4 YLEINEN ELEMENTTIMENETELMÄ

Transkriptio

1 Elementtimenetelmän perusteet 4. 4 YLEINEN ELEMENIMENEELMÄ 4. Johdanto Elementtimenetelmä on osittaisdifferentiaalihtälörhmän reuna-arvotehtävän likimääräinen ratkaisumenetelmä. ällöin tarkastellaan tiettä fsikaalista materiaalialuetta V, jota rajoittaa sen reuna A kuvan 4. mukaisesti. arkastelut suoritetaan A u A = A A u σ A σ Kuva 4. Alue V ja sen reuna A. jossakin koordinaatistossa, joksi voidaan valita esimerkiksi karteesinen koordinaatisto. Alueessa V on määritelt tuntematon kenttäfunktio, jonka saamista arvoista ollaan kiinnostuneita. Kenttäfunktio voi olla skalaariarvoinen d (,,), mutta se voi olla mös vektoriarvoinen { d (,,) }. Lämpötilakenttä (,,) on skalaariarvoinen kenttäfunktio, mutta siirtmätilakenttä { u (,,), v(,,), w(,,) } lujuusopissa on vektoriarvoinen kenttäfunktio. Reuna A jakaantuu osiin A u ja A σ, joista ensiksi mainitulla on annettu oleellisia reunaehtoja ja jälkimmäisellä luonnollisia reunaehtoja. Lujuusopin tehtävässä oleelliset reunaehdot koskevat kappaleen siirtmiä tukien kohdilla ja luonnolliset reunaehdot liittvät sen pintakuormituksiin. untematon kenttäfunktio { d } toteuttaa alueessa V tarkasteltavaan tapaukseen liittvän osittaisdifferentiaalihtälörhmän ja reunalla A annetut reunaehdot. Näiden asemasta tai lisäksi kenttäfunktiolle { d } voidaan tuntea tiett ääriarvoperiaate. Lujuusopissa htälörhmänä ovat lujuusopin perushtälöt (käsiteltiin lujuusopin jatko-

2 Elementtimenetelmän perusteet 4. kurssilla) ja ääriarvoperiaatteena potentiaalienergian minimin periaate. Useimmissa tapauksissa osittaisdifferentiaalihtälörhmän tai ääriarvoperiaatteen tarkan ratkaisun lötäminen ei ole mahdollista, jolloin on tdttävä kenttäfunktion { d } likimääräiseen määrittämiseen. Eräs likimääräisistä ratkaisutavoista on elementtimenetelmä. Elementtimenetelmässä alue V jaetaan äärellisiin osiin, joita sanotaan elementeiksi. Elementeistä valitaan tiett pisteet solmuiksi, jotka sijaitsevat elementtien rajoilla. Perustuntemattomat ovat kenttäfunktion { d } tai sen derivaattojen arvot solmuissa. Kenttäfunktion arvot elementin alueessa lasketaan solmuarvoista interpoloimalla. Interpolointi on likimääräinen, mutta tarkkuus on sitä parempi mitä useampia solmuja kätetään. untemattomille solmuarvoille muodostetaan lineaarinen htälörhmä, jota sanotaan elementtiverkon perushtälöksi. Esimerkiksi ääriarvoperiaatteesta saatava elementtiverkon perushtälö on muotoa [ K ]{ U} = { R} (4.) jossa [ K ] on ssteemin ominaisuuksista saatava vakio kerroinmatriisi. ktori { U } ktori { } sisältää kenttäfunktion solmuarvot ja siinä on otettu huomioon oleelliset reunaehdot. R sisältää luonnollisten reunaehtojen vaikutukset eli kuormitustermit. Kullekin elementille on voimassa elementin perushtälö [ k ]{ u} = { f} (4.) Elementtiverkon perushtälön kerroinmatriisi [ K ] muodostetaan hdistämällä elementtien perushtälöiden kerroinmatriisit [ k ] sijoittelusummauksella. Rhmästä (4.) voidaan ratkaista vektorin { U } tuntemattomat solmuarvot ja niistä voidaan poimia kunkin elementin solmuarvot { u }. Näistä saadaan interpoloinnin avulla kenttäfunktion { (,, ) } d arvot elementin alueen pisteissä (,, ). Elementtimenetelmässä kätetään diskretisointia, jossa kenttäfunktion äärettömän monen tuntemattoman arvon sijasta etsitään sen solmuarvoja, joita on äärellinen määrä. Jos kenttäfunktio voidaan lausua tarkasti solmuarvojensa avulla kentän mielivaltaisessa pisteessä, johtaa elementtimenetelmä tarkkaan ratkaisuun. Näin on viivarakenteissa (ristikot ja kehät). Yleensä kseessä on kuitenkin likimenetelmä. Lujuusopin ratkaisumenetelmät jaetaan kolmeen rhmään eli siirtmä-, voima- ja sekamenetelmiin. Menetelmät eroavat toisistaan lähinnä siinä, mitä suureita kätetään laskennassa perussuureina. Elementtimenetelmää voidaan kättää kaikkien menetelmien htedessä, mutta parhaiten se soveltuu siirtmämenetelmään, joten tässä rajoitutaan sen käsitteln. Perustuntemattomana on tällöin siirtmätilakenttä { d (,, ) } = { u(,,), v(,,), w(,, ) }. Solmuarvoina ovat solmujen siirtmät ja lisäksi niiden derivaattojen solmuarvoja, kuten esimerkiksi kiertmiä ja kaarevuuksia.

3 Elementtimenetelmän perusteet Potentiaalienergia Lujuusopin elementtimenetelmä voidaan kimmoisen materiaalin tapauksessa perustaa tarkasteltavan kappaleen potentiaalienergian Π minimin periaatteeseen. Potentiaalienergia Π koostuu kimmoenergiasta U ja ulkoisten kuormitusten töstä W. σ σ 0 ε Kuva 4. Aksiaalinen jännitstila. arkastellaan ensin lineaarisesti kimmoisen materiaalin aksiaaliseen jännitstilaan liittvää kimmoenergiatihettä U 0 siinä tapauksessa, että materiaalissa on venmästä ε aiheutuvan jännitksen σ lisäksi esijännits σ 0. Kun sovitaan, että venmä ε ei sisällä esijännitksen σ 0 aiheuttamaa venmää σ 0 / E, on voimassa kuvan 4. mukainen materiaalihtälö σ = Eε + σ 0 (4.3) Kimmoenergiatihes U 0 on kuvan 4. ja kaavan (4.3) perusteella U σ0 σ0 0 σ 0 + σ0 ε + ε( σ σ0 ) = + σ0 ε + E = ε (4.4) E E Koska kimmoenergian nollakohdalla ei ole ääriarvolauseessa merkitstä, voidaan σ 0 termi jättää kimmoenergiatiheden lausekkeesta pois, jolloin sen lausekkeeksi E aksiaalisessa jännitstilassa tulee U = ε (4.5) 0 σ 0 ε + E Yleisessä jännits- ja muodonmuutostilassa suureet σ, ε ja σ 0 korvataan vektoreilla { σ} = { σ σ σ τ τ τ } {} ε = { ε ε ε γ γ γ } { σ } = { σ σ σ τ τ τ } Kaavaa (4.3) vastaa tällöin materiaalihtälö 0 (4.6) { σ } = [ ]{} ε + { } E σ 0 (4.7) Kaavassa (4.7) [ E ] on kimmomatriisi ja se on muotoa

4 Elementtimenetelmän perusteet 4.4 ν ν ν ν ν ν E ν ν ν E = (4.8) (+ ν)( ν) ν ν ν [ ] jossa on merkitt ν = ( ν)/. Kimmoenergiatihedelle U 0 tulee leisessä jännits- ja muodonmuutostilassa kaavan (4.5) kanssa analoginen lauseke U { ε} { σ } { ε} [ E]{ ε} 0 = 0 + (4.9) Kappaleeseen varastoituva kimmoenergia U saadaan tästä integroimalla U = U 0 dv (4.0) V Kappaleeseen vaikuttavat ulkoinen tilavuusvoima- ja pintavoimavektori ovat {} f { f f f } { p} = { p p p } = (4.) jolloin ulkoisten kuormitusten tekemä tö W on { d} { f} dv { d} { p} W = + da (4.) V A Kaava (4.) ei sisällä pistekuormitusten tötä, mutta se on tarvittaessa helppo ottaa huomioon. Potentiaalienergian Π lausekkeeksi tulee näin ollen Π = U W = [ ε ] V { ε } { σ 0} + { ε } [ E]{ } dv { d } { f} dv { d } { p} V A da (4.3) Potentiaalienergialle Π on voimassa ääriarvoperiaate Kaikkien kinemaattisesti käpien siirtmäkenttien joukosta se, joka antaa potentiaalienergialle ääriarvon, vastaa tasapainotilaa. Jos tämä ääriarvo on minimi, on tasapaino stabiili. Siirtmäkenttä on kinemaattisesti käpä, jos se toteuttaa kinemaattiset jatkuvuusehdot (on jatkuva ja derivoituva kappaleen pisteissä) ja siirtmille asetetut reunaehdot (oleelliset reunaehdot).

5 Elementtimenetelmän perusteet Siirtmämenetelmään perustuva elementtimenetelmä Siirtmämenetelmään perustuvassa elementtimenetelmässä kenttäfunktio on siirtmäkenttä { d } = { u v w } ja se ratkaistaan vaatimalla, että kappaleen potentiaalienergia Π saa minimin. Siirtmämenetelmässä Π lausutaan solmusiirtmien avulla ja niille etsitään sellaiset arvot, että Π tulee mahdollisimman pieneksi. ästä seuraa solmusiirtmille lineaarinen htälörhmä, joka on elementtiverkon perushtälö. Siirtmäkenttä { d } = { u v w } esitetään elementin alueessa solmusiirtmien { u } avulla muodossa { d } = [ N]{ u} (4.4) jossa [ N ] on solmusiirtmiä { } u vastaava interpolointimatriisi. Kuten möhemmin tulee esille interpolointi (4.4) tapahtuu emoelementtiä ja sen sopivasti valittua pai- d tunnetaan, saadaan kalliskoordinaatistoa hväksi kättäen. Kun siirtmäkenttä { } muodonmuutostilakenttä { ε } kinemaattisista htälöistä ε γ = u, = u, + v, ε = v, γ ε = u, = w, + w, γ = v, + w, (4.5) Kaavat (4.5) menee operaattorimatriisin [ D ] avulla matriisimuotoon seuraavasti ε / / 0 ε u ε 0 0 / ε (4.6) γ / / 0 w γ 0 / / γ / 0 / { } = = v = [ D]{ d} Kaavojen (4.4) ja (4.6) avulla muodonmuutostilakenttä { ε } voidaan lausua solmusiirtmien { u } avulla muodossa {} ε = [ D ][ N]{ u} = [ B]{ u} (4.7) jossa [ ] [ D][ N] B = on elementin kinemaattinen matriisi. Jännitkset voidaan lausua solmusiirtmien avulla kaavojen (4.7) ja (4.7) avulla { σ } = [ E][ B]{ u} + { σ } 0 (4.8)

6 Elementtimenetelmän perusteet 4.6 Elementin potentiaalienergian lausekkeeksi tulee kaavoista (4.3), (4.4) ja (4.7) Π e = { u} [ B] [ E][ B] dv { u} + { u} [ B] { σ0} { u} [ N] {} f dv + [ N] { p} Ae da dv (4.9) jossa solmukuormituksia ei ole vielä otettu huomioon. Otetaan kättöön merkinnät [ k] = [ B] [ E][ B] dv (4.0) {} r = [ B] { σ0} dv + [ N] {} f dv + [ N] { p} Ae da (4.) jolloin elementin potentiaalienergian lauseke menee muotoon Π e = { u} [ k]{ u} { u} { r} (4.) r ekvivalenttinen solmukuormitusvektori. Kaa- f ja pintavoi- p vaikutuksen. Pintavoimavaikutus on mukana vain niillä elementeillä, joilla on hteistä reunapintaa kappaleen ulkopinnan A kanssa. [ k ] on elementin jäkksmatriisi ja { } van (4.) vektori { r } sisältää esijännitstilan { σ 0}, tilavuusvoimien {} mien { } Elementtiverkon potentiaalienergia Π on elementtien ja solmukuormitusten potentiaalienergioiden summa. Kun se lasketaan matriisien ja vektoreiden sijoittelusummausta kättäen, saadaan tulokseksi lauseke { U} (" " [ k] ){ U} { U} (" " [] r ) { U} { F} Π = (4.3) K ja ko- jossa { F } sisältää solmukuormitukset. Elementtiverkon jäkksmatriisille [ ] konaiskuormitusvektorille { R } saadaan siis kaavat [ K ] " " [ k] { R} = " " { r} + { F} = (4.4) Merkinnöillä (4.4) elementtiverkon potentiaalienergia voidaan kirjoittaa muotoon

7 Elementtimenetelmän perusteet 4.7 Π = { U} [ K]{ U} { U} { R} (4.5) Elementtiverkon potentiaalienergia on kaavassa (4.5) esitett solmusiirtmien { U } avulla. Potentiaalienergian minimiehdosta seuraa, että sen derivaattojen solmusiirtmien suhteen on oltava nollia, mistä tulee solmusiirtmien mukainen määrä ehtoja Π U k = 0 k =,, L,n (4.6) jossa n on elementtiverkon solmusiirtmien lukumäärä. Kaavasta (4.6) saadaan derivoimalla muuttujan U suhteen k ({ e } [ K]{ U} { U} [ K]{ e }) { e } { R} = 0 k =,, L, n k k k + (4.7) Edellä { e k} on n-vektori, jonka paikassa k oleva komponentti on ja muut komponentit nollia. Kaavasta (4.7) seuraa jäkksmatriisin [ K ] smmetrian perusteella { e } ([ K]{ U} { R} ) = 0 k =,, L, n k (4.8) Kaavan (4.8) ehdot toteutuvat, jos ja vain jos on voimassa htälörhmä [ K ]{ U} = { R} (4.9) joka on elementtiverkon perushtälö. Yhtälöä (4.9) ratkaistaessa pitää kinemaattiset reunaehdot ottaa huomioon. 4.4 Yhteenveto Edellä esitett elementtimenetelmän leinen muoto sopii kaikkiin lineaarisen lujuusopin tehtäviin, jolloin siirtmät ja muodonmuutokset ovat pieniä ja materiaali kättät lineaarisesti kimmoisesti. Menetelmää voidaan soveltaa kaikkiin lujuusopin laskentamalleihin, kuten viivarakenteisiin (sauvat ja palkit), pintarakenteisiin (levt, laatat ja kuoret) ja solidirakenteisiin. Lähtökohtana on kaikissa tapauksissa geometrialtaan ksinkertaisen muotoinen elementti, jossa on haluttu määrä tiett vapausasteet omaavia solmuja sopivissa kohdissa. Siirtmien interpoloimiseksi valitaan elementin vapausasteisiin liittvät interpolointifunktiot, jolloin interpolointimatriisi [ N ] tulee määrätksi. ämän jälkeen kinemaattisista htälöistä selviää tutkittavaan tapaukseen liittvä kinemaattinen matriisi [ B ]. Lisäksi materiaalihtälöistä seuraa konstitutiivinen matriisi [ E ]. Näiden kolmen perusmatriisin ksitiskohdat riippuvat elementin

8 Elementtimenetelmän perusteet 4.8 tpistä, kätettävästä interpolointitekniikasta ja materiaalista, mutta ne ovat esitettävissä kaikille elementeille. Seurauksena on, että elementin ja elementtiverkon käsittel sujuu kaikissa tapauksissa aina edellä esitettjen suuntaviivojen mukaisesti. Seuraavassa on koottu elementin ja elementtiverkon käsittelssä tarvittavat htälöt. Elementti Kaikki suureet esitetään solmusiirtmien avulla elementin alueessa valittua interpolointitekniikkaa kättäen { d} = [ N]{ u} { ε } = [ B]{ u} { σ } = [ E][ B]{ u} + { σ } 0 (4.30) Elementin jäkksmatriisi ja ekvivalenttinen solmukuormitusvektori [ k] = [ B] [ E][ B] {} r = [ B] { σ0} dv + [ N] {} f dv + [ N] { p} dv Ae da (4.3) Elementtiverkko Elementtiverkon perushtälö muodostetaan sijoittelusummaamalla elementtien jäkksmatriisit sekä solmukuormitukset ja ekvivalenttiset solmukuormitusvektorit. Lisäksi otetaan huomioon kinemaattiset reunaehdot. [ K ]{ U} { R} [ K ] = " " [ k] { R} = " " { r} + { F} = (4.3) untemattomat solmusiirtmät ratkaistaan elementtiverkon perushtälöstä, jonka jälkeen suureet elementin alueessa saadaan kaavasta (4.30).