Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa"

Aila Lehtinen
9 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti ja kokeellisesti haastavaa. Olettamalla neste kokoon puristumattomaksi ja tarkastelemalla vain laminaarista ja ajasta riippumatonta virtausta konservatiivisessa kentässä (esim. painovoima) päästään huomattavasti helpompaan käsittelyyn. Näillä oletuksilla voidaan johtaa alla esitetty nesteiden virtauksen teoria. A 1 u 1 A u Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa Tarkastellaan virtausta putkessa, jossa putken poikkileikkauksen pinta-ala ei ole vakio. Nesteelle on voimassa ns. virtauksen jatkuvuusyhtälö, jonka mukaan putken jokaisen poikkileikkauksen läpi virtaa samassa ajassa yhtä paljon nestettä. Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon V! = u =, (1) 1A1 u A missä V! on poikkipinnan läpi kulkeneen nestemäärän tilavuus aikayksikössä, u i on nesteen keskimääräinen nopeus aukossa i, kun A i on aukon i pinta-ala (i=1,). Energian säilymistä virtauksen aikana kuvaa Bernoullin yhtälö, jossa on havaittavissa liikeenergiatermi, potentiaalienergiatermi ja painetermi. Yhtälö voidaan esittää muodossa 1!u +!gz + p = ", () missä ρ on nesteen tiheys, g on putoamiskiihtyvyys, p on nesteessä vallitseva paine ja z on tarkastelukohdan korkeus jostain sopivasti valitusta nollatasosta. Yhtälön oikealla puolella esiintyvä termi Ε on vakio, jonka dimensiona voidaan käyttää [J/m 3 ] kuvaamaan virtauksen energiatiheyttä. Koska yhtälössä () Ε on vakio, voidaan Bernoullin yhtälö kirjoittaa yhtä aikaa usealle tarkastelupisteelle:! u +! gz + p =! u1 +! gz1 + p1 =! u +! gz + p =... (3) Yhtälössä on huomattava, että tarkastelukohdassa oleva paine on ulkoisen paineen ja hydrostaattisen paineen summa. Yhtälö (3) on voimassa häviöttömässä virtauksessa, ts. silloin, kun väliaineen vastusta ei ole otettu huomioon. Jos halutaan ottaa pienet häviöt huomioon, voidaan Bernoullin yhtälö kirjoittaa muodossa 1!u +!gz + p =!u i +!gz i + p i + " i (4) missä termit ε i ovat virtauksen energiahäviöitä (tai virtaushäviöitä tai painehäviöitä) valitun nollapisteen ja mittauspisteen välissä.

Olettamalla neste kokoon puristumattomaksi ja tarkastelemalla vain laminaarista ja ajasta riippumatonta virtausta konservatiivisessa kentässä (esim.

2 8. Poiseuillen laki Kun nesteen sisäinen kitka (vrt. työ 9) kasvaa riittävän suureksi, virtauksessa tapahtuvat häviöt tulevat merkityksellisiksi, ja energiaperiaate (Bernoullin yhtälö) ei riitä ongelman ratkaisuun. Tarkastellaan seuraavassa virtausta suorassa sylinterinmuotoisessa putkessa, jonka pituus on l ja halkaisija R (kuva a). Putken päihin vaikuttavat paineet p 1 ja p (p 1 >p ). Oletetaan, että virtaus on laminaarista, jolloin nestehiukkaset kulkevat putken akselin suuntaan. Putken seinämillä nestehiukkaset ovat paikoillaan kitkan vaikutuksesta. Siirryttäessä keskemmälle virtausnopeus kasvaa saavuttaen maksimiarvonsa putken keskiakselilla. Liikettä vastustava voima aiheutuu siten eri nopeudella toistensa suhteen liukuvien nestekerrosten välisestä kitkasta. r a) R r b) v(r) Kuva : a) Suora sylinterinmuotoinen putki, jossa neste virtaa laminaarisesti paine-eron p 1 -p vaikutuksesta, b) nesteen virtausnopeus putken poikkileikkaustasossa Kitkan laskemista varten ajatellaan putken keskelle halkaisijaltaan r oleva sylinteri (pituus l), joka liikkuu nopeudella v. Sylinterin päätyihin vaikuttava paine-ero aiheuttaa sylinteriin ulkoisen voiman F u =!r p 1 "!r p. (5) Dynaamisen viskositeetin määritelmän 1! = F k A dv dr (6) perusteella, kun huomataan, että dv/dr <, saadaan r-säteisen sylinterin vaippaan vaikuttavaksi liikettä vastustavaksi kitkavoimaksi F k ( r) =!" # $r! l # dv. (7) dr r Tasapainotilassa, jolloin virtausnopeus ei muutu ajan funktiona, ulkoinen voima ja kitkavoima ovat yhtäsuuret, eli (p 1! p )"r =!# $ "r! l $ dv dr r. (8) Kun muuttujat erotetaan ja muistetaan, että v(r)=, saadaan integroimalla yhtälöä 1 Esim The Feynman Lectures on Physics, vol II Ch 41, Addison-Wesley, 1964

Tarkastellaan seuraavassa virtausta suorassa sylinterinmuotoisessa putkessa, jonka pituus on l ja halkaisija R (kuva a). Putken päihin vaikuttavat paineet p 1 ja p (p 1 >p ).

3 v! dv = " p " p #! l r! rdr, (9) R lauseke virtausnopeudelle v( r) = 1 4!! p! l ( R " r ). (1) Tästä nähdään, että nesteen nopeus muuttuu parabolisesti putken poikkileikkaustasossa, kuten kuvassa b on esitetty. Putken läpi kulkevan tilavuusvirran laskemiseksi tarkastellaan onttoa nestesylinteriä, jonka sisäja ulkosäteet olkoot r ja r+dr. Ajassa t sylinteriä pitkin virtaa nestemäärä dv = (!rdr) ( v! t) (11) Siten koko putken läpi virtaa samassa ajassa nestemäärä!v! dv = "! t 1! p 4#! l josta tilavuusvirraksi saadaan Poiseuillen virtauksessa R! ( R $ r ) rdr, (1)!V =!V! t =!! p 8"! l # R4, (13) ja lauseketta voidaan käyttää viskositeetin määrittämiseen. Toisaalta tästä yhtälöstä voidaan ratkaista tunnetulle nesteelle myös putken päiden välillä vaikuttava paine-ero! p = 8!! l!v, (14) " R 4 joka tasapaksun putken tapauksessa kuvaa virtauksen energiatiheydessä tapahtunutta pienenemistä. 8.3 Virtauksen laminaarisuus Nestevirtausta voidaan pitää laminaarisena, kun putken dimensioiden, nesteen ominaisuuksien ja virtausnopeuden avulla laskettu niin sanottu Reynoldsin luku Re = R u". (15)! jää pienemmäksi kuin. Reynoldsin luvun kasvaessa virtaus muuttuu laminaarista transitiovirtauksen kautta turbulentiksi. Yleisesti turbulentin virtauksen häviöt ovat suuremmat kuin laminaarisen virtauksen.

Putken läpi kulkevan tilavuusvirran laskemiseksi tarkastellaan onttoa nestesylinteriä, jonka sisäja ulkosäteet olkoot r ja r+dr. Ajassa t sylinteriä pitkin virtaa nestemäärä dv = (!rdr) ( v!

4 8.4 Mittauslaitteisto Harjoitustyön tarkoituksena on tutkia Bernoullin ja Poiseuillen lakien pätevyyttä yksinkertaisessa putkistossa sekä määrittää veden viskositeetti. Laitteistossa on kolme manometriä paineen määrittämiseen ja sen suulle voidaan vaihtaa kaksi erilaista suutinta (kuva 3). Toisella suuttimella tutkitaan Bernoullin lakia ja toisella Poiseuillen lakia. Koelaitteistossa nestepinnan korkeus säiliössä on z. Laitteisto sisältää seuraavat komponentit: - vesisäiliö jossa mitta-asteikko - koeputkisto jossa 3 manometriä ja hanat - Bernoullin suutin B, jonka halkaisija kartion kapeammassa päässä on (3. ±.1) mm. - Poiseuillen kapillaarisuutin P, jonka sisähalkaisija on (1.1 ±.) mm ja pituus (1 ± 1) mm. - mittalasi - kello - täyttö- ja tyhjennysputkistot Putkien sisähalkaisijat kuvaan 3 merkittyjen manometrien kohdilla ovat D 1 = (7. ±.1) mm, D = (4. ±.1) mm ja D 3 = (7. ±.1) mm. Pituutta l 1 vastaavan kartiomaisen putken halkaisijaksi voit olettaa D 1 :n ja D :n keskiarvon. B Kuva 3. Mittauksissa käytettävä koejärjestely Bernoullin lakia tutkittaessa nesteen virtausta tarkastellaan vaakasuorassa putkistossa lähtöpisteessä ja kolmessa tarkastelupisteessä, joissa putken poikkipinta-alat ovat A 1, A ja A 3. Kussakin tarkastelupisteessä on nestepatsasmanometrit, joiden avulla voidaan määrittää hydrostaattiset paineet p 1, p ja p 3 nestepatsaan korkeuden h i avulla. Putken suusta tuleva tilavuusvirta V! mitataan, jolloin keskimääräiset virtausnopeudet u 1, u ja u 3 putken eri poikkileikkauksissa saadaan lasketuksi yhtälöstä (1). Saatujen mittaustulosten avulla lasketaan Bernoullin yhtälössä esiintyvät energiatermit, jokaisessa tarkastelupisteessä, ja niiden perusteella arvioidaan energiahäviöiden suuruutta. Jos laitteisto on rakennettu virtaviivaiseksi ja putkien halkaisijat ovat riittävän suuria, häviötermien yhtälössä (4) tulisi olla pieniä muihin termeihin nähden. Virtauksen energiahäviöitä arvioidaan mittaamalla yhtälön (4) mukainen häviö pisteiden 1 ja välillä ja vertaamalla tätä Poiseullen lain antamaan häviöön (14) samojen mittauspisteiden välillä. Koska putki tässä tapauksessa ei ole tasapaksu, putki jaetaan osiin, joille kullekin voidaan arvioida pituus l i ja säde R i ja energiatiheyden häviölle saadaan lauseke P

Koelaitteistossa nestepinnan korkeus säiliössä on z.

5 ! = 8" V #! $ i! l i R i 4 Veden viskositeetti määritetään Poiseullen lailla (13) mittaamalla virtausnopeutta nestepinnan korkeuden funktiona, kun virtausnopeutta rajoitetaan kapillaarisuuttimella P. Paine-ero kapillariputken päiden välillä saadaan, koska kapillaarin alkupäähän kohdistuu hydrostaattinen paine ρgz ja sen loppupää on vapaa.

virtausnopeutta nestepinnan korkeuden funktiona, kun virtausnopeutta rajoitetaan

Samankaltaiset tiedostot

Esim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p).

Esim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p). 3. Peruslait 3. PERUSLAIT Hydrauliikan peruslait voidaan jakaa hydrostaattiseen ja hydrodynaamiseen osaan. Hydrostatiikka käsittelee levossa olevia nesteitä ja hydrodynamiikka virtaavia nesteitä. Hydrauliikassa