KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti
|
|
- Juha-Pekka Salo
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti Apulaisprofessori Konetekniikan laitos
2 Statiikan välikoe Ajankohta ma klo 14:00 17:00 Salijako Aalto-sali ja B-sali Ilmoittautuminen Ei tarvitse. Materiaali ja välineet o o o Opiskelijalla saa tuoda mukanaan ainoastaan kirjoitusvälineet (kynät, pyyhekumi ja viivain) ja laskimen (kaikki laskintyypit hyväksytään) Opiskelijalle jaetaan tehtävä- ja vastauspaperit Tehtäväpapereissa kysymykset ovat suomeksi, ellei muuta erikseen sovita. Sisältö 5 tehtävää (sekä laskuja että mahdollisesti sanallisia) Koealue Statiikan luennot ja tehtävät ja kurssikirjan luvut kurssiesitteen mukaan Yleisiä sääntöjä ENGin tenttiohjesääntöä noudatetaan soveltuvin osin
3 Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija Ymmärtää, että kuormitetussa palkissa vaikuttaa sisäisiä voimia ja taivutusmomentteja, jotka ovat jakautuneet koko palkin pituudelle. Osaa piirtää (1) sisäiset voimat kappaleen leikkauksen vapaakappalekuvaan ja (2) sisäisten voimien jakaumat palkille. Osaa ratkaista palkin sisäisten voimien suuruudet ja niiden jakaumat leikkauksen tasapainoyhtälöiden avulla Ymmärtää, miten palkin erilaiset rasitukset liittyvät toisiinsa.
4 Kertauksena: sauvat ja palkit Sauvassa vaikuttaa vain sauvan pituusakselin suuntaisia voimia. Palkki kantaa myös taivuttavaa, pituusakseliin nähden kohtisuoraa kuormitusta. Palkin rasitukset, eli sisäiset voimat, ovat tasokuormituksessa normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti.
5 Normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti Rakenteen sisäisen rasitustilan määrittäminen on keskeinen osa rakenteen lujuusopillista tarkastelua ja suunnittelua. Ulkoiset kuormitukset aiheuttavat rakenteeseen sisäisiä rasituksia, joiden seurauksena rakenne deformoituu (muutta muotoaan). Jos rasitukset ylittävät rakenteen kapasiteetin tai lujuuden, rakenne menettää kantokykynsä. Rakenteen (tässä tapauksessa palkin) sisäisen rasitustilan määrittämiseen tarvitaan statiikan taitoja. Uimahallin liimapuupalkki, Iisalmi. (Lähde: Onnettomuustutkintakeskus)
6 Sisäiset voimat yleisemmin Edellisellä luennolla: leikkausmenetelmä ristikon sauvavoimien ratkaisemisuun Sauvavoima on sauvan sisäinen (sauvan akselin suuntainen) normaalivoima à eli olemme jo sovellettu soveltaneet sisäisen voiman käsitettä.
7 Sisäiset voimat yleisemmin A a! B! a & %!! & % =! " = $ %!!! " = $ %
8 Palkin sisäiset voimat Palkin kuormitus voi aiheuttaa palkkiin normaalivoiman (! " ) (leikkauksen normaalin suuntainen), leikkausvoiman (leikkauksen suuntainen) ( # " ) ja taivutusmomentin ($ " ) (taivuttamaan pyrkivä). Riippuen kuormitustilasta, ilman jotakin (tai usein kaikkia) näistä sisäisistä voimista, palkki ei olisi tasapainossa. Sisäiset voimat voidaan esittää leikkauksen vapaakappalekuvassa kuin ne olisivat (tuntemattomia) ulkoisia voimia ne voidaan myös ratkaista samoin!
9 Palkin sisäiset voimat Jotta rakenne olisi tasapainotilassa, sen kaikkien osien on oltava tasapainotilassa. Sisäisten voimien, normaalivoiman (! " ), leikkausvoiman ( # " ) ja taivutusmomentin ( $ " ), suuruus voidaan ratkaista mielivaltaisessa palkin leikkauksessa vaatimalla, että palkin osat ovat tasapainossa. (vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt!)
10 Merkkisäännöt Yllä positiiviset suunnat palkin leikkauksen vasemmalle osalle oikean osan positiiviset suunnat vastakkaiset (tasapaino!)
11 Esimerkki Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. Tullaan leikkaamaan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaisussa tarvitaan tukireaktio pisteessä B. Kun tämä tunnetaan, saadaan ratkaistua tuntemattomat sisäiset voimat tasapainoyhtälöiden avulla ) ( ) Koko kappaleen vapaakappalekuvaa käyttäen, ratkaistaan tukireaktio pisteessä B pisteen A suhteen muodostetun momenttiyhtälön avulla. + Σ$ % = 0 ( ) 6m 9kN 3m 4.5m 12kN 1.5m = 0 ( ) = kn
12 Esimerkki Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva kn/m Tässä siis edellä ratkaistu tukireaktio Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. + Σ- + = 0 * +, kN m 9kN 1.5m (0.75m) - + = = knm + Σ: ; = 0 * + = 0 + Σ: = = kN 9kN(1.5m) +, + = 0, + = 9.75 kn
13 Esimerkki Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Tarvitaan taas ensin tukireaktio pisteessä B. Sen jälkeen ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla. Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C.! "! # $ # Koko kappaleen vapaakappalekuvaa käyttäen, ratkaistaan tukireaktio pisteessä B pisteen A suhteen muodostetun momenttiyhtälön avulla. + Σ( ) = 0 $ # 6m 15kN 4.5m 10kN 1.5m = 0 $ # = kn
14 Esimerkki Leikataan sitten palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva. $ % Tässä siis edellä ratkaistu tukireaktio Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. 2 % 3 % kn + Σ$ % = m 15kN 1.5m $ % = 0 $ % = knm + Σ5 6 = 0 2 % = 0 + Σ5 8 = kN 15kN + 3 % = 0 3 % = 1.25 kn
15 Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Leikkausvoima, V, ja taivutusmomentti, M, ovat paloittain jatkuvia funktioita palkin pituudella. V:n ja M:n Jakaumaa kuvaava funktio muuttuu pistevoimien (myös tukivoimat) kohdalla. momentin vaikutuspisteen kohdalla. voimajakauman funktion muuttuessa. Koko jakauman määrittely: jaetaan palkki osiin ja määritetään funktiot joka osalle erikseen. Funktioiden kuvaajien nimet V:n ja M:n tapauksessa Leikkausvoimakuvio (V) Taivutusmomenttikuvio (M)
16 Esimerkki Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä kuvaajat. Ratkaistaan ensin tukireaktiot palkin kiinnityspisteessä A vapaakappalekuvaa käyttäen (jäykkä kiinnitys: kiinnistypisteessä vaikuttaaa resultanttimomentti ja tukivoimat x- ja y-suuntaan).! " $ %! # + Σ) # = 0! # = 6 kn + Σ) " = 0! " = 0 + Σ$ % = 0 $ % = 18 knm
17 Esimerkki Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä kuvaajat. Leikataan seuraavaksi palkki mielivaltaiselta etäisyydeltä! (tässä oletetaan, että! < 3 m) Piirretään vasemman puoliskon vapaakappalekuva ja kirjoitetaan tasapainoyhtälöt. (Muista positiivisten suuntien määritelmät) M A = 18 knm & ' = 6 kn $ % Tuntemattomat sisäisten voimien resultantit etäisyydellä!! Näitä siis ratkotaan. Voimatasapainosta saadaan leikkausvoima + Σ4 5 = 0 & 5 $ = 0. $ = 6 kn Momenttitasapainosta!:n suhteen saadaan taivutusmomentti + Σ% = 0 % & & ' >! + % = 0 % = &' >! % & % = 6! 18 (knm)
18 Esimerkki Piirretään vielä leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat. Negatiiviset leikkausvoiman ja taivutusmomentin arvot piirretään x- akselin alapuolelle ja positiiviset yläpuolelle. Arvoilla x > 3 m, kumpaakaan kuvaajista ei ole määritelty, koska palkin pituus on tuo 3 m. './0 = 18 knm! (kn) ' (knm)! = 6 kn & Tässä kohdassa & = 3 m & ' = (6& 18) knm
19 Esimerkki Tehtävän voisi ratkaista, kuten edellä, laskemalla ensin tukireaktiot pisteessä A. Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä jakaumien kuvaajat. Tätä ei kuitenkaan tarvitse välttämättä tehdä, jos leikkaamme palkin kohdasta x ja tarkastelemme vasemman puoliskon vapaakappalekuvaa. 2 kn/m "!
20 Esimerkki Leikataan siis palkki kohdasta!, piirretään vasemman puoliskon vapaakappalekuva ja määritetään tasapainoyhtälöt: 2 kn/m Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä jakaumien kuvaajat. - + Voimatasapainosta saadaan leikkausvoima + Σ& ' = 0-2kN/m 3 (!m) = 0 - = ( 2!) kn Momenttitasapainosta!:n suhteen saadaan taivutusmomentti + Σ+ = 0 15kNm + 2!kN(! 2 m) + + = 0 Tasaista viivakuormaa vastaava ekvivalentti voimasysteemi x:n mittaiselle palkin palalle: resultanttivoima = (2! ) kn, jossa! on palkin palan pituus ja x/2 voiman vaikutuskohta! + = 15! 8 knm
21 Esimerkki Piirretään leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat.! (kn) Tässä kohdassa 1 = 3 m Negatiiviset leikkausvoiman ja taivutusmomentin arvot piirretään x-akselin alapuolelle ja positiiviset yläpuolelle.! #$% = 0 " (knm)! = ( 21) kn! #,- = 6 kn 1 " #$% = 15 knm " #,- = 6 knm " = knm 1
22 Jakaantuneen kuorman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin yhteydet Tarkastellaan " pituisen palkin osan tasapainoa (voima) pisteen O suhteen: + Σ' ( = 0,, +, + -(") " = 0, = -(") " Tarkastellaan palkkia AD sekä palkin osaa, jonka pituus on " ja jossa ei vaikuta pistevoimia. Jotta palkki olisi tasapainossa, tulee sen jokaisen sen # mittaisen osan olla tasapainossa. Jaetaan puolittain ":lla., " = -(") Otetaan raja-arvo, kun " 0. 0, 0" = -(") Leikkausvoimakuvaajan kulmakerroin = jakautunut kuorma.
23 Jakaantuneen kuorman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin yhteydet Tarkastellaan " pituisen palkin osan tasapainoa (momentti) pisteen O suhteen: Tarkastellaan palkkia AD sekä palkin osaa, jonka pituus on " ja jossa ei vaikuta pistevoimia. Jotta palkki olisi tasapainossa, tulee sen jokaisen sen # mittaisen osan olla tasapainossa. + Σ' ( = 0, " ' - " ". " + ' + ' = 0 ' =, " +.-(") " 2 Jaetaan puolittain ":lla. ' " =, +.-(") " Otetaan raja-arvo, kun " 0 3' 3" =, taivutusmomenttikuvaajan kulmakerroin = leikkausvoima
24 Pistemäisen kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet Pistevoiman kohdalla olevan ":n pituisen palan tasapainoyhtälö: + Σ& ' = 0 * + & (* + *) = 0 * = & Leikkausvoimassa &:n suuruinen hyppäys pistevoiman kohdalla! * (kn) + & 2 & 2 "
25 Pistemäisen kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet Momentin kohdalla olevan + :n pituisen palan tasapainoyhtälö pisteen O suhteen: + Σ$ % = 0 ) + $ $, + $ + $ = 0 $ = ) + + $, Kun + 0: $ = $, Taivutusmomentijakaumassa on siis $, :n suuruinen hyppäys momentin kohdalla. $ (knm) $, + Huom! Vaikka momentti on vapaa vektori, joka aiheuttaa saman ulkoisen vaikutuksen kappaleeseen vaikutuspisteestä riippumatta. Kun tarkastellaan sisäisiä voimia, vaikutuspisteellä on merkitystä.
26 Kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet Saaduista yhteyksistä voidaan tehdä hyödyllisiä päätelmiä: Kun jakaantunut voima on nolla (palkin kuormittamatton osuus), leikkausvoiman kulmakerroin on nolla, eli leikkausvoima on vakio.!"!# = %(#)!(!# = " " = * ( = ( + Kun jakaantunut voima on nolla, leikkausvoima on vakio ja taivutusmomentin kulmakerroin on vakio: taivutusmomentti muuttuu lineaarisesti. Jos kuormitus on tasainen, eli % # = % + (vakio), leikkausvoima muuttuu lineaarisesti, kuvaajan kulmakerroin on % +. Jos jakaantunut voima on n asteen polynomi, leikkausvoima on n + 1 asteen polynomi ja taivutusmomentti on n + 2 asteen polynomi. Kun leikkausvoima on nolla, taivutusmomentilla on ääriarvo. Pistevoiman kohdalla leikkausvoimassa on pistevoiman suuruinen hyppäys. Momentin kohdalla taivutusmomentin kuvaajassa on momentin suuruinen hyppäys, mutta leikkausvoima ei muutu.
27 Esimerkki Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. 1. Määritetään palkin tukireaktiot. 2. Piirretään leikkausvoiman kuvaaja väleille AD, DB ja BE. Leikkausvoima on jatkuva eikä muutu momentin kohdalla, joten ei tarvitse C:n yli paloissa. 3. Piirretään taivutusmomentin kuvaaja väleille AC, CD, DB ja BE.? : ; < = 2 : % 2 % + Σ) * = 0 20 knm 8kN 3m + 2 % 5m (15 kn m )(3m)(6.5m) = 0 2 % = 67.3 kn + Σ$ % = 0 : % 8kN kN (15 kn/m)(3m) = 0 : % = 14.3 kn + Σ$ ; = 0 : ; = 0
28 Esimerkki Piirretään leikkausvoiman kuvaaja, aloitetaan vasemmalta. Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. Väli AD: F y =0: V = -A y = kn -! " = 14.3 kn V " Väli DB: F y =0: V = -A y - 8kN= kn. - *! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn / 0 1 (kn) -! " = 14.3 kn. V 14.3! * / 0
29 Esimerkki -. * V Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille.! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn " Väli BE: F y =0: V(x) = -A y 8 kn + B y 15 kn/m (x-5m) -. * / 0 V(5m) = ( ) kn = 45 kn V(8m) = ( (8-5) ) kn = 0 1 (kn) 45! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn 14.3! * / 0
30 Esimerkki Piirretään taivutusmomentin kuvaaja, aloitetaan vasemmalta. Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. " Väli AC: M(x) + A y x = 0: M(x) = - A y x M(x=2m) = knm Piste C: M(x=2m) + 20 knm = -8.6 knm -! " = 14.3 kn M -. * / 0 Väli CD: M(x) + A y x 20 knm = 0: M(x) = - A y x + 20 knm M(x=3m) = knm -! " = 14.3 kn M! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn 1 (knm)! -. * 8.6 /
31 Esimerkki Väli DB: M(x) + A y x 20 knm + 8 kn (x-3m)= 0: M(x) = - A y x + 20 knm - 8 kn (x-3m) Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. " M(x=5m) = knm -. M. - *! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn / 0 1 (knm)! -. * 8.6! " = 14.3 kn /
32 Esimerkki Väli BE: Tarkastellaan ensin jakautuneen kuorman vaikutusta: F (x) = 15 kn/m (x-5m) M (x)=f (x) x (x) = 7.5 (x-5) 2 knm x (x) = 0.5 (x-5m) Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. M(x) + A y x 20 knm + 8 kn (x-3) B y (x-5) (x-5) 2 = 0 M(x) = -A y x + 20 knm - 8 kn (x-3) + B y (x-5) (x-5) 2 " -. * / 0 M(x=5m) = knm M(x=6m) = -30 knm M(x=7m) = -7.5 knm M(x=8m) = 0 knm -. * M! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn 1 (knm)! -. * 8.6! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn /
33 Esimerkki Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. " = 90 = 0 = (kn) = =?! = 90 = 0 9= 90 * / = =? = 15 kn/m 0. - *! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn / 1 = 20 kn < m 0 1 (knm)! -. * = = / 0 1(0) on 2. asteen polynomi
34 Yhteenveto Määrittelimme palkin sisäiset voimat: Normaalivoima N, Leikkausvoima V ja taivutusmomentti, M Opimme, miten sisäiset voimat lasketaan: 1. Leikataan kappale 2. Piirretään leikkauksen vapaakappalekuva, jossa sisäiset voimat kuvattu, kuten ulkoiset 3. Ratkaistaan sisäiset voimat tasapainoyhtälöiden avulla
35 Yhteenveto Opittiin kuinka leikkausvoima ja taivutusmomentti jakaantuvat palkin pituudella Opittiin esittämään leikkausvoiman ja taivutusmomentin graafisesti kuvaajien avulla Johdettiin kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset differentiaaliset yhteydet Teimme niistä päätelmiä, joiden avulla kuvaajien piirtäminen nopeutuu.
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotRASITUSKUVIOT (jatkuu)
RASITUSKUVIOT (jatkuu) Rakenteiden suunnittelussa yksi tärkeimmistä tehtävistä on rakenteen mitoittaminen kestämään ja kantamaan annetut kuormitukset muotonsa riittävässä määrin säilyttäen. Kun on selvitetty
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat
LisätiedotTasokehät. Kuva. Sauvojen alapuolet merkittyinä.
Tasokehät Tasokehä muodostuu yksinkertaisista palkeista ja ulokepalkeista, joita yhdistetään toisiinsa jäykästi tai nivelkehässä nivelellisesti. Palkit voivat olla tasossa missä kulmassa tahansa. Palkkikannattimessa
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino
KJR-C1001: Statiikka L3 Luento 27.2.2018: Jäykän kappaleen tasapaino Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 2.3.2016 Susanna Hurme äivän aihe: Staattisesti määrätyn rakenteen tukireaktiot (Kirjan luvut 5.7 ja 6.6) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mitä tarkoittaa staattisesti
LisätiedotSUORAN PALKIN TAIVUTUS
SUORAN PALKIN TAIVUTUS KERTAUSTA! Palkin rasituslajit Palkki tasossa: Tasopalkin rasitukset, sisäiset voimat, ovat normaalivoima N, leikkausvoima Q ja taivutusmomentti M t. Ne voidaan isostaattisessa rakenteessa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotSUORAN PALKIN RASITUKSET
SUORAN PALKIN RASITUKSET Palkilla tarkoitetaan pitkänomaista rakenneosaa, jota voidaan käsitellä yksiulotteisena eli viivamaisena. Palkkia kuormitetaan pääasiassa poikittaisilla kuormituksilla, mutta usein
LisätiedotRASITUSKUVIOT. Kuvioiden laatimisen tehostamiseksi kannattaa rasitukset poikkileikkauksissa laskea seuraavassa esitetyllä tavalla:
RASITUSKUVIOT Suurimpien rasitusten ja niiden yhdistelmien selvittämiseksi laaditaan niin sanotut rasituskuviot, joissa esitetään kunkin rasituksen arvot kaikissa rakenteen poikkileikkauksissa. Rasituskuvioita
LisätiedotHarjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotTAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat
TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,
LisätiedotMUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:
MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotAnalysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus
TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,
Lisätiedot10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.
Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) 5 5 6 Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä.
LisätiedotLaskuharjoitus 7 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan
LisätiedotSTATIIKKA. TF00BN89 5op
STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit
Lisätiedotnormaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät
TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,
LisätiedotMääritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja
TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti
LisätiedotRTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa
RTEK-2000 Statiikan perusteet 1. välikoe ke 27.2. LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op 1. välikoealue luennot 21.2. asti harjoitukset
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.
7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä
LisätiedotHYPERSTAATTISET RAKENTEET
HYPERSTAATTISET RAKENTEET Yleistä Sauva ja palkkirakenne on on isostaattinen, jos tasapainoehdot yksin riittävät sen tukireaktioiden ja rasitusten määrittämiseen. Jos näiden voimasuureiden määrittäminen
LisätiedotRakenteiden mekaniikka TF00BO01, 5op
Rakenteiden mekaniikka TF00BO01, 5op Sisältö: Nivelpalkit Kehät Virtuaalisen työn periaate sauvarakenteelle Muodonmuutosten laskeminen Hyperstaattiset rakenteet Voimamenetelmä Crossin momentintasausmenetelmä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
Lisätiedot7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ
TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotKJR-C2001 KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET, KEVÄT 2018
Vastaukset palautetaan htenä PDF-tiedostona Courses:iin 1.3. klo 1 mennessä. ahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. askuharjoitus 1. Selitä seuraavat käsitteet:
Lisätiedot2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotRAK Statiikka 4 op
RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka
LisätiedotAksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu
TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1
LisätiedotTukilaitteet
Tukilaitteet Tukemattomalla kappaleella on tasossa 3 liikemahdollisuutta, vapausastetta. Kun halutaan, että kappale on tasapainossa, on nämä liikemahdollisuudet poistettava kättämällä tukilaitteita. Tuet
LisätiedotLaskuharjoitus 3 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tieostona MyCourses:iin 14.3. klo 14.00 mennessä. Maholliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 3 Ratkaisut 1. Kuvien
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotPUHDAS, SUORA TAIVUTUS
PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotHarjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri
LisätiedotARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka III
ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka III A P 1 B P2 C P 3 D L L 1 L P 1 Q 1 Q 2 P 3 P2 A B C D Prof. (ma) Hannu Hirsi. Objectives in lecture 2 of mechanics : A thorough understanding
LisätiedotHarjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 4: mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotRAK Statiikka 4 op
RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotHarjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.
LisätiedotKoesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)
Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotKatso lasiseinän rungon päämitat kuvista 01 ja Jäykistys ja staattinen tasapaino
YLEISTÄ itoitetaan oheisen toimistotalo A-kulman sisääntuloaulan alumiinirunkoisen lasiseinän kantavat rakenteet. Rakennus sijaitsee Tampereen keskustaalueella. KOKOAISUUS Rakennemalli Lasiseinän kantava
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotVoiman momentti M. Liikemäärä, momentti, painopiste. Momentin määritelmä. Laajennettu tasapainon käsite. Osa 4
Osa 4 Liikemäärä, momentti, painopiste Voiman momentti M Voiman vääntövaikutusta mittaava suure on momentti. Esim. automerkkien esitteissä on mainittu moottorin momentti ("vääntö"). Moottorin antama voima
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
Lisätiedot8. Yhdistetyt rasitukset
TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotRAK-31000 Statiikka 4 op
RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka
LisätiedotRISTIKKO. Määritelmä:
RISTIKKO Määritelmä: Kitkattmilla nivelillä tisiinsa yhdistettyjen sauvjen mudstamaa rakennetta santaan ristikksi. Ristikn sauvat vat rakennesia, jtka ttavat vastaan vain vet tai puristusrasituksen. Js
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotRatkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedot5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = =
TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-1. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 19 N + 17 N -- 16 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedoton hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotFUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN
FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pystyakselin
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotRuuvien päiden muotoja. [Decker ja esimerkiksi: ]
Ruuvien päiden muotoja [Decker ja esimerkiksi: http://www.schrauben-lexikon.de/norm/din_609.asp ] Erilaisia muttereita [Decker] Torx- ja kuusiokolokannat Vasemmassa kuvassa esitetty Torx kanta ei rikkoonu
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Lisätiedot