraavanlaiseen muotoon: (5.3) u v = 1 (uv vu) ja (5.4) u, v = 1 (uv + vu), 1

28 5. IMAGINAARISET KVATERNIOT AVARUUDEN R 3 VEKTOREINA sillä ja 1 (uv vu) = 1 ( u, v + (u v) + v, u (v u)) = 1 ( u, v + (u v) + u, v + (u v)) = u v 1 (uv + vu) = 1 ( u, v + (u v) v, u + (v u)) = ( u, v + (u v) u, v (u v)) = u, v. Käydään seuraavaksi läpi joitakin lauseita vektoreiden sisätuloon ja ristituloon liittyen. Lemma 5.1. Kaikilla u, v Im(H) pätee (5.5) u, v = 1 (uv + vu). Todistus. Olkoot u = ix 1 + jx + kx 3 Im(H) ja v = iy 1 + jy + ky 3 Im(H). Tällöin kvaternioiden kertolaskusäännön nojalla saadaan laskettua uv + vu = ( ix 1 jx kx 4 )(iy 1 + jy + ky 4 ) + ( iy 1 jy ky 4 )(ix 1 + jx + kx 4 ) = (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 ) + (y 1 x 1 + y x + y 3 x 3 ) + ( ( x y 3 + x 3 y ) + ( y x 3 + y 3 x ) ) i + ( (x 1 y 3 x 3 y 1 ) + (y 1 x 3 y 3 x 1 ) ) j + ( ( x 1 y + x y 1 ) + ( y 1 x + y x 1 ) ) k = (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 ) = u, v. Lause 5.. Kaikilla u, v, w Im(H) pätee u (v w) = 1 (uvw vwu). Todistus. Koska uvw = u( v, w + (v w)) = v, w u + u(v w) ja vwu = ( v, w + (v w))u = v, w u + (v w)u,

29 5. IMAGINAARISET KVATERNIOT AVARUUDEN R 3 VEKTOREINA 3 niin 1 (uvw vwu) = 1 ( v, w u + u(v w) ( v, w u + (v w)u)) = 1 (u(v w) (v w)u) 5. = 1 ( u, v w + u (v w) ( v w, u + (v w) u)) = 1 (u (v w) (v w) u) = 1 (u (v w) ( u (v w)) = 1 ((u (v w))) = u (v w). Lause 5.3 (Grassman). Kaikilla u, v, w Im(H) pätee Todistus. Kaavan (5.4) nojalla Lauseen 5. nojalla u (v w) = u, w v u, v w. uvw vwu = (uv + vu)w v(uw + wu) = u, v w + u, w v = ( u, w v u, v w). u (v w) = 1 (uvw vwu) = u, w v u, v w. Lause 5.4 (Jacobi). Kaikilla u, v, w Im(H) pätee u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0. Todistus. Lause seuraa suoraan edellisestä lauseesta, sillä u (v w) + v (w u) + w (u v) = u, w v u, v w + v, u w v, w u + w, v u w, u v = 0. Tunnettu ja monissa matematiikan sovelluksissa hyödyllinen Cauchyn epäyhtälö sanoo, että u, v u, u v, v. Avaruudessa R 3 tälle epäyhtälölle on olemassa vahvempi muoto, joka on hyvin keskeinen vektorialgebrassa: Lause 5.5 (CauchySchwarz). Kaikilla u, v Im(H) pätee u, v + N(u v) = N(u)N(v).

30 4 5. IMAGINAARISET KVATERNIOT AVARUUDEN R 3 VEKTOREINA Todistus. Lauseen todistus seuraa suoraan lauseesta.6 sekä kaavasta (5.): N(u)N(v).6 = N(uv) (5.) = N( u, v + (u v)).7 = N( u, v ) + N(u v) = u, v + N(u v). Viimeinen yhtäsuuruus pätee, koska jos u, v R, niin u, v = u, v. Määritellään seuraavaksi avaruuden R 3 kolmen vektorin kolmitulo. Määritelmä 5.6. Kolmen imaginaarisen kvaternion u, v ja w kolmitulo on u v, w. Lause 5.7. Kaikilla u, v, w Im(H) pätee u v, w = uv, w. Todistus. Olkoot u, v, w Im(H). Nyt yhtälöstä (5.) seuraa, että uv, w = ( u, v + (u v)), w = u, v, w + (u v), w. Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että vektoreiden sisätulo on assosiatiivinen. Nyt tiedetään, että R Im(H). Koska u, v R ja w Im(H), niin u, v, w = 0, joten u, v, w + (u v), w = (u v), w. Vektorin sisätulon ja ristitulon määritelmien avulla voidaan osoittaa, että (5.6) u v, u = 0, kun u, v Im(H) : Olkoon u = ix 1 + jx + kx 3 = (x 1, x, x 3 ) ja v = (iy 1 + jy + ky 3 ) = (y 1, y, y 3 ). Tällöin u v, u = (x y 3 x 3 y, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y x y 1 ), (x 1, x, x 3 ) = (x y 3 x 3 y )x 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 )x + (x 1 y x y 1 )x 3 = x y 3 x 1 x 1 y 3 x + x 3 y 1 x x y 1 x 3 + x 1 y x 3 x 3 y x 1 = 0. Edellisten ominaisuuksien perusteella voidaan todistaa seuraava lause: Lause 5.8. Kaikilla u, v, w Im(H) pätee Todistus. Kaavan (5.6) perusteella u v, w = u, v w. (u w) v, (u w) = 0.

31 5. IMAGINAARISET KVATERNIOT AVARUUDEN R 3 VEKTOREINA 5 Koska vektoreiden sisätulo on distributiivinen ja ristitulo on distributiivinen ja antikommutatiivinen, niin (u w) v, (u w) = (u v) (w v), (u w) = (u v), (u w) (w v), (u w) = (u v), u (u v), w (w v), u + (w v), w (5.6) = (u v), w u, (w v) = (u v), w u, (v w) = (u v), w + u, (v w) = 0, joten u v, w = u, v w.

32

33 LUKU 6 Kvaterniot kolmiulotteisen avaruuden kiertoina Olkoon q 0 H sellainen kvaternio, jolle q 0 = 1. Määritellään kuvaus T q0 : H H, kaikilla q H. T q0 (q) = q 0 qq 1 0 Huomautus 6.1. Ehto q 0 = 1 ei ole välttämätön; Olkoon q 0 = 1. Tällöin kvaternio q 0 = q 0 q 0, jolle siis q 0 = 1, antaa q 0 q q 0 1 = q 0 q 0 q q 0 q 0 = q 0 qq 1 0. Tarkastellaan joitakin kuvauksen T q0 käytetty teosta [10] sekä tutkielmaa [6]. ominaisuuksia. Tämän luvun lähteinä on Lause 6.. Olkoon q 0 H siten, että q 0 = 1, ja olkoon kuvaus T q0 : H H, T q0 (q) = q 0 qq 1 0. Tällöin (1) T q0 (q + p) = T q0 (q) + T q0 (p) kaikilla q, p H. () T q0 (qp) = T q0 (q)t q0 (p) kaikilla q, p H. (3) T q0 (αq) = αt q0 (q) kaikilla α R, q H. Todistus. Olkoot q, p H ja α R. Tällöin (1) T q0 (q + p) = q 0 (q + p)q0 1 = q 0 qq0 1 + q 0 pq0 1 = T q0 (q) + T q0 (p). () T q0 (q)t q0 (p) = (q 0 qq0 1 )(q 0 pq0 1 ) = q 0 qpq0 1 = T q0 (qp). (3) Koska α R = Re(H), ja Re(H) on joukon H keskus, niin T q0 (αq) = q 0 αqq 1 0 = αq 0 qq 1 0 = αt q0 (q). Lause 6.3. Kuvaus T q0 : H H, T q0 (q) = q 0 qq 1 0 on lineaarinen isometria. Todistus. Kuvauksen T q0 lineaarisuus seuraa suoraan lauseesta 6.: T q0 (αq + βp) = αt q0 (q) + βt q0 (p). Osoitetaan, että kuvaus T q0 on isometria. Täytyy osoittaa, että kaikille q, p H pätee q p = T q0 (q) T q0 (p). 7

34 8 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA Tämä voidaan osoittaa suoraan itseisarvon laskusääntöjen avulla laskemalla: T q0 (q) T q0 (p) = q 0 qq 1 0 q 0 pq 1 0 = q 0 (q p)q 1 0 = q 0 q p q 1 0 = q 0 1 q 0 q p = q p. Huomautus 6.4. Koska T q0 (0) = 0, seuraa lauseesta 6.3 suoraan, että kaikilla q H. T q0 (q) = q Lause 6.5. Kuvaus T q0 : H H, T q0 (q) = q 0 qq 1 0 on bijektio. Kuvauksen T q0 bijektiivisyys osoitetaan kolmen seuraavan lauseen avulla. Lause 6.6. Kuvauksen T q0 rajoittuma reaalisten kvaternioiden joukkoon, T q0 Re(H), on identtinen kuvaus. Todistus. Olkoon α Re(H). Koska Re(H) on joukon H keskus, niin T q0 (α) = q 0 αq 1 0 = αq 0 q 1 0 = α 1 = α. Koska T q0 (α) = α kaikilla α Re(H), on selvää, että jos q Re(H), niin T q0 (q) Re(H). Osoitetaan seuraavaksi, että jos q Im(H), niin T q0 (q) Im(H). Lause 6.7. Jos q Im(H), niin T q0 (q) Im(H). Todistus. Osoitetaan ensin yksi aputulos: Aputulos 6.8. Olkoon q kvaternio. Nyt q Im(H) jos, ja vain jos q on eipositiivinen reaaliluku. Todistus. Olkoon q = α + u H, missä α Re(H), 0 u = ix + jx 3 + kx 4 Im(H). Tällöin q = (α + u) = α + αu + u. Nyt kvaternioiden kertolaskusäännön avulla saadaan laskettua u = (ix + jx 3 + kx 4 ) = (ix + jx 3 + kx 4 )(ix + jx 3 + kx 4 ) = (x + x 3 + x 4) + (x 3 x 4 x 4 x 3 )i + ( x x 4 + x 4 x )j + (x x 3 x 3 x )k = (x + x 3 + x 4). Luku u on siis ei-positiivinen reaaliluku. Tarkastellaan nyt kvaternion q osaa α + αu. Jos q Im(H), niin α = 0, eli q = u on ei-positiivinen reaaliluku. Jos taas q on ei-positiivinen reaaliluku, täytyy olla αu R, sillä q = α +αu+u ja α, u R. Koska u Im(H), pätee αu R vain siinä tapauksessa, että α = 0. Siis q Im(H).

35 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA 9 Nyt siis q Im(H), joten aputuloksen perusteella q on ei-positiivinen reaaliluku. Aputuloksen perusteella myös T q0 (q) Im(H), jos (T q0 (q)) on ei-positiivinen reaaliluku. Laskemalla saadaan ((T q0 (q)) = (q 0 qq0 1 ) = (q 0 qq0 1 )(q 0 qq0 1 ) = q 0 q q0 1 = q q 0 q0 1 = q. Siis T q0 (q) Im(H), joten lause 6.7 on nyt todistettu. Lause 6.9. Kuvauksen T q0 T q0 Im(H), on bijektio. rajoittuma imaginaaristen kvaternioiden joukkoon, Todistus. Määritellään kuvaus P q0 : Im(H) Im(H), P q0 (q) = q0 1 qq 0. Tällöin T q0 P q0 (q) = T q0 (q0 1 qq 0 ) = q 0 (q0 1 qq 0 )q0 1 = q, ja P q0 T q0 (q) = P q0 (q 0 qq0 1 ) = q0 1 q 0 qq0 1 q 0 = q. Siis kuvauksella T q0 : Im(H) Im(H), T q0 (q) = q 0 qq0 1 on käänteiskuvaus P q0 : Im(H) Im(H), P q0 (q) = q0 1 qq 0, joten T q0 Im(H) on bijektio. Jos nyt kvaternio q esitetään muodossa q = α+u, missä α Re(H) ja u Im(H), niin kuvaus T q0 (q) saadaan muotoon T q0 (q) = T q0 (α + u) = T q0 (α) + T q0 (u). Koska kuvaus T q0 kuvaa jokaisen reaalisen kvaternion reaaliseksi kvaternioksi ja imaginaarisen kvaternion imaginaariseksi kvaternioksi, ja lisäksi kuvauksen T q0 rajoittuma sekä reaalisten että imaginaaristen kvaternioiden joukkoon on bijektio, on kuvaus T q0 bijektio. Tutkitaan vielä tarkemmin, mitä kuvaus T q0 tekee geometrisesti avaruudessa R 3. Luvussa 5 näytettiin, että imaginaariset kvaterniot voidaan samaistaa avaruuden R 3 vektoreiksi. Seuraavassa lauseessa tutkitaankin avaruuden R 3 vektoreita, tasoja ja kiertoja käyttäen apuna imaginaarisia kvaternioita tulkiten ne avaruuden R 3 vektoreina. Lause Olkoon q 0 = α 0 + u 0 H, missä α 0 Re(H) ja u 0 Im(H), ja q 0 = 1. Olkoon kuvaus T q0 : Im(H) Im(H), T q0 (q) = q 0 qq0 1. (1) Jos α 0 = 0 eli q 0 = u 0 Im(H), niin kuvaus T q0 (q) = q 0 qq0 1 on peilaus tason P R 3, jolle P q 0, suhteen. () Jos α 0 0 eli q 0 = α 0 +u 0, niin kuvaus T q0 on kierto kvaternion u 0 suuntaisen vektorin suhteen kulmalla 0 < θ < π, joka saadaan lausekkeesta tan( θ) = u 0 α 0. Todistus. Osoitetaan ensin yksi aputulos. Aputulos Olkoon q 0 = α 0 + u 0 H siten että α 0 Re(H) ja u 0 Im(H). Tällöin T (u 0 ) = q 0 u 0 q0 1 = u 0. Todistus. Koska q 0 = α 0 + u 0, niin u 0 saadaan muotoon u 0 = q 0 α 0. Koska kvaternion ja reaaliluvun välinen kertolasku on kommutatiivinen, saadaan q 0 u 0 q 1 0 = q 0 (q 0 α 0 )q 1 0 = q 0 q 0 q 1 0 q 0 α 0 q 1 0 = q 0 α 0 = u 0.

36 30 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA Aputuloksen nojalla kuvaus T q0 kuvaa siis vektorin u 0 itsekseen. Koska T q0 (αu 0 ) = αt q0 (u 0 ) = αu 0, kuvaa T q0 myös kaikki muut vektorin u 0 kanssa yhdensuuntaiset vektorit itsekseen. Olkoon P R 3 taso siten, että P u 0, ja olkoon q Im(H). Jaetaan q komponentteihin q u0 ja q p niin, että q u0 = αu 0 jollakin α R ja q p P. Nyt tiedetään, että kuvaus T q0 säilyttää komponentin q u0 itsenään, joten tutkitaan, mitä se tekee komponentille q p. Osoitetaan ensin, että T q0 (q p ) P. Aputulos 6.1. Olkoon P taso ja q 0 = α 0 +u 0 yksikkökvaternio siten, että P u 0. Tällöin T q0 (q) P kaikilla q P. Todistus. Koska P u 0, ja q P, niin myös q u 0. Kaavojen (5.1) ja (5.4) nojalla q, u 0 = 0 1 (qu 0 + u 0 q) = 0 qu 0 + u 0 q = 0. Nyt kaavan (5.1) nojalla T q0 (q) P jos, ja vain jos T q0 (q), u 0 = 0, eli q 0 qq0 1, u 0 = 0. Koska q 0 = α 0 + u 0 on yksikkökvaternio, niin q0 1 = α 0 u 0. Lisäksi koska u 0 Im(H), niin aputuloksen 6.8 nojalla u 0 R. Nyt kaavan (5.4) nojalla saadaan laskettua q 0 qq 1 0, u 0 = 1 (q 0qq 1 0 u 0 + u 0 q 0 qq 1 0 ) = 1 ((α 0 + u 0 )q(α 0 u 0 )u 0 + u 0 (α 0 + u 0 )q(α 0 u 0 )) = 1 ((α 0q + u 0 q)(α 0 u 0 u 0) + (u 0 α 0 + u 0)(qα 0 qu 0 )) = 1 (α 0qu 0 α 0 qu 0 + u 0 qα 0 u 0 u 0 qu 0 + u 0 α 0q u 0 α 0 qu 0 + u 0qα 0 u 0qu 0 ) = 1 (α 0qu 0 + α 0u 0 q α 0 qu 0 + u 0qα 0 + u 0 qα 0 u 0 u 0 α 0 qu 0 u 0 qu 0 u 0 qu 0 ) = 1 (α 0(qu 0 + u 0 q) u 0(u 0 q + qu 0 )) = 1 ((α 0 u 0 )(qu 0 + u 0 q)) = 0, koska qu 0 + u 0 q = 0. Siis T q0 (q) P kaikilla q P. Olkoon θ vektoreiden q p ja T q0 (q p ) = q 0 q p q0 1 välinen kulma. Koska q 0 q p q0 1 = q 0 q p q0 1 = q p, saadaan sisätulon (kaavan (5.5)) avulla laskettua: cos θ = q p, q 0 q p q0 1 = 1 q p q p (q p(q 0 q p q0 1 ) + (q 0 q p q0 1 )q p ) = 1 q p (q pq 0 q p q 0 + q 0q 0 qq p 1 ) = q 0 q 0 q 0 q 0 q p q 0 (q pq 0 q p q 0 + q 0 q p q 0 q p ) 1 = q p q 0 ( q 1 pq 0 q p q 0 q 0 q p q 0 q p ) = q p q 0 (q pq 0 q p q 0 + q 0 q p q 0 q p ).

37 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA 31 Kuva 6.1. Lauseen 6.10 taso P ja vektorit u 0, q ja T q0 (q) Jotta tämä yhtälö saadaan helpompaan muotoon, todistetaan seuraava aputulos: Aputulos Olkoon q Im(H) ja q 0 H siten, että q 0 = α 0 + u 0. Tällöin, jos q u 0, niin qq 0 = q 0 q Todistus. Koska q, u 0 Im(H), niin q = q ja u 0 = u 0. Jos nyt q u 0, niin Tästä seuraa, että q, u 0 = qu 0 + u 0 q = (qu 0 + u 0 q) = 0 qu 0 = u 0 q. qq 0 = q(α 0 + u 0 ) = qα 0 + qu 0 = α 0 q u 0 q = (α 0 u 0 )q = q 0 q. Nyt yhtälö saadaan muotoon 1 cos θ = q p q 0 (q 1 pq 0 q p q 0 + q 0 q p q 0 q p ) = q p q 0 (q 0qpq 0 + q 0 qpq 0 ) q = q p q 0 (q 0 + q0) = q p q p q 0 (q 0 + q0) = 1 (q 0 + q q 0 q 0). 0 Kun merkitään q 0 = α 0 + u 0, saadaan yhtälö edelleen muotoon 1 cos θ = (α 0 u 0 )(α 0 + u 0 ) ((α 0 u 0 ) + (α 0 + u 0 ) ) = Kohta (1): Nyt α 0 = 0, joten q p 1 (α0 u 0) (α 0 + u 0) = α 0 + u 0. α0 u 0 cos θ = u 0 u 0 = 1,

38 3 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA eli θ = π. Vektoreiden q p ja T q0 (q p ) = q 0 q p q0 1 välinen kulma on siis 180 ja q p q 0, joten kuvaus T q0 tasossa P on kierto kulmalla π. Kuvaus T q0 on siis identiteettikuvaus tasossa P. Kun vektori q jaetaan komponentteihin q p ja q u0, niin T q0 (q p ) = q p ja T q0 (q u0 ) = q u0, joten kuvaus T q0 on peilaus tason P suhteen. Kuva 6.. Tapaus q 0 = u 0 Kohta (): Trigonometristen kaavojen mukaan tan ( θ ) = 1 cos θ 1+cos θ, joten tan ( θ ) = 1 cos θ 1 + cos θ = 1 α 0 +u 0 α 0 u α 0 +u 0 α 0 u 0 = (α 0 u 0 ) (α 0 +u 0 ) α 0 u 0 (α 0 u 0 )+(α 0 +u 0 ) α 0 u 0 = u 0 α 0 = u 0. α0 Koska u 0 Im(H), niin u 0 = u 0 u 0 = u 0, joten tan ( θ) = u 0. Siis kuvaus T q0 on kierto kvaternion u 0 suuntaisen akselin suhteen kulmalla θ, jolle tan( θ) = u 0 α 0 tai tan( θ) = u 0 α 0. Vielä täytyy tarkastella, mihin suuntaan kierto tapahtuu. Lasketaan vektoreiden q p ja T q0 (q p ) ristitulo: α 0

39 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA 33 q p T q0 (q p ) = q p q 0 q p q 1 0 (5.3) = 1 (q pq 0 q p q0 1 q 0 q p q0 1 q p ).10 = 1 (q pq 0 q p q 0 q 0 q p q 0 q p ) 6.13 = 1 (q 0q p qq 0 q 0 q p q p q 0 ) = 1 (q pq 0 q pq 0) = 1 q p(q 0 q 0). Kun merkitään q 0 = α 0 + u 0, saadaan yhtälö edelleen muotoon q p T q0 (q p ) = 1 q p((α 0 u 0 ) (α 0 + u 0 ) ) = 1 q p( 4α 0 u 0 ) = q pα 0 u 0. Koska q p Im(H), niin aputuloksen 6.8 nojalla qp on negatiivinen reaaliluku. Nyt siis qpα 0 R, joten vektoreiden q p ja T q0 (q p ) ristitulo on vektorin u 0 kanssa samansuuntainen vektori. Jos nyt qpα 0 > 0, tapahtuu kierto oikean käden säännön nojalla positiiviseen suuntaan ja jos qpα 0 < 0, tapahtuu kierto negatiiviseen suuntaan. Koska qp < 0, määrää α 0 kierron suunnan; Jos α 0 > 0, niin qpα 0 > 0, joten kierto tapahtuu positiiviseen suuntaan eli vastapäivään. Jos taas α 0 < 0, niin qpα 0 < 0, joten kierto tapahtuu negatiiviseen suuntaan eli myötäpäivään. Koska nyt tiedetään, mihin suuntaan kierto tapahtuu, voidaan todeta, että kulma θ saadaan lausekkeesta tan( θ) = u 0 α 0, missä luvun α 0 merkki määrää kierron suunnan. Kuva 6.3. Tapaus q 0 = α 0 + u 0

40 34 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA Tarkastellaan vielä esimerkin avulla, kuinka lausetta 6.10 voidaan käyttää avaruuden R 3 kiertojen tarkastelussa. Tutkitaan ensin, kuinka yksikkökvaterniot voidaan esittää sellaisessa muodossa, että niitä on helpompi soveltaa lauseeseen. Olkoon q 0 = x 1 +ix +jx 3 +kx 4 yksikkökvaternio eli N(q 0 ) = x 1+x +x 3+x 4 = 1. Valitaan kulma θ siten, että x 1 = cos 1 θ. Tällöin sin 1 θ = 1 cos 1 θ = x 1 + x + x 3 + x 4 x 1 = x + x 3 + x 4. Määritellään reaaliluvut x, x 3 ja x 4 siten, että x = x sin 1θ, x 3 = x 3 sin 1θ ja x 4 = x 4 sin 1θ. Tällaiset luvut löydetään aina, sillä sin 1 θ on reaaliluku väliltä [ 1, 1]. Merkitään u = ix + jx 3 + kx 4. Nyt q 0 saadaan muotoon q 0 = x 1 + ix + jx 3 + kx 4 = cos 1 θ + ix sin 1 θ + jx 3 sin 1 θ + kx 4 sin 1 θ = cos 1 θ + u sin 1 θ. Jos sin 1θ = 0, niin q 0 = x 1 = cos 1θ. Oletetaan, että sin 1 θ 0. Tällöin sin 1 θ = x + x 3 + x 4 = ((x ) + (x 3) + (x 4) ) sin 1 θ, eli (x ) + (x 3) + (x 4) = 1, joten u on yksikkökvaternio. Jokainen yksikkökvaternio voidaan siis kirjoittaa muodossa q 0 = cos 1 θ + u sin 1 θ, missä u on imaginaarinen yksikkökvaternio. Tämä muoto helpottaa kiertojen tutkimista. Esimerkki Kierretään vektoria q = ix + jx 3 + kx 4 Im(H) vektorin i + j suuntaisen akselin suhteen 90. Olkoon θ = 90 = π ja v = i+j. Vektorin v pituus on, ja cos 1θ = cos π = 1 4 ja sin 1θ = sin π = 1 4. Määritellään yksikkökvaternio q 0 siten, että q 0 = cos 1 θ + u sin 1 θ, missä u on vektorin v suuntainen yksikkövektori, eli q 0 = cos 1 θ + u sin 1 θ = cos π 4 + sin π 4 = i + j = 1 + i + j + i + j =. 1 v v

41 6. KVATERNIOT KOLMIULOTTEISEN AVARUUDEN KIERTOINA 35 Nyt kvaternio q 0 on siis muotoa α 0 + u 0, missä α 0 = ja u 0 = i+j on vektorin v = i + j suuntainen kvaternio. Lisäksi u 0 ( 1 ) + ( 1 ) = = 1 = 1, α 0 eli kun θ = 90, niin tan θ = u 0 α 0. Lauseen 6.10 mukaan 90 asteen kierto vektorin i + j suuntaisen akselin suhteen saadaan nyt kuvauksen T q0 avulla. Koska q 0 on yksikkökvaternio, niin huomautuksen.10 nojalla i j q0 1 = q 0 =. Nyt laskemalla saadaan ( T q0 (q) = q 0 qq0 1 + i + j ) ( i j ) = (ix + jx 3 + kx 4 ) ( ( = 1 x 1 ) ( x 3 + x + 1 ) ( x 4 i + x 3 1 ) x 4 j ( ) + x x 3 1 ) ( i j ) x k ( ( x x 3 ) x + x 4 x3 + x ) 4 = ( + x x 3 ( x + x 4 ) x4 + x 3 x ) + + i ( + ( x x 3 ) ( x3 x 4 ) x4 + x 3 x ) + j ( + ( x + x 4 ) x3 x 4 ( x4 + x 3 x ) ) + + k ( x + x 3 + x ) ( 4 x + x 3 x ) ( 4 x + x 3 = i + j ( 1 = x + 1 ) ( 1 x 3 + x 4 i + x + 1 ) ( ) x 3 x 4 j + x + x 3 k. Eli kun kvaterniota q = ix +jx 3 +kx 4 kierretään 90 vektorin i+j suuntaisen akselin suhteen, saadaan tulokseksi kvaternio ( 1 x + 1 ) ( 1 x 3 + x 4 i + x + 1 ) ( ) x 3 x 4 j + x + x 3 k. Nyt tiedämme, kuinka avaruuden R 3 peilauksia ja kiertoja voidaan esittää lauseen 6.10 avulla. Varmistetaan vielä, että kaikki avaruuden R 3 peilaukset ja kierrot saadaan esitettyä kvaternioiden ja kuvausten T q0 avulla. Koska voimme valita lauseen 6.10 kvaternion q 0 = α 0 + u 0 mielivaltaisesti, niin voimme kiertää mitä tahansa imaginaarista kvaterniota q, eli mitä tahansa avaruuden R 3 vektoria, minkä tahansa kvaternion u 0 suuntaisen akselin suhteen millä tahansa ) k