Derivaatan sovelluksia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Derivaatan sovelluksia"

Transkriptio

1 Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä 8 litraa minuutissa (monisteen esimerkissä on lieriö) Olkoon astian korkeus H = 20 cm ja olkoon kartion R r r R h pohjan (eli läpinnan) säde R = 20 cm Kstään vedenpinnan nousunopeutta sillä hetkellä, jolloin astia tätt Olkoon t aika Oletetaan, että hetkellä t = 0 astia on thjä Olkoon h = h(t) nestepinnan korkeus hetkellä t Vedenpinnan sen hetkinen säde on r = hr/h kuvion mukaan Merkitään w = 8 l/min (veden tulonopeus) Kstt nousunopeus on dh dt sillä hetkellä, jolloin astia tätt Mielivaltaisella hetkellä t veden tilavuus on toisaalta wt (sisään virranneen veden määrä) ja toisaalta se on πr2 h (veden muodostaman kartion tilavuus) Tästä saadaan htälö ja kun sijoitetaan r = hr/h, niin wt = πr2 h, H Ratkaistaan h: Derivoidaan: wt = π h = ( hr H ) 2h = πr 2 H 2 h H 2 w πr 2 t/ dh H dt = 2 w πr 2 H t 2/ = 2 w 9πR 2 t 2/ Hetkellä, jolloin astia tätt, on wt = πr2 H, josta t = πr2 H/w Kun tämä sijoitetaan, saadaan dh H dt = 2 w w 9πR 2 πr 2 H 2 = w π R 6 = w πr 2 Kun sijoitetaan arvot (ja pannaan kiinnostuksella merkille, etteihän tulos riipukaan H:sta!), saadaan dh dt = 8000 cm /min π 20 2 cm 2 6,66 cm/min

2 Selvästi helpommalla olisi päässt, jos olisi huomannut derivoida h:n implisiittisesti t:n suhteen htälöstä wt = πr2 H 2 h, siis muistaen että h on t:n funktio, h = h(t): w = πr2 H 2 h2 h = πr2 H 2 h2 h, ja kun tähän sijoittaa h = H (astian tättminen), seuraa w = πr 2 h, josta saadaan, että h = w/(πr 2 ) astian tättmishetkellä Huomautus Vielä helpommalla olisi tehtävässä päässt, jos olisi ollut kllin ovela huomatakseen seuraavan: Jos tarkastellaan astian tättmishetkellä aivan pientä aikaväliä t ja merkitään vastaavaa vedenpinnan nousua h:lla, niin aikavälillä t veden tilavuuden lisäs on toisaalta w t ja toisaalta noin πr 2 h (matalan lieriön tilavuus) Seuraa että likimain w t = πr 2 h, josta h/ t = w/(πr 2 ) Kun aikavälin t annetaan lähestä nollaa, niin rajalla osamäärä h/ t lähest derivaattaa dh dt ja htälön likimääräisskin poistuu, ja saadaan lopputulos dh dt = w/(πr2 ) kätännöllisesti katsoen ilman laskuja Tällainen päättel menee kuitenkin tähän kurssiin nähden ehkä liian pitkälle, joskin se saattaisi sopia peruskurssi B:lle Lokaaliset ääriarvot Monisteessa määritellään sivulla 85 funktion f() (lokaaliset eli paikalliset) minimit ja maksimit Yhteisellä nimellä niitä sanotaan lokaalisiksi eli paikallisiksi ääriarvoiksi Sivulla 86 todetaan, että ilmeisesti ne lötvät pisteistä, joissa f () = 0 tai joissa f () ei ole olemassa Esitetään tässä muodollinen todistus Lause Olkoon funktio f() määritelt ainakin välillä ( 0 r, 0 + r) missä r > 0 Oletetaan, että 0 on f:n lokaalinen ääriarvokohta Silloin joko f ( 0 ) ei ole olemassa tai f ( 0 ) = 0 Todistus Tarkastellaan tapausta, jossa 0 on lokaalinen maksimikohta; minimin tapaus käsiteltäisiin vastaavasti Siis on väli ( 0 ϵ, 0 +ϵ), jossa aina f() f( 0 ) Oletetaan, että f ( 0 ) on olemassa Siis raja-arvo f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0 0 2

3 on olemassa Katsomalla vasemmanpuolista raja-arvoa saadaan f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0, 0 0 koska tässä raja-arvon otossa (siis kun 0 ϵ < < 0 ) osoittaja f() f( 0 ) on koko ajan 0 ja nimittäjä 0 on < 0 Siis f ( 0 ) 0 Katsomalla taas oikeanpuolista raja-arvoa nähdään samoin, että f ( 0 ) 0 Näin ollen väkisinkin f ( 0 ) = 0 a) Funktiolla f() = 2 4+ = ( 2) 2 on lokaalinen minikohta = 2, jossa f (2) = 0, ja lokaalinen minimiarvo f(2) = = f() 2 b) Funktiolla g() = on lokaalinen minikohta = 0, jossa g (0) ei ole olemassa, ja lokaalinen minimiarvo g(0) = 0 = Huomautus Jos kstään funktion f() lokaalisia ääriarvokohtia, niin tarkoitus on lötää ko :n arvot, mutta jos kstäänkin lokaalisia ääriarvoja, niin kuuluu antaa funktion ko arvotkin Olkoon f() = Etsi lokaaliset ääriarvot Koska f () on olemassa kaikkialla (kseessä on polnomi), niin lokaaliset ääriarvokohdat ovat niiden pisteiden joukossa, joissa f () = 0 Tästä ehdosta saadaan f () = 2 = 0 = ± Ovatko nämä todella lokaalisia ääriarvokohtia? Voisivathan ne olla esimerkiksi ns terassipisteitä; katso monisteen sivun 87 lintä kuvaa Seuraavaa vaihetta sanotaan ääriarvojen laadun tutkimiseksi Tehdään f ():n merkkitarkastelu Siitä nähdään milloin f() on vähenevä ja milloin kasvava (vrt s 87) f () + + f() kasvava vähenevä kasvava Näin ollen = / on maksimikohta ja = / on minimikohta

4 Vastaus Funktiolla on lokaalinen minimi f(/ ) = 2/( ) ja lokaalinen maksimi f( / ) = 2/( ) Etsi funktion f() = 2 Derivaatalla lokaaliset ääriarvot f () = 2 = 2 ei ole nollakohtia Tästä ei seuraa, ettei funktiolla olisi lokaalisia ääriarvoja, koska on ksi piste = 0, jossa derivaatta ei ole olemassa Se tät tutkia erikseen Derivaatan merkki vaihtuu kun = 0: f () < 0 kun < 0, ja f () > 0 kun > 0 Siis f() on vähenevä negatiivisilla :n arvoilla ja kasvava positiivisilla :n arvoilla Siispä = 0 on lokaalinen minimikohta, ja f:llä on lokaalinen minimi f(0) = 0 Kuvaaja on seuraava = 2/ Globaaliset ääriarvot eli suurin ja pienin arvo Edellä on tarkasteltu lokaalisia ääriarvoja Usein kstään funktion suurinta ja pienintä arvoa jossakin alueessa Tätä koskee lause 24 s 68, joka eritisesti sanoo, että suljetulla välillä jatkuvalla funktiolla on ko välillä suurin ja pienin arvo M = f() m a 2 b Esimerkiksi kuvion tilanteessa funktion suurin ja pienin arvo välillä [a, b] ovat M ja m ja ne saavutetaan pisteissä ja 2 On ilmeistä, että jos suurin arvo M saavutetaan pisteessä, siis jos f( ) = M, niin joko on välin päätepiste tai on lokaalinen maksimikohta Sama koskee pienintä arvoa Siispä suurimman ja pienimmän arvon etsiminen välillä [a, b] etenee leensä seuraavasti: 4

5 ) Etsitään potentiaaliset lokaaliset ääriarvot f( ),, f( n ) etsimällä ne kohdat (a, b), joissa f () = 0 tai f () ei ole olemassa 2) Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä, siis f(a) ja f(b) ) Verrataan mikä arvoista f( ),, f( n ), f(a), f(b) on suurin ja mikä pienin 58 Olkoon f() = 2 a) Etsitään f():n lokaaliset ääriarvot koko R:ssä Derivaatta on f () = 2 = 2 ( 0), josta nähdään sekä ainoa nollakohta = (2/) = 8/27 että merkinvaihtelu; huomaa, että merkki vaihtuu mös kohdassa = 0, jossa f () ei ole olemassa f () + + Näin ollen funktiolla on lokaalinen maksimi f(0) = 0 ja lokaalinen minimi f(8/27) = 8 27 ( ) 8 2/ 27 = = 4 27 b) Etsitään nt f():n suurin ja pienin arvo välillä [, 2] Listataan funktion arvot lödetissä lokaalisissa ääriarvokohdissa sekä päätepisteissä: f(0) = 0, f( 8 27 ) = ,5, f( ) = 2, f(2) = ,4 Valitaan pienin ja suurin: Funktion pienin arvo välillä [, 2] on f( ) = 2 ja suurin arvo on f(2) = Tässä tapauksessa ne siis lödettiin välin päätepisteistä Monisteen sivulla 88 on kuvio tilanteesta Huomautus Edellä oli puhetta vain suljetusta äärellisestä välistä [a, b] Jos tutkitaan muunlaisia välejä, niin suurinta tai pienintä arvoa ei välttämättä ole olemassa edes jatkuvalla funktiolla 5

6 Mitkä ovat funktion f() = 2 suurin ja pienin arvo välillä (0, )? Edellisen esimerkin laskuista ja funktion kuvaajasta s 88 nähdään vastaus: Pienin arvo on f( 8 27 ) = 4 27 ja suurinta arvoa ei ole Tarkemmin: suurinta arvoa ei ole, koska f() = ( ) 2 kun, joten f() saa mielivaltaisen suuria arvoja Differentiaali Johdatteleva esimerkki Ajatellaan, että meidän on laskettava lauseke f() = 2 ja olemme jostain saaneet :lle epävarman arvon = 0,5 Laskemme f(0,5) = ( 2 )2 = =, = 0, Montako desimaalia kannattaa ottaa? Miten suuri virhe aiheutuu :n mahdollisesta väärästä arvosta? Ajatellaan, että olemme saaneet :n mukana virhearvion = 0,5 ± 0, Toisin sanoen :n virheellä on arvio 0, Lasketaan derivaatta f () = 2 Kirjoitetaan f:n virheelle arvio (selits seuraa jäljempänä): f f ( 2 ) = f ( 2 ) 2 ( 2 )2 0, = = 0 =, = 0, ,06, 2 0, 2 josta nähdään, ettei kannata ottaa enempää kuin kaksi desimaalia, ja f(0,5) = 0,87 ± 0,06 Miksi tämä derivaattatemppu toimii? Toimiiko se? Kllä vain, ja kohta selitetään leisesti, mistä kaava f f () tulee (siis selitetään tarkemmin f:n differentiaali) Tehdään nt tässä esimerkissä vielä tarkistus laskemalla f:lle virhearvio toisin Koska on arvioitu 0,4 0,6, niin f(0,6) f(0,5) f(0,4) (huomaa että f() on vähenevä kun 0,5), josta 0,80 f(0,5) 0,92 6

7 Ei saatu aivan samaa tulosta kuin derivaattakonstilla, joka antoi 0,8 f(0,5) 0,9, mutta se johtuu osittain siitä, että otettiin vain kaksi desimaalia Derivaatta antoi oikein hvän virhearvion Aivan tarkkaan tulokseen ei edes kannata prkiä, koska :nkin virhe oli vain arvio Arvoidessa virhe derivaatan avulla (differentiaalin avulla) saadaan helpolla laskulla kätännössä riittävän hvä tulos Tosin tässä ksinkertaisessa tapauksessa menetelmän helpommuus ei tullut esiin Mutkikkaammilla funktioilla se näkisi paremmin, ja peruskurssi B:ssä menetelmä kehitetään useamman muuttujan funktioihin, joissa sen hödlliss on kiistatta selvä Differentiaali Olkoon f() derivoituva funktio An- netaan argumentille pieni muutos Silloin f():n vastaava muutos on = f() f = f( + ) f() Erotusosamäärä pisteessä on f( + ) f() ( + ) = f, f( + ) f() f + joka on kuviossa olevan jänteen kulmakerroin Toisaalta tangentin kulmakerroin on f (); siis f f () kun 0 = f() f } f tangentti, kk=f () Seuraa f f () kun 0 (Monisteessa s 89 tämä on johdettu paremmin) Määritelmä 50 Funktion f() differentiaali (arvoilla ja ) on df = f () 7

8 (Monisteessa merkitään mös d) Nt voimme kirjoittaa f df = f () Geometrinen merkits on seuraavassa kuviossa = f() f } df Yhteenveto: df = f () (f:n differentiaali), df = :n muutos liikuttaessa tangenttia pitkin, f = f():n todellinen muutos, f df joten df:ää voi kättää f:n approksimaationa Perinteisesti usein merkitään d:llä Monisteen esimerkissä 5 on selits tämän luvallisuudelle: funktiolla f() = saadaan df =, siis d = Silloin differentiaalin lauseke leiselle funktiolle f saa muodon df = f ()d Noudatamme tätä jatkossa, mutta kätämme f:n todelliselle muutokselle edelleen merkintää f (Poikkeuksena on siis että merkitsemme = d) Huomautus Differentiaalin antamaa approksimaatiota sanotaan ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi tai lineaariseksi approksimaatioksi Tämä viittaa siihen, että lausekkeessa f f ()d esiint d ensimmäisessä potenssissa, toisin sanoen se on d:n suhteen lineaarinen lauseke Peruskurssi B:ssä opitaan korkeamman kertaluvun approksimaatioista Talorin polnomien ja sarjojen htedessä 52 Kädään tässä läpi esimerkki 52, koska monisteessa on siinä puute 8

9 Piirretään paperille harpilla mprä Halutaan tietää sen pinta-ala A Mitataan sitä varten säde r (Saadaan ehkä 5 cm tai jotain muuta, mutta tätä tietoa ei nt tarvita) Arvioidaan suhteelliseksi mittausvirheeksi 2% Tämä tarkoittaa, että jos merkitään r:n todellista virhettä dr:llä, niin dr r 2% Mitatusta r:n arvosta lasketaan A = πr 2 (Saadaan siis A = π 5 2 cm 2 tai jotain muuta) Haluamme nt tietää, kuinka tarkka A:n arvo saatiin Suhteellinen virhe on A A, missä A on todellinen virhe Koska A = A(r) = πr 2, niin differentiaalista saadaan approksimaatio A da = A (r)dr = 2πr dr Siis A A da A = A (r)dr A = 2πr dr πr 2 = 2 dr r 2 2% = 4% Jostain materiaalista, jonka tihes on ρ, valmistetaan umpinainen kuutio, joka sitten punnitaan Massaksi saadaan m Oletetaan, että mittauksen suhteellinen virhe on dm m,5% Massasta lasketaan kuution särmä s kaavasta s = m/ρ (koska m = ρs ) Kuinka suuri on s:n suhteellinen virhe? Arvioidaan differentiaalin avulla: s s ds s = s (m)dm s s = m dm s = dm m,5% = 0,5% Derivaatta laskettiin näin: koska s(m) = ρ m /, niin s (m) = ρ m 2/ = m / ρ m = s m = s m Koska leisesti f f ()d kun d 0, missä (f) = f( + d) f(), niin f( + d) f() + f ()d kun d 0 Esimerkiksi eksponenttifunktiolle f() = e saadaan e +d e + e d kun d 0 Valitsemalla = 0 ja merkitsemällä d:n paikalle tästä tulee e + kun 0 9

10 Tämä siis on e :n ensimmäisen kertaluvun approksimaatio kohdan = 0 lähellä Geometrisesti tämä merkitsee vain sitä, että kuvaajalla = e on kohdassa = 0 tangenttina suora = + = e = + Kärän parametriesits Tämä osa on johdantoa parametrimuodossa annettujen funktioiden derivointiin, mikä asia kuuluu osattavaksi tentissä Sen sijaan parametrimuotoisia käriä ei kstä tentissä, mutta lienevät mielenkiintoista lukemista, ja niiden mmärtäminen on varmasti eduksi (mprä) Ymprän = r 2 eräs parametriesits on { = r cos t (0 t < 2π) = r sin t Tämä tarkoittaa, että aina kun parametrille t valitaan jokin arvo, niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) on mprällä = r 2, ja kun t kä välin [0, 2π), niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) kä koko mprän Esimerkiksi, kun t:lle annetaan arvot 0, π/4, π/2, 2π/, π ja π/2, saadaan seuraavat pisteet t (, ) 0 (r, 0) π/4 ( 2 r, 2 r) t = 2π/ t = π/2 t = π/4 π/2 (0, r) 2π/ ( 2 r, 2 r) t = π r t = 0 π ( r, 0) π/2 (0, r) t = π/2 (ellipsi) Ellipsillä on parametriesits { = a cos t = b sin t 2 a b 2 = b a (0 t < 2π) 0

11 Nimittäin, kun (, ) = (a cos t, b sin t), niin (, ) toteuttaa ellipsin htälön, sillä 2 a (a cos t)2 (b sin t)2 = b2 a 2 + b 2 = cos 2 t + sin 2 t =, ja on helppo todeta, että kun t kä koko välin [0, 2π), niin (, ) kä koko ellipsin (hperbeli) Monisteessa on huomautuksessa 250 (s 54) annettu hperbelille 2 2 = 2 2 = parametriesits { = cosh t = sinh t (t R), joka itse asiassa antaakin vain hperbelin oikean haaran Se, että piste (, ) = (cosh t, sinh t) on tällä hperbelillä, johtuu identiteetistä cosh 2 t sinh 2 t = Huomaamalla, että (, ) = (cosh t, sinh t) = ( 2 (e + e ), 2 (e e ) ) ja merkitsemällä 2 e = u, saadaan hperbelille toinenkin mukavan näköinen parametriesits, { = u + u = u u (u R), ja kun tässä annetaan u:n kädä koko R, niin saadaankin hperbelin molemmat haarat Parametrimuodossa voidaan esittää helposti monia sovelluksissa esiintviä käriä, joille ei saada helppoa htälömuotoista esitstä Tässä kaksi esimerkkiä

12 Kardioidi { = 2 cos t cos 2t = 2 sin t sin 2t (0 t < 2π) Eräs Lissajous n kärä { = cos t (0 t < 2π) = sin 4t Parametrimuotoiset funktiot Funktioista ja käristä Tunnetusti funktion f() kuvaaja on kärä = f() Kääntäen, annettu kärä ei välttämättä ole minkään funktion kuvaaja Esimerkiksi alla oikeanpuoleisessa kuviossa on kärä, joka ei ole minkään funktion kuvaaja jo siitä sstä, että esimerkiksi :n arvolla saataisiin funktiolle kaksi eri arvoa = f() = Kätännössä leensä kuitenkin rajoittumalla kärän kllin pieneen osaan siitä saadaan funktion kuvaaja Esimerkiksi mprän = voi ajatella koostuvan kahden eri funktion kuvaajista, nimittäin funktioiden f : [, ] R, f () = 2, f 2 : [, ] R, f 2 () = = = 2 = 2 2

13 Funktion parametriesits Jos funktion f() kuvaajalla = f() (joka siis on kärä) on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin sitä sanotaan funktion f() parametriesitkseksi (Tässä (t) ja (t) ovat joitain t:n funktioita) nä tarkastellaan funktiota f() = 2 Sen kuvaaja on siis o mprän läpuolisko Koska tällä kärällä on parametriesits { = cos t (0 t π) = sin t niin tämä on funktion f() = 2 : [, ] R eräs parametriesits Parametrimuotoisen funktion derivointi Monisteen lopussa oleva esimerkki 54 koskee tärkeää asiaa, josta usein tulee tenttiin tehtävä Jos funktiolla f() on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin funktion derivaatan saa kaavasta f () = (t) (t), tai jos merkitään = f() kuten monisteessa, niin d d = (t) (t) Huomaa, että vasemmalla on derivaatta :n suhteen ja oikealla derivaatat t:n suhteen Kaavaa ei meillä todisteta, mutta muistisäännön saa seuraavasta: Huomautus (t) (t) = d/dt d/dt = d d Tässä htedessä noudatettu perinteinen kätäntö on varmasti hiukan sekoittava Merkitään () ja merkitään (t), ja nämä ovat eri funktioita Nt pitää ajatella niin, että kun kirjoitetaan (), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta, ja kun kirjoitetaan (t), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta t Niinpä, jos o kaava kirjoitetaan () = (t) (t),

14 niin vasemmalla () ja oikealla (t) ovat aivan eri derivaattoja Esimerkiksi parametriesitksessä { = t = t 2 on siis (t) = t 2, mutta kun eliminoidaan htälöistä t, niin saadaan :n -riippuvuudeksi () = 2/ Siis (t) = 2t mutta () = 2 / Tämä kätäntö on oikeastaan ristiriidassa normaalikätännön kanssa; tavallisestihan mmärretään, että jos esimerkiksi (t) = t 2, niin silloin () = 2 ja vaikkapa (p) = p 2 ja niin edelleen Asiahtedestä on vain mmärrettävä, mitä merkinnöillä kulloinkin tarkoitetaan Olkoon funktiolla f() parametriesits { = t = t 2 (t R) Lasketaan f (8) Piste = 8 saadaan kun t = 2 Siis f (8) = (t) (t) t=2 = 2t t 2 t=2 = 2 t t=2 = Aivan sama tehtävä voitaisiin lausua: Kun kärällä on parametriesits { = t = t 2 (t R) niin on laskettava sen tangentin kulmakerroin kohdassa (8, 4) Kuvio on seuraava = f() (8, 4) t = 2 Kätimme kaavaa f () = (t)/ (t) Tämän tehtävän olisi voinut ratkaista toisinkin Nimittäin kärän parametriesitksestä on helppo eliminoida t jolloin saadaan = 2/ Tämä on funktion lauseke tavallisessa muodossa, f() = 2/ Derivoinnin olisi voinut tehdä tästä lausekkeestakin: f () = 2 /, josta f (8) = 2 = = Silloinkin, kun parametrin pst eliminoimaan, kuten äsken, niin sitä ei kannata tehdä, jos parametrimuoto on helppoa muotoa Johdetaan esimerkkinä ellipsin 2 a b 2 = 4

15 pisteeseen ( 0, 0 ) piirretn tangentin htälö Saman tehtävän ratkaisimme aikaisemmin implisiittisellä derivoinnilla, mutta kätetään nt ellipsin parametriesitstä b ( 0, 0 ) t 0 a { = a cos t = b sin t (0 t < 2π) Piste ( 0, 0 ) saadaan sellaisella parametrin arvolla t 0, että { a cos t0 = 0, b sin t 0 = 0 Tangentin kulmakerroin on joten pisteessä ( 0, 0 ) se on d d = (t) (t) = b cos t a sin t, b cos t 0 a sin t 0 = b2 a 2 a cos t 0 b sin t 0 = b2 a Saman saimme aikoinaan implisiittisellä derivoinnilla, ja laskun loppu menee samoin kuin silloin Edellä oli erään Lissajous n kärän { = cos t = sin 4t (0 t < 2π) kuva Mikä on tangentin kulmakerroin origossa? Lasketaan ensin parametrin arvo: = 0 cos t = 0 t = π 2 + nπ t = π 6 + n π, = 0 sin 4t = 0 4t = nπ t = n π 4 Sijoittamalla ratkaisut ksikkömprään nähdään, että hteisiä ratkaisuja välillä 0 t < 2π on kaksi: t = π 2 ja t = π 2 Derivaatta on d d = (t) (t) = 4 cos 4t sin t Kun t = π 2 saadaan d d = 4, ja kun t = π 2 d niin d = 4 5

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää.

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää. Yhtälörhmä Lineaarisen htälörhmän alkeisoperaatiot ovat ) kahden htälön järjestksen vaihto ) htälön kertominen puolittain nollasta eroavalla luvulla ja ) luvulla puolittain kerrotun htälön lisääminen johonkin

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot