Laskut A: Yksiköt, tuloksen tarkkuus, kinematiikka (7 tehtävää)

Transkriptio

1 Fysiikan laskumoniste, sisältää 48 tehtävää kurssin aiheista Laskut A: Yksiköt, tuloksen tarkkuus, kinematiikka (7 tehtävää) 1. Esitä käyttäen kymmenen potenssien etuliitteitä. a) 4.5*10-5 m b) 7.2*10-4 s c) 1.5*10-5 A. 2. Laske seuraavat numerolaskut laskimella ja esitä tulos sopivalla esitystarkkuudella käyttäen luennolla esitettyä sääntöä koskien merkitsevien numeroiden määrää. a) 1.15 * 6.2 b) 51 * 1.25*10 2 / a) Laske auton jarrutusmatka 100 km/h nopeudesta, kun auton hidastuvuus jarrutuksessa talvikelillä on 3.5 m/s b) mikä on auton nopeus 70 m jarrutuksen jälkeen? 4. Kivi putoaa 40 m korkean talon katolta.a) Kuinka kauan putoaminen kestää? b) Millä nopeudella kivi osuu maahan? 5. Metro lähtee asemalta, kiihdyttää 5.0 sekunnin ajan vakiokiihtyvyydellä 3.0 m/s. Sitten se ajaa vakionopeudella 40 sekuntia, jonka lopuksi pysähtyy 10 sekunnissa seuraavalle asemalla. Piirrä nopeus ajan funktiona ja määritä kuvaajasta asemien välimatka. 6. Moskovan olympiakisoissa Tiaisen moukari lähtee nopeudella 27.8 m/s lentoon 45 asteen kulmassasa 2.0 metrin korkeudelta. Laske Tiaisen tulos. 7. Auto pysähtyy 60 m tasaisen jarrutuksen jälkeen. Mikä oli auton nopeus ennen jarrutuksen alkamista, jos hidastuvuus jarrutuksessa oli 5.0 m/s 2. Vastauksia: 3a) 110 m b) 60 km/h (16.7 m/s) 5) n. 710 m 6) m 7) 88 km/h (24.5 m/s) 4a) 2.86 s b) 28 m/s Kinematiikan suureita ja kaavoja Paikkakoordinaatti x nopeus v = x t kiihtyvyys a = y t Tasaisesti kiihtyvä liike: nopeusyhtälö v = v0 + a t sijainti x = x0 + v0 t + ½ a t 2 Pystysuora putoaminen putoamiskiihtyvyys g = 9.81 m/s2 nopeus v = v0 - g t y-koordinaatti y = y0 + v0 t - ½ g t 2 Vino heittoliike lähtönopeuden komponentit: (v0 cosα, v0 sinα) x koordinaatti x = v0 cosα t y-koordinaatti y = y0 + v0 sinα t - ½ g t 2

2 B. Dynamiikan laskuja (12 tehtävää) Statiikan laskuja : (kappale levossa) kg painoinen massa riippuu kahden narun varassa kuvan mukaisesti. Määritä narujen jännitysvoimat T1 ja T2.. (T1 = 48.0 N, T2 = 12.7 N) kg kuula on paikallaan kahden tason välisessä raossa kuvan mukaisesti. Laske voimat N 1 ja N 2, joilla tasot tukevat kuulaa = (N1 = 15.3 N, T2 = 10.0 N) Newtonin 2. laki F = m a 3. Tukivoima joka kohdistuu matkustajaan hississä 80 kg painoinen henkilö menee Eiffel- tornin hissiin. Laske henkilöön kohdistuva tukivoima lattiasta, kun a) Hissi ei ole vielä lähtenyt liikkeelle b) Hissi lähtää ylöspäin kiihtyvyydellä 1.2 m/s 2 c) Hissi liikkuu tasaisesti ylöspäin nopeudella 2.0 m/s d) Hissi pysähtyy tullessaan yläkerrokseen hidastuvuudella 1.5 m/s 2 ( 785N, 881 N, 785 N, 665 N) 4. Kiihtyvyys kaltevalla tasolla Sään muuttuessa vetiseksi jääpalanen lähtee liukumaan pitkin peltikattoa kitkattomasti alaspäin. Katon kaltevuus on 30 astetta. a) Mikä on jääpalan kiihtyvyys? ( 4.91 m/s 2 )

3 Kitkavoimaan liittyviä tehtäviä, kalteva taso 5. Jarrutusmatkalasku Kuivalla kesäkelillä auton renkaiden ja tien välinen kitkakerroin on Laske auton jarrutusmatka 100 km/h nopeudesta a) tasaisella tiellä b) 4.0 asteen alamäessä? (65.6 m, 74.4 m) 6. Renkaiden kitkakertoimen määritys kokeellisesti Haluttaessa määrittää auton renkaden ja tien pinnan välinen kitkakerroin, tehdään jarrutuskoe, jossa auto pysäytetään tietystä nopeudesta ja mitataan jarrutusmatka. Testissä auton jarrutusmatka 90 km/h nopeudesta oli 54.0 m. Mikä oli testin perusteella kitkakerroin? (0.59) 7. Lepokitkakertoimen määritys Pöydän ja kirjan välinen lepokitkakerroin määritettiin seuraavalla kokeella: Pöytää kallistettiin, kunnes kirja lähti liukumaan tietyllä kallistuskulmalla α, joka mitattiin. Mikä on lepokitkakerroin pöydän ja kirjan välillä, kun kirja lähtee liukumaan kun pöydän kallistus on 20 o? (036) 8. Mäessä vaikuttavat voimat kg painoinen rekka ajaa tasaista tietä vakionopeudella. Vetävää voimaa tarvitaan vain ilmanvastuksen voittamiseen. Ilmanvastus on 1200 N. Tasainen tie muuttuu 2.5 asteeen ylämäeksi. Kuinka suuri on tarvittavan vetävä voiman oltava ylämäessä, jotta vauhti säilyisi samana? (n N) Muita voimia 8. Jousitus ( jousivoiman kaava F = k x) Mopoautossa on 4 samanlaista jousta (kaksi edessä ja kaksi takana). Kun yhteispainoltaan 250 kg painoinen 4 hengen ryhmä istuu autoon, kori laskeutuu 6.0 cm. Laske, mikä on auton jousien jousivakion arvo (yksikössä kn/m) (10.2 kn/m) 9. Ilman ja väliaineen vastus ( vastusvoima F = ½ c ρ A v 2 ) a) Kuinka suuri ilmavastus, kun Hiace ajaa nopeudella 90 km/h. Hiacen aerodynaaminen vakio on 0.45, sen etupinta-ala on 2.8 m 2. Ilman tiheys on 1.25 kg/m 3. (490 N) b) Kuinka suuri työntövoima tarvitaan, kun ruotsinlaiva ajaa täyttä vauhtia ( 35 km/h) kohti Tukholmaa. Laivan aerodynaaminen vakio on 0.35, laivan vedenalaisen osan poikkileikkauksen pinta-ala on täydessä lastissa 100 m 2. Veden tiheys on 1000 kg/m 3. (1.7 MN)

4 Keskeisliike sovelluksia kaarteiden suunnitteluun 10. Maksiminopeus kallistamattomassa kaarteessa Laske maksiminopeus kallistamattomassa kaarteessa, jonka kaarevuussäde on 125 m, jos lepokitkakerroin tien ja renkaiden välillä on (89 km/h) 11. Tien tai radan optimikallistus tietylle nopeudelle Oletetaan, että tien kaarteen kaarevuussäde on 150 m ja kaarteessa ajetaan nopeudella 80 km/h, Mikä olisi sellainen kallistus tielle, että kaarteessa ajamisessa ei tarvita sivuttaispitoa lainkaan tällä nopeudella ajettaessa? (22 astetta) 12. Maksiminopeus kallistetussa kaarteessa Mikä tehtävän 10 kaarteen maksiminopeus olisi, jos kaarretta olisi kallistettu 10 astetta sisäkaarteeseen päin. (108.6 km/h)

5 C Laskuja : työ, teho, energia, voimalat 8 tehtävää Työ, teho, energia, hyötysuhde, vesi- ja tuulivoima 1) Henkilöauto tekee työtä ilmanvastusta vastaan, joka 90 km/h nopeudessa on 320 N. a) Kuinka suuren työn Jouleina auto tekee 100 km matkalla? b) Kuinka suuren energian auto ottaa polttoaineesta jos hyötysuhde on 22%? c) Mikä on polttoainekulutus 100 km/llä, kun bensiinin lämpöarvo on 32 MJ/ltr? d) Kuinka suuri on auton antoteho (teho joka menee ilmanvastuksen voittamiseen) ( a) 32 MJ, b) MJ, c) 4.5 ltr/100km, d) 8.0 kw ) 2) Liukuhihna nostaa kaivoksella malmia sisältävää kiviainesta 1200 kg minuutissa seuraavaan käsittelyvaiheeseen, jonka syöttöaukkoon 8.0 m korkeudessa. Kuinka suuri on liukuhihnan tehon kulutus, kun sen hyötysuhde on 0.60? (2.6 kw) 3) Vesivoimalan putouskorkeus on 15 m ja juoksutus turbiinien läpi on 500 m 3 /s Laske voimalan tuottama sähköteho, kun turbiinien hyötysuhde on 93%. (68 MW) 4) Vesipumppu pumppaa vettä 120 litraa minuutissa 6.0 m syvästä kaivosta. Laske pumpun kuluttama teho, jos pumpun hyötysuhde on 50%. (n. 240 W) 5) Laske sähkön kulutus ja kk-kustannukset hinnalla 12 cnt/kwh seuraaville laitteille: a) 40 W hehkulamppu, palaa 120 h kuukaudessa (0.58 Eur) b) 4.0 kw saunankiuas, käyttö 2h 8 kertaa kuukaudessa. (7.7 Eur) c) 0.4 kw lokilämmitin, päällä 8 h jokaisena yönä 30 pv ajan (11.5 Eur) 6) Laske tuulivoimalan tuottama sähköteho, kun voimalan siivekkeiden pituus on 35 m ja tuulen nopeus on 6.0 m/s. Hyötysuhde voimalassa on 45%. Ilman tiheys on 1.25 kg/m 3. (234 kw). 7) Luoti ammutaan alkunopeudella 400 m/s suoraan ylöspäin. Laske energiaperiaatteella a) kuinka korkealle luoti nousee. (8.2 km) b) luodin nopeus 4000 m korkeudella. (286 m/s) Ilmanvastusta ei huomioida 8) Laske energiaperiaatteella auton jarrutusmatka nopeudesta 100 km/h märällä asfaltilla, jossa kitkakerroin on 0.4. (63 m)

6 Laskuja, osa D ( 11 tehtävää aiheesta momentti- ja painopiste) Momentin määritelmä, yksikkö ja etumerkkisäännöt Teoria: Voiman momentti kuvaa voiman vääntövaikutusta ennalta sovitun akselipisteen A suhteen. M = F r F = voiman suuruus Newtoneina voiman vaikutussuorasta r = voiman varsi = momenttiakselin kohtisuora etäisyys M > 0, jos voima pyrkii kääntämään kappaletta vastapäivään akselipis- Momentin etumerkki: teen ympäri akselipisteen ympäri ei vääntöä ) M < 0, jos voima pyrkii kääntämään kappaletta myötäpäivään M = 0, jos voiman vaikutussuora kulkee akselipisteen läpi ( Momentin yksikkö: 1 Nm Newtonmetri (esim. moottoreiden vääntö ilmoitetaan Nm: nä) Kuvassa näkyy akselipiste, voiman vaikutussuora ja voiman varsi r. Kuvan momentti > 0, koska voima vääntää vastapäivään) 1 Tehtäviä yksinkertaisista koneista 1. Kuinka suurta voimaa F tarvitaan, kun kuvan vinssillä nostetaan 10 litran ( 10 kg) vesisanko kaivosta? Telan säde on 15 cm ja kammen pituus 40 cm. (37 N) 2. Ao. kuvassa on talja, jolla voi vetää esim. moottoriveneen peräkärryyn. Oletetaan, että veneen vetäminen käsin vaatii 100 kg:n eli 1000 N voiman. Kuinka suurta voimaa käyttäen vene saadaan peräkärryyn, kun käytetään kuvan taljaa, jossa varren pituus on 40 cm ja vaijeri on 5 cm säteisen väkipyörän ympärille. (125 N)

7 2 momenttilaskujab.nb 3. Erään henkilöauton renkaat on kiristetty rengasliikkeessä 16.0 Nm momenttiin. Kuinka suuri voima tarvitaan, kun tällainen pultti avataan käyttäen rengasrautaa, jonka varren pituus on 40 cm. (40 N) 2 Tehtäviä momenttitasapainosta Jäykän kappaleen tasapainoehdot Jäykkä kappale on tasapainossa, jos 1) siihen vaikuttavien voimien summa on 0 kaavana F = 0 2) siihen vaikuttavien voimien momenttien summa on 0 minkä tahansa momenttiaksleliksi valitun pisteen suhteen. kaavana : M = 0 4. Laske tukivoimat N1 ja N2 seuraavassa kuvassa. Palkin massa on 30 kg, pituus 4.0 m. Tuet sijaitsevat palkin päässä ja toinen 3.0 m:n kohdalla. ( 98 N ja 196 N) 5. Henkilö kannattelee kämmenellään 4.0 kg massaa. Laske jännitysvoima hänen hauislihaksessaan, jos hauislihaksen alapään kiinnityskohdan ja kyynärnivelen välimatka on 6.0 cm ja kämmenen ja kyynärnivelen välimatka on 35 cm. Hauislihaksen pituus on 30 cm. Käden omaa painoa ei tässä huomioida. ( n 230 N)

8 momenttilaskujab.nb 3 6. Laske tukivoimat N1 ja N2, kun tiedetään, että kuvan 300 cm pitkä palkki painaa 10 kg ja sen päällä lepäävä punnus 5 kg. ( N2 = 87.5 N, N1 = 59.5 N ) 7. Laske kuvan 2.0 m pitkiin tikkaisiin (m=20kg, eli mg = 196N) vaikuttavat voimat, kun tikkaiden ja lattian välillä on kitkavoima, mutta sen yläpäässä on kitkaton rulla. ( N1 = K2 = 56.6 N, K2 = 196 N ) 3 Painopistelaskuja Painopisteen kaavat Oletetaan, että kappale koostuu symmetrisistä osista, joiden massat ovat m1, m2,.. ja osien painopisteiden x -koordinaatit ja y -koordinaatit ovat x1, x2,... ja y1, y2,... Tällöin koko kappaleen painopiste on sen osien painopisteiden massoilla painotettu keskiarvo x P = m1*x1 + m2 *x m1 + m ja y P = m1*y1 + m2 *y m1 + m Laske ao. kuvan lekan painopiste (kuinka kaukana vasemmasta päästä) ( cm )

9 4 momenttilaskujab.nb Kolmion painopiste Ao. tehtävässä tarvitaan kolmion painopisteen tuntemista. 1. Kolmion painopisteen x - koordinaatti on kolmion kärkipisteiden x-koord. keskiarvo x p = (x 1 + x 2 + x 3 )/3 2. Painovoiman vaikutuspiste on aina kappaleen painopiste. 9. Ao. kuvassa profiililtaan suorakulmaisen kolmion muotoinen kappale (m=40 kg, mg = 392N) lepää kahden tuen varassa. Kolmion kanta on 3m, tuet ovat vasemmassa päässä ja 2 m kohdalla. Laske miten kappaleen paino jakautuu tukien kesken? ( N2 = 196 N, N1 = 196 N paino jakautuu siis tasan ) 10. Määritä a) kuvan kolmion muotoisen kappaleen painopisteen x- koordinaatti b) Määritä tukivoimat N1 ja N2 kun kappaleen massa on 100 kg (paino 981 N). ( a) m vasemmasta päästä, b) N1 = 530 N ja N2 = 451 N ) Tuki N1 sijaitsee 20 cm kolmion vas. reunasta ja tuki N2 50 cm oik. reunasta. Kolmion leveys on 360cm, ja sen kolmas kärki sijaitsee 100 cm vas. reunasta.

10 momenttilaskujab.nb 5 Bomustehtävä 11. Laske kuvan 2.0 m tankoa (m =10kg, mg= 98N) kannattavan vaijerin jännitys T. Tankoon vaikuttavat voimat on merkitty kuvaan: tangon ja seinän väliset voimat voidaan jakaa tangon suuntaiseen tukivoimaan N ja seinän suuntaiseen kitkaan K. (Niitä ei tarvitse tässä laskea) ( T = 76.2 N)

11 E. NESTEFYSIIKAN LASKUJA 10 tehtävää Aihe1: Arkhimedeen laki: Kappaleeseen vaikuttaa nesteessä nostevoima, joka on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän nestemäärän paino : Fn = ρvg ρ = nesteen tiheys V = kappaleen vedenalaisen osan tilavuus g = painovoiman kiihtyvyys Eräästä sillasta otettiin betoninäyte sen selvittämiseksi, oliko betonin tiheys riittävä vai oliko siinä liikaa ilmaa. Irrotettu palanen punnittiin ilmassa tarkkuusjousivaa alla ja sen jälkeen se punnittiin vedessä. Ilmassa tulos oli 50.0 g ja vedessä 28.0 g. Mikä oli betonikappaleen tiheys? Veden tiheys on 998 kg/m 3. (n 2270 kg/m 3 ) 2. Erään puulajin tiheys määritettin siten, että sahattiin puusta suorakulmaisen särmiön muotoinen kappale. Sen jälkeen kappale asetettiin kellumaan veteen ja merkittiin viiva vesirajaan. Tämän jälken mitattiin, että 55.0% kappaleesta oli veden alla ja loput pinnan päällä. Mikä oli puulajin tiheys mittaukseen perusteella? (n 550 kg/m 3 ) 3. Erään spriitä sisältävän nesteen tiheys määritettiin seuraavasti: Punnittiin eräs metallipunnus a) ilmassa b) vedessä ja c) tutkittavassa nesteessä. Punnitustulokset olivat : a) ilmassa g b) vedessä 88.0 g ja tutkittavassa nesteessä 91.0 g. Mikä oli punnituksen perusteella nesteen tiheys, kun veden tiheys on 1000 kg/m 3. (n 750 kg/m 3 ) Aihe2: Nestepaine eli hydrostaattinen paine: Syvyydellä h nestepinnan alapuolella vallitsee yläpuolella olevan nesteen painosta johtuva nestepaine p = ρhg. Jos pinnan päällä on normaalipaineista (p0= Pa) ilmaa, on kokonaispaine syvyydellä h p = p0 + ρhg 4. Sukellusvene liikkuu valtamerellä syvyydellä 300 m. Meriveden tiheys on 1030 kg/m 3. Mikä on kokonaispaine ko. syvyydellä? (3.1 MPa eli 31 bar ) 5. Kuinka syvä kaivo voi enintään olla, jotta siitä saisi nostettua vettä tyhjiöpumpulla, joka sijaitsee maanpinnalla? (n 10 m ) 6. Erään tiilen puristuskestävyys (verrattavissa nestepaineeseen) on 20 MPa. Kuinka korkea tiilimuuri voitaisiin teoriassa rakentaa ilman, että muurin alaosan tiilet alkaisivat murtua. Tiilen tiheys on 1600 kg/m 3. (1270 m )

12 Aihe3: Virtausyhtälö: Nesteen virratessa putkessa tai esim. joessa, virtaama eli tilavuusvirta qv saadaan yhtälöstä qv = A v A = virtaavan veden poikkipinta-ala v = virtausnopeus Putken eri kohdissa, joissa poikkpinta-ala vaihtelee, virtausnopeuden ja poikkipinta-alan tulo pysyy samana A1 v1 = A2 v2 7. Kemijoen eräässä kohdassa, jossa veden poikkipinta-aja on 450 m 2, veden keskinopeus on 1.8 m/s. Mikä on joen tilavuusvirta m 3 /s? (810 m 3 /s ) Aihe4: Bernoullin yhtälö ja siitä johdetut kaavat: Torricellin laki: ½ ρv 2 = ρgh Ilmavirtauksen aiheuttama imu (alipaine): p = ½ ρv 2 Pitot-putki: Patopaine = nestepaine ½ ρiv 2 = ρehgh 8. Eräässä vesisäiliössä veden pinta on 3.00 m korkeudella. Säiliö tyhjennetään aukaisemalla sen alaosaassa olevan reiän korkki. a) Millä nopeudella vesi alkaa purkauta reiästä? b) Kuinka monta litraa sekunnissa vettä tulee reiästä alussa, kun reiän säde on 2.0 cm. (a) 7.67 m/s b) 9.6 ltr/s ) 9. Syysmyrsky puhaltaa nopeudella 25 m/s omakotitalon tasakaton yli. Kuinka suuri imuvoima myrskystä kohdistuu kattoon, kun katon ala on 30 m 2. Ilman tiheys on 1.25 kg/m 3. (11.7 kn ) 10. Erään potkuriturbiinikoneen nopeutta mittaa Pitot putki, jonka aukkoon kohdistuva ilman patopaine nostaa putkessa elohopeapatsaan pintaa 5.0 cm. Mikä on koneen nopeus? ( Elohopean tiheys on kg/m 3. Ilman tiheys lentokorkeudella on 0.50 kg/m 3. (580 km/ h)