Derivaatan sovelluksia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Derivaatan sovelluksia"

Transkriptio

1 Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä 8 litraa minuutissa (monisteen esimerkissä on lieriö) Olkoon astian korkeus H = 20 cm ja olkoon kartion R r r R h pohjan (eli läpinnan) säde R = 20 cm Kstään vedenpinnan nousunopeutta sillä hetkellä, jolloin astia tätt Olkoon t aika Oletetaan, että hetkellä t = 0 astia on thjä Olkoon h = h(t) nestepinnan korkeus hetkellä t Vedenpinnan sen hetkinen säde on r = hr/h kuvion mukaan Merkitään w = 8 l/min (veden tulonopeus) Kstt nousunopeus on dh dt sillä hetkellä, jolloin astia tätt Mielivaltaisella hetkellä t veden tilavuus on toisaalta wt (sisään virranneen veden määrä) ja toisaalta se on πr2 h (veden muodostaman kartion tilavuus) Tästä saadaan htälö ja kun sijoitetaan r = hr/h, niin wt = πr2 h, H Ratkaistaan h: Derivoidaan: wt = π h = ( hr H ) 2h = πr 2 H 2 h H 2 w πr 2 t/ dh H dt = 2 w πr 2 H t 2/ = 2 w 9πR 2 t 2/ Hetkellä, jolloin astia tätt, on wt = πr2 H, josta t = πr2 H/w Kun tämä sijoitetaan, saadaan dh H dt = 2 w w 9πR 2 πr 2 H 2 = w π R 6 = w πr 2 Kun sijoitetaan arvot (ja pannaan kiinnostuksella merkille, etteihän tulos riipukaan H:sta!), saadaan dh dt = 8000 cm /min π 20 2 cm 2 6,66 cm/min

2 Selvästi helpommalla olisi päässt, jos olisi huomannut derivoida h:n implisiittisesti t:n suhteen htälöstä wt = πr2 H 2 h, siis muistaen että h on t:n funktio, h = h(t): w = πr2 H 2 h2 h = πr2 H 2 h2 h, ja kun tähän sijoittaa h = H (astian tättminen), seuraa w = πr 2 h, josta saadaan, että h = w/(πr 2 ) astian tättmishetkellä Huomautus Vielä helpommalla olisi tehtävässä päässt, jos olisi ollut kllin ovela huomatakseen seuraavan: Jos tarkastellaan astian tättmishetkellä aivan pientä aikaväliä t ja merkitään vastaavaa vedenpinnan nousua h:lla, niin aikavälillä t veden tilavuuden lisäs on toisaalta w t ja toisaalta noin πr 2 h (matalan lieriön tilavuus) Seuraa että likimain w t = πr 2 h, josta h/ t = w/(πr 2 ) Kun aikavälin t annetaan lähestä nollaa, niin rajalla osamäärä h/ t lähest derivaattaa dh dt ja htälön likimääräisskin poistuu, ja saadaan lopputulos dh dt = w/(πr2 ) kätännöllisesti katsoen ilman laskuja Tällainen päättel menee kuitenkin tähän kurssiin nähden ehkä liian pitkälle, joskin se saattaisi sopia peruskurssi B:lle Lokaaliset ääriarvot Monisteessa määritellään sivulla 85 funktion f() (lokaaliset eli paikalliset) minimit ja maksimit Yhteisellä nimellä niitä sanotaan lokaalisiksi eli paikallisiksi ääriarvoiksi Sivulla 86 todetaan, että ilmeisesti ne lötvät pisteistä, joissa f () = 0 tai joissa f () ei ole olemassa Esitetään tässä muodollinen todistus Lause Olkoon funktio f() määritelt ainakin välillä ( 0 r, 0 + r) missä r > 0 Oletetaan, että 0 on f:n lokaalinen ääriarvokohta Silloin joko f ( 0 ) ei ole olemassa tai f ( 0 ) = 0 Todistus Tarkastellaan tapausta, jossa 0 on lokaalinen maksimikohta; minimin tapaus käsiteltäisiin vastaavasti Siis on väli ( 0 ϵ, 0 +ϵ), jossa aina f() f( 0 ) Oletetaan, että f ( 0 ) on olemassa Siis raja-arvo f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0 0 2

3 on olemassa Katsomalla vasemmanpuolista raja-arvoa saadaan f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0, 0 0 koska tässä raja-arvon otossa (siis kun 0 ϵ < < 0 ) osoittaja f() f( 0 ) on koko ajan 0 ja nimittäjä 0 on < 0 Siis f ( 0 ) 0 Katsomalla taas oikeanpuolista raja-arvoa nähdään samoin, että f ( 0 ) 0 Näin ollen väkisinkin f ( 0 ) = 0 a) Funktiolla f() = 2 4+ = ( 2) 2 on lokaalinen minikohta = 2, jossa f (2) = 0, ja lokaalinen minimiarvo f(2) = = f() 2 b) Funktiolla g() = on lokaalinen minikohta = 0, jossa g (0) ei ole olemassa, ja lokaalinen minimiarvo g(0) = 0 = Huomautus Jos kstään funktion f() lokaalisia ääriarvokohtia, niin tarkoitus on lötää ko :n arvot, mutta jos kstäänkin lokaalisia ääriarvoja, niin kuuluu antaa funktion ko arvotkin Olkoon f() = Etsi lokaaliset ääriarvot Koska f () on olemassa kaikkialla (kseessä on polnomi), niin lokaaliset ääriarvokohdat ovat niiden pisteiden joukossa, joissa f () = 0 Tästä ehdosta saadaan f () = 2 = 0 = ± Ovatko nämä todella lokaalisia ääriarvokohtia? Voisivathan ne olla esimerkiksi ns terassipisteitä; katso monisteen sivun 87 lintä kuvaa Seuraavaa vaihetta sanotaan ääriarvojen laadun tutkimiseksi Tehdään f ():n merkkitarkastelu Siitä nähdään milloin f() on vähenevä ja milloin kasvava (vrt s 87) f () + + f() kasvava vähenevä kasvava Näin ollen = / on maksimikohta ja = / on minimikohta

4 Vastaus Funktiolla on lokaalinen minimi f(/ ) = 2/( ) ja lokaalinen maksimi f( / ) = 2/( ) Etsi funktion f() = 2 Derivaatalla lokaaliset ääriarvot f () = 2 = 2 ei ole nollakohtia Tästä ei seuraa, ettei funktiolla olisi lokaalisia ääriarvoja, koska on ksi piste = 0, jossa derivaatta ei ole olemassa Se tät tutkia erikseen Derivaatan merkki vaihtuu kun = 0: f () < 0 kun < 0, ja f () > 0 kun > 0 Siis f() on vähenevä negatiivisilla :n arvoilla ja kasvava positiivisilla :n arvoilla Siispä = 0 on lokaalinen minimikohta, ja f:llä on lokaalinen minimi f(0) = 0 Kuvaaja on seuraava = 2/ Globaaliset ääriarvot eli suurin ja pienin arvo Edellä on tarkasteltu lokaalisia ääriarvoja Usein kstään funktion suurinta ja pienintä arvoa jossakin alueessa Tätä koskee lause 24 s 68, joka eritisesti sanoo, että suljetulla välillä jatkuvalla funktiolla on ko välillä suurin ja pienin arvo M = f() m a 2 b Esimerkiksi kuvion tilanteessa funktion suurin ja pienin arvo välillä [a, b] ovat M ja m ja ne saavutetaan pisteissä ja 2 On ilmeistä, että jos suurin arvo M saavutetaan pisteessä, siis jos f( ) = M, niin joko on välin päätepiste tai on lokaalinen maksimikohta Sama koskee pienintä arvoa Siispä suurimman ja pienimmän arvon etsiminen välillä [a, b] etenee leensä seuraavasti: 4

5 ) Etsitään potentiaaliset lokaaliset ääriarvot f( ),, f( n ) etsimällä ne kohdat (a, b), joissa f () = 0 tai f () ei ole olemassa 2) Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä, siis f(a) ja f(b) ) Verrataan mikä arvoista f( ),, f( n ), f(a), f(b) on suurin ja mikä pienin 58 Olkoon f() = 2 a) Etsitään f():n lokaaliset ääriarvot koko R:ssä Derivaatta on f () = 2 = 2 ( 0), josta nähdään sekä ainoa nollakohta = (2/) = 8/27 että merkinvaihtelu; huomaa, että merkki vaihtuu mös kohdassa = 0, jossa f () ei ole olemassa f () + + Näin ollen funktiolla on lokaalinen maksimi f(0) = 0 ja lokaalinen minimi f(8/27) = 8 27 ( ) 8 2/ 27 = = 4 27 b) Etsitään nt f():n suurin ja pienin arvo välillä [, 2] Listataan funktion arvot lödetissä lokaalisissa ääriarvokohdissa sekä päätepisteissä: f(0) = 0, f( 8 27 ) = ,5, f( ) = 2, f(2) = ,4 Valitaan pienin ja suurin: Funktion pienin arvo välillä [, 2] on f( ) = 2 ja suurin arvo on f(2) = Tässä tapauksessa ne siis lödettiin välin päätepisteistä Monisteen sivulla 88 on kuvio tilanteesta Huomautus Edellä oli puhetta vain suljetusta äärellisestä välistä [a, b] Jos tutkitaan muunlaisia välejä, niin suurinta tai pienintä arvoa ei välttämättä ole olemassa edes jatkuvalla funktiolla 5

6 Mitkä ovat funktion f() = 2 suurin ja pienin arvo välillä (0, )? Edellisen esimerkin laskuista ja funktion kuvaajasta s 88 nähdään vastaus: Pienin arvo on f( 8 27 ) = 4 27 ja suurinta arvoa ei ole Tarkemmin: suurinta arvoa ei ole, koska f() = ( ) 2 kun, joten f() saa mielivaltaisen suuria arvoja Differentiaali Johdatteleva esimerkki Ajatellaan, että meidän on laskettava lauseke f() = 2 ja olemme jostain saaneet :lle epävarman arvon = 0,5 Laskemme f(0,5) = ( 2 )2 = =, = 0, Montako desimaalia kannattaa ottaa? Miten suuri virhe aiheutuu :n mahdollisesta väärästä arvosta? Ajatellaan, että olemme saaneet :n mukana virhearvion = 0,5 ± 0, Toisin sanoen :n virheellä on arvio 0, Lasketaan derivaatta f () = 2 Kirjoitetaan f:n virheelle arvio (selits seuraa jäljempänä): f f ( 2 ) = f ( 2 ) 2 ( 2 )2 0, = = 0 =, = 0, ,06, 2 0, 2 josta nähdään, ettei kannata ottaa enempää kuin kaksi desimaalia, ja f(0,5) = 0,87 ± 0,06 Miksi tämä derivaattatemppu toimii? Toimiiko se? Kllä vain, ja kohta selitetään leisesti, mistä kaava f f () tulee (siis selitetään tarkemmin f:n differentiaali) Tehdään nt tässä esimerkissä vielä tarkistus laskemalla f:lle virhearvio toisin Koska on arvioitu 0,4 0,6, niin f(0,6) f(0,5) f(0,4) (huomaa että f() on vähenevä kun 0,5), josta 0,80 f(0,5) 0,92 6

7 Ei saatu aivan samaa tulosta kuin derivaattakonstilla, joka antoi 0,8 f(0,5) 0,9, mutta se johtuu osittain siitä, että otettiin vain kaksi desimaalia Derivaatta antoi oikein hvän virhearvion Aivan tarkkaan tulokseen ei edes kannata prkiä, koska :nkin virhe oli vain arvio Arvoidessa virhe derivaatan avulla (differentiaalin avulla) saadaan helpolla laskulla kätännössä riittävän hvä tulos Tosin tässä ksinkertaisessa tapauksessa menetelmän helpommuus ei tullut esiin Mutkikkaammilla funktioilla se näkisi paremmin, ja peruskurssi B:ssä menetelmä kehitetään useamman muuttujan funktioihin, joissa sen hödlliss on kiistatta selvä Differentiaali Olkoon f() derivoituva funktio An- netaan argumentille pieni muutos Silloin f():n vastaava muutos on = f() f = f( + ) f() Erotusosamäärä pisteessä on f( + ) f() ( + ) = f, f( + ) f() f + joka on kuviossa olevan jänteen kulmakerroin Toisaalta tangentin kulmakerroin on f (); siis f f () kun 0 = f() f } f tangentti, kk=f () Seuraa f f () kun 0 (Monisteessa s 89 tämä on johdettu paremmin) Määritelmä 50 Funktion f() differentiaali (arvoilla ja ) on df = f () 7

8 (Monisteessa merkitään mös d) Nt voimme kirjoittaa f df = f () Geometrinen merkits on seuraavassa kuviossa = f() f } df Yhteenveto: df = f () (f:n differentiaali), df = :n muutos liikuttaessa tangenttia pitkin, f = f():n todellinen muutos, f df joten df:ää voi kättää f:n approksimaationa Perinteisesti usein merkitään d:llä Monisteen esimerkissä 5 on selits tämän luvallisuudelle: funktiolla f() = saadaan df =, siis d = Silloin differentiaalin lauseke leiselle funktiolle f saa muodon df = f ()d Noudatamme tätä jatkossa, mutta kätämme f:n todelliselle muutokselle edelleen merkintää f (Poikkeuksena on siis että merkitsemme = d) Huomautus Differentiaalin antamaa approksimaatiota sanotaan ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi tai lineaariseksi approksimaatioksi Tämä viittaa siihen, että lausekkeessa f f ()d esiint d ensimmäisessä potenssissa, toisin sanoen se on d:n suhteen lineaarinen lauseke Peruskurssi B:ssä opitaan korkeamman kertaluvun approksimaatioista Talorin polnomien ja sarjojen htedessä 52 Kädään tässä läpi esimerkki 52, koska monisteessa on siinä puute 8

9 Piirretään paperille harpilla mprä Halutaan tietää sen pinta-ala A Mitataan sitä varten säde r (Saadaan ehkä 5 cm tai jotain muuta, mutta tätä tietoa ei nt tarvita) Arvioidaan suhteelliseksi mittausvirheeksi 2% Tämä tarkoittaa, että jos merkitään r:n todellista virhettä dr:llä, niin dr r 2% Mitatusta r:n arvosta lasketaan A = πr 2 (Saadaan siis A = π 5 2 cm 2 tai jotain muuta) Haluamme nt tietää, kuinka tarkka A:n arvo saatiin Suhteellinen virhe on A A, missä A on todellinen virhe Koska A = A(r) = πr 2, niin differentiaalista saadaan approksimaatio A da = A (r)dr = 2πr dr Siis A A da A = A (r)dr A = 2πr dr πr 2 = 2 dr r 2 2% = 4% Jostain materiaalista, jonka tihes on ρ, valmistetaan umpinainen kuutio, joka sitten punnitaan Massaksi saadaan m Oletetaan, että mittauksen suhteellinen virhe on dm m,5% Massasta lasketaan kuution särmä s kaavasta s = m/ρ (koska m = ρs ) Kuinka suuri on s:n suhteellinen virhe? Arvioidaan differentiaalin avulla: s s ds s = s (m)dm s s = m dm s = dm m,5% = 0,5% Derivaatta laskettiin näin: koska s(m) = ρ m /, niin s (m) = ρ m 2/ = m / ρ m = s m = s m Koska leisesti f f ()d kun d 0, missä (f) = f( + d) f(), niin f( + d) f() + f ()d kun d 0 Esimerkiksi eksponenttifunktiolle f() = e saadaan e +d e + e d kun d 0 Valitsemalla = 0 ja merkitsemällä d:n paikalle tästä tulee e + kun 0 9

10 Tämä siis on e :n ensimmäisen kertaluvun approksimaatio kohdan = 0 lähellä Geometrisesti tämä merkitsee vain sitä, että kuvaajalla = e on kohdassa = 0 tangenttina suora = + = e = + Kärän parametriesits Tämä osa on johdantoa parametrimuodossa annettujen funktioiden derivointiin, mikä asia kuuluu osattavaksi tentissä Sen sijaan parametrimuotoisia käriä ei kstä tentissä, mutta lienevät mielenkiintoista lukemista, ja niiden mmärtäminen on varmasti eduksi (mprä) Ymprän = r 2 eräs parametriesits on { = r cos t (0 t < 2π) = r sin t Tämä tarkoittaa, että aina kun parametrille t valitaan jokin arvo, niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) on mprällä = r 2, ja kun t kä välin [0, 2π), niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) kä koko mprän Esimerkiksi, kun t:lle annetaan arvot 0, π/4, π/2, 2π/, π ja π/2, saadaan seuraavat pisteet t (, ) 0 (r, 0) π/4 ( 2 r, 2 r) t = 2π/ t = π/2 t = π/4 π/2 (0, r) 2π/ ( 2 r, 2 r) t = π r t = 0 π ( r, 0) π/2 (0, r) t = π/2 (ellipsi) Ellipsillä on parametriesits { = a cos t = b sin t 2 a b 2 = b a (0 t < 2π) 0

11 Nimittäin, kun (, ) = (a cos t, b sin t), niin (, ) toteuttaa ellipsin htälön, sillä 2 a (a cos t)2 (b sin t)2 = b2 a 2 + b 2 = cos 2 t + sin 2 t =, ja on helppo todeta, että kun t kä koko välin [0, 2π), niin (, ) kä koko ellipsin (hperbeli) Monisteessa on huomautuksessa 250 (s 54) annettu hperbelille 2 2 = 2 2 = parametriesits { = cosh t = sinh t (t R), joka itse asiassa antaakin vain hperbelin oikean haaran Se, että piste (, ) = (cosh t, sinh t) on tällä hperbelillä, johtuu identiteetistä cosh 2 t sinh 2 t = Huomaamalla, että (, ) = (cosh t, sinh t) = ( 2 (e + e ), 2 (e e ) ) ja merkitsemällä 2 e = u, saadaan hperbelille toinenkin mukavan näköinen parametriesits, { = u + u = u u (u R), ja kun tässä annetaan u:n kädä koko R, niin saadaankin hperbelin molemmat haarat Parametrimuodossa voidaan esittää helposti monia sovelluksissa esiintviä käriä, joille ei saada helppoa htälömuotoista esitstä Tässä kaksi esimerkkiä

12 Kardioidi { = 2 cos t cos 2t = 2 sin t sin 2t (0 t < 2π) Eräs Lissajous n kärä { = cos t (0 t < 2π) = sin 4t Parametrimuotoiset funktiot Funktioista ja käristä Tunnetusti funktion f() kuvaaja on kärä = f() Kääntäen, annettu kärä ei välttämättä ole minkään funktion kuvaaja Esimerkiksi alla oikeanpuoleisessa kuviossa on kärä, joka ei ole minkään funktion kuvaaja jo siitä sstä, että esimerkiksi :n arvolla saataisiin funktiolle kaksi eri arvoa = f() = Kätännössä leensä kuitenkin rajoittumalla kärän kllin pieneen osaan siitä saadaan funktion kuvaaja Esimerkiksi mprän = voi ajatella koostuvan kahden eri funktion kuvaajista, nimittäin funktioiden f : [, ] R, f () = 2, f 2 : [, ] R, f 2 () = = = 2 = 2 2

13 Funktion parametriesits Jos funktion f() kuvaajalla = f() (joka siis on kärä) on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin sitä sanotaan funktion f() parametriesitkseksi (Tässä (t) ja (t) ovat joitain t:n funktioita) nä tarkastellaan funktiota f() = 2 Sen kuvaaja on siis o mprän läpuolisko Koska tällä kärällä on parametriesits { = cos t (0 t π) = sin t niin tämä on funktion f() = 2 : [, ] R eräs parametriesits Parametrimuotoisen funktion derivointi Monisteen lopussa oleva esimerkki 54 koskee tärkeää asiaa, josta usein tulee tenttiin tehtävä Jos funktiolla f() on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin funktion derivaatan saa kaavasta f () = (t) (t), tai jos merkitään = f() kuten monisteessa, niin d d = (t) (t) Huomaa, että vasemmalla on derivaatta :n suhteen ja oikealla derivaatat t:n suhteen Kaavaa ei meillä todisteta, mutta muistisäännön saa seuraavasta: Huomautus (t) (t) = d/dt d/dt = d d Tässä htedessä noudatettu perinteinen kätäntö on varmasti hiukan sekoittava Merkitään () ja merkitään (t), ja nämä ovat eri funktioita Nt pitää ajatella niin, että kun kirjoitetaan (), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta, ja kun kirjoitetaan (t), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta t Niinpä, jos o kaava kirjoitetaan () = (t) (t),

14 niin vasemmalla () ja oikealla (t) ovat aivan eri derivaattoja Esimerkiksi parametriesitksessä { = t = t 2 on siis (t) = t 2, mutta kun eliminoidaan htälöistä t, niin saadaan :n -riippuvuudeksi () = 2/ Siis (t) = 2t mutta () = 2 / Tämä kätäntö on oikeastaan ristiriidassa normaalikätännön kanssa; tavallisestihan mmärretään, että jos esimerkiksi (t) = t 2, niin silloin () = 2 ja vaikkapa (p) = p 2 ja niin edelleen Asiahtedestä on vain mmärrettävä, mitä merkinnöillä kulloinkin tarkoitetaan Olkoon funktiolla f() parametriesits { = t = t 2 (t R) Lasketaan f (8) Piste = 8 saadaan kun t = 2 Siis f (8) = (t) (t) t=2 = 2t t 2 t=2 = 2 t t=2 = Aivan sama tehtävä voitaisiin lausua: Kun kärällä on parametriesits { = t = t 2 (t R) niin on laskettava sen tangentin kulmakerroin kohdassa (8, 4) Kuvio on seuraava = f() (8, 4) t = 2 Kätimme kaavaa f () = (t)/ (t) Tämän tehtävän olisi voinut ratkaista toisinkin Nimittäin kärän parametriesitksestä on helppo eliminoida t jolloin saadaan = 2/ Tämä on funktion lauseke tavallisessa muodossa, f() = 2/ Derivoinnin olisi voinut tehdä tästä lausekkeestakin: f () = 2 /, josta f (8) = 2 = = Silloinkin, kun parametrin pst eliminoimaan, kuten äsken, niin sitä ei kannata tehdä, jos parametrimuoto on helppoa muotoa Johdetaan esimerkkinä ellipsin 2 a b 2 = 4

15 pisteeseen ( 0, 0 ) piirretn tangentin htälö Saman tehtävän ratkaisimme aikaisemmin implisiittisellä derivoinnilla, mutta kätetään nt ellipsin parametriesitstä b ( 0, 0 ) t 0 a { = a cos t = b sin t (0 t < 2π) Piste ( 0, 0 ) saadaan sellaisella parametrin arvolla t 0, että { a cos t0 = 0, b sin t 0 = 0 Tangentin kulmakerroin on joten pisteessä ( 0, 0 ) se on d d = (t) (t) = b cos t a sin t, b cos t 0 a sin t 0 = b2 a 2 a cos t 0 b sin t 0 = b2 a Saman saimme aikoinaan implisiittisellä derivoinnilla, ja laskun loppu menee samoin kuin silloin Edellä oli erään Lissajous n kärän { = cos t = sin 4t (0 t < 2π) kuva Mikä on tangentin kulmakerroin origossa? Lasketaan ensin parametrin arvo: = 0 cos t = 0 t = π 2 + nπ t = π 6 + n π, = 0 sin 4t = 0 4t = nπ t = n π 4 Sijoittamalla ratkaisut ksikkömprään nähdään, että hteisiä ratkaisuja välillä 0 t < 2π on kaksi: t = π 2 ja t = π 2 Derivaatta on d d = (t) (t) = 4 cos 4t sin t Kun t = π 2 saadaan d d = 4, ja kun t = π 2 d niin d = 4 5

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Osittaisderivaatat. Huomautus 4.15 (Geometrinen tulkinta)

Osittaisderivaatat. Huomautus 4.15 (Geometrinen tulkinta) Osittaisderivaatat Monisteessa määritellään sivulla 31 osittaisderivaatat: useamman muuttujan funktion osittaisderivaatat saadaan derivoimalla aina hden muuttujan suhteen pitämällä muita muuttujia vakioina.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Usean muuttujan funktiot

Usean muuttujan funktiot Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C. Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2. Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot