Laskuharjoitus 7 Ratkaisut

Transkriptio

1 Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan 1 sauva on kiinnitetty kahden äärettömän jäykän seinän väliin niin, että sauvan päiden liikkuminen on estetty. Sauvaan vaikuttaa etäisyydellä L/3 vasemmasta reunasta voima F. Määritä superposition avulla sauvan resultanttivoimajakauma N x(x) ja itseisarvoltaan suurin normaalijännitys s max. Sauvan poikkipinta-ala on A ja materiaalin kimmokerroin E. Kuva 1 Piirretään VKK ja huomataan, että tehtävä on staattisesti määräämätön, eli tukireaktioita ei voi ratkaista pelkästään tasapainoyhtälöillä. Jaetaan rakenne kahteen osaan superpositioperiaatteen avulla seuraavasti: 1

2 (Virtuaali)tukivoima X saadaan ehdosta, että palkin vasemmassa päässä siirtymä on nolla. 1. osan siirtymän yhtälöksi saadaan: σ = Eε ' = E * +, L ( ' = /'* - * 01( (1) 2. osan siirtymän yhtälöksi saadaan vastaavasti: σ = Eε 23 = E * 4 ( * L 5 = 23* 1( (2) Superpositioperiaatteen avulla voidaan todeta, että DL x + DL F = 0, jolloin /'* + 23* = 0 X = / F (3) 01( 1( 0 Piirretään uusi VKK, jossa on mukana (virtuaali)tukivoima X ja ratkaistaan tukivoima B x F 5 = 0: X F + B 5 = 0 B 5 = X + F = > F (4) 0 Näin ollen resultanttinormaalivoiman jakaumaksi saadaan Ja suurin normaalijännitys on σ?@5 = 2/' 0( (5) 2

3 2. Määritä taivutustaulukoiden ja superposition avulla kuvan 2 rakenteen kallistuskulma kohdassa B. Taivutusjäykkyys rakenteen kaikissa osissa on EI. F = ql. Kuva 2 Rakenne jaetaan pisteessä B kahteen osaan, jotka voidaan ratkaista Liitteen A avulla. Nurkkaliitos on korvattu niveltuilla, jotka sallivat liikkeen yhteen suuntaan sekä tuntemattomalla momentilla M B. Pisteessä C oleva niveltuki on korvattu tukivoimalla F D. Pystypalkin AB kallistuma pisteessä B on β > ja vaakapalkin BD kallistuma pisteessä B on β /. Jatkuvuusehdon perusteella näiden on oltava samat eli β > = β /. Lisäksi tiedetään, että vaakapalkin BD taipuma tuen C kohdalla on nolla, eli v D = 0. Seuraava vaihe on ratkaista Liitteen A avulla kallistumat β >, β / ja taipuma v D palkkien kuormituksien funktiona. Lähdetään liikkeelle palkista BD. 3

4 Jaetaan BD kolmeen tapaukseen alla olevien kuvien mukaisesti. Momentilla kuormitettu palkki on Liitteen A tapaus 16, voimalla kuormitettu palkki tapaus 9 ja jakautuneella kuormalla kuormitettu palkki tapaus 11. Vaakapalkki BD: Tapaus 16 (x = L, l = 2L, M L = M B ): v D,>N = O PQ, N1R , + 5- = O T(/*), Q Q, Q - N1R 2 * 3 *, + *- = O T*, /* (/*), (/*) - W1R β /,>N = O PQ = /O T* 01R 01R Tapaus 9 (l = 2L, F = F D ): v D,Y = 'Q- = 2' [(/*) - = 2' [* - WZ1R WZ1R N1R β /,Y = 'Q, = 2' [(/*), = 2' [*, >N1R >N1R W1R Tapaus 11 (l = 2L, q = q) v D,>> = ]^Q_ = ]^(/*)_ = ]^*_ 0ZW1R 0ZW1R /W1R β /,>> = ^Q- = ^(/*)- = ^*- /W1R /W1R 01R Lasketaan seuraavaksi yllä olevat tapaukset yhteen (muistetaan, että v D = 0): 4

5 v D = v D,>] + v D,Z + v D,>` = O T*, W1R ' [* - N1R + ]^*_ /W1R = 0 (1) β / = β /,>] + β /,Z + β /,>` = /O T* 01R ' [*, + ^*- W1R 01R (2) Seuraavaksi jaetaan pystypalkki AB kahteen tapaukseen alla olevien kuvien mukaisesti; tässä on taas käytössä Liitteen A tapaukset 16 ja 9. Pystypalkki AB: Tapaus 16 (l = L, käännetty koordinaatisto): β >,>N = O PQ = O T* 01R 01R Tapaus 9 (F = ql, l = L): β >,Y = 'Q, >N1R = ^*- >N1R Yhdistetään jälleen yllä olevat tapaukset. β > = β >,>N + β >,Y = O T* 01R ^*- >N1R (3) Nyt meillä on kaksikin lauseketta kysytylle kallistumalle, mutta niissä esiintyy vielä kaksi tuntematonta kuormitusta eli M B ja F D. Meillä on kuitenkin kaksi yhtälöä, joista nämä saadaan ratkaistua; yhtälö (1) ja aiemmin mainittu jatkuvuusehto, jonka mukaan kallistumat palkeissa ovat yhtä suuret β > = β /. Saadaan, että O T* ^*- = /O T* ' [*, + ^*- 01R >N1R 01R W1R 01R (4) Sievennetään nyt yhtälöt (1) ja (4) siten, että kumpaankin jää jäljelle vasemmalle puolelle F D L. F D L = NO T W + 0`^*, /W (5) 5

6 F D L = 4M B + >Y^*, >/ (6) Yhtälöiden (5) ja (6) oikeat puolet voidaan merkata nyt yhtä suuriksi ja ratkaista sieltä tuntematon M B ja sijoittaa se takaisin yhtälöön (6) ja ratkaista F D. NO T W + 0`^*, /W = 4M B + >Y^*, >/ (7) 4 0 / M B = ] W >Y >/ ql/ (8) M B = Z N` ql/ (9) F D L = 4 Z N` ql/ + >Y^*, >/ = /> /` ql/ (10) F D = /> /` ql (11) Nyt tunnetut kuormitukset voidaan sijoittaa yhtälöön (2) tai (3) ja ratkaista pisteen B kallistuma. β > = M BL 3EI ql0 16EI = 8 60 ql/ L 3EI ql0 16EI = 13 ql EI Sama tulos saataisiin myös yhtälöstä (2). Nyt tukivoiman F D ratkaisu ei ollut välttämätöntä, sillä sitä ei tarvittu yhtälössä (3). 6

7 3. Kuvan 3 silta muodostuu kahdesta vierekkäisestä I-palkista sekä sylinterin muotoisesta ponttonista, joka on asennettu pystyyn. Ponttoni tukee molempia palkkeja yhtä paljon. Sillan ollessa kuormittamaton (vain sillan oma paino q s vaikuttaa), ponttonin nostevoiman vaikutuksesta kaikki sillan tukipisteet ovat samalla tasolla. Kummankin I-palkin jäyhyysmomentti on I/2 ja kimmokerroin E. Veden tiheys on r. a. Määritä palkkien taivutustaulukoiden ja superposition avulla ponttonin (noste)tukivoima F P, kun silta on kuormittamaton. b. Määritä, kuinka paljon syvemmälle ponttoni uppoaa, kun sillalla vaikuttaa lisäksi tasaisesti jakautunut kuorma q. a. Kuva 3 Jaetaan rakenne superposition avulla seuraavasti: Liitteen A tapausten 9 ja 11 avulla saadaan taipumien itseisarvoiksi: 7

8 v^j = '@- WZ1R (1) v 'k = ]^j@ _ 0ZW1R (2) Kuormittamattomassa tilassa tukipisteet ovat samassa tasossa. Näin ollen taipumien itseisarvot ovat yhtä suuret, eli ' - = ]^j@_ WZ1R 0ZW1R F l = ] Z q ma (3) b. Palkin vajotessa kuormittamatonta asemaansa syvemmälle tasaisesti jakautuneen kuorman johdosta kasvaa myös nostevoima F P. Nostevoiman suuruus saadaan ponttonin syrjäyttämän vesimäärän painosta. Koska F = mg ja m = Avp, saadaan nostevoimalle lauseke F = Avpg. Lisäksi taipuma on nyt v = v^ v 'k (4) Sijoitetaan taipuman yhtälöön (4) kohdan a. yhtälöt (1) ja (2) sekä nostevoiman lauseke, jolloin saadaan taipumalle v = 5qaW 384EI Avpga0 = 5 48EI 8 qa W 48EI + Apga 0. 8