1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

Transkriptio

1 HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon osoittamista toisen joukon osajoukoksi. Luentojen kalvoista ja 51 voi olla apua. 1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. Todistetaan joukot samoiksi näyttämällä ne toistensa osajoukoiksi. (a) Oletetaan, että x (A B). Nyt x X ja x A B. Koska x / A B, ei voi päteä yhtäaikaa x A ja x B. Toisin sanottuna täytyy olla x / A tai x / B. Koska kuitenkin x X, tästä seuraa, että x A tai x B eli x A B. Siis (A B) A B. (b) Oletetaan, että x A B. Nyt x A tai x B. Tarkastellaan nämä kaksi tapausta erikseen: Oletetaan, että x A. Tällöin x X ja x A. Koska x A, niin x A B. Koska kuitenkin x X, tästä seuraa, että x (A B). Oletetaan, että x B. Päätellään täysin samoin kuin ensimmäisessä tapauksessa. Nyt x X ja x B. Koska x B, niin x A B. Koska kuitenkin x X, niin tästä seuraa, että x (A B). Molemmissa tapauksissa päädyttiin siihen, että x (A B). Siis A B (A B). Sisältyminen pätee molempiin suuntiin, joten (A B) = A B, mikä piti todistaa. 2. Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että jos A B = A, niin A B. Oletetaan, että A B = A ja x A. Oletuksen nojalla x A B eli erityisesti x B. Koska x oli mielivaltainen, on oltava A B. Tehtäväsarja II Seuraavissa tehtävissä tarkastellaan karteesista tuloa. 3. Määritä karteesinen tulo A B, jos (a) A = {1, 2, 3} ja B = {1, 3, 5} (b) A = {8, 3, 6} ja B = {π, e} (c) A = {9, 1, 8, 7} ja B = (d) A = Q ja B = N Karteesisen tulon määritelmän mukaan A B = { (a, b) a A ja b B }, joten (a) A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)} (b) A B = {(8, π), (8, e), ( 3, π), ( 3, e), (6, π), (6, e)}.

2 (c) A B = { (a, b) a A ja b } =. (d) A B = { (x, n) x Q ja n N }. Tehtävissä 4 ja 5 tarkastellaan joukkoja A = { (x, y) R 2 1 x 3 ja y 0 }, B = { (x, y) R 2 x 2 } ja C = { (x, y) R 2 y 1 }. 4. Piirrä kolme koordinaatistoa ja niihin joukot A, B ja C. A B C 5. Piirrä kolme koordinaatistoa ja niihin joukot B C, A C ja C (A B). B C A \ C C \ (A B) 6. Oletetaan, että A, B, C ja D ovat joukkoja. Osoita, että (A B) (C D) = (A C) (B D). Todistus. (a) Oletetaan, että x (A B) (C D). Tällöin x = (a, c) joillakin a A B ja c C D. Tästä seuraa, että a A ja a B sekä c C ja c D. Koska a A ja c C, niin x = (a, c) A C. Toisaalta, koska a B ja c D, niin x = (a, c) B D. Siten x (A C) (B D). (b) Oletetaan, että y (A C) (B D). Tällöin y A C ja y B D. Koska y A C, niin y = (a, c), missä a A ja c C. Lisäksi y B D, joten y = (b, d), missä b B ja d D. Erityisesti (a, c) = (b, d), joten a = b ja c = d. Tästä seuraa, että a A B ja c C D, joten y = (a, b) (A B) (C D).

3 Tehtäväsarja III Seuraavissa tehtävissä tarkastellaan mm. potenssijoukkoa. 7. Määritä seuraavat potenssijoukot: (i) P({1, 2, 3}) (ii) P( ) (iii) P({1, {1}, }) (a) P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. (b) P( ) = { }. (c) P({1, {1}, }) = {, {1}, {{1}}, { }, {1, {1}}, {1, }, {{1}, }, {1, {1}, } }. 8. Olkoon A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)}. Määritä: (i) (A B) \ C (ii) P((A B) \ C) (i) (A B) \ C = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3) } \ { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } = { (1, 1), (1, 3), (2, 1) } (ii) P((A B) \ C) = P({(1, 1), (1, 3), (2, 1)}) = {, {(1, 1)}, {(1, 3)}, {(2, 1)}, {(1, 1), (1, 3)}, {(1, 1), (2, 1)}, {(1, 3), (2, 1)}, {(1, 1), (1, 3), (2, 1)}} Tehtäväsarja IV Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan P jos ja vain jos Q -muotoisen lauseen todistamista. 9. Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että A B = B jos ja vain jos A B = A. (a) Oletetaan, että A B = B. Joka tapauksessa A B A, joten riittää osoittaa, että A A B. Jos x A, niin x A B eli oletuksen nojalla x B. Näin ollen x A ja x B eli x A B. Siis A A B, mikä piti todistaa. (b) Oletetaan, että A B = A. Joka tapauksessa B A B, joten riittää näyttää, että A B B. Jos x A B, on x A tai x B. Jos x A, niin oletuksen mukaan x A B eli erityisesti x B. Kummassakin tapauksessa siis x B, joten A B B, mikä piti todistaa. 10. Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että A B jos ja vain jos A \ B =. (a) Oletetaan, että A B. Jos x A \ B, niin x A ja x / B, mikä on oletuksen vuoksi mahdotonta. Siis A \ B =. (b) Oletetaan, että A \ B = ja x A. Jos x / B, niin x A \ B, mikä on oletuksen nojalla mahdotonta. Siis x B, eli A B.

4 Tehtäväsarja V Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan epäsuoraa päättelyä. Luentokalvoista voi olla apua. 11. Osoita epäsuoraa päättelyä käyttäen, että jos A B ja A C, niin B C. Oletetaan, että A B ja A C. Tällöin on olemassa jokin x A, jolle x / C. Oletuksen mukaan kuitenkin x B. Jos olisi B C, pätisi nyt x C, mikä on ristiriita. Siis B C. 12. Osoita, että jos C ja A C B, niin C A \ B. Käytä epäsuoraa päättelyä. Oletetaan, että C ja A C B. Koska c, voidaan valita jokin c C. Jos olisi C A \ B, pätisi c A \ B, eli c A ja c / B. Nyt olisi voimassa c A C eli oletuksen nojalla c B, mikä on ristiriita. Siis C A \ B. Tehtäväsarja VI Seuraavissa tehtävissä tutustutaan kuvauksen käsitteeseen. 13. Olkoon A = {1, 2, 3}, B = {4}, C = {1} ja D = {2, 3, 4}. (a) Määritellään f : C D asettamalla 1 2, 1 3 ja 1 4. Onko f kuvaus? (b) Määritellään g : A D asettamalla 1 3, 2 1 ja 3 4. Onko g kuvaus? (c) Määritellään h: A B asettamalla 1 4, 2 4 ja 3 4. Onko h kuvaus? (a) Sääntö f ei ole kuvaus, sillä alkioon 1 C liitetään kolme eri alkiota joukosta D. (b) Sääntö g ei ole kuvaus, sillä alkioon 2 A liitetään alkio 1, joka ei kuulu joukkoon D. (c) Sääntö h on kuvaus, sillä se liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. 14. Havainnollista tehtävän 13 sääntöjä f, g ja h (a) samanlaisilla kaavakuvilla kuin tehtävässä 15. (b) koordinaatistossa. (a) Säännöt kaavakuvien avulla esitettynä:

5 (b) Säännöt f, g ja h koordinaatistossa: 15. Ovatko alla kuvatut säännöt f ja g kuvauksia A B? Entä onko h kuvaus C B? A B A B C B n p q s f u v n p q s g u v k l m h u v Sääntö f ei ole kuvaus A B, sillä alkioon s A ei liitetä yhtään joukon B alkiota. Sääntö g on kuvaus A B, sillä jokaiseen joukon A alkioon liitetään yksikäsitteinen joukon B alkio. Sääntö h ei ole kuvaus C D, sillä alkioon k C liitetään kaksi eri joukon B alkiota. Kompleksiluvut 16. (a) Tarkastellaan alla näkyvää päättelyä. Onko se oikein? Mitä sen perusteella voidaan sanoa yhtälön 3x 1 = 2x ratkaisuista? 3x 1 = 2x (3x 1) 2 = (2x) 2 9x 2 6x 1 = 4x 2 5x 2 6x 1 = 0 x = 1 tai x = 1 5.

6 (b) Tarkastellaan alla näkyvää päättelyä. Onko se oikein? Mitä sen perusteella voidaan sanoa yhtälön 3x 1 = 2x ratkaisuista? x = 1 tai x = 1 5 5x2 6x 1 = 0 9x 2 6x 1 = 4x 2 (3x 1) 2 = (2x) 2 3x 1 = 2x. (a) Päättely on pätevä. Sen perusteella yhtälön ratkaisut jos olemassa ovat joukossa { 1, 1/5}. (b) Päättely on virheellinen: viimeinen implikaatio ei pidä paikkaansa. Päättelyn perusteella ei voi sanoa mitään yhtälön ratkaisuista. 17. Ratkaise edellisessä tehtävässä tarkasteltu yhtälö 3x1 = 2x reaalilukujen joukossa. Kuinka monta ratkaisua sillä on? Ensimmäisen päättelyn nojalla ainoat mahdolliset ratkaisut ovat 1 ja 1/5. Kummatkin luvut ovat negatiivisia, joten ne eivät voi toteuttaa yhtälöä. Siis yhtälöllä ei ole ratkaisua. 18. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (a) (2 i)z = (1 i) iz (b) (2 3i)z 1 i = z. (a) Edetään tuttuun tyyliin: (2 i)z = (1 i) iz 2(1 i)z = 1 i z = 1 i 2(1 i) Kun lavennetaan termillä 1 i, saadaan z = 2i 2 2 = i 2 (b) Yhtälö (2 3i)z 1 i = z voidaan kirjoittaa muotoon (1 3i)z 1 i = 0. Tästä voidaan ratkaista z: z = 1 i 1 3i = (1 i)(1 3i) 1 9 = 4 2i 10 = i 19. (a) Ratkaise kompleksinen yhtälö z z 2 = Re z 3Im z 2i. (b) Oletetaan, että z, C ja 0. Osoita luentojen lauseiden 7 ja 8 avulla, että z = z

7 (a) Olkoon z = a bi, missä a, b R. Nyt z = a 2 b 2 ja yhtälö saa muodon a bi a 2 b 2 = a 3b 2i Tästä saadaan a 2 b 2 = 3b b = 2 (b) eli a = ± 2 ja b = 2. z z = 1 = z 1 = z 1 = z 20. Oletetaan, että z C. Osoita induktiolla, että z n = z n kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1. Vihje: lause 7. Jos n = 1, väite saa muodon z = z, joka epäilemättä pätee. Oletetaan sitten, että väite on tosi arvolla n = k. Nyt z k1 zk = z = z k z = z k z = z k1 eli väite seuraa arvolle n = k 1. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n N. 21. Olkoon z = 2 5i ja = 3 4i. Laske seuraavien kompleksilukujen itseisarvo hyödyntäen lauseita 7 ja 8 sekä edellisiä tehtäviä: (i) z (ii) z (iii) z 10 (iv) 2z 10 4 Huomataan, että z = 29 ja = 5. (a) z = 5 29 (b) z/ = 29/5 (c) z 10 = = 29 5 (d) 2z 10 / 4 = /5 4 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 22. Onko lukujono geometrinen, jos se alkaa seuraavasti: (a) 1/3, 2/5, 3/7, 4/9,... (b) 4, 8/3, 16/9, 32/27,... Myönteisessä tapauksessa laske jonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa. (a) Merkitään jonon jäseniä lyhyesti a 0, a 1, a 2,... Lasketaan perättäisten jäsenten suhteet: a 1 = 2 a 0 5 : 1 3 = 6 5 ja a 2 = 3 a 1 7 : 2 5 = Koska perättäisten lukujen suhde ei ole vakio, niin kyseinen jono ei ole geometrinen.

8 (b) Merkitään jonon jäseniä lyhyesti a 0, a 1, a 2,... Lasketaan perättäisten jäsenten suhteet: a 1 = 8 a 0 3 : 4 = 2 3 a 2 = 16 a 1 9 : 8 3 = 2 3 a 3 = 32 a 2 27 : 16 9 = 2 3 Koska perättäisten jäsenten suhde on vakio, niin kyseinen jono on geometrinen ja sen suhdeluku on q = 2/3. Kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa saadaan seuraavan tehtävän kaavaa hyödyntäen: 20 1 k=0 4 ( 2 3 )k = 4 1 (2/3)20 1 2/ Oletetaan, että a, q R ja q 1. Oletetaan, että n N {0}. Osoita induktiolla, että geometrisen sarjan n:s osasumma eli n ensimmäisen termin summa on n 1 k=0 aq k = a 1 qn 1 q. Alkuaskel: Yhtälö pätee, kun n = 1, sillä yhtälön vasemmalle puolelle saadaan ja oikealle puolelle 1 1 i=0 aq i = aq 0 = a a 1 q1 1 q = a. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus eli oletetaan, että k N ja k 1 i=0 aq i = a 1 qk 1 q. Näytetään sitten, että tällöin väite pätee myös luvulla k 1 eli k i=0 aq i = a 1 qk1 1 q. Lähdetään liikkeelle halutun yhtälön vasemmasta puolesta. k k 1 aq i = aq i aq k (IO) = a 1 ( ) qk 1 q k i=0 i=0 1 q aqk = a 1 q qk ( ) 1 q k = a 1 q qk (1 q) = a 1 qk q k q k1 1 q 1 q = a 1 qk1 1 q. Saatiin halutun yhtälön oikea puoli. Kohdassa (IO) käytettiin induktio-oletusta. Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että yhtälö pätee kaikille n N \ {0}.

9 24. Oletetaan, että Annan kuukausipalkka on 3000 euroa vuonna Joka vuosi hän saa palkankorotuksen, jonka suuruus on 150 euroa sekä lisäksi 5 % edellisen vuoden kuukausipalkasta. (a) Olkoon p 0 = 3000 vuoden 2015 kuukausipalkka euroina. Muodosta rekursioyhtälö, joka kertoo, miten seuraavan vuoden kuukausipalkka p n1 riippuu edellisen vuoden kuukausipalkasta p n. (b) Muodosta luvusta n riippuva lauseke, jolla voi laskea Annan kuukausipalkan n vuoden kuluttua vuodesta Kirjoita lauseke ilman summamerkintää hyödyntäen edellisen tehtävän tulosta. (c) Mikä on Annan kuukausipalkka vuonna 2020? (a) Palkka kasvaa aina edellisestä vuodesta 1,05 kertaiseksi ja sen jälkeen siihen lisätään 150 euroa. Siis p n1 = 1, 05 p n 150. (b) Tutkitaan, miten palkka kehittyy ensimmäisinä vuosina. p 1 = 1,05p p 2 = 1,05p = 1,05(1,05p 0 150) 150 = 1,05 2 p 0 1, p 3 = 1,05p = 1,05(1,05 2 p 0 1, ) = 1,05 3 p 0 1, , = 1,05 3 p 0 1,05 i 150 i=0 Huomataan, että palkka voidaan kirjoittaa ilman rekursiota: p n = 1,05 n p 0 n 1 i=0 1,05 i 150. Summamerkintä muodostaa geometrisen sarjan osasumman (eli geometrisen summan), jossa suhdelukuna on 1,05. Voidaan siis käyttää hyväksi geometristen sarjojen osasumman kaavaa. Lauseke voidaan kirjoittaa muotoon p n = 1,05 n p ,05n 1 1,05 = ,05n ,05n 1 1,05. (c) Vuonna 2020 kuukausipalkka on p 5 = , , , euroa. 25. Antilla on kukkakauppa jossa hän myy tulppaaneja. Joka aamu hän hakee tukusta 200 uutta tulppaania ja päivän aikana myynnin sekä kuihtumisen takia tulppaanien määrä pienenee 10% siitä, mitä se on aamulla ollut tukkureissun jälkeen Antti laski tultuaan tukusta, että hänellä on 1000 tulppaania. Tarkastellaan lukujonoa (a n ), jossa a n ilmaisee tulppaanien lukumäärän tukkureissun jälkeen, missä n = 0 vastaa päivää , n = 1 vastaa päivää jne.

10 (a) Muodosta rekursioyhtälö, joka kertoo, miten a n1 riippuu luvusta a n. Mikä on a 0? (b) Osoita induktiolla, että kaikilla n N \ {0} pätee missä b = 200 ja q = 0, 9. a n = a 0 q n n 1 bq j, (c) Montako tulppaania kaupassa oli tammikuun viimeisenä päivänä? (d) Jos tilanne jatkuu samanlaisena, kasvaako kukkien määrä Antin kaupassa rajattomasti, vai päädytäänkö lopulta tasapainotilaan, jossa tulppaanien määrä pysyy suurinpiirtein vakiona päivästä toiseen? Mikä tämä mahdollinen määrä on? (a) Ennen tukkuun menemistä tulppaaneita on 0, 9 a n ja tukun jälkeen tähän lisätään 200 tulppaania - siis tukun jälkeen määrä on a n1 = 0, 9a n 200. a 0 = (b) Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee arvolla n = 1. Nyt rekursioyhtälön mukaan a 1 = 0, 9 a = a 0 q Siis alkuaskel pätee. Induktioaskel: Oletetaan, että väite pätee jollakin k N {0} (induktiooletus). Tällöin a k = a 0 q k k 1 bqj. Osoitetaan, että tällöin väite pätee myös luvulla k 1: a k1 = 0, 9a k 200 (IO) k 1 = 0, 9 (a 0 q k k 1 bq j )200 = 0, 9 a 0 q k 0, 9 bq j 200 = a 0 q k1 q k 1 bq j 200 = a 0 q k1 q (bq 0 bq 1... bq k 1 ) b = a 0 q k1 (bq 1 bq 2... bq k ) b = a 0 q k1 (bq 0 bq 1 bq 2... bq k ) k = a 0 q k1 bq j = a 0 q k1 (k1) 1 Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa I induktioperiaatteen nojalla, että a n = a 0 q n n 1 bq j kaikilla n N {0}. (c) Lasketaan b-kohdassa annetun kaavan avulla a 30. bq j 29 a 30 = , , 9 j ( ) = , , , ( ) Lause 11; tätä voidaan käyttää, sillä nyt q = 0, 9 1

11 (d) Tutkitaan siis tehtävän kohdan b kaavaa, kun n. Koska nyt q ] 1, 1[, niin voidaan käyttää geometrisen sarjan summakaavaa. Lisäksi tiedetään, että kun q = 0, 9 ja n, niin q n 0. Siis: a n = a 0 q n n 1 bq j = 2000, kun n 1 0, 9 Siis tasapainotilassa tulppaanien lukumäärä on (a) Selitä, mitä tarkoittaa merkintä ( ) 28 4 ja laske sen arvo laskimella tai tietokoneella (laskimessa tarvitset nappia ncr ja esimerkiksi Wolfram Alphalla voit laskea arvon syöttämällä ncr(28,4)). (b) Yhdessä lottorivissä on 7 eri numeroa väliltä Kuinka monta eri lottoriviä on olemassa? (c) Kuinka monta lottoriviä on olemassa joka sisältää numeron 1? (d) Kuinka monta lottoriviä on olemassa joka sisältää numerot 1, 2, 3, 4 ja 5? (a) Binomikerroin ( ) n k (luetaan n yli k:n ) kertoo, kuinka monta k-alkioista osajoukkoa eli k-kombinaatioita voidaan muodostaa n alkioisesta joukosta. Laskemalla saadaan ( ) 28 4 = (b) ( ) 39 7 = (c) ( ) 38 6 = (d) ( ) 33 2 = Tarkastellaan kahdeksan bitin jonoja kuten esimerkiksi Kuinka monessa tällaisessa jonossa on (a) tasan kaksi ykköstä? (b) tasan kolme nollaa? (c) enintään kolme ykköstä? (d) vähintään neljä ykköstä? (a) ( ) 8 2 = 28 (b) ( ) 8 5 = 56 (c) 0) 1) 2) 3 (d) 4) 5) 6) 7) 8 ) = 93 ) = 163