Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua."

Transkriptio

1 HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. 1. Merkitään A = {x R cos x = e x } ja B = {x R (e x cos x)(x 7 +e 2πx cos x) = 0}. Osoita, että A B. Oletetaan, että b A. Tällöin b R jolle pätee cos b = e b. Näin ollen e b cos b = 0 ja edelleen (e b cos b)(b 7 + e 2πb cos b) = 0. Näin ollen b B. Tämä päättely osoittaa, että A B. 2. Tarkastellaan väitettä "jos A B ja B / C, niin A C ". Osoita, että väite ei päde yleisesti keksimällä esimerkki joukoista A, B ja C joille väite ei päde. Keksi myös esimerkki joukoista A, B ja C joille väite pätee. Olkoon A = C = {1}, B = {{1}}. Tällöin A B ja B / C, mutta A C ei päde, sillä A C. Väite ei siis päde näillä joukoilla. Olkoon A = {1}, B = {{1}} ja C = {2}. Tällöin A B, B / C ja myös A C. Väite siis pätee näillä joukoilla.. Osoita induktiolla, että kaikilla n N pätee Alkuaskel: Olkoon n = 0. Tällöin n 2 i = 2(2 n 1 i=0 2 ). joten väitee pätee kun n = 0. n 2 i = 2 0 = 1 = 2(1 1 i=0 2 ) = 2( ) = 2(2n 1 2 ), Induktio-askel: oletetaan, että k N ja Tällöin k+1 i=0 2 i = k i=0 k 2 i = 2(2 k 1 i=0 2 ) 2 i +2 k+1 i.o. = 2(2 k 1 2 )+2k+1 = 2(2 k 1 2 )+2 2k = 2(2 k k ) = 2(2 k ), joten väite pätee luvulle k + 1. Johtopäätös: Induktioperiatteen nojalla väite pätee kaikilla n N.

2 4. Osoita induktiolla, että (n n)/ on kokonaisluku kaikilla n N. Alkuaskel: Olkoon n = 0. Tällöin joten väitee pätee kun n = 0. (n n)/ = (0 0)/ = 0/ = 0 Z, Induktio-askel: oletetaan, että k N ja että on kokonaisluku. Nyt (k + 1) (k + 1) (k k)/ = k + k 2 + k + 1 k 1 Induktio-oletuksen nojalla k k väite pätee luvulle k + 1. = k k + k 2 + k Z, joten myös k k Johtopäätös: Induktioperiatteen nojalla väite pätee kaikilla n N. Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät alkion ja osajoukon käsitteisiin = k k +k 2 +k. + k 2 + k Z. Näin ollen 5. Olkoon A = {1, {1, 6}, 4, {, 5}, {6}}. Mitkä seuraavista väitteistä ovat totta? Mitkä ovat epätosia? Muista perustella omin sanoin. (a) A (b) 4 A (c) {4} A (d) {1, 4, {6}} A (e) A (f) 6 A (g) {6} A (h) {{6}} A. (a) Epätosi, sillä ei ole A:n alkio. (b) Tosi, sillä 4 on A:n alkio. (c) Tosi, sillä 4 on A:n alkio. (d) Tosi, sillä 1,4 ja {6} ovat A:n alkioita. (e) Tosi, sillä on kaikkien joukkojen osajoukko. (f) Epätosi, sillä 6 ei ole A:n alkio. (g) Epätosi, sillä 6 ei ole A:n alkio. (h) Tosi, sillä {6} on A:n alkio. 6. Luettele joukon A kaikki osajoukot, jos (a) A = {0, 1} (b) A = {, 0, 1} (a) Osajoukot ovat:, {0}, {1} sekä A. (b) Osajoukot ovat:, { }, {0}, {1}, {, 0}, {, 1}, {0, 1} sekä A. Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan induktiotodistusta ja summamerkinnän käyttöä. Luentokalvoista 24 voi olla apua.

3 7. Osoita induktiolla, että 4 n + 6n 1 on jaollinen luvulla 9 kaikilla n N. Alkuaskel: Olkoon n = 0. Tällöin joten väitee pätee kun n = 0. 4 n + 6n 1 = = = 0 = 9 0, Induktio-askel: oletetaan, että k N ja että 4 k + 6k 1 on jaollinen luvulla 9. Tällöin siis 4 k + 6k 1 = 9b, jollakin b Z. Tällöin 4 k+1 +6(k+1) 1 = 4 4 k +6k+5 i.o = 4 (9b 6k+1)+6k+5 = 9 4b 18k+9 = 9(4b 2k+1). Nyt, koska 4b 2k + 1 Z, niin väite pätee luvulla k + 1. Johtopäätös: Induktioperiatteen nojalla väite pätee kaikilla n N. 8. Laske seuraavat summat: (i) 4 i=1 1 i + (ii) 6 ( 1) m m 2 m= (iii) 100 n=1 99 n 2 + ( k 2 ) k= (i) 4 i=1 1 i + = = (ii) 6 ( 1) m m 2 = ( 1) 2 + ( 1) ( 1) ( 1) = = 18 m=. (iii) Tehtäväsarja III 100 n=1 n k= ( k 2 ) = = = Seuraavat tehtävät liittyvät perusjoukon ja komplementin käsitteisiin. Luentokalvoista voi olla apua. 9. Olkoon X = { n N n < 10 }. Tarkastellaan joukon X osajoukkoja A = {1, 2, } ja B = {2,, 4, 5}. Määritä joukot (a) A (b) B (c) (A B) (d) A B. (a) A = X \ A = {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. (b) B = X \ B = {0, 1, 6, 7, 8, 9}. (c) (A B) = {1, 2,, 4, 5} = {0, 6, 7, 8, 9} (d) A B = {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {0, 1, 6, 7, 8, 9} = {0, 6, 7, 8, 9}

4 10. Tarkastellaan joukon Z osajoukkoja A = {1, 2, } ja B = {2,, 4, 5}. Määritä joukot (a) A (b) B (c) (A B) (d) A B. (a) A = Z \ A = {..., 2, 1, 0, 4, 5, 6,...}. (b) B = Z \ B = {..., 2, 1, 0, 1, 6, 7, 8,...}. (c) (A B) = {2, } = {..., 2, 1, 0, 1, 4, 5, 6,...} (d) A B = {..., 2, 1, 0, 1, 4, 5, 6,...} 11. Olkoon A = {1, 2, 5, 7}. Määritä joukko A tai perustele, miksi sitä ei voi määrittää. Tehtävässä ei ole mainittu minkä joukon suhteen komplementti otetaan, joten sitä ei voi määrittää. Tehtäväsarja IV Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista voi olla apua. 12. Tutki Vennin kaavioiden avulla, kumpi seuraavista yhtälöistä näyttäisi pätevän yleisesti: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C). B A C A (B C) B A C (A B) C B A C

5 (A B) (A C) Jälkimmäinen yhtälö näyttäisi siis kuvien perusteella pätevän yleisesti. 1. Osoita vastaesimerkin avulla, että toinen tehtävän 12 yhtälöistä ei päde yleisesti. Ensimmäinen yhtälö ei päde kun esimerkiksi A = B = ja C = {1}. Tällöin A (B C) = ( {1}) = {1} = ( ) {1} = (A B) C). 14. Osoita, että toinen tehtävän 6 yhtälöistä pätee yleisesti 1. Oletetaan ensin, että alkio a A (B C). Siis leikkauksen määritelmän mukaan a A ja a B C. Nyt siis yhdisteen määritelmän nojalla a B tai a C. Käydään molemmat tapaukset läpi. Jos a B, niin voidaan päätellä, että a A B, sillä tiedetään, että a A. Sama päättely voidaan tehdä tapauksessa a C. Siis nyt a (A B) (A C). Päätellään sitten sisältyminen vielä toiseen suuntaan. Oletetaan siis, että alkio a (A B) (A C). Siis nyt yhdisteen määritelmän nojalla joko a A B tai a A C. Tarkastellaan molemmat tapaukset erikseen: Oletetaan, että a A B. Siis nyt a A ja a B (leikkauksen määritelmä). Toisaalta tällöin a A ja a B C. Siis a A (B C). Oletetaan, että a A C. Siis nyt a A ja a C (leikkauksen määritelmä). Toisaalta tällöin a A ja a B C. Siis a A (B C). Molemmat päättelyt pätivät mille tahansa joukkojen alkioille, joten päättelyt olivat päteviä. Siis mikä tahansa joukon A (B C) alkio kuuluu joukkoon (A B) (A C) ja toisinpäin. Tehtäväsarja V Seuraavat tehtävät liittyvät komplementtiin. 15. Oletetaan, että X on joukko ja A X. (a) Oletetaan, että X = {z N z < } ja A = {x X x 2 10}. Määritä A. (b) Oletetaan, että A = { 45, 0, 5} ja A = {, 6}. Määritä X. (c) Oletetaan, että X = {π, 19, {0, 1}} ja A = {{0, 1}}. Määritä A. (a) Huomataan, että X = {0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8} ja A = {4, 5, 6, 7, 8}. Näin ollen A = {0, 1, 2, }. (b) X = A A = { 45, 0,, 5, 6}. (c) A = {π, 19}. 16. Oletetaan, että X on joukko ja A X. Määritä A kun (a) X = N ja A = {x X x = 0 tai x = 1} (b) X = N ja A = {x X x 0 tai x 1} 1 Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin.

6 Vihje: pohdi ensin mikä joukko A on. (a) Tässä A = {0, 1}, joten A = {2,, 4,...}. (b) Tässä A = N, joten A =. 17. Sama kuin edellinen tehtävä mutta X = R. (a) A = {0, 1}, joten A = R \ {0, 1}. (b) A = R, joten A =. Tehtäväsarja VI Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan "jos..., niin...-tyyppisten väitteiden todistamista sekä väitteen kumoamista vastaesimerkin avulla. Luentojen kalvoista 44 ja 60 voi olla apua. 18. Todista tai kumoa seuraavat väitteet: (a) Jos m, n Z, niin mn > m(n 1) (b) Jos a, b R, niin a 2 + b 2 ab. Vihje b-kohtaan paperin alalaidassa 2. (a) Väite ei päde. Vastaesimerkki: Oletetaan, että m = n = 0. Tällöin m, n Z, mutta mn = 0 0 = m(n 1). (b) Väite pätee. Oletetaan, että a, b R. Tällöin (a b) 2 0, ts. a 2 2ab + b 2 0, eli a 2 + b 2 2ab. Tästä seuraa, että a2 +b 2 2 ab, joten a 2 + b 2 a2 + b 2 2 ab, missä ensimmäinen epäyhtälö pätee koska a 2 + b Oletetaan, että a, b R missä a >. Osoita, että jos ab + b < 0, niin b < 0. Päiteekö väite jos oletetaankin, että a? Oletetaan, että ab + b < 0, ts. (a + ) b < 0. Nyt kahden reaaliluvun tulo on negatiivinen jos ja vain jos niillä on eri etumerkki. Nyt a + > + = 0 tehtävänannon oletuksen nojalla (a > ). Näin ollen täytyy päteä b < 0. Väite ei päde jos a <, sillä tällöin a + < + = 0. Tällöin b > 0, joten väite ei päde. 20. Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Osoita, että jos (A \ B) C =, niin A C B. Oletetaan, että (A \ B) C =. Osoitetaan, että A C B. Oletetaan, että x A C. Tällöin x A ja x C. Nyt, jos x / B, niin x A ja x / B sekä x C. Näin ollen x (A \ B) C. Tällöin siis (A \ B) C, joka on ristiriidassa oletuksen kanssa. Näin ollen x B. Tee jompikumpi tehtäväsarjoista Kompleksiluvut ja Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa. 2 (a b) 2

7 Kompleksiluvut 21. Määritä kompleksiluvun z = i(1 i) (1 i) 2 (a) reaaliosa Re z (b) imaginaariosa Im z (c) itseisarvo eli moduli z (d) liittoluku z. Sievennetään: z = i(1 i) (1 i) 2 = i i 2 (1 2i + i 2 ) = i i + 1 = 1 + i. Näin ollen (a) Re z = 1, (b) Im z =, (c) z = = 10 ja (d) z = 1 i. 22. (a) Oletetaan, että z, w C. Osoita, että z + w = z + w. (b) Millainen kuvio muodostuu kompleksitasoon niistä pisteistä z, jotka toteuttavat yhtälön z i = z. (a) Koska z, w C, niin voidaan merkitä z = a+bi ja w = x+yi, missä a, b, x, y R. Tällöin ja z + w = (a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y)i = (a + x) (b + y)i z + w = (a + bi) + (x + yi) = (a bi) + (x yi) = (a + x) (b + y)i, mistä nähdään, että z + w = z + w. Ratkaisu 2: Koska z, w C, niin voidaan merkitä z = a+bi ja w = x+yi, missä a, b, x, y R. Tällöin z + w = (a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y)i = (a + x) (b + y)i = (a bi) + (x yi) = (a + bi) + (x + yi) = z + w. (b) Koska z C, niin voidaan merkitä z = a + bi, missä a, b R. Tällöin z i = a + bi i = (a + 1) + (b + 2)i = (a + 1) 2 + (b + 2) 2 = a 2 + 2a b 2 + 4b + 4 = a 2 + b 2 + 2a + 4b + 5 ja z = a + bi = (a ) + bi = (a ) 2 + b 2 = a 2 6a b 2 = a 2 + b 2 6a + 9 Saadaan z i = z a 2 + b 2 + 2a + 4b + 5 = a 2 + b 2 6a + 9 a 2 + b 2 + 2a + 4b + 5 = a 2 + b 2 6a + 9 2a + 4b + 5 = 6a + 9 b = 2a + 1. Yhtälön toteuttavat pisteet muodostavat siis suoran b = 2a + 1.

8 2. Määritä ne reaaliluvut a, joilla lauseke (2 + ai)(a i) + (a + i)(a i) on (a) reaalinen. (b) puhtaasti imaginaarinen. Sievennetään: (2 + ai)(a i) + (a+i)(a i) = 2a 6i+a 2 i ai 2 + a 2 i 2 = a 2 + 5a+1+(a 2 6)i (a) Lauseke on reaalinen kun a 2 6 = 0, eli kun a = ± 6. (b) Lauseke on puhtaasti imaginaarinen kun a 2 + 5a + 1 = 0 ja a 2 6 0, eli kun a = 5 ± Oletetaan, että z, w C. Osoita, että zw = z w. Koska z, w C, niin voidaan merkitä z = a + bi ja w = x + yi, missä a, b, x, y R. Tällöin zw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi by = ax by + (ay + bx)i = (ax by) (ay + bx)i ja z w = (a + bi) (x + yi) = (a bi)(x yi) = (ax by) (ay + bx)i, mistä nähdään, että zw = z w. 25. Laske (eli sievennä muotoon a + bi, missä a, b R). (a) (4i )(6 2i) (b) i 7 (c) (1 + 6i) 1. (a) (4i )(6 2i) = 24i 8i i = i = 10 0i (b) (c) i 7 = (i 2 ) i = ( 1) i = i (1 + 6i) 1 = i = 1 6i (1 + 6i)(1 6i) = 1 6i 1 6i = 1 6i 2 7 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa = i 26. Tulkitse seuraavat luonnollisia lukuja koskevat väitteet suomen kielelle ja päättele, ovatko ne tosia vai epätosia. (a) x y(y 2x = 0) (b) y x(y 2x = 0) (c) x y(x 2y = 0) (d) x(x < 10 y(y < x y < 9)).

9 (a) Kaikilla luonnollisilla luvuilla x on olemassa luonnollinen luku y siten, että y 2x = 0. Väite pätee: olkoon x N. Valitsemalla y = 2x huomataan, että y N, ja y 2x = 2x 2x = 0. (b) On olemassa y N siten, että kaikilla x N pätee y 2x = 0. Väite ei päde: oletetaan, että väite pätee jollakin luvulla y N. Tällöin yhtälö pätee luvuilla x = 0 ja x = 1, ts. y 0 = 0 ja y 2 = 0. Tästä seuraa, että y = 0 ja y = 2 mikä ei voi pitää paikkansa. (c) Kaikilla x N on olemassa y N siten, että x 2y = 0. Väite ei pidä paikkansa: Jos x = 1, niin tällöin ainut luku y joka toteuttaa yhtälön x 2y = 0 on y = 1 2, joka ei ole luonnollinen luku. (d) Kaikilla x N pätee, että jos x < 10, niin kaikilla y N pätee väite: "jos y < x, niin y < 9". Väite pitää paikkansa: jos x < 10, niin silloin x 9. Tällöin jos y < x, niin y < Tässä tehtävässä K(x) tarkoittaa "x tekee kotitehtäviä"ja L(x) tarkoittaa "x lukee luentomuistiinpanoja". Kirjoita seuraavat kurssin opiskelijoita koskevat väitteet kvanttorien ja loogisten konnektiivien avulla. (a) Joku tekee kotitehtäviä ja lukee luentomuistiinpanoja. (b) Kukaan ei tee kotitehtäviä eikä lue luentomuistiinpanoja. (c) Kaikki tekee kotitehtäviä mutta kukaan ei lue luentomuistiinpanoja. (d) Kaikki ne jotka eivät lue muistiinpanoja eivät myöskään tee kotitehtäviä. (a) x(k(x) L(x)). (b) x( K(x) L(x)) (c) x(k(x) L(x)) (d) x( L(x) K(x)) 28. Muodosta seuraavien väitteiden negaation kanssa loogisesti ekvivalentit väitteet, joissa ei esiinny negaatiosymbolia. Muita konnektiiveja sekä symboleita ja / saa käyttää. Kumpi on tosi, väite vai sen negaatio? (a) 0 N 1 R (b) 1/2 N 1/2 Q (c) 1/2 N 1/2 Q (d) 2 N π Q (a) Negaatio: 0 / N 1 / R. Alkuperäinen väite on tosi, sillä 0 N on tosi väite. (b) Negaatio: 1/2 / N 1/2 / Q. Negaatio on tosi, sillä 1/2 / N on tosi väite. (c) Negaatio: 1/2 N 1/2 / Q. Alkuperäinen väite on tosi, sillä 1/2 N on epätosi väite, jolloin implikaatio on tosi. (d) Negaatio: 2 N π / Q. Alkuperäinen väite on tosi, sillä ekvivalenssin molemmilla puolilla olevat väitteet ovat epätosia, jolloin ekvivalenssi on tosi.

10 29. Tämän tehtävän väitteet koskevat kokonaislukuja. Muodosta niiden negaatioiden kanssa loogisesti ekvivalentit väitteet, joissa ei esiinny negaatiosymbolia. Kumpi on tosi, väite vai sen negaatio? (a) x( x > 0) (b) x(x = 1 x < 0) (c) x y(xy = 1 x = 0) (d) x y(x y = 0) (a) Negaatio: x( x 0). Negaatio on tosi, sillä sulkujen sisällä oleva väite on tosi kun x = 0. (b) Negaatio: x(x = 1 x 0). Alkuperäinen väite on tosi, sillä arvolle x = 0 väite x = 1 ei päde jolloin implikaatio sulkujen sisällä on tosi. (c) Negaatio: x y(xy 1 x 0). Alkuperäinen väite on tosi, sillä sulkujen sisällä oleva väite on tosi kun x = 0 ja kun x 0, niin valitsemalla y = 1/x huomataan, että väite on myös tällöin tosi. (d) Negaatio: x y(x y 0). Negaatio on tosi, sillä kaikilla x Z voidaan valita esim. y = x 1, jolloin x y = x (x 1) = Tässä tehtävässä T(x, y) tarkoittaa "x tuntee y:n". Kirjoita seuraavat kurssin opiskelijoita koskevat väitteet kvanttorien ja loogisten konnektiivien avulla (tarvitset ehkä myös merkkiä ). (a) Kaikki opiskelijat tuntevat jonkun opiskelijan. (b) Kukaan opiskelija ei tunne kaikkia opiskelijoita. (c) Joku opiskelijoista ei tunne ketään muuta opiskelijaa. (d) Kaksi eri opiskelijaa tuntevat kaikki opiskelijat. (a) x y(t(x, y)). (b) x y( T(x, y)). (c) x y(x y T(x, y)) (d) x y(x y z(t(x, z) T(y, z))

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan

Johdatus yliopistomatematiikkaan Johdatus yliopistomatematiikkaan Lotta Oinonen 1. maaliskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Perusasioita joukoista................................ 1 1.1 Merkintöjä..................................

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

1 Perusasioita joukoista

1 Perusasioita joukoista 1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 0 Harjoitus, ratkaisuista. Esitä seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot: a) := { y y = ( ) n n+ n+, n N } b) := { n Z n = k, k Z } c) := { sin( nπ ) n N } Ratkaisut.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Lauselogiikka Tautologia

Lauselogiikka Tautologia Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI... Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN

Lisätiedot

Tehtäväalue ulottuu kohdan 1.15 paikkeille (hiukan edemmäs, jos haluaa).

Tehtäväalue ulottuu kohdan 1.15 paikkeille (hiukan edemmäs, jos haluaa). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 1 / Ratkaisut Tämän harjoituksen pääaihe on käsite implikaatio ja myös sen merkitseminen kaksoisnuolella. Muistutamme erityisesti

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia: mitä tämän kurssin määritelmää, lausetta, esimerkkiä tms. hyödynnät.

Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia: mitä tämän kurssin määritelmää, lausetta, esimerkkiä tms. hyödynnät. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 2 / Ratkaisut Tehtävissä yleisohjeistuksena oli: Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia:

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot