2 Kierto yleisesti peilausten avulla
|
|
- Liisa Siitonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Rotaatioista Viime kerralla nähtiin, että jokainen R 3 rotaatio voidaan esittää kvaternien avulla kuvauksena ρ y (x) = yxy, missä y = 1. Lemma 1.1. Kuvaus ρ : S 3 SO(3), missä ρ(y) = ρ y on surjektiivinen ryhmähomomorsmi, jonka ydin on { 1, 1}. Todistus. Katso [1]. 2 Kierto yleisesti peilausten avulla Lemma 2.1 (R 3 rotaatioiden ryhmä). Kolmiulotteisen vektoriavaruuden rotaatiot muodostavat ryhmän yhdistetynkuvauksen suhteen, identiteetti alkio on kuvaus ρ 1 (x). Todistus. Suoraan laskemalla. Lause 2.2 (Eulerin lause). Rotaatioiden ryhmä kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa on isomornen 3 3 matriisien ryhmän kanssa, jonka alkiot toteuttavat yhtälöt A T A = I ja det(a) = 1. Todistus. Katso lähde [3]. Edellisen Lauseen johdosta on mielekästä määritellä rotaatiot yleisesti vektoriavaruudessa R n, niiden kuvausten joukkona, jotka ovat muotoa y = Ax, missä A on R n n ortogonaalinen matriisi, jonka determinantti on yksi. Vektoriavaruudessa V, jossa on määritelty tavanomainen sisätulo (.,.) ja euklidinen normi., lineaarinen kuvaus T on ortogonaalinen, jos (T x, T y) = (x, y) kaikilla x, y V ([2]). Lemma 2.3. Vektoriavaruudessa R n ortogonaalikuvausten joukko muodostaa ryhmän yhdistetyn kuvauksen suhteen, ja sitä merkitään O(n), identiteettialkiona identiteettikuvaus. Tällä joukolla on aliryhmänä rotaatioiden joukko, sitä merkitään SO(n) = {T T O(n) ja det(t ) = 1}. Todistus. Suoraan laskemalla. Huomautus. Koska ortogonaalinen kuvaus on lineaarinen ja lineaariset kuvaukset voidaan esittää matriisien avulla, niin ortogonaalisten kuvausten ryhmä O(n) esitetään usein matriisiryhmänä {A A GL(n, R), A T A = I} ja rotaatioiden ryhmä SO(n) edellisen aliryhmänä {A A GL(n, R), A T A = I ja det(a) = 1}. 1
2 Lemma 2.4. Olkoon V vektoriavaruus varustettuna normaalilla sisätulolla ja euklidisella normilla. Tällöin kuvaus T : V V on ortogonaalinen, jos ja vain jos T (0) = 0 ja T (x) T (y) = x y. Todistus. 1. Olkoon kuvaus T ensin ortogonaalinen, tällöin (T x T y, T x T y) = (T x, T x) 2(T x, T y) + (T y, T y) = (x, x) 2(x, y) + (y, y) = (x y, x y). Edelleen linearikuvaukselle pätee tietenkin T (0) = Olkoon kuvaukselle T voimassa yhtälöt T (0) = 0 ja T (x) T (y) = x y. Edellä olleesta yhtälöketjusta saadaan 2(T x, T y) = (T x, T x) (T x T y, T x T y) + (T y, T y) = (T x T 0, T x T 0) (T x T y, T x T y) + (T y T 0, T y T 0) = T x T 0 2 T x T y 2 + T y T 0 2 = x 2 x y 2 + y 2, mistä edelleen 1. kohdan nojalla 2(T x, T y) = 2(x, y). Lopuksi on vielä näytettävä lineaarisuus. Olkoon {e j j = 1, 2,..., n} Vektoriavaruuden ortonormaali kanta. Koska edellisen nojlla kuvaus T säilyttää normin, niin (T e i, T e j ) = (e i, e j ), siis myös {T (e j ) j = 1, 2,..., n} muodostaa ortonormaalin kannan. On siis olemassa jotkin kertoimet a i, joille pätee T v = a i T ei, missä v = v i e i. Mutta koska a i = (T v, T e i ) = (v, e i ) = v i, niin kuvaus T on myös lineaarinen. 2
3 Määritellään vektoriavaruuden R n kuvaus S a : R n R n seuraavasti: S a (x) := x 2(a, x) a 2 a, missä a on kiinteä avaruuden R n alkio. Geometrisesti kuvaus on peilaus tason suhteen, jonka normaali on vektori a. Vektori x voidaan esittää muodossa (a, x) x = a 2 a (a, x) + x a }{{} 2 a, }{{} normaalin suuntainen komp. tason suuntainen komp. mistä peilaus saadaan helposti, kun siirrytään ensin tasoon vähentämällä normaalin suuntainen komponentti ja tästä edelleen tason toiselle puolelle vähentämällä toisen kerran normaalin suuntainen komponentti. Siis muodostuvva peilauspiste x saadaan yhtälöstä: x = x 2( (a, x) 2(a, x) a) = x a 2 a 2 a. Lemma 2.5 (Peilauksen ominaisuuksia). Kuvaukselle S a : R n R n pätee: (a) Kuvaus oma inverssinsä, S a S a x = x kaikilla x R n. (b) Kuvaukselle pätee S a (a) = a. (c) Ortogonaalinen alkio ei muutu, S a (b) = b kaikille b a. (d) Kuvaus on lineaarinen. (e) Kuvaus on ortogonaalinen. Todistus. Täydennetään.. Lemma 2.6. Olkoon u ja v vektoriavaruuden R n eri elementtejä, joiden normit ovat samat. Tällöin on olemassa peilaus vektorilta u vektorille v. Todistus. Ensin huomataan, että u v u + v, sillä (u + v, u v) = (u, u) (u, v) + (v, u) (v, v) = u 2 v 2 = 0, 3
4 koska oletuksena oli vektorien sama pituus. Nyt Lemman 2.5 mukaan S u v (u) = S u v ( 1 2 (u v) + 1 (u + v)) 2 = 1 2 S u v(u v) S u+v(u + v) = 1 2 (u v) + 1 (u + v) 2 = v. Lemma 2.7. Jokainen vektoriavaruuden R n ortogonaalisen kuvauksen T, lukuunottamatta identiteettikuvausta I, esittämiseen tarvitaan korkeintaan n kappaletta peilauksia. Todistus. Olkoon {e j j = 1, 2,..., n} vektoriavaruuden R n ortonormaali kanta. Koska kuvaus T on ortogonaalinen, niin yhtälöketju (T e n, T e n ) = (e n, e n ) = 1 on voimassa, ja Lemman 2.6 mukaan, kun T (e n ) e n on olemassa peilaus S T en e n, jolle S T en e n (e n ) = e n. Mikäli T (e n ) = e n, niin valitaan identiteetti kuvaus peilauksen sijaan. Kokonaisuudessaan merkitään valittua kuvausta S n. Siis kokonaisuudessaan kuvaus S n T on edelleen kahden ortogonaalikuvauksen yhdisteenä lineaarinen ja ortogonaalinen, ja joka kaiken lisäksi kuvaa kantavektorin e n itsekseen. Nyt vastaavasti kuin edellä, muodostetaan identiteetti kuvaus siten, että jokainen kantavektori säilyy muuttumattomana. Kuten edellä (S n T e n 1, S n T e n 1 ) = (e n 1, e n 1 ) = 1, siis voidaan kirjoittaa S n 1 S n T e n 1 = e n 1, missä S n 1 = { I, jos Sn T e n 1 = e n 1 S Sn T e n 1 e n 1, muuten. Huomattavaa on, että uudessa kuvauksessa S n 1 S n T kantavektori e n säilyy itsenään. Sillä mikäli S n 1 valittiin identiteetiksi tämä on selvää, ja valinnalla S n 1 = S Sn T e n 1 e n 1 tämä johtuu siitä, että (S n T e n 1 e n 1, e n ) = (S n T e n 1, e n ) = (S n T e n 1, S n T e n ) = (e n 1, e n ) = 0. Jatkamalla kuten edellä, saadaan lopulta: S 1 S 2... S n T = I, kun jokainen S i on valittu vastaavalla periaatteella kuin S n ja S n 1. Edelleen 4
5 saadaan (S i on oma inverssinsä) T = S n S n 1... S 1. 3 Takaisin kvaternien maailmaan Tutkitaan peilausta kvaternien joukossa. Lemma 3.1. Kvaternien joukossa H voidaan peilaus S a muodossa S a (q) = aqa, : H H esittää kun a on yksikkökvaterni. Todistus. Täydennetään.. Kvatenien joukossa peilauksen lisäksi, myös kuvaus p a : H H, jolle p a (q) = aqa, on mielenkiintoinen. Koska jokaiselle kvaternille pätee, S a S b (q) = a( bqb)a = ab q ba = p a p b (q), (1) niin voidaan sanoa, että S a S b = p a p b. Lause 3.2 (Cayleyn lause). Kvaternien joukossa kiertojen, eli rotaatioiden, kuvausten joukko koostuu kuvauksista x ϑ a,b (x) = axb, missä a = b = 1 ja a, b H. Todistus. Koska peilaus on ortogonaalikuvaus, mutta se ei kuitenkaan ole kierto, niin peilausta vastaavan matriisin determinantin arvo on oltava 1. (Itseasiassa tämä on selvää vain kolmiulotteisessa tapauksessa) Koska Lemman 2.6 mukaan kierto voitiin esittää peilausten avulla, ja koska kierron determinantti on yksi, niin Lemman 2.6 esityksessä saa olla peilauksia vain parillinen määrä. Tämän takia esitysksen peilaukset voidaan korvata yhtälöketjun 1 mukaan, kuvauksilla p a. Toisin sanoen, jokainen kierto voidaan esittää muodossa a 1 a 2 a 3 a }{{} 4 q a 4 a 3 a 2 a 1. Edellä a }{{} i = 1, mistä päätellään myös a = b = 1. a b 5
6 Tosin päin katso [1]. 4 Kvaterniluvun loppu 4.1 Eräs matriisiesitys Näytetään, että kvaternit ovat erään 4 4 matriisien alialgebran kanssa isomor- nen rakenne. Tehdään työläät laskennat Maple-ohjelmistolla, josta komennolla latex() saadaan mukavasti esitysmuoto. Lemma 4.1. Määritellään kuvaus L : H R 4 4, L(x) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0.Joukko {A A = x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0, x 0, x 1, x 2, x 3 R} on 4 4 matriisien alialgebra. Kuvaus L on algebra isomorsmi. Todistus. Näytetään ensin, että kuvauksen L muodostama joukko on todella alialgebra. Siis käytännössä riittää näyttää, että kertolasku on suljettu tässä joukossa, koska muu yhteenlaskun osalta tämä on selvä. Määritellään joukon x 0 x 1 x 2 x 3 {A A = x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1, x 0, x 1, x 2, x 3 R} x 3 x 2 x 1 x 0 kaksi mielivaltaista matriisia X ja Y, x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 X = x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0, 6
7 y 0 y 1 y 2 y 3 y 1 y 0 y 3 y 2 y 2 y 3 y 0 y 1 y 3 y 2 y 1 y 0. Nyt tulo XY = x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 0 y 1 x 1 y 0 x 2 y 3 + x 3 y 2 x 0 y 2 + x 1 y 3 x 2 y 0 x 3 y 1 x 0 y 3 x 1 y 2 + x 2 y 1 x 3 y 0 x 1 y 0 + x 0 y 1 x 3 y 2 + x 2 y 3 x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 0 y 3 x 1 y 2 + x 2 y 1 x 3 y 0 x 1 y 3 + x 0 y 2 + x 3 y 1 + x 2 y 0 x 1 y 3 + x 0 y 2 + x 3 y 1 + x 2 y 0 x 2 y 1 + x 3 y 0 + x 0 y 3 + x 1 y 2 x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 0 y 1 x 1 y 0 x 2 y 3 + x 3 y 2 x 2 y 1 + x 3 y 0 + x 0 y 3 + x 1 y 2 x 0 y 2 + x 1 y 3 x 2 y 0 x 3 y 1 x 1 y 0 + x 0 y 1 x 3 y 2 + x 2 y 3 x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 (2) mikä on vaadittua muotoa. Lopuksi isomorsuus, kuvauksesta riittää jälleen todeta vain, että L(xy) = L(x)L(y), muu on selvää. Yhtälöstä (2) oikeanpuolen matriisista poimimalla ensimmäinen sarake, varmistutaan asiasta., 4.2 Bilineaariset tulot Käydään läpi kvaternien kertolaskua geometrisesti. Normaali kolmiuloteinen vektoriavaruus ajatellaan joukkona V ech, toisin sanoen jokainen vektori voidaan esittää muodossa x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. Ensin muistetaan, että pistetulo voidaan kirjoittaa muodossa (x, y) = x y = Scx y = 1 2 (x y + y x) = x 1y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. (3) ja vastaavasti ristitulolle x y = V ecx y = 1 (x y x y) = 2 e 1 e 2 e 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3. (4) Lemma 4.2. Olkoot x, y H. (a) Skalaari- sekä ristitulo ovat homogeeniset, siis kaikille r R r(x y) = (rx) y = x (ry) ja r(x y) = (rx) y = x (ry) 7
8 (b) Molemmat kertolaskut ovat distributiiviset yhteenlaskun suhteen. (c) Skalaaritulo on kommutatiivinen ja ristitulo on antikommutatiivinen x y = y x. Todistus. Sivuutetaan.. Ennen kertolaskujen geometrista tulkintaa, tarvitaan yksi aputulos, tai oikeastaan kaksi, mutta toinen on tavallinen laajennettu pythagoraan lause, eli kosinilause, joka oletetaan tunnetuksi. Lemma 4.3 (Lagrange identiteetti). Olkoon x, y vektoreita. Voidaan kirjoittaa x 2 y 2 = x y 2 + x y 2. Todistus. Koska skalaaritulo on reaalinen ja vektorien ristitulo on vektoriarvoinen, ja x y = x y + x y niin tulos saadaan suoraan ottamalla pituudet puolittain. Nyt ollaan valmiit tulkitsemaan skalaari- ja ristitulo geometrisesti. Lemma 4.4. Pistetulolle pätee x y = x y cos( (x, y)), ja ristitulolle pätee x y = x y sin( (x, y))e x y, missä kolmikko x/ x, y/ y, e x y on ortonormaali ja toteuttaa oikean käden säännön. Todistus. 1. Pistetulo itsensä kanssa on toisaalta vektorin pituuden neliö, ja toisaalta x y 2 = x x + y y 2x y, mistä kosinilauseen nojalla voidaan päätellä, x y = x y cos( (x, y)). 2. Yhtälöiden (3) ja (4) avulla voidaan helposti osoittaa, että 4x (x y) = 0 = 4y (x y). Siis vektorien x ja y ristitulo on kohtisuorassa kummankin 8
9 tekijänsä kanssa. Lemman 4.3 mukaan x 2 y 2 = x y 2 + x y 2, mistä edellisen kohdan ja trigonometrian peruslauseen nojalla, x y 2 = x 2 y 2 sin 2 ( (x, y)). Tästä voidaan päätellä, että x y = x y sin( (x, y))e x y, mutta vektorin e x y suunnistuksen näyttäminen sivuutetaan. Lemma 4.5. Olkoon x, y vektoreita. Tällöin voidaan kirjoittaa, (a) xy = yx, jos ja vain jos vektorit ovat yhdensuuntaiset. (b) xy = yx, jos ja vain jos vektorit ovat ortogonaaliset. Todistus. Kirjassa, seuraa suoraan ristitulon ja pistetulon esityksistä kvaternitulon kanssa. 4.3 Multilineaariset tulot Tutkitaan kuinka voidaan mielekkäästi kertoa useampia vektoreja keskenään. Lemma 4.6. Vektoreille x, y ja z pätee (a) x (y z) = (x y) z, (b) x (y z) + (x y)z = (x y) z + x(y z). Todistus. Aloitetaan tunnetuilla yhtälöillä xy = x y + x y ja x(yz) = (xy)z. 9
10 Ydistämällä edelliset saadaan x(y z) x (y z) + x (y z) = x(yz) = (xy)z = (x y)z (x y) z + (x y) z, mistä poimimalla reaaliosat saadaan (a) kohta, ja vektoriosista kohta (b). Määritellään skalaarikolmiotulo (.,.,.) kolmelle vektorille x, y, z seuraavasti (x, y, z) := x (y z). Skalaarikolmiotulolle saadaan (tutut tulokset): Lemma 4.7. (a) Skalaarikolmiotulo on homogeeninen reaalilukujen suhteen ja se on lineaarinen jokaisen komponentin suhteen. (b) (x, y, z) = (y, z, x) = (z, x, y) = (y, x, z) = (x, z, y) = (z, y, x) (c) Skalaarikolmiotulo antaa suunnistetun tilavuuden suuntaissärmiölle, jonka virittää vektorit x, y, z, ja se voidaan esittää muodossa x 1 x 2 x 3 (x, y, z) = y 1 y 2 y 3. z 1 z 2 z 3 Todistus. Melko suoraviivaisia, kirjassa. Lemma 4.8. Olkoot x, y, z, w vektoreita: (a) x (y z) = (x z)y (x (y)z), (b) x (y z + y (z x + z (x y = 0 ja (c) (x y) (z w) = x z y z x w y w. Todistus. (a) Kirjassa lyhyt lasku. (b) Sovelletaan vain edellistä jokaiseen summattavaan termiin. 10
11 (c) Lähtemällä vasemmasta puolesta liikkeelle, lopputulos saadaan suorittamalla seuraavat toimenpiteet: 1. Lemma 4.6 a-kohta. 2. Lemma 4.8 a-kohta ja antikommutatiivisuus. 3. Pistetulon distributiivisuus yhteenlaskun suhteen. 5 Pieni esimerkki sovelluksista Lähteestä löytyy ns. tavanomainen käsittely pallotrigonometriasta. Näytetään nyt kuinka saadaan esimerkiksi pallotrigonometrian kosinikaava kvaternitulon avulla. Ylläolevasta lähteestä voi katsoa toisen tavan. Olkoon yksikkövektoreilla a, b, c yhteinen alkupiste, jolloin ne luovat yksikköpallolle kolmion. Merkitään pallopinnan ja vektorien leikkauspisteita kirjaimin A, B ja C, edelleen olkoon vektorien a ja b välinen kulma γ, vastaavasti (a, c) = β ja (b, c) = α. Lisäksi merkitään, että pallopinnalla kulma (CAB) = α, vastaavasti β ja γ. Geometrisen havainnon π α = (c a, a b) perusteella voidaan näyttää pallotrigonometrian kosinikaava cos(β) = cos(γ) cos(α) + sin(γ) sin(α) cos(β ) todeksi. Sillä (a b) (b c) = cos(γ) cos(α) cos(β), mutta toisaalta (a b) (b c) = sin(γ) sin(α) cos(π β ) = sin(γ) sin(α) cos(β ). Yhdistämällä edelliset saadaan haluttu tulos. 11
12 Viitteet [1] Klaus Habetha ja Wolfgang Sprössig Klaus Gürlebec. Holomorphic Functions in the Plane and n-dimensional Space. Birkhäuser Verlag AG, [2] Eriksson Sirkka-Liisa. Johdatus geometrisiin algebroihin, luentomoniste TTY, Matematiiikan laitos, [3] Tony Suderby. Introdunction to quaternions. In Sirkka-Liisa Eriksson, editor, Cliord algebras and potential theory (Mekrijärvi, 2002), pages Univ. Joensuu Dept. Math. Rep. Ser. No. 7, June
sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme
. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme William Kingdon Cliord (1845-1879) esitteli geometrisen algebransa 1800- luvulla. Cliord yhdisti sisä- ja ulkotulot yhdeksi tuloksi, geometriseksi tuloksi.
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotInformaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotInformaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................
LisätiedotNeliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista
Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
LisätiedotInformaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotInformaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotLineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotExcursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006
Excursio Cliordin analyysiin 13. helmikuuta 2006 1 Sisältö 1 Cliordin algebra 3 2 Monogeeniset funktiot 5 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille 9 2 1 Cliordin algebra Tutustutaan tässä kappaleessa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotEräs näkökulma euklidiseen tasogeometriaan ja affiiniin geometriaan
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Emmi Huhma Eräs näkökulma euklidiseen tasogeometriaan ja affiiniin geometriaan Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 TAMPEREEN YLIOPISTO
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Lisätiedot