3 PERUSLAIT 3.1 JOHDANTO MASSAN TASE LIIKEMÄÄRÄN TASE LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE ENERGIAN TASE...

Transkriptio

1 3 PERUSLAIT 3.1 JOHDANTO MASSAN TASE LIIKEMÄÄRÄN TASE LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE ENERGIAN TASE TASEYHTÄLÖIDEN LOKAALIT MUODOT Viikko 46/1

2 VIIKON 46 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 46 jälkeen kurssin osallistuja osaa ratkaista viikon luentotehtävät, kotitehtävät ja esimerkkitehtävät aiheista ς Massan, liikemäärän, liikemäärän momentin, ja energian taseiden äärelliset muodot ja niissä esiintyvät suureet kontinuumille. ς Massan, liikemäärän, liikemäärän momentin ja energian taseen soveltaminen yksinkertaisten massan suhteen suljettujen ja avoimien tehtävien ratkaisussa ς Taseyhtälöiden lokaalit tensorimuodot. Viikko 46/

3 3.1 JOHDANTO Mekaniikan probleeman ratkaisuun, kuten heilurin jaksonajan selvittämiseen, voidaan käyttää kokeita, dimensioanalyysia tai/ja mallintamista. Mikä on heilurin jaksonajan T riippuvuus massasta m, alkukulmasta ε 0, maan vetovoiman kiihtyvyydestä g ja heilurin varren pituudesta L? Kokeellinen menetelmä Mitataan suureiden T, m, ε 0, g, L välinen riippuvuus (5 suuretta) Dimensioanalyysi Vaikuttavat suureet T, m, ε 0, g, L T< L/ gf( ε0).mitataan suureiden T g / L, ε 0 välinen riippuvuus ( suuretta). Matemaattinen malli T < ο L/ g Mallin ennuste vastaa enemmän tai vähemmän todellisuutta johtuen mallinnus- ja ratkaisuvirheistä. Hyvä malli on yksinkertainen ja vastaa asetettuun kysymykseen. Viikko 46/3

4 ESIMERKKI: HEILURIN JAKSONAIKA Malli ilmanvastus mitätön, ripustus kitkaton, tanko massaton ja jäykkä, pallo partikkeli, maan vetovoiman kiihtyvyys vakio, ripustuspiste levossa jne. g L Yhtälöt ml d ε d mg sinε < 0 t = 0, ε < 0, ε < ε dt dt 0 t < 0 ε m g Ratkaisu ε( t) < ε0 cos t (lisäoletus ε ;; 1 sinε ε) L g Lisäsuuret T < ο jaksonaika T < ο L L g Viikko 46/4

5 ESIMERKKI: MALLINNUSVIRHE Miten tangon massa, ilmanvastus ja ripustuspisteen laakeroinnin kitka jne. pieniksi oletetut tekijät vaikuttavat jaksonaikaan? Partikkelimalli T < ο L g Tangon massa T < ο L 6m M g 6m 3M g ε L,M m Partikkelin ilmanvastus T < ο L 4m g g 4m g, c L Partikkelimallin ennuste sisältää myös ratkaisuvirhettä. Missä vaiheessa se syntyy? Viikko 46/5

6 PARTIKKELIMEKANIIKAN PERUSLAIT F Liikelaki (Newton 1): F < ma m a Voiman ja vastavoiman laki (Newton ): fji <, fij fij j f ji i Voimien suunnikaslaki: F < P Q Q F P Liikelaki pätee yksinkertaisessa muodossaan ns. inertiaalikoordinaatistossa. Viikko 46/6

7 PERUSLAIT (first principles) Massan tase: Kappaleella tarkoitetaan samoista partikkeleista koostuvaa systeemiä eli massalta suljettua systeemiä. Kappaleen massa on vakio Dm / Dt < 0. Liikemäärän tase (Newton korollaari): Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien summa: Dp / Dt < F Liikemäärän momentin taseen periaate (Newton korollaari): Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien momenttisumma: DLA / Dt < M A (A kiinteä tai A=C) Energian tase (Termodynamiikka 1) Kappaleen sisäenergian ja liike-energian muutosnopeuksien summa on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien tehon ja lisätyn lämpötehon summa: D( U K)/ Dt < PQ PW Entropian kasvun periaate (Termodynamiikka ) Viikko 46/7

8 TASEYHTÄLÖISTÄ SEURAAVIA JOHTOPÄÄTÖKSIÄ v 1 v1 v m 1 v m Viikko 46/8

9 RÄJÄHTÄVÄN ESINEEN OSIEN RADAT Partikkelisysteemin massakeskipiste liikkuu kuten kuvitteellinen partikkeli, jonka massa on koko systeemin massa ja johon vaikuttaa systeemin ulkoisten voimien resultantti v r < uχt r < uχt g vχt vχt Räjähtäneen lentokoneen osien jakaumasta voidaan tehdä päätelmiä tapahtumasta! Viikko 46/9

10 ESIMERKKI Laske kuvan veneen keulan etäisyys laiturista, kun mies on siirtynyt perästä keulaan. Aluksi vene on levossa ja keula kiinni laiturissa. Veneen massa on M, miehen massa on m ja veneen pituus on l. Veneen massakeskipisteen etäisyys keulasta on l. Veden vastus oletetaan mitättömäksi. g Vastaus d l m < m M Viikko 46/10

11 Veneen ja miehen muodostamaan systeemiin ei vaikuta vaakasuuntaisia ulkoisia voimia ja systeemi on alkuhetkellä levossa : %% x C < 0 t = 0, x % C (0) < 0 x C < vakio Alussa xc ( m M ) < lm lm m M l Lopussa x C ( m M) < dm ( l dm ) l Massakeskipisteen etäisyys x C < vakio lm lm< dm ( l dm ) M m d d l m < m M l+d Viikko 46/11

12 TEHTÄVÄTYYPPEJÄ Peruslakien taseyhtälöistä voidaan johtaa eri tilanteisiin sopivia Lagrangen tai Eulerin esityksiä. Äärellisten muotojen avulla voidaan tehdä karkeita päätelmiä ilman täsmällistä tietoa kappaleen sisäisistä voimista. Yksityiskohtaisessa mallintamisessa taseyhtälöitä sovelletaan kappaleen ainealkioon, jolloin tarvitaan sisäisten voimien malli. ς Jos lähtökohtana on annettu liike tai lämpötila (perustuntemattomat), taseyhtälöistä päätellään kappaleeseen tai kappalealkioon vaikuttavat voimat, lämpövuon tiheys tms. (viikko 46). Ratkaistavat yhtälöt ovat algebrallisia. ς Jos lähtökohtana on annetut (ulkoiset) voimat, lämmöntuotto jne., taseyhtälöiden lokaaleista muodoista päätellään voimien aiheuttama liike, kappaleen lämpötila jne. eli (perustuntemattomat) (viikot 47 ja 48). Ratkaistavana on yleensä joukko osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joten tämä tavanomaisempi tehtävätyyppi on matemaattisesti haastava. Viikko 46/1

13 3. MASSAN TASE Kappaleella tarkoitetaan koko ajan samoista partikkeleista koostuvaa joukkoa. Kappaleen massa m on vakio eli Dm / Dt < 0. Massan tase tarkoittaa, että ainetta ei synny eikä sitä tuhoudu. Partikkelijoukko m < i Kontinuumi m < dv ς m i dv ς Massan tasetta voidaan soveltaa muodossa mt ( Χ t), mt ( ) < 0 tarkastelemalla kappaletta tai kiinteän kontrollialueen lävitse kulkevaa kappaletta ajanhetkillä t ja t Χ t. Lopullinen muoto saadaan tämän jälkeen rajankäynnillä Χt 0. Viikko 46/13

14 KONTROLLIALUEEN KÄYTTÖ Massan suhteen avoimet tilanteet palautetaan aina koskemaan massalta suljettua tilannetta. Taseyhtälöt kirjoitetaan kappaleelle, joka kulkee valitun kontrollialueen kautta. ς Valitaan kappale ja kontrollialue (katkoviiva). Tarkastellaan tilanteita ajanhetkillä t ja t Χ t ja piirretään tilannekuva näille ajanhetkille. Määritetään mt () ja m( t Χt) tilannekuvien avulla valitulle kappaleelle. Χm i () t Χm m c () t m c ( t Χt) o ( t Χt) ς Sovelletaan peruslakia muodossa mt ( ) < mt ( Χ t). Lopuksi tarkastellaan raja-arvoa Χt 0. Pysyvässä tilanteessa kontrollialueen sisältämän massa mc on sama ajanhetkillä t ja t Χ t, joten se supistuu pois taseyhtälöstä Viikko 46/14

15 ESIMERKKI Johda massan taseen Eulerin esitystavan paikallinen muoto putkivirtaukselle. Käytä kontrollialuetarkastelua. Oletetaan, että tehtävään liittyvät suureet ovat vakioita poikkipinnalla eli virtausnopeus vxt (,), nesteen tiheys (,) xt ja putken poikkipinnan ala Ax. ( ) x Χx Kontrollialue Vastaus ( Av) A v < t x 0 Viikko 46/15

16 Kun aikaväli ja kappale valitaan sopivasti, ajanhetkillä t ja t Χ t kappaleiden rajaamat tilakoordinaatiston alueet leikkaavat. Valitaan kontrollialueeksi tämä leikkausalue. t t Χt x Χx x Χx Kontrollialue Ajanhetkellä t massa koostuu kontrollialueen massasta ja tulovirtauksen osuudesta mt ( ) < ( xtax, ) ( ) Χx ( xaxvx ) ( ) ( ) Χ t. Ajanhetkellä t Χ t massa koostuu kontrollialueen massasta (tiheys riippuu ajasta) ja menovirtauksen osuudesta Viikko 46/16

17 ( xt, ) Avxt (, Χt) m( t Χ t) < [ ( x, t) Χt] A( x) Χx [ Av( x, t Χt) Χx] Χt t x Massa säilyy ( Av) m( t Χ t), m( t) < ( A ) ΧxΧ t < 0 t x ( Av) A < t x 0. Suoraviivaisempi johto nojaa massan taseyhtälään, integraalin ainederivaattaan ja osittaisintegrointiin. Kontrollialueen massa: m( t) < ( x, t) A( x) dx, jossa ς D Massan tase: m < ( n x va ) Adx < 0 Dt ς ς t ς f [ A ( va)] dx 0 ς t x f <!ς A ( va) 0 t x <. Viikko 46/17

18 MASSAN TASEEN LOKAALI MUOTO Massan taseen lokaali muoto saadaan soveltamalla peruslakia mielivaltaisen alueen ς sisältä tai reunalta valittuun kappalealkioon Χς. D Yleinen: dv 0 Dt < Χς ς Lagrange: J, < 0 ς : ssa dv Euler: D ( v) < v < 0 t Dt ς:ssa Stationaarisessa nesteen virtauksessa Eulerin esityksen aikaderivaatta häviää. Jos < vakio päädytään ns. jatkuvuusyhtälö v < 0. Lagrangen esityksen jatkuvuusyhtälöstä voidaan laske tiheys lopputilanteessa, mutta tietoa tarvitaan käytännössä harvoin. Viikko 46/18

19 Lagrangen esitystavassa tarkastellaan kappalealkion massaa alkutilanteessa ja lopputilanteessa. Kappalekoordinaatisto yhtyy kiinteään koordinaatistoon alkutilanteessa. Lopputilanteen kappalekoordinaatiston kantavektorit esitettyinä siirtymän u(, xyzt,,) ja alkutilanteen ortonormaalien kantavektoreiden avulla e / 1 / / / x r x ux x uy x uz x i i ey < r / y < ux / y 1 uy / y uz / y j < [ F] j e r / z z ux / z uy / z 1 uz / z k k Alkutilanteen tilavuusalkio dv dv < ( e dx e dy) e dz < det[ F] dv < JdV. x y z < dxdydz kuvautuu lopputilanteen tilavuusalkiolle Massan tase kirjoitettuna alku ja lopputilanteille (Χς mielivaltainen) J 0 Χ m < dv, dv < ( J, ) dv < 0 Χς Χς Χς Viikko 46/19, <.

20 Partikkelijoukko: Kontinuumi: p< F < 3.3 LIIKEMÄÄRÄN TASE Kappaleen liikemäärän p muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien summa F eli Dp / Dt < F. tda i Ο i Ο vm i F p < vdv ς F < fdv tda ς ς i i Liikemäärän tasetta voidaan soveltaa (impulssi)muodossa Χ p< pt ( Χ t), pt () < F Χt tarkastelemalla kappaletta aluksi ajanhetkillä t ja t Χ t. Lopullinen muoto saadaan tämän jälkeen rajankäynnillä Χt 0. fdv dv v ς Viikko 46/0

21 NESTESTIIKAN TASAPAINOYHTÄLÖ z y x df < f dxdydz p dx df < ( p, ) dydz x dz p dy df <, ( p, ) dxdz j y dx p dz df <, ( p ) dxdy k z p dy df <, ( p ) dxdz j y p dx df <, ( p ) dydzi x dy p dz df < ( p, ) dxdy k z p dx p dx p dy f dxdydz ( p, ) dydz i,( p ) dydz i ( p, ) dxdz j, x x y p dy p dz p dz ( p ) dxdz j ( p, ) dxdy k,( p ) dxdy k < f, p < 0 y z z Viikko 46/1

22 Nestestatiikan tasapainoyhtälö voidaan johtaa pienemmällä piirustustyöllä lähtien σ liikemäärän taseen periaatteesta ja oletuksesta ρ <, pi σ, jossa p on paine. Pieni nestealkio valitaan kappaleen sisältä. Staattisessa tapauksessa liikemäärä häviää ja taseyhtälö kuvaa nestealkion voimatasapainoa. Ulkoisena voimana on painovoima ja pintavoimana on ympäröivän nesteen paine. F < fdv ρ da < fdv, npda < 0 Χς Χς Χς Χς F < ( f, p) dv < 0 Χς!Χς f, p < 0 ς :ssa. Nestestiikan tasapainoyhtälö on kolmen osittaisdifferentiaaliyhtälön ryhmä paineelle. Ulkoinen tilavuusvoima (esimerkiksi painovoima f < g ) ajatellaan tunnetuksi. Ratkaisu löytyy ainakin, jos tiheys on vakio ja massavoimalla g on potentiaali eli g <, Ε. Tällöin, Ε, p < 0 p Ε< C. Viikko 46/

23 Vakion C arvo voidaan ratkaista, jos paine ja potentiaali tunnetaan jossain kohdassa esimerkiksi pisteessä A nesteen pinnalla, jolloin C < pa Ε A. Tarkastellaan vaikka hydrostaattista painetta säiliössä, jossa vapaan nestepinnan korkeus on h. Koordinaatiston z,akseli olkoon vastakkaissuuntainen maan vetovoiman kiihtyvyydelle ja origo säiliön pohjan kohdalla. Tällöin yhtälön g <, Ε ratkaisu potentiaalille on Ε < gz B. Vakion B arvolla ei ole merkitystä ja voidaan valita vaikka B < 0. Jos ilmanpaine vapaalla pinnalla on p 0, hydrostaattinen paine nesteessä p gz < p gh. 0 Viikko 46/3

24 KONTROLLIALUEEN KÄYTTÖ Massan suhteen avoimet tilanteet palautetaan aina koskemaan massalta suljettua tilannetta. Taseyhtälöt kirjoitetaan liikkuvan tai kiinteän kontrollialueen läpi kulkevalle kappaleelle ς Valitaan kappale ja kontrollialue (katkoviiva). Tarkastellaan tilanteita ajanhetkillä t ja t Χ t ja piirretään tilannekuva näille ajanhetkille. Määritetään pt () ja p( t Χt) tilannekuvien avulla valitulle kappaleelle. Χp i () t pc () t p ( t Χt) c Χpo ( t Χt ) ς Sovelletaan peruslakia muodossa pt ( Χ t), pt () < FΧt. Lopuksi tarkastellaan rajaarvoa Χt 0. Pysyvässä tilanteessa kontrollialueen sisältämän liikemäärä p c on sama ajanhetkillä t ja t Χ t, joten se supistuu pois taseyhtälöstä Viikko 46/4

25 ESIMERKKI Huvijahdin moottori ottaa etuosasta vettä (tiheys vakio) vakiotilavuusvirralla Q ja pumppaa veden ulos veneeseen nähden vauhdilla u. Laske moottorin työntövoima F, kun veneen nopeus on v. u Q Vastaus F < Q( u, v) Viikko 46/5

26 Piirretään tilannekuvat kappaleelle, joka koostuu ajanhetkellä t veneestä ja sen sisältämästä vedestä (massa M) sekä aikavälissä Χ t moottorin imemästä vedestä. Veneeseen vaikuttava ulkoinen voima olkoon F. t M v F t Χt v, u v M Χ m< QΧt Liikemäärät tarkasteluhetkillä ja liikemäärän tase p() t < Mv, p( t Χ t) < Mv QΧ t( v, u) ja Χ p< FΧt Q ( v, u) < F. Tämä on siis kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien summa. Koska veneen nopeus on vakio, työntövoiman pitää olla yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen F < Q( u, v). Viikko 46/6

27 ESIMERKKI Kuvan esittämä raketti liikkuu suoraviivaisesti pitkin x,akselia ilman ulkoisen voiman vaikutusta. Johda raketin liikeyhtälö Ma < λu, jossa vt () on raketin nopeus, a < dv / dt, u on polttoaineen palamissuihkun poistumisnopeus raketin suhteen, Mt () on raketin ja polttoaineen yhteinen massa ja λ () t on suihkun massavirta [kg/s]. Sovella massan säilymisen ja liikemäärän taseen periaatteita ja esitä selvästi kappale, jota tarkastelet läheisillä hetkillä t ja t Χ t. Muodosta myös raketin loppunopeuden lauseke, jos λ < vakio, ulkoisten voimien resultantti F 0 ja raketin alkunopeus ja massa ovat v0 ja M0 λ M(t) v(t) Vastaus v< v 0 0 uln M M Viikko 46/7

28 Kappaleeksi valitaan hetkellä t raketin sisällä olevat partikkelit. Otaksutaan että kaikilla raketin partikkeleilla on sama vauhti. t M v λχt Χm v+χv-u t+χt M+ΧM v+χv Aikana Χ t raketista on virrannut partikkeleita ulos määrä λχ t, joilla on nopeus v Χ v, u. Kappaleen massat ja liikemäärät ajanhetkillä t ja t Χ t ovat m() t p() t < M ja m( t Χ t) < M ΧM λχ t, < Mv ja p( t Χ t) < ( M ΧM)( v Χv) λχt( v Χ v, u). Massan tase mt ( ) < mt ( Χt) dm M < M ΧM λχt ΧM λχ t < 0 λ < 0. dt Viikko 46/8

29 Liikemäärän tase pt ( Χ t), pt ( ) < 0 ( M ΧM )( v Χv) λχt( v Χ v, u), Mv < 0 M Χv ( ΧM λχt)( v Χ v), λχ tu < 0 dv M Χ v, λχ tu < 0 M, λu < 0. dt Ilmeisesti λ u voidaan tulkita rakettiin vaikuttavaksi työntövoimaksi. Ratkaistaan vielä raketin loppunopeus tapauksessa, jossa ulkoiset voimat häviävät (eliminoidaan λ ) M dv dt dm <, u dt dv dm v, v <, 0 M < ln 0 v< v 0 0 uln M. u M u M M Loppuvauhtiin vaikuttavat palamissuihkun suhteellinen poistumisnopeus polttoaineen massan suhde raketin kokonaismassaan. u ja Viikko 46/9

30 ESIMERKKI Oletetaan, että putkivirtauksen nopeus on muotoa v() r < a br, jossa a ja b ovat vakioita. Nesteen tiheys ja putken poikkipinnan ala A ovat vakioita. Ulkoisina voimina nesteeseen vaikuttaa x,akselin suunnassa leikkausjännitys ρrx < λ( v/ r) neste-putki rajapinnalla r < R ja paine-ero. Johda viskositeetin λ laskentaan sopiva relaatio, kun putken pituus on L, paine-ero päiden välillä p 1, p = 0 ja tilavuusvirta on Q. d p 1 L p L L Vastaus λ < ο 18 4 d ( p1, p) LQ Viikko 46/30

31 Koska virtaus ei riipu ajasta eikä putken pituussuuntaisesta koordinaatista, liikemäärän tase x,suuntaan on puhtaasti voimatasapaino kirjoitettuna kontrollialueelle (kullakin hetkellä sisääntulevat ja ulosmenevät liikemäärät kumoavat toisensa). Tarkastellaan putkenosaa, jonka pituus on L. Liikemäärän tase ja tilavuusvirta ovat v ( p1, p) οr λ( ) r< RοRL < 0 r ja R Q < vο rdr. 0 Sijoitetaan muoto v() r < a br ja ratkaistaan parametrit (virtausnopeus putken seinämän kohdalla häviää) 1 ( p, p ) οr 4λο b R L < 0 ja v( R) < a br < 0 p1, p b <, ja a 4λL <, br R p, p Q< ο v() r rdr < R 8λL 4 1 ο. 0 p1, p v( r) < a br < ( R, r ) 4λL Viikko 46/31

32 LIIKEMÄÄRÄN TASEEN LOKAALI MUOTO Liikemäärän taseen lokaali muoto saadaan soveltamalla peruslakia mielivaltaisen alueen ς sisältä tai reunalta valittuun kappalealkioon Χς. Sisältä valitulle Χς Yleinen: Lagrange: D Dt vdv < fdv ρda Χς Χς Χς u σ < ρ t v σ Euler: ( v v) < ρ f t f ς : ssa ς:ssa Liikemäärän taseen lisäksi tarvitaan materiaalin käyttäytymista kuvaava jännitys-siirtymä relaatio (Lagrange) tai jännitys-nopeus relaatio (Euler). Materiaalimalleja tarkastellaan tarkemmin viikolla 47. fdv dv v ς tda Viikko 46/3

33 Valitaan kappalealkio Χς tarkasteltavan kappaleen sisältä. Eulerin version johdossa tarvitaan vektori-identiteettiä ( vv ) < v ( v ) v v ) ja massan taseen lokaalia muotoa. D Dt σ vdv < fdv n ρda Χς Χς Χς (integraalin ainerivaatta) σ ( v) dv ( n v)( v) da < fdv n ρda t Χς Χς Χς Χς (Gaussin lause) σ ( v) dv ( vv) dv < fdv ρdv t Χς Χς Χς Χς Χς v σ ( v v, f, ρ) dv <, v[ ( v)] dv < 0 t Χς t v σ ( v v) < ρ f t ς :ssa. (identiteetti)!χς Viikko 46/33

34 3.4 LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE Kappaleen liikemäärän momentin L A muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien momenttisumma DL / Dt < M (A kiinteä tai A=C massakeskipiste). Partikkelijoukko: Kontinuumi: LA < vm i Ο MA < i i F Ο i i i i LA < vdv ς M A < fdv tda ς ς Viikko 46/34 M A eli A A Liikemäärän momentin tasetta voidaan soveltaa myös (impulssi)muodossa LA( t Χ t), LA() t < MAΧt tarkastelemalla kappaletta aluksi ajanhetkillä t ja t Χ t. Lopullinen muoto saadaan tämän jälkeen rajankäynnillä Χt 0. A dv fdv v ς tda

35 ESIMERKKI Johda tasopalkin taivutuksen liikeyhtälöt suoraan taseyhtälöistä. Valitaan kappaleeksi palkkialkio, jonka pituus on Χ x. Ulkoisina voimina palkkialkioon vaikuttaa leikkausvoima Qxt (,) sekä taivutusmomentti M(,) xt. Jakaantunut kuorma f( x) vaikuttaa kohtisuoraan. Siirtymä wxt (,) on posiivinen alaspäin ja rotaatio π (,) xt vastapäivään. f M M+ΧM z x Q C Χx Q+ΧQ Vastaus Q x f < w A t ja M, Q < I x t π Viikko 46/35

36 Kontinuumimekaniikassa peruslakeja sovelletaan sopivasti valittuun kappalealkioon ja tämän jälkeen alkion koon annetaan lähestyä nollaa. Liikemäärän ja liikemäärän momentit w ΧQ Q, Q fχ x< AΧx, t Χx Χx π M Χ M, M,( Q Χ Q), Q < ΧxI. t Lagrange esityksessä ainederivaatta on osittaisderivaatta ajan suhteen. Edellä ainealkion hitausmomentti. Rajalla Χx 0 päädytään yhtälöihin Χ xi on Q x f < w A t ja M, Q < I x π. t Viikko 46/36

37 Bernoulli palkin differentiaaliyhtälöön päädytään käyttämällä ns. hoikan palkin oletusta (Bernoulli oletusta) ja taivutuspalkin konstitutiivistä yhteyttä (tähän palataan viikolla 47) w π <, ja x M <, EI x w. Stationaarisessa tapauksessa lisäksi aikaderivaatat häviävät, jolloin päädytään palkin taipumaa wx ( ) kuvaaviin yhtälöihin w, ( EI ) f < 0, x x M <, EI x w ja Q <, EI 3 w. 3 x Viikko 46/37

38 MIKSI MUURATTU SAVUPIIPPU KATKEAA TIETYSTÄ KOHDASTA? x M( x) π Palkin taivutusmomentti 1 x x M ( x) < mglsin π ( )(1, ) vetoa alapinnalla 4 L L Viikko 46/38

39 ESIMERKKI Sprinkleri, jonka suuttimen (neljä yhteensä) pinta-ala on A ja etäisyys akselista r, pyörii vakiokulmanopeudella ϖ. Veden (tiheys ) tilavuusvirraksi on tällöin 3 mitattu Q ([ Q ] < m /s). Laske akselin tuennan vastusmomentti T. Millä kulmanopeudella sprinkleri pyörii, jos tuenta on kitkaton? Q Q Vastaus T < (, ϖr)( ) r ja 4A A Q ϖ <. 4Ar Viikko 46/39

40 Käytetään liikemäärän momentin taseen periaatetta kirjoitettuna akselin suunnalle ja kiinteälle akselin pisteelle. Ajanhetkellä t tarkasteltava kappale koostuu sprinkleristä, sen sisältämästä nesteestä ja siihen letkusta aikavälissä Χ t virtaavasta nesteestä QΧ t. Ajanhetkellä t Χ t sprinkleristä suihkunneen nesteen tilavuus on QΧ t. Sprinklerin ja sen sisältämän nesteen liikemäärän momentti L c on vakio. Suihkuavan nesteen vauhti sprinkleriin nähden u < Q/(4 A). Kuvan perusteella (letkusta virtaavan nesteen liikemäärän momenttivarsi häviää) L() t < L, Lt ( Χ t) < L, 4( ϖr, u)( uχ tr ) ja M < T 0 c Q Q Q Q Lc, 4( ϖr, )( Χ t) r, Lc < TΧt T < (, ϖr)( ) r. 4A 4A 4A A Viikko 46/40

41 ESIMERKKI Kuvien partikkelin massa on m ja tukivarsi oletetaan jäykäksi ja massattomaksi. Johda kuvan tasoheilurin ja kartioheilurin liikeyhtälöt lähtien liikemäärän momentin taseen periaatteesta. Käytä Lagrangen esitystä partikkelista ja tukivarresta koostuvalle kappaleelle. Ilmanvastus ja tuennan kitka oletetaan häviävän pieniksi. g ε L g π L v m m Vastaus ml d ε mglsinε < 0 ja dt v < Lg tanπsinπ Viikko 46/41

42 LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASEEN LOKAALI MUOTO Liikemäärän taseen lokaali muoto saadaan soveltamalla peruslakia mielivaltaisen alueen ς sisältä tai reunalta valittuun kappalealkioon Χς. Momentti ja liikemäärä pitää laskea joko kiinteän pisteen tai massakekipisteen suhteen. Sisältä valitulle Χς Yleinen: Lagrange: Euler: D Dt σ σ ρ < ρ vdv < fdv ρda Χς Χς Χς σ σ ρ < ρ c c ς :ssa ς : ssa Liikemäärän momentin taseen lokaali muoto johtaa siis algebralliseen yhtälöön jännitykselle, jonka perusteella jännityksen pitää olla symmetrinen. Ehto toteutetaan yleensä a priori jännityksen konstitutiivisen yhtälön muodon valinnalla (viikko 47). A dv fdv v ς tda Viikko 46/4

43 Tarkastellaan nestettä (Eulerin esitystapa) ja valitaan Χς tarkasteltavan alueen sisältä ja momenttipisteeksi kiinteän koordinaatiston origo, jolloin < r. Johdossa tarvitaan mm. vektori-identiteettiä ( ρ σ r ) < ( ρ σ ) r ( ρ σ C r ), massan ja liikemäärän taseiden lokaaleja muotoja ja integraalin ainederivaattaa sekä Gaussin lausetta: D Dt σ r vdv < r fdv r ( n ρ) da Χς Χς Χς D σ ( r v ) dv < r fdv, ( ρ r ) dv Dt Χς Χς Χς ( Dv σ σ r ) dv < r fdv r ( ρ) dv, ( ρc r ) dv Dt ς ς ς ς ( ) ( Dv ρ σ r dv r <, f ) dv 0 Dt ρ σ < ς C ς ( ρ σ r) < 0 C σ σ ρ < ρ. (alaindeksi C tarkoittaa tässä vakiota derivoinnin suhteen) c Viikko 46/43

44 3.5 ENERGIAN TASE Kappaleen sisäenergian U ja liike-energian K muutosnopeuksien summa on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien tehon D( U K)/ Dt < PW PQ, jossa Sisäenergia E Liike-energia Voimien teho < ς K W edv 1 < v vdv ς P < f vdv t vda ς ς P W ja lisätyn lämpötehon fdv sdv edv v ς hda tda v P Q summa Lämpöteho P < sdv hda Q ς ς Lämpötila, lämpö ja sisäenergia ovat kontinuumimallin käsitteitä, jotka sisältävät mm. keskiarvoistuksessa menetetyn osan partikkelimallin liike-energiasta ja voimien tehosta. Viikko 46/44

45 ESIMERKKI Kirjoita energian tase metallisauvalle, kun poikkileikkauksen pinta-ala Ax, ( ) sisäinen lämmöntuotto tilavuusyksikköä kohden sx ( ) ja lämpövuon tiheys poikkipinnalla qx( x) < qx( x) i on akselin suuntainen. Sauvan ulkoreuna on hyvin eristetty. Tarkastele koko ajan samaa levossa olevaa kiinteän aineen partikkelijoukkoa ajasta riippumattomassa tapauksessa, joten liike-energia ja sisäenergian muutosnopeudet sekä ulkoisen voiman tekemä työ häviävät ja energian tase supistuu muotoon P Q < 0. x Ax ( ) Χς d Vastaus sa, ( Aqx ) < 0 dx Viikko 46/45

46 Sovelletaan energian tasetta tehtävän tilanteeseen, jossa poikkipinta riippuu paikasta ja lämpötila on vakio kullakin poikkipinnalla. Tilavuusalkio dv < A( x) dx ja kaikki tilavuusintegraalit voidaan palauttaa yksinkertaisiksi integraaleiksi P < sdv, q nda < Q Χς Χς 0 PQ < sadx, nxqxa 0 Χς < Χς d d PQ < [ sa, ( Aqx)] dx < 0!Χς sa, ( Aq ) 0 Χς x <. dx dx Huom. Ensimmäisessä muodossa 3 ς ja toisessa sekä kolmannessa ς. Viikko 46/46

47 ENERGIAN TASEEN LOKAALI MUOTO Energian taseen lokaali muoto saadaan soveltamalla peruslakia mielivaltaiseen alueen ς kappalealkioon sisältä tai reunalta valittuun kappalealkioon Χς. Sisältä valitulle Χς D Yleinen: Dt D 1 edv v vdv < f vdv Dt Χς Χς Χς ρ vda sdv, n qda Χς Χς Χς e σ Lagrange: c : σ < ρ d, q s t e σ σ Euler: ( v e) < ρc : d, q s t fdv sdv edv v ς hda tda v Käytännössä tarvitaan vielä konstitutiivinen yhtälö ominaissisäenergialle e, jännitykselle ρ σ ja lämpövuon tiheydelle q. Tähän palataan viikolla 47. Viikko 46/47

48 Lokaalien muotojen johdossa tarvitaan mm. integraalin ainederivaatan esitystä, Gaussin lausetta, massan, liikemäärän ja liikemäärän momentin taseiden lokaaleja muotoja. Eulerin esityksen johdon pääpiirteet ( ( ρ σ v ) < ( ρ σ ) v ρ σ : v ) D Dt 1 ( e v v) dv < f vdv ρ vda sdv, n qda Χς Χς Χς Χς Χς De Dv σ ( v ) dv < f vdv ( ρ v) da sdv, qda Dt Dt Χς Χς Χς Χς Χς c De Dv ( v ) dv < ( f ) vdv ( c : d q) dv Dt Dt ρ σ σ ρ σ, Χς Χς Χς ( De Dv : d q s) dv v ( f ) dv 0 Dt ρ σ σ,, <, Χς Χς,, Dt ρ σ < De σ c : σ < ρ d, q s ς :ssa. Dt Viikko 46/48

49 3.5 PERUSLAKIEN LOKAALIT MUODOT Peruslakien differentiaalimuodot saadaan siis soveltamalla peruslakeja tarkasteltavan kappaleen kappalealkioon. Kappalealkion sijainti, joko kappaleen sisällä tai sen reunalla, vaikuttaa lopputulokseen ja tapaukset pitää tarkastella erikseen. Lagrangen ja Eulerin esitysten ero näkyy vain ainederivaatan lausekkeessa. Matemaattisessa johdossa käytetään DF f Integraalisuureen ainederivaattaa: L f dv E < dv n vfeda Dt < ς t ς t ς Gaussin lausetta: fdv < n fda ς Jatkuvuutta muodossa: fdv < 0!ς f < 0 ς ς Lisäksi tarvitaan useita vektori-identiteettejä nablaa ja tensoreita sisältäville termeille eri kombinaatioissa. Lokaalien muotojen johtaminen ei kuulu kurssialueeseen kaikkein yksinkertaisimpia tapauksia lukuunottamatta! Viikko 46/49

50 KIINTEÄN AINEEN LOKAALIT MUODOT Kiinteän aineen esityksissä ratkaisualue on kappaleen alkutilanteen rajaama kiinteän koordinaatiston alue ς. Perustuntemattomia ovat siirtymä u, tiheys ja lämpötila T. Taseyhtälö Alue Reuna Dm < 0 < J Dt Dp Dt < F u σ σ < ρ f n ρ < t t DL Dt < M σ σ ρ < ρ c D( U K) Dt e σ σ < d s, q t < PW PQ ρ : c n q < h Viikko 46/50

51 LOKAALIT MUODOT NESTEELLE Nesteen esityksissä ratkaisualue on kiinteän koordinaatiston alue ς. Perustuntemattomia ovat virtausnopeus v, tiheys tai paine p ja lämpötila T (useita vaihtoehtoja). Taseyhtälö Alue Reuna Dm < 0 ( v) < 0 Dt t Dp Dt < F v σ ( v v) < ρ f t DL Dt < M σ σ ρ < ρ c D( U K) Dt e σ σ v e < d s, q t < PW PQ ( ) ρ : c σ n ρ < t n q < h Viikko 46/51

52 ESIMERKKI Kuvan säiliö pyörii vakiokulmanopeudella ς pystyakselin ympäri. Määritä nestepinnan muoto, kun liike on jatkunut riittävän kauan. Tällöin neste pyörii kuten jäykkä σ σ kappale astian mukana. Oleta, että jännitykselle nesteessä pätee ρ <,pxyzi (,, ). Kuvan koordinaatisto on kiinnitetty pyörivään säiliöön. Nesteen tiheys olkoon vakio, ilmanpaine p 0 ja nestekorkeus z < h pyörimisakselin kohdalla, kun liike on tasaantunut. z ς y x Vastaus ς z < h ( x y ) (paraboloidi eli pyörähdysparaabeli) g Viikko 46/5

53 Taseyhtälöiden yhteydessä partikkelin nopeudella ja kiihtyvyydella tarkoitetaan suureita inertiaalikoordinaatiston suhteen, joka on levossa tai liikkuu korkeintaan vakionopeudella. Mikäli Eulerin esityksen liikemäärän tasetta sovelletaan vakiokulmanopeudella ς pyörivässä koordinaatistossa, pitää vasemman puolen kiihtyvyystermi kir joittaa muotoon v ( v v ς ( ς ) v) f t ς < ρ σ. jossa v on nyt suhteellinen nopeus eli liikkuvan koordinaatiston tarkkailijan näkemys ja < xi yj zk. Tehtävänkuvauksen perusteella ς<ς k σ σ, f <,gk, ρ <, pi <, p( ii jj kk ) ja liikemäärän taseen lokaaliksi muodoksi tulee, v< 0 p p p, ς ( xi yj ) <, ( i j k ), gk x y z Viikko 46/53

54 p < ς x x, p < ς y y ja p <, g z 1 ( p < ς x y ), gz C. Kohdassa x< y < 0 ja z < h paine on sama kuin ilmanpaine, joten C < p0 gh. 1 p < ς ( x y ), g ( z, h ) p0. Vapaalla pinnalla paine on sama kuin ilmanpaine eli p< p0 ς z < h ( x y ). g Viikko 46/54