TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe , malliratkaisut.

Transkriptio

1 1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista on edennyt pidemmän matkan ajanjakson s aikana? b) Määritä hetki, jolloin autot ovat seuraavan kerran rinnakkain. b) (max 2p) Hetki, jolla autot ovat seuraavan kerran rinnakkain, saadaan yhtälöstä s (t) = s B (t). janhetkellä t 1 s 1 > s B1 ja ja ajanhetkellä t 2 s 2 < s B2, joten autot kohtaavat aikavälillä (t 1, t 2 ) = s. Tällöin s 1 + v 1 (t t 1 ) = s B1 + v B1 (t t 1 ), josta saadaan ratkaistua aika t = s 1 s B1 195 m 160 m + t 1 = + 10 s = 17 s. v B1 v 1 32 m/s 27 m/s Virherajat s. Kuva 1 a) (max 4p) uton liike on s tasaisesti kiihtyvää s tasaista (tai nopeus vakio) s tasaisesti hidastuvaa a) Tapa 2: uton liikkeen kuvailu kuten edellä. utojen kulkema matka on sama kuin kuvaajan pinta-ala. Lasketaan käyrien v(t) ja vaaka-akselin väliin jäävät pinta-alat ja verrataan tuloksia keskenään. b) Tapa 2: utojen kulkema matka on sama kuin kuvaajan pinta-ala. Lasketaan käyrien v(t) ja vaaka-akselin väliin jäävät pinta-alat siihen ajanhetkeen t asti, jolloin pinta-alat ovat samat (tai = B ). utojen nopeudet saadaan kuvasta 1 ja kiihtyvyydet kuvaajan kulmakertoimista. Matka saadaan laskettua tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaavojen avulla. Merkinnät ja lukuarvot taulukossa. t i v i v Bi a i a Bi s i s Bi i (s) (m/s) (m/s) (m/s 2 ) (m/s 2 ) (m) (m) 0 0,0 12,0 0,0 1,5 3, ,0 27,0 32,0 0,0 0,0 195±5 160±5 2 20,0 27,0 32,0 1,8 3,2 465±5 480±5 3 26,0 16,2 12,8 1,8 3,2 595±5 614±5 s 3 = [ s 0 + v 0 (t 1 t 0 ) a 0(t 1 t 0 ) 2] + v 1 (t 2 t 1 ) + [ v 2 (t 3 t 2 ) a 2(t 3 t 2 ) 2] = ( ) m = 595 m s B3 = [ s B0 + v B0 (t 1 t 0 ) a B0(t 1 t 0 ) 2] + v B1 (t 2 t 1 ) + [ v B2 (t 3 t 2 ) a B2(t 3 t 2 ) 2] = ( ) m = 614 m, joten koska s B3 > s 3, niin auto B on edennyt pidemmän matkan ajanjakson s aikana.

2 2 Pakettiauto, jonka massa on 2880 kg, kulkee vaakasuoraa tietä nopeudella 55 km/h, kun sen kuljettaja tekee äkkijarrutuksen, jossa pakettiauton pyörät lukkiutuvat. Jarrutusta jatketaan kunnes auto on pysähtynyt. Renkaiden ja tien välinen kitkakerroin on 0,50. a) Laske pakettiauton jarrutusmatka. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. b) Laske pakettiauton jarrutusmatka, jos auton tavaratila on täynnä, jolloin auton massa on 3930 kg. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. c) Kumman pakettiauton, tyhjän vai täydessä lastissa olevan, jarrutusmatka on pidempi, jos huomioon otetaan myös liikettä vastustava ilmanvastus? Ilmanvastus on muotoa F i = Dv 2, missä v on auton nopeus ja D on pelkästään auton muodosta riippuva vakio. Perustele. lkuarvot: B C D v 0 (km/h) v 0 (m/s) 15,28 16,39 17,50 18,61 a) (max 3) Kitkavoiman F µ = µn = µmg tekemä työ matkalla s on W µ = F µ s = F µ s = µmg s. Liike-energian muutos on ulkoisten voimien tekemä työ (tai K = W µ ) ( K = 0 1 ) 2 mv2 0 = W µ = µmgs, c) (max 2p) Ilmanvastus aiheuttaa liikettä vastustavan kitkavoiman F i, jolloin liikettä vastustavan kokonaisvoiman suuruus on F = µmg + Dv 2, missä µ ja D ovat positiivisia vakioita. Newton II (dynamiikan peruslaki) antaa auton hidastuvuuden a = F Dv2 = µg + m m, joka riippuu nyt massasta m. Mitä suurempi massa m sitä pienempi hidastuvuus ja siten sitä pidempi jarrutusmatka, kun alkunopeus v 0 on sama täydessä lastissa olevan auton jarrutusmatka on pidempi. a) Tapa 2: Kitkavoima Newton II (dynamiikan peruslaki): F µ = µn = µmg. a = F m = F µ m = µg. Kiihtyvyys a on vakio, joten { v(t) = v0 + at = 0 t = v0 a s(t) = s 0 + v 0 t + 1 s0=0 2at2 = v2 0 a a ( v0 a ) 2 = v 2 0 2a = v2 0 2µg. josta saadaan ratkaistua matkalle lauseke Oikeat vastaukset: s = v2 0 2µg. s trk+1 1% +1% (m) (m) (m) (m) : 24 23,8 23,5 24,1 B: 27 27,4 27,1 27,7 C: 31 31,2 30,8 31,6 D: 35 35,3 34,9 35,7 b) (max 1) Koska a-kohdan jarrutusmatka ei riipu massasta m, niin matka s on sama kuin a-kohdassa.

3 3 Jääkappaletta, jonka massa on 0,100 kg ja lämpötila 244 K, aletaan lämmittää vakioteholla 100,0 W lämpöeristetyssä astiassa hetkellä t = 0 min. Kuvaan 2 on piirretty systeemin lämpötila ajan funktiona. a) Tee selkoa, mitä tapahtuu kuvaajan eri vaiheissa. b) Määritä kuvan 2 avulla veden ominaissulamislämpö ja ominaislämpökapasiteetti. Veden ominaislämpökapasiteetti c v saadaan lämmitykseen käytetyn lämpömäärän Q ja lämmitystehon P avulla P Q = c v m T = P t c v = m( T/ t), jossa tarvitaan kuvaajan T (t) fysikaalinen kulmakerroin dt/dt, joka saadaan määrättyä kuvaajasta. Kuvaajasta lämpötilan muutos T = 373 K 273 K = 100 K ja vastaava ajanjakso t = (13,5 6,5) 60 s = 420 s, jolloin Tällöin veden ominaislämpökapasiteetti on c v = Virherajat 3,9 4,5 kj/(kg K). T t = 100 K = 0,238 K/s. 420 s 100,0 J/s kj = 4,2 0,100 kg 0,238 K/s kg K Kuva 2 a) (max 3p) Kuvaajan eri vaiheet: ,0 min jää lämpenee (244 K 273 K) 1,0... 6,5 min jää sulaa (lämpötilassa 273 K) 6, ,5 min vesi lämpenee (273 K 373 K) 13, ,0 min vesi höyrystyy (lämpötilassa 373 K) 51,0... min höyry lämpenee (373 K ) b) (max 3p) Veden ominaissulamislämpö L s saadaan sulatukseen käytetyn lämpömäärän Q ja lämmitystehon P avulla Q = L s m = P t L s = P t m Kuvasta saadaan t = (6,5 1,0) min = 5,5 min = 330 s, jolloin veden ominaissulamislämpö 100,0 J/s 330 s L s = = 330 kj 0,100 kg kg. Virherajat kj/kg.

4 4 Levykondensaattorin levyjen välissä on tuntematonta eristeainetta, jonka suhteellinen permittiivisyys on ε r. Levyjen pinta-ala = 10,0 cm 2 ja välimatka d 1 = 1,00 mm. Kondensaattoriin tuodaan varaus Q 1, minkä jälkeen kytkin S avataan (kuva 3). Tällöin jännitemittarin lukema on U 1. Tämän jälkeen levyjen välissä oleva eristekerros poistetaan. Kuva 3 a) Miten kondensaattorin kapasitanssi, varaus ja levyjen välinen jännite muuttuvat, kun eristekerros poistetaan? Perustele. b) Levyjen välimatkaa muutetaan siten, että jännitemittarin lukema saadaan samaksi kuin lukema U 1 eristekerroksen kanssa. Tällöin levyjen välimatkaksi mitataan d 2 = 0,46 mm. Laske eristekerroksen suhteellinen permittiivisyys ε r. lkuarvot: d 1 d 2 (mm) (mm) : 1,00 0,46 B: 1,50 0,46 C: 1,00 0,23 D: 1,50 0,23 b) (max 3p) Levyjen välimatkaa muutetaan d 1 d 2 siten, että jännite U 2 = U 1. Koska varaus säilyy (tai Q 2 = Q 1 ), niin josta Oikeat vastaukset: C 2 = Q 2 U 2 = Q 1 U 1 = C 1 ε r ε 0 d 1 = ε 0 d 2, ε r = d 1 d 2. ε r trk+1 1% +1% ( ) ( ) ( ) ( ) : 2,2 2,17 2,14 2,20 B: 3,3 3,26 3,22 3,30 C: 4,3 4,35 4,30 4,40 D: 6,5 6,52 6,45 6,59 a) (max 3p) Kun kytkin S on auki eristekerrosta poistettaessa, varaus säilyy, joten levyjen varaus ei muutu (tai Q 2 = Q 1 ). Levykondensaattorin kapasitanssi on C = ε r ε 0 /d. Eristekerros pienentää sähkökenttää levyjen välissä E = U d = Q Cd = Q ε r ε 0 < E 0 = Q ε 0, joten ε r > 1. Tällöin kapasitanssi pienenee } C 1 = ε r ε 0 d 1 ε = r>1 C 2 < C 1 C 2 = ε 0 d 1 Vastaavasti jännite kasvaa U 1 = Q1 C 1 U 2 = Q2 Q 2=Q 1 C 2 = Q 1 C 2 } C 2<C 1 = U2 > U 1

5 5 Metallitanko, jonka massa m = 0,20 kg, on johtavilla kiskoilla, jotka ovat etäisyydellä L = 0,25 m toisistaan (kuva 4). Tanko pääsee liikkumaan kitkattomasti kiskojen suuntaisesti. Homogeeninen magneettikenttä, jonka magneettivuon tiheys B = 1,4 T, on kohtisuorassa tehtäväpaperin tasoon nähden ja suuntautunut tehtäväpaperin sisään. Kiskojen välil- Kuva 4 le on kytketty tasajännitelähde, jonka lähdejännite E = 12,0 V, ja suljetun piirin kokonaisresistanssi R = 5,0 Ω. Kiskojen resistanssi oletetaan mitättömäksi. Kytkin S suljetaan hetkellä t = 0 s. a) Laske tangon kiihtyvyys (suuruus ja suunta) heti katkaisimen sulkemisen jälkeen. Perustele. b) Perustele, miksi tangon nopeus lähestyy vakioarvoa pitkän ajan kuluttua katkaisimen sulkemisesta. Kuinka suuri on nopeuden vakioarvo? lkuarvot: B C D L (m) 0,25 0,25 0,35 0,35 B (T) 1,4 1,7 1,5 2,0 a) (max 3p) Kun virta I = E/R alkaa katkaisimen sulkemisen jälkeen kiertää piirissä myötäpäivää eli tangossa alaspäin, niin metallitangon varauksenkuljettajat, elektronit, liikkuvat tangossa ylöspäin. Liikkuviin elektroneihin, ja siten tankoon, kohdistuva magneettikentästä aiheutuva voima on F = e v B, jonka suunta määräytyy ristitulon mukaan (Kuva 4 (a)), joten voiman suunta ja siten tangon kiihtyvyyden suunta on kuvassa 4 (b) oikealle. Kuva 4 (a) Kuva 4 (b) Voiman suuruus voidaan esittää virran I avulla: F = qvb = I t L tb = ILB. Tällöin Newton II (dynamiikan peruslaki) antaa a = F m = ILB m = ELB Rm Oikeat vastaukset: a trk+1 1% +1% (m/s 2 ) (m/s 2 ) (m/s 2 ) (m/s 2 ) : 4,2 4,20 4,15 4,25 B: 5,1 5,10 5,04 5,16 C: 6,3 6,30 6,23 6,37 D: 8,4 8,40 8,31 8,49 b) (max 3p) Kuva 4 (c) Kun tanko liikkuu kuvassa 4 (c) oikealle, magneettivuo Φ = B = L(x + x)b muuttuu suljetun silmukan läpi, jolloin silmukkaan indusoituu jännite ja induktiovirta E i = N Φ t = LB x t = LBv I i = E i R = LBv R, joka Lenzin lain mukaan kiertää piirissä siten, että I i pienentää virtaa I. Tasapainossa I = 0 (tai F = 0), joten pitkän ajan kuluttua katkaisimen sulkemisesta tangon nopeus saavuttaa vakioarvon. Tällöin LBv R josta saadaan ratkaistua nopeus Oikeat vastaukset: = E R ( tai v = ) LBv ELB LB = R R E LB. v trk+1 1% +1% (m/s) (m/s) (m/s) (m/s) : 34 34,3 33,9 34,7 B: 28 28,2 27,9 28,5 C: 23 22,9 22,6 23,2 D: 17 17,1 16,9 17,3

6 6 rkeologisten eloperäisten näytteiden iän määrittämisessä käytetään yleisesti ns. hiili-14 menetelmää, missä 14 6C hajoaa β-hajonnalla. a) Kirjoita 14 6C isotoopin hajoamisreaktio. b) rkeologisesta näytteestä, joka sisältää 440,0 mg hiiltä, rekisteröidään 155 hajoamisreaktiota tunnissa. Määritä näytteen ikä, jos oletetaan, että ilmakehän hiilen aktiivisuus näytteen syntyhetkellä oli 0,255 Bq hiiligrammaa kohti. lkuarvot: a) (max 3p) B C D m (mg) 440,0 420,0 400,0 380,0 (1/h) C 14 7 N + e + ν b) Tapa 2: Hajoamislaki voidaan esittää myös muodossa janhetki t saadaan ratkaistua josta edelleen (t) = 0 ( 1 2) t/t1/2 = 0 2 t/t 1/2. = 0 2 t/t 1/2 ln 0 = ln 2 t/t 1/2 ln 0 = t T 1/2 ln 2, t = T 1/2 ln 2 ln 0. b) (max 3p) Näytteen aktiivisuus pienenee eksponenttiaalisesti ajan t funktiona (hajoamislaki) (t) = 0 e λt missä 0 on näytteen aktiivisuus syntyhetkellään ja hajoamisvakio λ saadaan puoliintumisajasta T 1/2 = ln 2 λ = ln 2. λ T 1/2 Halutaan tietää ajanhetki t, jolloin näytteen aktiivisuus on pudonnut arvoon : = 0 e λt ln 0 = ln e λt t = 1 λ ln 0, josta edelleen t = T 1/2 ln 2 ln 0. Näytteen aktiivisuus on ja syntyhetkellä aktiivisuus 0 on 0,255 1/s hiiligrammaa kohden, joten 0 = 0,255 1 s g 3600 s h m = h g m. (tai 0 0,255 1/(s g) ja /(3600 m) 1/(s g)). Oikeat vastaukset: t trk+1 1% +1% (a) (a) (a) (a) : B: C: D: