Kinematiikka (liikeoppi) Kinematiikka tutkii liikettä. Sen perussuureet ovat paikka, nopeus ja kiihtyvyys.

Transkriptio

1 Kinematiikka (liikeoppi) Kinematiikka tutkii liikettä. Sen perussuureet ovat paikka, nopeus ja kiihtyvyys.

2 SUORAVIIVAINEN LIIKE Kappale liikkuu yhdessä dimensiossa. Sen paikka ilmaistaan paikkakoordinaatilla x. NOPEUS v (velocity) Keskinopeus v k Määritelmä: Kappaleen keskinopeus aikavälillä (t 1, t ) on sen paikkakoordinaatin muutos jaettuna aikavälin pituudella: v k x t x t 1 1 (1) Hetkellinen nopeus v(t) Kappaleen nopeus hetkellä t on vaikeammin mitattavissa. Se on kappaleen paikkakoordinaatin x(t) derivaatta hetkellä t. Kuvaajasta x(t) se voidaan määrittää tangentin kulmakertoimena hetkellä t. ()

3 NOPEUDEN YKSIKÖITÄ: SI- perusyksikkö 1 m/s (käytettävä laskuissa) 1 km/h = 1000 m/ 3600 s = 1/3.6 m/s 1 solmu = 1 merimaili / h = 1.85 km/h Esim. Alla on taulukoitu erään kappaleen paikka x sekunnin välein välillä 0 8 s. a) Määritä a) Kappaleen keskinopeus välillä 0 8 s b) Kappaleen keskinopeus välillä 3-7 s c) Kappaleen hetkellinen nopeus hetkellä 3.0 s graafisesti x(t) käyrältä 3.5m 0m v k. 9 8s 0s m s c) b) 1.m 5.3m v k s 3s m s Kohtaan t = 3 piirretyn tangentin kulmakerroin antaa hetkellisen nopeuden: v(3s) = m/4s = 5.5 m/s (toinen tapa: keskinopeus välillä 4 s )

4 Esim. Matti ajaa puolet työmatkastaan nopeudella 50 km/h ja toisen puolen nopeudella 90 km/h. Mikä on Matin keskinopeus työmatkalla? On ilmeistä, että tulos ei ole riippuvainen työmatkan pituudesta, joten matkaksi voidaan valita esim. 100 km Tehtävän ratkaisu voi perustua vain keskinopeuden määritelmään: v k = kuljettu matka aika = Δx Δt Kuljettu matka Ajoaika Δx = 100 km Δt = 50 km 50 km/h 50 km + = 1.00 h h = 1.56 h 90 km/h Keskinopeus on v k = Δx Δt = 100 km 1.56 h = 64 km/h

5 Kiihtyvyys a (acceleration) Keskikiihtyvyys = nopeuden muutos / muutokseen kulunut aika 1 a k v t v t v t Kiihtyvyyden yksikkö: 1 m/s 1 a) Keskikiihtyvyys 0 10 s a a k k v t v t (18 0) 10s (1 6) s m s b) Keskikiihtyvyys 4 s m s 1.8 c) Keskikiihtyvyys 8s kohdalla ( keskikiihtyvyys 7-9 s).0 m s m s a k v t (17 15) s m s 1.0 m s

6 KULJETUN MATKAN MÄÄRITTÄMINEN NOPEUSKÄYRÄSTÄ - Voidaan suorittaa pinta-alalaskulla TAPAUS1: TASAINEN LIIKE Tasaisessa liikkeessä ajassa t kuljettu matka saadaan kertomalla aika nopeudella x v t Graafisesti matka saadaan suorakaiteen pinta-alana t,v - koordinaatistossa: Muuttuvanopeuksinen liike Kun nopeus vaihtelee, voidaan aika jakaa osaväleihin, joiden sisällä nopeus on likimain vakio. Ao. kuvaajassa kunkin suorakaiteen pinta-ala edustaa ko. aikavälillä kuljettua matkaa ja suorakaiteiden yhteinen pinta-ala edustaa kokonaismatkaa välillä ( 0, t ) sitä tarkemmin, mitä tiheämpi jako on. Johtopäätöksenä voidaan todeta, että kuljettu matka on nopeuskäyrän ja aika-akselin välinen pinta-ala (t. v) koordinaatistossa.

7 Käytetään kaavaa Ratkaisu: Kuljettu matka on nopeuskäyrän alle jäävä pinta-ala x m

8 Tasaisesti kiihtyvä liike 1- ulotteinen tasaisesti kiihtyvä liike Putoaminen painovoimakentässä Vino heittoliike lentoradan yhtälöt

9 SUORAVIIVAINEN TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE =uniformly accelerated motion Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kiihtyvyys a on vakio, mistä seuraa, että nopeuden kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on kiihtyvyys a. Suora leikkaa nopeusakselia kohdassa v 0, ( = nopeus ajanhetkellä t = 0) Nopeus ajan t kuluttua Kuljettu matka hetkellä t v = v 0 + a t Δx = (v 0 + ½a t) t = v 0 t + ½a t Paikkakoordinaatti x hetkellä t Nopeuskuvaaja on suora viiva => Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaavat: Merkinnät: t = aika a = kiihtyvyys (m/s ) v 0 = alkunopeus (m/s) x 0 = paikkakoordinaatti alussa v = nopeus lopussa (hetkellä t) x = paikkakoordinaatti lopussa Huom1. Usein voidaan valita lähtöpisteeksi origo : ts. x 0 = 0 => yhtälöihin jää 5 parametria Huom. Kahdesta yhtälöstä voi ratkaista tuntematonta => kun tunnet mitkä tahansa 3 parametria, loput voi ratkaista

10 Nopeusyhtälöstä saadaan sijoitusten jälkeen 0 = t => jarr.aika t = 7.8/.8 s = 9.9 s Sijoitukset: v 0 = 100/3.6 = 7.8 m/s a = -.8 m/s t = v = 0 m/s x = Paikkayhtälöstä saadaan jarrutusmatka x = 7.8*9.9 - ½*.8*9.9 = 138 m V: 140 m Huom. Välituloksia ei kannata pyöristää, koska virhe kertautuu.

11 nopeusyhtälö v = t paikkayhtälö 35 = 5 t 1/ *3*t 1.5 t -5 t + 35 = 0 a = -3.0 m/s v 0 = 5.0 m/s t =? v =? x = 35 m (60-5) Tästä. asteen yhtälöstä saadaan jarrutuksen kesto t b t b 4ac a Juuret : *) osuu poroon hetkellä 1.54 s tai (15.14 s) Sijoitetaan t = 1.54 s nopeusyhtälöön => v = (5 3.0*1.54 )m/s = 0. 4 m/s = 74 km/h *)TI-laskimella solve(35=5 t ½*3t =0,x) wolframalpha: solve 35=5 t ½*3t =0

12 Putoaminen painovoima kentässä Tavallisin esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä on kappaleiden putoaminen painovoiman vaikutuksesta. Meren pinnan tasolla putoamiskiihtyvyys g = 9.81 m/s. xy- koordinaatistossa eteen laitetaan miinus etumerkki

13 Pystysuora liike painovoimakentässä * Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaavoihin kiihtyvyyden a tilalle laitetaan g eli m/s * Kappaleen paikkaa = korkeutta maan pinnalta merkitään y:llä (korkeuskoordinaatti) Etumerkkisääntö: Ylös suuntautuvat nopeudet ja kiihtyvyydet: + Alaspäin: - Kuumailmapallo on nousemassa nopeudella 5.0 m/s suoraan ylöspäin, kun 5 m korkeudessa siitä pudotetaan hiekkasäkki. a) Minkä ajan kuluttua ja b) millä nopeudella hiekkasäkki osuu maahan? v = t 0 = t ½ *9.81*t a) Juuret (t = -1.8 s) tai t =.8 s (lentoaika) b) Nopeus v = *.8 = -3 m/s *) Sij. g = 9.81 m/s v 0 = +5.0 m/s t =? v =? y 0 = 5 m y = 0 (maa) *)TI-laskimella solve(0 =5 + 5 t ½*9.81t =0, t) wolframalpha: solve 0 =5 +5 t ½*9.81t

14 Vino heittoliike Kappaleen liike koostuu kahdesta erillisestä liikkeestä: X- suunnassa vapaasti lentävä kappale liikkuu tasaisella nopeudella Y- suunnassa kappale on putoamisliikkeessä, jossa kiihtyvyys on g. ALKUNOPEUSVEKTORI ഥv 0 JAETAAN KAHTEEN KOMPONENTTIIN v0 ( v0 cos, v0 sin) Kirjoitetaan kappaleen paikkavektorin (x,y) koordinaattien lausekkeet käyttäen tasaisen liikkeen ja tasaisesti kiihtyvän putoamisliikkeen kaavoja. Vaakasuora liike Pystysuora liike Vaakanopeus v x v 0 cos v y v sin g t 0 Nopeuden y komponentti Kappaleen ratayhtälöt : kappaleen paikkavektori (x, y) ajan funktiona

15 Esim. Rannikkotykistön ammunnoissa eräs tykinammus lähtee nopeudella 600 m/s kulmaan 5 o. Laske a) ammuksen lentoaika b) kantama c) lakikorkeus (Oletetaan, että lähtöpaikka on n. meren pinnan tasolla) Lähtönopeuden vaaka- ja pystykomponentti: Vaaka: 600*cos5 o = m/s (pysyy vakiona) Pysty: 600*sin5 o = 53.6 m/s (putoaa g:n verran joka sekunti) x = *t y = 53.6 t - ½*9.81*t Lentoaika t ja kantama x saadaan sij. y = 0 0 = 53.6 t - ½*9.81*t a) juuret (miel. koneella) t = 0 s tai 51.7 s b) Kantama x = 543.8m/s*51.7s = 8114m = 8 km c) Laki saavutetaan lennon puolivälissä t = 5.85s y = (53.6* ½*9.81*5.85 ) = 378m =3.3 km y 0 = 0 y = 0 (osuu mereen) g=9.81 V0 cosα = V0 sinα = 53.6

16 Esim.3 Yleisurheilun GP kisojen miesten kuulan voittotyönnössä kuula lähti 180 cm korkeudelta 45 o kulmassa lähtönopeudella m/s. Kuinka pitkä oli työntö Lähtönopeuden vaaka- ja pystykomponentti: Vaaka: 14.10*cos45 o = m/s (pysyy vakiona) Pysty: 14.10*sin45 o = m/s (putoaa g:n verran joka sekunti) x = *t y = t - ½*9.81*t Lentoaika saadaan sijoituksella y = 0 Juuret: (t = s) tai t =.1995 s Tulos: x = *t = *.1995 m = 1.93 m y 0 = 1.8 m y = 0 m (maan pinta)

17 Esim.3 Kalevan kisojen miesten kuulan voittotyönnössä m kuula lähti 180 cm korkeudelta 45 o kulmassa. Mikä oli lähtönopeus? Sij. cos45 o = sin45 o = = v 0 *0.707 *t 0 = v 0 *0.707*t - ½*9.81*t (maahantulo: y = 0) 0 = t ( ½ g = 4.905) = t => t =.05 s Sijoitetaan saatu lentoaika yhtälöön = v 0 *0.707 *t = v 0 *0.707 *.05 v 0 = 18.85/(0.707*.05) m/s = 13.0 m/s (vrt. olympiavoittajan 14.1) y 0 = 1.8 m y = 0 m (maan pinta) Helpoimmin ratkaisu tulisi ratkaisemalla laskimella yhtälöpari

18 Ma 30.1 harj klo 8:15 siirtyy torstaille toisen ryhmän kanssa pidettäväksi Dynamiikka suom. Voimaoppi - Käsitteet : massa m, voima F - Newtonin lait sovelluksineen Wikipedia: Dynamiikka on mekaniikan osa-alue, joka tutkii voimien ja momenttien vaikutusta kappaleen liikkeeseen.

19 Dynamiikan aiheet Dynamiikka käsittelee liikkeen syitä. Kiihtyvyyden aiheuttavat kappaleeseen vaikuttavat voimat. Peruskäsitteet ovat voima F ja massa m. Käsiteltäviä voimia ovat: 1. Painovoima. Tukivoimat 3. Jännitysvoimat (esim. vaijerissa) 4. Kitkavoima 5. Jousivoima 6. Väliaineen vastus (ilmanvastus) 7. Hitausvoimat, esim. keskipakovoima

20 Newtonin lait Dynamiikan perustana on Isaac Newtonin 3 lakia luvulta Newtonin 1. laki : Jatkavuuden laki Kappale pysyy levossa tai jatkaa suoraviivaista, tasaista liikettään, jos kappaleeseen ei vaikuta voimia tai kappaleeseen vaikuttavien voimien summa = 0 m G N Esim. pallo on levossa maan pinnalla. Siihen vaikuttaa kuitenkin voimaa : painovoima G ja tukivoima maasta palloon N. Voimat ovat tasapainossa (Niiden summa = 0)

21 Newtonin. laki : Dynamiikan peruslaki Jos voimien summa ei ole 0 vaan niiden summa on ഥF (vektori), niin kappale joutuu kiihtyvään liikkeeseen: ഥF = m ഥa missä m = kappaleen massa, a = kappaleen kiihtyvyys Kaava antaa voiman yksiköksi 1kg*m/s = 1 Newton = 1 N

22 Painovoima G = kappaleeseen vaikuttava gravitaatiovoima Jo Galilei havaitsi 1500 l., että kaikki kappaleet putoavat maan lähellä kiihtyvyydellä g = 9.81 m/s. Siten Newtonin II lain F = ma mukaan m Painovoima maan pinnalla: G mg (.3) G = mg Huomaa massan ja painon ero: Massa on kappaleen universaali ominaisuus Paino puolestaan riippuu mittauspaikasta, se jopa vaihtelee eri maapallon alueilla

23 Newtonin 3. laki : Reaktiolaki (voiman ja vastavoiman laki) Jos kappale A vaikuttaa kappaleeseen B voimalla F, niin B vaikuttaa vastaavasti A:han yhtä suurella, vastakkaisella voimalla - F Kiihtyvyydet ovat erisuuret perustuen lakiin F = ma. => Kuu keveämpänä kiertää maata, maa tekee pienempää vasta liikettä. Todellisuudesta molemmat kiertävät yhteistä painopistettä, joka on maan sisällä n. 000 km syvyydessä Esine joka lepää pöydällä vaikuttaa pöytään yhtä suurella voimalla (esineen paino) kuin pöytä esineeseen (tukivoima).

24 Menetelmä A: Luetaan voimien T 1 ja T suuntakulmat: T 1 :n suunta on = 150 o : T 1 < 150 o: T : suunta on 45 o T < 45 o G on vektorina alaspäin, suuruus mg = 98 G =(0, -98) Kirjoitetaan yhtälöt vaaka- ja pystysuunnassa ja ratkaistaan yhtälöryhmä T 1 cos150 + T cos45 = 0 and T 1 sin150 + T sin45-98 = 0

25 Menetelmä B (voimakolmio): Voimat asetetaan peräkkäin siten, että ne muodostavat suljetun kolmion: Perustelut kolmion kulmille: T1 suunta on 30 o vaakatasoon, joten se on 60o pystysuuntaan nähden T on 45 astetta sekä vaaka- että pystysuuntaan nähden Voimat ratkaistaan sinilauseesta: T 1 sin 45 T sin sin 75

26 Menetelmä A: Luetaan voimien N ja T suuntakulmat: N:n suunta on 45 astetta y-akselista vastapäivään : N < 135 o: T: suunta on 10 astetta alle 45 o tason T < 35 o G on vektorina alaspäin, suuruus mg = 19.6 G =(0, -19.6) Kirjoitetaan yhtälöt vaaka- ja pystysuunnassa ja ratkaistaan yhtälöryhmä N cos135 + T cos35 = 0 and N sin135 + T sin = 0 Vast. Tukivoima N = 16.3 N ja langan jännitys T = 14.1 N

27 Menetelmä B (voimakolmio): Voimat asetetaan peräkkäin siten, että ne muodostavat suljetun kolmion: Perustelut kolmion kulmille: N suuntauntuu 45 o kulmassa takavasemmalle, joten sen ja pystysuunnan väliinkin jää 45 o Lanka nousee 10 astetta loivemmassa kulmassa kuin 45 o taso, joten langan ja vaakasuunnan väliin jää 35 astetta. Kolmiossa on langan ja pystysuunnan välinen kulma, joka on = 55 o Kolmas kulma on = 80 o Voimat ratkaistaan sinilauseesta: T sin 45 N sin sin 80 Vast. Tukivoima N = 16.3 N ja langan jännitys T = 14.1 N

28 Viikko 4: Aiheet Kitkavoima Voimat kaltevalla tasolla Laskukokoelman laskut 4, 5, 6, 7, 8 Termejä englanniksi: friction, frictional force = kitkavoima Kinetic friction = liikekitka, liukukitka Static friction = lepokitka Limiting friction = lähtökitka Inclined plane = kalteva taso

29 Jarrutusmatkan laskukaava Jarrutukseen kuluva aika saadaan ratkaisemalla t yhtälöstä v = v 0 + a t sijoittamalla v = 0 t v0 a v0 a Keskinopeus auton pysähtyessä nopeudesta v 0 on v 0 / Jarrutusmatka = keskinopeus*jarrutusaika Jarrutusmatkan kaava x v 0 a v 0 = alkunopeus x v0 v0 a a = auton hidastuvuuden itseisarvo

30 Kitkavoima: = kahden pinnan välillä vaikuttava pinnan suuntainen voima, joka riippuu a) pintamateriaaleista b) pintojen välisestä puristusvoimasta (tukivoima N). Kitkan lajit ovat liukukitka ja lepokitka. Liukukitkaa vaikuttaa pintojen ollessa liukuessa toistensa suhteen Liukukitkan kaava F N μ = pintojen välinen kitkakerroin N = tukivoima pintojen välissä

31 Auton jarrutusmatka tasaisella tiellä Esim. auton jarruttaessa tasaisella tiellä, renkaiden ja tien välisen kitka pysäyttää auton. Tavallisella autolla ajettaessa auton paino = tukivoima N tiestä autoon. Nettovoima ( = vaikuttavien voimien summa) on kitkavoima, koska N ja mg vastavoimina kumoavat toisensa: Kitka= -μn = - μmg mg N mg ma a g Jarrutusmatka tasaisella tiellä: x v 0 a x v0 g Renkaiden ja tien välisiä kitkakertoimia: Jääkeli Pakkaslumi Märkä asfaltti 0.5 Kuiva asfaltti 0.7

32 Voimat kaltevalla pinnalla Kitka= -μn = - μ mg cosα α mg sinα N α =mg cosα 1. Kun kaltevuuskulma kasvaa, tukivoima N pienenee kaltevuuden kasvaessa. Se kumoaa painovoiman pintaa vastaan kohtisuoran komponentin: N = m g cosα 3. Myös kitka on mäessä pienempi kun tasaisella: F μ = - μ m g cosα 4. Painovoiman alamäen suuntainen komponentti m g sinα vaikuttaa osaltaan kappaleen kiihtyvyyteen. mg Seurauksia: 1) Jos kitkaa ei ole, kappale liukuu alas kiihtyvyydellä joka saadaan yhtälöstä m a = m g sinα => a = g sinα ) Kun auto nousee mäkeä, on sen vetävän voiman voitettava painovoiman komponentti m g sinα 3) Laskettaessa jarrutusmatka hidastuvuus a saadaan ottamalla huomioon sekä kitka, että e.m. painovoiman komponentti: alamäessä a = - μ g cos α + g sin α

33 Malliesimerkit: 1. Moottoripyörän massa on 190 kg. Kuinka suuri työntövoima tarvitaan työntämään pyörää ylös mäkeä, jonka kaltevuus on 4.0 astetta? mg sinα = 190 kg*9.8 m/s *sin(4 o ) = 130 N. Mikä on lasikuitupohjaisen, kitkattoman kelkan kiihtyvyys jäädytetyssä kelkkamäessä, jonka kaltevuus on 10 astetta. ma = mg sinα => a = g sinα = 9.8 m/s *sin(10 o ) = 1.7 m/s 3. Laske auton jarrutusmatka 90 km/h nopeudesta 5.0 asteen alamäessä, kun kitkakerroin on 0.35? a = - μ g cos α + g sinα = *9.8*cos(5 o )+ 9.8 sin(5 o ) = -.56 m/s v 5 x 0 m 1m a Laske edellisen tehtävän jarrutusmatka, jos kyseessä on ylämäki? a = - μ g cos α - g sinα = *9.8*cos(5 o )- 9.8 sin(5 o ) = -4.7 m/s v 5 x 0 m 73m a 4.7

34 Lepokitka Lepo- ja liukukitkan tutkiminen yksinkertaisella kokeella: (kuva) Vedetään pöydällä olevaa laatikkoa voimaa tasaisesti kasvattaen. Mitataan voimaa jousivaa alla. Havainnot ovat seuraavat: Vaihe1: Ennenkuin kappale lähtee liikkeelle lepokitka kasvaa vetävävän voiman kanssa yhtäruurena kumoten tämän. Vaihe: Lepokitka on saavuttanut maksimiarvon, jota kutsutaan lähtökitkaksi. Vaihe3: Kappale on lähtenyt liikkeelle. Kitka on laskenyt lähtökitkaa alemmalle tasolle, jota kutsutaa liukukitkaksi. Lähtökitka kaavana F S N Lähtökitkan kaava on samanlainen kuin liukukitkan kaava. Kaavassa esiintyy lepokitkakerroin μ s ( s = static ), joka on liukukitkakerrointa suurempi. Lukkiutumaton jarrujärjestelmä hyödyntää lepokitkaa ja lyhentää jarrutusmatkaa.

35 Kitkakertoimien määrittäminen- esimerkkejä Auton renkaiden ja tien välisen kitkakertoimen voi määrittää jarrutuskokeella Mitataan auton jarrutusmatka x, kun auto pysäytetään voimakkaalla jarrutuksella esim. 60 km/h nopeudesta. Ratkaistaan kitkakerroin jarrutusmatkan kaavasta x v0 v0 g x g Esineen ja pinnan (tason) välisen lepokitkakertoimen määrittäminen kokeella Asetetaan esine tasolle. Aletaan kallistaa tasoa, jolloin esineeseen alkaa vaikuttaa painovoiman pinnan suuntainen komponentti mg sinα, joka kasvaa kulman mukana. Lepokitka Fμ = m g sinα niin kauan kuin kappale ei lähde liukumaan. Tietyllä kallistuskulmalla α kappale lähtee liikkeelle. Tällöin lepokitka on ylittänyt maksimiarvonsa, lähtökitkan, ts. Liikkeellelähtöhetkellä μ s m g cosα = m g sinα. Lepokitkakerroin voidaan ratkaista tästä yhtälöstä.

36 Ympyräliikkeen dynamiikkaa Sovelluksia kaarteiden suunnitteluun

37 Tasaisen ympyräliikkeen suureet ja yksiköt T = kierrosaika eli periodi r = radan säde v = ratanopeus v r T yksikkö 1 s yksikkö 1 m yksikkö 1 m/s f = 1 /T kierrostaajuus yksikkö 1 RPS tai 1 Hz ω = πf = π/t kulmanopeus yksikkö 1 rad/s Esim. Polkupyörän takapyörän säde r = 0.35 m ja sen pyörimistaajuus ajossa on.5 RPS. Laske a) pyörän pyörähdysaika T T = 1/f = (1 /.5) s = 0.4 s b) pyörän kulmataajuus ω ω = π f = π*.5 rad/s = 15,7 rad/s c) pyörän ratanopeus (= polkupyörän nopeus) v = π r/t = π*0.35 m/0.4 s = 5.5 m/ s = 0 km/h

38 Kiihtyvyys tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä Vaikka kappaleen vauhti ( nopeusvektorin pituus) ei muutu, nopeuden suunta suunta muuttuu, joten kappale on kiihtyvässä liikkeessä. Voidaan osoittaa yhdenmuotoisuuteen perustuvan verrannon avulla, että 1) Tasaisessa ympyräliikkeessä kiihtyvyysvektori osoittaa ympyräradan keskipisteeseen. Siitä käytetään nimitystä keskeiskiihtyvyys ) Keskeiskiihtyvyys lasketaan kaavalla: v a r v = kappaleen ratavauhti r = radan säde

39 Dynamiikan peruslaki ympyräliikkeessä Jotta kappale voi olla tasaisessa ympyräliikkeessa, on oltava jokin voima, joka pitää sen ympyräradalla (gravitaatio pitää satelliitin maata kiertävällä radalla, kitka pitää auton tiellä kaarteessa,...) Tällaista voimaa sanotaan keskeisvoimaksi. Newtonin. laki F = m a saa tasaisessa ympyräliikkeessä muodon mv F r F = keskeisvoima, joka pitää kappaleen radallaan m = kappaleen massa r = radan säde v = ratanopeus

40 Keskipakovoiman käsite Ympyräliikkeessä olevaa kappaletta voidaan tarkastella myös kappaleen mukana kulkevassa koordinaatistossa, jonka suhteen kappale on levossa. Tässä koordinaatistossa kappaleeseen vaikuttaa kaksi voimaa: voima F radan keskipisteeseen, ja toinen, ns. keskipakovoima keskustasta poispäin. Voimat ovat tasapainossa. Yhtälö on sama. mv F r Keskeisvoima ja keskipakovoima ovat tasapainossa. Astronautit kokevat avaruusasemalla olevansa painottomassa tilassa. Painottomuus johtuu siitä, että maan vetovoima ja keskipakovoima ovat tasapainossa.

41 m s m s km h Auton maksiminopeus kaarteessa Esim. Laske auton maksiminopeus kallistamattomassa kaarteessa, jonka kaarevuussäde on 140 m. Keli on talvinen ja lepokitkakerroi tien ja renkaiden välillä on 0.5. Ratk. Auto pysyy tiellä, jos keskipakovoima ei ylitä lepokitkan maksimiarvoa, joka on μ mg Rajanopeus v saadaan yhtälöstä mv mg r Nopeus ratkaistuna yhtälöstä on v gr v km/h merkki on aiheellinen

42 Optimaalinen kallistus tietyllä nopeudelle Tie, rautatie tai junanvaunu voidaan kallistaa tietylle ajonopeudelle siten, että kallistus korvaa kitkan, eli kaarteessa pysytään ilman kitkaa. Mikäli kallistusta ei olisi, esim. juoman pinta lasissa kallistuisi siten, että pinta on kohtisuorassa painovoiman ja keskipakovoiman resultanttia eli vektorisummaa vastaan. Myös matkustajat kokevat vaunussa painovoiman kääntyneen tähän suuntaan. Kuva: Supernopean junan vaunu kallistuu kaarteessa siten, että matkustajat eivät huomaa kääntymistä. Esim. Luotijunan nopeus on 70 km/h kaarteessa, jossa kaarevussäde on 1500 m. Matkustusmukavuuden lisäämiseksi junan kori kallistuu siten, että matkustajat eivät huomaa kaarretta lainkaan. Kuinka monta astetta kori kallistuu pystysuuntaan nähden. tan mv / (75 ) mg r g v r m s m sm

43 Auton maks. nopeus kallistetussa kaarteessa Esim. Laske auton maksiminopeus kaarteessa, jonka kaarevuussäde on 140 m. Keli on talvinen ja lepokitkakerroi tien ja renkaiden välillä on 0.5. Kaarre on kallistettu 8.0 o Ratk. Kuvassa on vaikuttavat voimat: painovoima, keskipakovoima, tukivoima ja kitkalle on asetettu sen maksimiarvo μn maksiminopeuden määrittämiseksi. Voimien summa = 0 ( 0, - mg) + (mv /r, 0) + (N cos98 o, N sin98 o ) + (μn cos188 o, μn sin188 o ) = 0 ( 0, - m*9.81) + (m*v /140, 0) + (N cos98 o, N sin98 o ) + (05 N cos188 o, 0.5 N sin188 o ) = 0 Solve m*v /140 + N cos98 o N cos188 o = 0 and m* N sin98 o N sin188 o = 0 Vast: 8 asteen kallistus nostaa maksiminopeuden arvoon 3.57 m/s = 84.8 km/h

44 Jousivoima ja väliaineen vastus Kinematiikan ja dynamiikan tehtävien palaus: viimeistään ke 1.3 Fysiikan 1. koe ke 1.3

45 Jousivoima Kun jousta puristetaan, jousi pyrkii palaamaan entiseen pituuteen. Jousen palauttavaa voimaa sanotaa jousivoimaksi. Jousivoima on verrannollinen pituuden muutokseen x F k x F = jousivoima ( yhtä suuri kuin kuormavoima) x = pituuden muutos k = jouselle ominainen jousivakio Miinusmerkki tarkoittaa, että jos poikkeama tasapainosta x on alaspäin, jousivoima on ylöspäin. Laskuissa etumerkkiä ei tarvita. Laskuissa yleensä käytetään kuormavoimaa, jolloin F = k x Jousivakion yksikkö on 1 N/m. Se ilmaisee voiman ja puristuman suhteen.

46 Esim. Kuva esittää peräkärryn jousta joka puristuu 1.5 cm kun sitä kuormitetaan on 100 kg kuormalla. Mikä on sen jousivakio F k x k F x mg x 0.015m m s 100kg N m 65 kn m

47 Ilmanvastus (air drag) F 1 c Av w Kaava on voimassa ns. turbulenttiselle virtaukselle, jossa esiintyy pyörteitä (ks. Kuva) c w = kappaleen aerodynaaminen muotovakio ρ = väliaineen tiheys (ilmalle 1.5 kg/m 3 ) A = kappeleen pinta-ala edestäpäin katsottuna v = kappaleen nopeus

48 Esim. aerodynaamisista vakioista c w Lyhenne: COD = Drag Coefficient = c w Kulkuneuvojen C w vakioita VW X Toyota Prius 0.4 Tesla model S 0.4 Mazda Ford Focus 0.3 Citroen CX 0.36 Transit 0.37 Boeing Airbus Laskuvarjo 1.5 Polkupyöräilijä 1.0

49 Esim1. Laske Priuksen ilmanvastus, kun sen nopeus on 100 km/h F 1 c Av w F N 66N Fysiikassa työ W = F s (F =voima, s = matka) yks. 1 Nm = 1 Joule = J Kuinka suuren työn Prius tekee 100 km:llä? W = 66N* m = J = 6.6 MJ Bensiinimoottoriautojen hyötysuhde on ajossa keskim. 0-5% Loput 75% menee hukkalämmöksi. Ts. bensaa kuluu n 4 ltr/100 km C w = 0.4 ρ = 1.5 A = 1.3*1,76 =.3 m v = 7.78 m/ Bensiinin lämpöarvo = 3 MJ/ltr

50 Esim. Laskuvarjon ala on 40 m. Millä nopeudella 80 kg painoinen hyppääjä putoaa lennon loppuvaiheessa Varjon auettua alkaa nopeasti tasainen putoaminen, jolloin 1 c w w Av mg v mg m 4. c A s m s Hyppääjä putoaa tasaisesti Ilmanvastus ja paino-voima ovat tasapainossa Tällä viikolla harjoituksissa kinematiikan ja dynamiikan tehtävät palautuskuntoon. Voi jo palauttaa tarkistettavaksi (takaraja kuitenkin 1.3) Ensi viikolla Työ, teho, energia, mekaanista energiaa käyttävät voimalat: vesivoimala, tuulivoimala

51 Työ, teho, energia, energiaperiaate Työn määritelmä ja yksiköt Määritelmä1: Kun voima F siirtää kappaletta matkan s voiman suunnassa, voima F tekee työn W = F s Työn yksikkö: Työ = voima matka => Työn yksikkö on = 1 Nm = 1 Joule = 1 J Määritelmä: Kun voima F siirtää kappaletta matkan s ja voiman ja matkan välinen kulma on α, niin voima F tekee työn W = F s cosα Huom! Painovoima ei tee työtä, kun satelliitti kiertää maata, koska painovoima ja nopeus ovat koko ajan 90 kulmassa. => satelliitti saattaa kiertää maata kymmeniä vuosia. Määritelmä3: Kun voima F muuttuu jatkuvasti matkalla s ja voiman ja matkan välinen kulma on α, niin voima F tekee työn W = 0 s F.ds

52 tyo_teho_energia.nb Käytännössä työ lasketaan voimakäyrän F(s) ja s-akselin välisenä pinta-alana s,f - koordinaatistossa. Painovoimaa vastaan tehty työ - nostotyö Esim5. Kuinka suuri työ tehdään a) kun 100g painoinen kirja nostetaan pöydältä hyllylle. joka on 100 cm ylempänä b) 5000 kg painoinen kontti nostetaan laiturilta laivan kannelle 8 m korkeuteen c) 80 kg painoinen henkilö kiipeää Saanatunturille (korkeusero Kilpisjärveltä n. 500 m) Ratk. a) W = Fs = mgh = 0.100kg*9.8m/s *1.0 m = 0.98 J = 1.0 J b) W = mgh = 5000kg*9.8 m/s *8.0 m = J = 390 kj c) W = mgh = 80kg*9.8 m/s *500.0 m = J = 390 kj Nostotyö W = m g h m = nostettava massa g = 9.8 m/s h = korkeusero Energia = kyky tehdä työtä Työn/energian toinen yksikkö on 1 kwh = 3.6 MJ Energia ( symboli E tai W) Energia on kyky tehdä työtä, varastoitunutta työtä => Energian yksikkö on 1 Joule Toinen energian yksikkö on kwh = 3.6 MJ Teho P (power) Tehon määritelmä Määritelmä: P = W t = työ työhön kulunut aika Tehon yksikkö

53 tyo_teho_energia.nb 3 Yksikkö 1 J s = 1 Watti = 1 W Vanha yksikkö: 1 hv = 0.75 kw Seuraus1: W = P*t Kun nostat 100 g kirjan 1 m korkeuteen 1 s:ssa on teho 1 Watti. Esim6. Painonnostaja nostaa 130 kg rautaa 1.5 m korkeuteen 1. s:ssa. Laske teho noston aikana. Ratk. P = W t = m g h t = 130 kg*9.8 ms *1.5 m 1 s = 159 W = 1.6 kw Tehon kaava tasaisessa liikkeessä Koska työ W = F s, voidaan teho kirjoittaa muodossa P = F s t, josta tasaisessa liikkeessä saadaan Teho P = F v Esim. Audi ajaa nopeudella 100 km/h, jolloin ilmanvastus on 80 N. Kuinka suuri on auton antoteho (teho ilmanvastusta vastaan). Ratk. P = F v = 80N*7.78 m/s = 7.8 kw Koneen hyötysuhde η (lue: "eetta") Hyötysuhteen määritelmä Määritelmä: koneen hyötysuhde η = P anto P otto Esimerkkejä Auton moottorin hyötysuhde on tavallisessa ajossa n. 0%. (80 % bensiinin palamisenergiasta menee hukkalämmöksi). Satamanosturin hyötysuhde voi olla esim. 70 %. Sähkömoottoreissa hyötysuhde on jopa 97%.

54 4 tyo_teho_energia.nb Esim 7a). Liukuportaat nostavat matkustajia metroasemalta 30 m ylöspäin olevalle katutasolle. Ruuhkaaikana määrä voi olla 10 henkeä minuutissa. Laske portaiden kuluttama sähköteho, jos matkustajan keskipaino on 75 kg. Portaiden hyötysuhde on 70%. Ratk. Kaavasta η = P anto P otto lasketaan ottoteho P otto. P otto = 1 η P anto = 1 η m g h t = 1 10*75 kg*9.8 ms *30 m = W = 63 kw s Sähköä kuluu 63 kw teholla ruuhka-aikana. 7b) Jatkotehtävä: Kuinka paljon sähkö edellisessä maksaa 1 kk:ssa hinnalla 10 cnt/kwh jos keskim. kulutus on 0 kw. ( Oletus, portaat toimivat 18 h vrk:ssa ) Ratk. 1kk:ssa kulutettu energia W = P*t = 0kW*(30*18 h) = kwh rahallinen arvo 1080 Euroa kk:ssa Esim9. Laske ruotsinlaivan tehonkulutus kun veden vastus on 3.0 MN ja ajonopeus 40 km/h Ratk. P = F v = 3.0*10 6 N*11.11 m/s 40 km/h = m/s = 3.3*10 7 W = 33 MW (Wikipedia: 6 MW) Esimerkkejä tehoista vrt. yksi tuulivoimala tuottaa vesivoimala tuottaa esim. ydinvoimalayksikkö tuottaa 3 MW 60 MW MW 1600 MW MW Esimerkkejä energioista vrt. Auton käynnistysakku sisältää energiaa Wh AA- paristo sisältää energiaa - 3 Wh Esim 10. Erään pienen henkilöauton aerodynaaminen muotovakio on 0,33, etukuvannon pinta-ala.4 m. Auton moottorin teho on 55kW. Laske a) ilmanvastus ajettaessa nopeudella 100 km/h b) polttoaineen kulutus ajettaessa nopeudella 100 km/h, jolloin auton hyötysuhde on 4%. Bensiinin lämpöarvo on 3 MJ/ltr c) auton huippunopeus

55 tyo_teho_energia.nb 5 Ilman tiheys on 1.5 kg/m 3. a) ilmanvastus F = 1 c w ρ A v = *1.5*.4* 7.78 N = 38 N b) Pottoaineen kulutus / 100 km antotyö 100 km:lla Wa = F s = 38N * m = J (työ ilmanvastusta vastaan) ottotyö Wo = Wa/η = J/0.4 = J (polttoaineesta otettu energia) polttoaineen kulutus = J / J/ltr = 4.97 ltr = 5.0 ltr ( 100 km:lla) c) Huippunopeus saadaan ratkaisemalla nopeus yhtälöstä P = F v, missä P = maksimiteho Voima F on ilmanvastus ja sisältää myös nopeuden v toisen potenssin, joten yhtälö saa muodon P = 1 c w ρ A v 3 => solve = 0.5*0.33*1.5*.4*v 3 => v = 48.1 m/s = 173 km/h

56 Mekaanisen energian lajit: Potentiaali- ja liike-energia Mekaaninen energia Potentiaalienergia E p Kun kappale, jonka massa on m, nostetaan korkeudelle h, tehdään nostotyö W = mgh. Nostotyö varastoituu kappaleen potentiaalienergiaksi. Mm. vesivoimala hyödyntää potentiaalienergiaa. Potentiaalienergia E p = m g h (potential energy) Liike-energia E k Kun levossa olevaa kappaletta m työnnetään vakiovoimalla F aika t, on voiman F tekemä työ W = Fs = ma* 1 at = 1 m (at) = 1 m v. ( ks. kiihtyvän liikkeen kaavat: v = at ja s = 1 a t, kun alkunopeus v 0 = 0) Tämä "kiihdytystyö" varastoituu kappaleeseen liike-energiaksi. Tuulivoimala käyttää liike-energiaa. Liike - energia E k = 1 m v (kinetic energy) Esim 10. Auto (m = 1500 kg) kiihdyttää levosta nopeuteen 90 km/h. Paljonko autolla on liike-energiaa? Ek= 1 m v = 1 *1500kg (5 m/s) = J 0.47 MJ

57 energiaperiaate.nb Määritelmä: Kappaleen mekaanisella energialla tarkoitetaan sen liike- ja potentiaalienergian summaa: E mek = 1 m v + m g h Mekaanista energiaa käyttävät voimalat Vesivoimala muuttaa veden potentiaalienergiaa sähköksi Vesivoimalan sähkötehon laskeminen Turbiinit kykenevät muuttamaan veden mekaanista energiaa sähköksi hyvällä hyötysuhteella. Hyötysuhde on tyypillisesti n. 9%. Ottoteho on potentiaalienergiasta peräisin ja antoteho on sähköä. => P sähkö = η P otto Vesivoimalan tuottama sähköteho P = η m g h t η = turbiinien hyötysuhde m = ajassa t putoavan veden massa g = 9.8 m/s h = putouskorkeus Esimerkit Esim 11. Petäjäskosken voimalan vesipintojen korkeusero on 0 m. a) Laske sen tuottama sähköteho, kun juoksutus turbiinien läpi on 700 m 3 /s. Turbiinien hyötysuhde on 0.9. huom! kuutio vettä painaa 1000 kg

58 energiaperiaate.nb 3 P = η m g h t =0.9* kg*9.81 ms *0 m 1 s = 1.6*10 8 W = 16 MW Esim.1 Laske voimalaitoksen kuukaudessa tuottama energia ja energian myyntiarvo, jos sen keskiteho on 50 MW. (a' -hinta on 4.0 cnt /kwh) Kk: ssa tuotettu energia kwh :eina W = P t = kw*30*4 h = 36 milj. kwh rahana * 0.04 Euroa = 1.44 M Tuulivoimala muuttaa ilman liike-energiaa sähköksi Tuulivoimalan sähkötehon laskeminen Tuulivoimalassa hyötysuhde on tavallisesti n. 40%, koska tuulta ei voi pysäyttää niin täydellisesti kuin vettä vesivoimalassa. Lisäksi turbiinien hyötysuhde on muutoinkin heikompi. Periaate: Siivekkeet pyöriessään ottavat energiaa alueelta, jota sanotaan roottoriympyräksi ja jonka ala on π r. Jos tuulen nopeus on v, niin ajassa t roottoriympyrän läpi menevän ilman tilavuus V = π r vt ja massa m = ρ π r vt. Voimala käyttää liike-energiaa, joten sen sähköteho saadaan kaavasta tuulivoimalan sähköteho P = η 1 m v t, missä m = ρ V = ρ π r v t Ilman tiheys ρ = 1.3 kg/m 3 tuulivoimalan sähköteho P = 1 η ρ π r v 3 ρ = 1.3 kg/m 3 = ilman tiheys η = tuulivoimalan hyötysuhde r = siivekkeen pituus v = tuulen nopeus

59 4 energiaperiaate.nb Teho verrannollinen siivekkeen pituuden neliöön ja tuulen nopeuden kuutioon. (Myrskyllä ei voi käyttää) Esimerkki Esim 13. Erään tuulivoimalan siiven pituus on 45 m. Laske sen tuottama sähköteho tuulen voimakkuudella 1 m/s. Voimalan hyötysuhde on 40%. Ilman tiheys on 1.5 kg/m 3. P = = 1 1 η ρ π r v 3 *0.4* 1.5 kg m 3 * π *(45 m) 1 m s 3 =.7 MW Mekaanisen energian säilymislaki Mekaanisen energian säilymislaki kaavana Kappaleen liikkuessa painovoimakentässä niin, että siihen ei vaikuta painovoiman lisäksi muita voimia jotka tekisivät työtä, sen mekaaninen energia on vakio. Ts. kappaleen potentiaalienergian ja kineettisen energian summa on vakio. 1 m v + m g h = vakio (ts. kappaleen mekaaninen energia on vakio, jos vastusvoimia ei esiinny) Esimerkit Esim 14. Kivi heitetään alkunopeudella 5 m/s 30 m korkean kerrostalon katolta. Millä nopeudella se osuu maahan?

60 energiaperiaate.nb 5 Merkitään lähtöpistettä katolla A:lla ja maan pintaa B:llä Mekaaninen energia säilyy => m g h A + 1 m v A = m g h B + 1 m v B sij. ha = 30, va = 5.0 hb = 0 (maan pinta) ratkaistaan vb g h A + 1 v A = 0 + g h A + v A = v B 1 v B massat supistettu pois v B = g h A + v A = *9.81* = 4.8 m/s Yleinen energiaperiaate Yleinen energiaperiaate kaavana Kun kappalee liikkuu painovoimakentässä ja siihen vaikuttavien ulkoisten voimien tekemä työ on W, kappaleen mekaaninen energia muuttuu tehdyn työn määrällä W 1 m v 1 + m g h 1 + W = 1 m v + m g h Useimmissa esimerkeissä W on kitkavoiman tekemää työstä. Se on miinusmerkkistä, koska kitkavoiman suunta on päinvastainen kuin liikkeen suunta. Kitkatyö pienentää mekaanista energiaa. Kitkavoiman tekemä työ tasaisella alustalla W = - μ m g x x = kuljettu matka Esimerkit Esim16. Laske auton jarrutusmatka tasaisella tiellä 90 km/h ( = 5 m/s) nopeudesta, kun liukukitkakerroin on Käytä energiaperiaatetta: 1 m v 1 + m g h 1 + W = 1 m v + m g h Autolla on ennen jarrutusta liike-energia 1 m v, pysähtymisen jälkeen sillä ei ole mekaanista energiaa lainkaan: Liike-energia on muuttunut kitkavoiman tekemäksi työksi. 1 m v = μ m g x (kitkavoima x matka) => v = auton nopeus 1 v = μ g x => x = v m = /5 s μ g x = jarrutusmatka *0.5*9.81 m s = 63.7 m μ = kitkakerroin Esim 17. Puupalikka liukuu 5 m korkean talon katolta ensin räystäälle ja putoaa sieltä alas. Räystään korkeus maasta on.5 m, katon kaltevuus on 30. Laske nopeus, jolla palikka

61 6 energiaperiaate.nb osuu maahan seuraavissa tapauksissa a) Kitkaa ei ole ( katto ja puupalikka ovat jäisiä) b) Kitkakerroin katon ja puun välillä on 0.3. a) Katon harjalla palikalla on potentiaalienergia m g h ( missä h = 5 m), joka maahan tullessa 1 on muuttunut liike-energiaksi m v => maahantulonopeus v saadaan yhtälöstä m g h = 1 m v => v = g h = *9.81 m * 5 m = 9.9 m/s s b) Tässä voidaan asettaa massalle arvo m = 1. Mekaaninen energia ei säily, vaan osa potentiaalienergiasta kuluu kitkavoiman tekemään työhön W kappaleen liukuessa kattoa pitkin: Kitkatyö W = kitka*matka = -μ m g cos30 *.5/sin30 = -0.3*1*9.81*cos30 *.5/sin30 = J => maahantulonopeus v saadaan yhtälöstä m g h + W = 1 m v => 1*9.81* = 1 *1*v => = 1 *v v = *36.31 = 8.5 m/s

62 Voiman momentti, jäykän kappaleen tasapaino Voiman momentti M (engl. torque) Mutterin irrottamiseen jakoavaimella tarvitaan tietyn suuruinen vääntömomentti. Sen sijaan ei voida sanoa, kuinka suuri voima tarvitaan, koska siihen, lähteekö mutteri irti, vaikuttaa voiman lisäksi yhtä paljon voiman varsi eli jakoavaimen pituus. Määritelmä Voiman F momentti M = F r (1) F = voiman suuruus r = voiman vaikutussuoran kohtisuora etäisyys momenttiakselista eli voiman varsi Momentin etumerkkisäännöt Momentti M > 0, jos voima pyrkii kääntämään kappaletta vastapäivään Momentti M < 0, jos voima pyrkii kääntämään kappaletta myötäpäivään Momenttiavain

63 momentti1.nb (Mm. korjaamossa auton sylinterikannen mutterit on väännettävä tiettyyn momenttiin) Esim. Kuinka suuri voima tarvitaan, kun kiristetään auton renkaan mutteria 1 Nm momenttiin käyttäen rengasrautaa, jonka varren pituus on 45 cm. Perusyhtälöä M = F r käyttäen => F = M / r = 1Nm/0.45 m = 48 N Tarvittava voima on 48 N Auton moottorin vääntömomentti Auton moottorin suorituskykyä mittaa paitsi teho, myös sen vääntömomentti. Renkaille välittyvä voima riippuu vaihteesta, jolla ajetaan, mutta momentti on sama kaikilla vaihteilla ajettaessa. Kaksivartinen vipu Erilaisilla vivuilla pyritään pienentämään käytettävää voimaa F suhteessa kuormavoimaan Q. F r 1 = Q * r = > F = r r 1 Q Esim. Kaksivartisella vivulla yritetään nostaa 100 kg painava kivi kuopasta. Kuvan vivun alla on tuki 5 cm päässä kivestä. Kuinka pitkä vivun on oltava, jotta kivi nousisi käyttäen 5 kg:n eli n. 50 Newtonin voimaa? Kuormavoima on kiven paino Q = m g = 100 kg *9.8 m/s = 980 N Sen varsi r = 0.5 m Käytettävä voima F = 50. Sen varsi r1 saadaan ratkaisemalla 50*r1 = 980*0.5 => r1 = 0.98 m = 98 cm eli n. 1 m Vivun kokonaispituus r1 + r = n. 1.5 m

64 momentti1.nb 3 Jäykän kappaleen tasapaino Jäykkä kappale on tasapainossa, jos se on levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä ja lisäksi se ei pyöri tai sen kulmanopeus on vakio Jäykkä kappale on tasapainossa, jos siihen vaikuttavien voimien summa = 0 : F i = 0 siihen vaikuttavien momenttien summa = 0 : M i = 0 () (momentit voi laskea minkä tahansa akselipisteen suhteen) Momenttilaskun vaiheet: 1. Piirrä voimavektorit kuvaan kohtiin, joihin ne vaikuttavat. Tuntemattomia voimia merkitään symboleilla, esim. F1, N1, N,..) (symmetristen kappaleiden painovoimavektorit mg merkitään vaikuttamaan niiden painopisteeseen). Merkitään kuvaan A - kirjaimella momenttiakselipiste, jonka suhteen momenttivarsia jatkossa lasketaan ( pisteen A voi valita vapaasti, koska laskun tulos ei riipu sen valinnasta, mutta helpoimmat yhtälöt, valitaan, jos akseliksi valitaan jonkin tuntemattoman voiman vaikutuspiste) 3. Määritetään esim. taulukon muodossa voimat, voimien momenttivarret, sekä momentin vääntösuunnat ( etumerkki + tai -) 4. Muodostetaan tasapainoyhtälöt yht. 1 : momenttien summa = 0 yht : voimien summa = 0 5. Ratkaistaan yhtälöparista tuntemattomat voimat. Esim.: Laske kuvan tukivoimat N1 ja N, kun 5 kg painavan palkin pituus on 40 cm ja tuki N1 sijaitsee 10 cm palkin vasemmasta päästä, ja tuki N 30 cm palkin oikeasta päästä.

65 4 momentti1.nb Valitaan momenttiakseliksi A tukipiste kohdassa N1: Listataan voimien momentit ja varret A:n suhteen F r M 45 (painovoima) 1.10 m -45*1.1 = N1 0 0 N.00 m.0*n Momenttien summa = 0 <=>.0 N = 0 => N = Voimien summa = 0 <=> N1 + N = 45 => N1 = 45 - N1 = = 110. Vastaus: Tukivoimat ovat N ja 110. N Tehtävän olisi voinut ratkaista myös suoraan solvella yhtälöparista.0 N = 0 (momenttiehto) N1 + N = 45 (voimien summa = 0) Esimerkki: Laske tukivoimat N1 ja N, kun tiedetään, että kuvan 300 cm pitkä palkki painaa 10 kg ja sen päällä lepäävä punnus 5 kg. Tukien paikat ja punnuksen sijainti ilmenevät kuvasta. Valitaan momenttiakseliksi A tukipiste kohdassa N1: Listataan voimien momentit ja varret A:n suhteen F r M 98 (palkin paino) 1.50 m - 147

66 momentti1.nb 5 (palkin paino) 49 /punnnus(.00 m -98 N1 0 0 N.80 m.8*n Momenttien summa = 0 <=>.8 N = 0 =>.8 N = 45 => N = 87.5 Voimien summa = 0 <=> N1 + N = 147 => N1 = N = = 49.5 Vastaus: Tukivoimat ovat N1 = N ja 110. N Tehtävän olisi voinut ratkaista myös suoraan solvella yhtälöparista.7 N = 0 (momenttiehto) N1 + N = (voimien summa = 0)

67 Painopiste center of mass

68 Painopiste Tarvitaan, kun a) kappale koostuu symmetrisistä osista, joiden massat tunnetaan tai b) kappaleen massa on jakautunut laajemmalle alueelle. Painipiste on sellainen piste, että kun kappaleen koko massa (paino) sijoitetaan painopisteeseen, kappaleen painovoimalla on sama momentti esim. origon suhteen, kuin kappaleen osilla olisi, jos momentit lasketaan erikseen. 0 m1 m m1+ m+ m3 x 1 x x 3 X p m3 x Momenttien summa m 1 g x 1 + m gx + m 3 g x 3 = (m 1 +m +m 3 )g X p Supistetaan g pois Jaetaan (m 1 +m +m 3 ):lla Painopisteen laskukaavat x y p p m1x 1 mx m m 1 m1 y1 m y m m 1... m... m n... m... m n n n x y n n Tulkinta: Massapistesysteemin painopiste = sen osamassojen koordinaattien painotettu keskiarvo. Painokertoimina ovat massat.

69 (Tasapaksun) kolmion painopiste Vrt. Lin.algebra (x, y) (x1, y1) x p x 1 x3 x 3 (x3, y3) y p y 1 y3 y 3 Kolmion painopiste on sen keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste. Kun tunnetaan kolmion kärkipisteiden koordinaatit, kolmion painopiste lasketaan niiden koordinaattikeskiarvona

70 Painopisteen ominaisuuksia P Kappale pysyy tasapainossa, kun se tuetaan painopisteen kohdalta. Ripustettaessa kappaleen painopiste asettuu ripustuspisteen alapuolelle Huom! Momenttilaskuissa kappaleiden painovoimavektorit sijoitetaan niiden painopisteisiin.

71 Esim. 1 x p m1x 1 mx m m 1... m... m n n x n Kuvassa on kalapuntari, jossa on liikuteltava kahva, varsi ja vastapaino. Kahvan kohdalta luetaan punnittavan kalan paino. Laske millä kohdalla kahva on kun kalan painon on 3000 g. x p m1x1 mx m m 1 m3x3 m m m x 4 Kahva siirretään vaa an painopisteen kohdalle => x p 1. 9cm

72 Esim. Laske keltaisella värjätyn levyn painopisteen koordinaatit (mittayksikkönä 1 ruudun leveys) Osa1: m1 = 6, x1=1.5 y = 1 origo Osa: m = 18, x=4 y = 0.5 Osa3: m3 = 18, x3=6 y = -3.5 x p 6*1.5 18*4 18* y p 6*118*0.5 18*( 3.5)

73 Esim3. (0,0) (3,0.5) A m = 300 kg m N 1 N (4.5,0) Laske N1 ja N 1) Merkitään voimat kuvaan: Yksi puuttuu: mg = 300kg*9.8 m/s = 940 N Sijainti = katon painopisteen X-koordinaatti: Xp= ( )/3 =.5 ) Valitaan momenttiakseliksi A vasen tukipiste: Kirjoitetaan momenttiehto: -940*.1 = ( momentin suunta : myötäpäivään = miinus) N1*0 = 0 N* m 0.4m +0.3 m = 3.8m (tukien väli) Tasapainossa momenttien summa = 0 => N* = 0 => N = 6174/3.8 = 165 ( vastaa 166 kg) Voimaehto: N1 + N = 940 => N1 = 940 N = = 1315 N (vastaa 134 kg)

74 Jatkuvasti jakautuneen massan painopiste * Kuvan muotoinen kuorma voitaisiin jakaa Ao. tapaan kolmioihin ja suorakaiteisiin, joiden painopisteet tiedetään. * Koko alueen painopiste saadaan näistä painopisteen kaavalla.

75 Nesteiden fysiikkaa Fys. koe ti 5.4 (uus. pe 8.4)

76 Paine p pressure F F p A A Paine = voima / pinta-ala Perusyks. 1 N/m = 1 Pascal = 1 Pa Muita yks: 1 bar = Pa 1 mmhg = 133 Pa

77 Tiheys ρ (lue: ro ) Kappaleen tiheys on sen massan suhde tilavuuteen, eli massa tilavuusyksikköä kohden density m V Tiheyden perusyksikkö on 1 kg/m 3 Tiheyksiä: Vesi 1000 kg/m 3 Etanoli 790 kg/m 3 Teräs n kg/m 3 Betoni kg/m 3 Tiili n kg/m 3 Kulta kg/m 3

78 Nestepaine (hydrostatic pressure) Laske kokonaispaine 5.0 m syvyydellä vedessä, kun paine pinnalla on kpa. Nestepatsaan paine syvyydellä h on nesteen paino / pohjan pinta-ala: p = mg/a = ρvg/a = ρhg ρ = nesteen tiheys h Kokonaispaine syvyydellä h saadaan lisäämällä nestepaineeseen pinnalla vallitseva paine p 0 = Pa pressure p Kok.paine p = p 0 + ρhg =( *5.0*9.8)Pa = Pa=150kPa Nestepaine syvyydellä h ph g

79 Nestepaine p = ρhg Erona esim. tiiliseinän puristuspaineeseen on, että 1. nesteessä paine leviää tasaisesti joka suuntaan. Paine riippuu pelkästään etäisyydesta nestepinnasta 3. Paine ei siten riipu yläpuolella olevan nestepatsaan leveydestä tai muodosta. (sormen paksuinen nestepatsas aiheuttaa saman paineen teityllä syvyydelä kuin järvi)

80 U putki barometri Ilmanpaine = elohopeapatsaan nestepaine = ρgh, where ρ = kg/m 3 (elohopean tiheys) Esim. Kuinka korkealle elohopeapatsas nousee a) Kun ilmanpaine on normaali kpa b) rajuilmalla, jolloin ilmapaine on 97.8 kpa a) ρgh= => h = /(13600*9.8) = m = 760 mm b) ρgh=97800 => h = 97800/(13600*9.8) = m = 734 mm

81 Painemittareita ja yksikköjä Perinteinen verenpainemittari on elohopeaputki. Verenpainelukemien 135 / 80 yksikkö on elohopeamillimetri mmhg, (Myös nykyisissä digitaalimittareissa) Rengaspainemittari on ylipainemittari, joka mittaa rengaspaineen ja normaalin ilmanpaineen erotusta. Yksikkö on 1 bar = Pa 1 bar on lähes yhtä kuin ilmapaine, joka on bar Kun rengaspaine on.1, se tarkoittaa, että renkaassa on ylipaine.1 bar, absoluuttipaine =.1+1 = 3.1 bar

82 Sovellus: syvyysmittari, korkeusmittari 1. Sukellusveneen syvyysmittari perustuu paineen mittaukseen. Kuinka syvällä sukellusvene on, kun painemittari näyttää 500 kpa. (Ilmanpaine p 0 pinnalla on 103 kpa ja meriveden tiheys ρ = 1030 kg/m 3.) Ratk. Paine p syvyydellä h saadaan kaavasta p = p 0 + ρhg. Sijoitetaan lukuarvot p = , p 0 = , ρ = 1030, g = 9.81 => = *9.81*h => Syvyys h =396900/(1030*9.81) m= 39.3 m. Lentokoneen lähestyessä kenttää lentokapteen saa lennonjohdota ilmanpaineen arvon kentällä. Laskeutumisen aikana koneen korkeus määritetään painemittauksella. Mikä on koneen lentokorkeus, kun painemittari näyttää 98.6 kpa. Ilmanpaine kentän pinnassa on 99.8 kpa (Ilman tiheys ρ = 1.7 kg/m 3 ) Ratk. Paine ero p = ( ) kpa = 1. kpa johtuu ilmakehän paineesta, joka on nestepaineen kaltainen lisääntyen alaspäin tultaessa: Kaavasta p = ρhg saadaan tulos: Koneen korkeus kentän pinnasta h = p/(ρg) = 100Pa /(1.7 kg/m 3 *9.81m/s ) = 96 m

83 Arkhimedeen laki Nostevoima F n = ρ Vg h1 h ρ = nesteen tiheys Nesteessä paine vaikuttaa kappaleen kaikkiin seinämiin. p 1 = ρ h 1 g p = ρ h g A h=h 1 -h Nostevoima F n Vg Koska paine alapintaan on suurempi kuin yläpintaan, kappaleeseen vaikuttaa nostevoima F =Δp*A =(p -p 1 )A = ρ(h -h 1 )Ag = ρ Ahg = ρ Vg ρ= nesteen tiheys V= kpl:n tilavuus Arkhimedeen laki : Nettovoima ylöspäin eli nostevoima = kappaleen syrjäyttämän nestemäärän paino (= kappaleen kokoisen nestemäärän paino)

84 Esim. Kappaleen paino ilmassa on 50 g ja vedessä 30 g. Mikä on kappaleen tiheys? noste Tiheys = kappaleen todellinen paino vastaavankok.vesimäärän paino *veden tiheys = 50 g 50 g 30g *1000kg m3 = 500 kg/m3 Arkhimedes keksi lain, kun hänen piti selvittää onko hallitsijan kultakruunu puhdasta kultaa. Kullan tiheys on kg/m 3, joten aidon kultaesineen paino vähenee vedessä vain n. 5%.

85 Vettä tiheämmän kappaleen tiheyden määritys Mittaukset Punnitaan kappale ilmassa G 1 = m 1 g Punnitaan kappale vedessä G = m g G 1 = ρ x Vg G 1 -G = ρ v Vg G 1 /(G 1 -G ) = ρ x / ρ Punnitustulos ilmassa on kappaleen paino Noste, eli kappaleen kokoisen vesimäärän paino Yo. yhtälöt jaettu puolittain Kappaleen tiheys ρ x = G 1 /(G 1 -G ) * ρ v Kappaleen painot Newtoneina voidaan korvata massoilla x G 1 GG 1 v m 1 mm 1 v m 1 = punnitustulos ilmassa m = punnitustulos vedessä ρ v = veden tiheys = 1000 kg m 3

86 Kelluvan kappaleen tiheyden määritys Seuraava metodi sopii symmetriselle kappaleelle Määritä, kuinka monta prosenttia kappaleen tilavuudesta on veden pinnan alapuolella Olkoon kappaleen tilavuus V josta pinnan alla tilavuus V v Kappale kelluu levossa => kappaleen paino ja noste ovat samat Ts. ρ V g = ρ v V v g Tästä saadaan kappaleen tiheys V v V v V = kappaleen tilavuus V v = veden alla oleva tilavuus ρ v = veden tiheys (1000 kg/m 3 ) Esim. Kelluvasta merijäästä 89% on pinnan alla. Mikä on jään tiheys? (Meriveden tiheys on suolasta johtuen 1030 kg/m 3 ) Ratk: Jään tiheys ρ = 89%* ρ v = 89%*1030 kg/m 3 = 916 kg/m 3

87 Nesteen tiheyden määritys Punnitaan kappale ilmassa, vedessä ja tutkittavassa nesteessä 1) Paino ilmassa G1 1) Paino vedessä G ) Paino nesteessä G3 Noste vedessä = Kappaleen kokoisen vesimäärän paino ρ v Vg = G1-G Noste nesteessä = Kappaleen kokoisen nestemäärän paino ρ x Vg = G1-G3 Tiheyksien suhde ρ x / ρ v = (G 1 -G 3 )/(G 1 -G ) => Nesteen tiheys x G 1 G GG 1 3 v m 1 m mm 1 3 v m 1 = punnitustulos ilmassa m = punnitustulos vedessä m 3 = punnitustulos nesteessä ρ v = veden tiheys = 1000 kg m 3