KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut ) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on voimien ulkoinen vaikutus kappaleeseen ja että sama ulkoinen vaikutus saadaan aikaan samanarvoisella voimasysteemillä. 2. Ymmärtää, mikä on jakaantunut voima 3. Osata sieventää voimasysteemin ja jakaantuneen voiman yksinkertaisissa tapauksissa Sisältö: Samanarvoisen voimasysteemin määritelmä. Esimerkkejä voimasysteemin sieventämisestä Jakaantuneen voiman käsite Esimerkkejä jakaantuneen voiman sieventämisestä

3 Samanarvoiset voimasysteemit Voimasysteemit ovat samanarvoisia jos ne aiheuttavat kappaleeseen saman ulkoisen vaikutuksen Voimasysteemin ulkoinen vaikutus tarkoittaa kappaleen Tasoliikettä ja rotaatiota, jos kappale on vapaa liikkumaan Tukien reaktiovoimia, jos kappale on kiinnitetty tuilla

4 Samanarvoiset voimasysteemit Korvataan kuvan voimasysteemi samanarvoisella pisteessä O vaikuttavalla voimasysteemillä. Voima F 1 korvataan pisteessä O vaikuttavalla voimalla F 1 sekä voimaparin momentilla (M O ) 1 = r 1 F 1 Voima F 2 korvataan pisteessä O vaikuttavalla voimalla F 2 sekä voimaparin momentilla (M O ) 2 = r 2 F 2 Voimaparin momentti M on vapaa vektori, joten se voidaan siirtää pisteeseen O.

5 Samanarvoiset voimasysteemit Ratkaistaan kuvan voimasysteemin resultanttivoima, F R, sekä voimaparin momentin resultantti, (M R ) O. F R = ΣF = F 1 + F 2 (M R ) O = ΣM O + ΣM = (M O ) 1 + (M O ) 2 + M

6 Samanarvoiset voimasysteemit Laskentaohjeet Jos voimasysteemi vaikuttaa tasossa (2D) on usein helpompaa määrittää samanarvoinen voimasysteemi käyttämällä skalaarimenetelmää. Jaetaan voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihinsa, ja lasketaan resultanttivoiman komponentit (F R ) x = ΣF x (F R ) y = ΣF y Määritetään myös momentit voimien komponenteista. Jos voimasysteemi on kolmiulotteinen, kannattaa laskea voimaresultantti karteesisilla vektoreilla ja momentti ristitulolla.

7 Esimerkki Määritä kuvan voimasysteemiä vastaava resultanttivoima ja voimasysteemin momentin resultantti, jotka vaikuttavat pisteessä A. y (0.3m) 2 +(0.4m) 2 = 0.5 m 100 N Tehtävän voimat vaikuttavat tasossa, joten kannattaa käyttää skalaarimenetelmää. Jaetaan kaikki voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihin ja ratkaistaan resultanttivoima. + (F R ) x = ΣF x = 200N + 100N = 140 N + (F R ) y = ΣF y = 150N + 100N = 70 N 0.4 m F R = (F R x )2 +(F R y )2 = ( 140N) 2 +( 70N) 2 = 157N 0.3 m 0.3 m 200 N x θ = tan 1 (F R) y 70N 1 = tan (F R ) x 140N = 26,6 150 N

8 Esimerkki Määritä kuvan voimasysteemiä vastaava resultanttivoima ja voimasysteemin momentin resultantti, jotka vaikuttavat pisteessä A. y 100 N Määritetään voimien momentit pisteen A ympäri. + M R A = ΣM A M R A = 150N 0.3m + 100N = 45 Nm + 48 Nm 24 Nm = 21 Nm Vastaus: Resultanttivoima ja momentti kuvassa y 0.6m 100N (0.4m) 0.5 m 0.4 m M R A = 21 Nm 0.3 m 150 N 0.3 m 200 N x 26,6 F R = 157N x

9 Esimerkki Kuvan voimasysteemi on mahdollista korvata yhdellä samanarvoisella resultanttivoimalla. Määritä sen vaikutussuoran x- ja y-koordinaatit. Kuvan voimasysteemi on yhdensuuntainen. Se voidaan siis sieventää yhdeksi resultanttivoimaksi. Lasketaan resultanttivoiman suuruus. + F R = 100N 500N 400N = 800N Resultanttivoiman paikka saadaan momenttitasapainosta: Resultanttivoiman momentti x-akselin ympäri on oltava yhtä suuri kuin voimasysteemin voimien aiheuttama momentti x-akselin ympäri. (M R ) x = ΣM x + 800N y = 400N 4m 500N(4m) y = 4,5 m

10 Esimerkki Kirjoitetaan momenttitasapainoyhtälö y-akselin ympäri ja määritetään resultanttivoiman x-koordinaatti: Korvaa kuvan voimasysteemi samanarvoisella resultanttivoimalla ja määritä sen vaikutussuoran x- ja y-koordinaatit (M R ) y = ΣM y + 800N x = 100N 3m + 500N(4m) x = 2,125 m Voima F R = 800N pisteessä (2,125m;4,5m) on samanarvoinen kuvan voimasysteemin kanssa F R = 800N 4,5m 2,125m

11 Jakaantunut voima p = p x N/m 2 p = Pa = N/m 2 w(x) = p x b N/m

12 Jakaantunut voima Ajatellaan, että jakaantunut voima koostuu monesta vierekkäisestä pistevoimasta, jotka kaikki vaikuttavat dx pituisella pätkällä. + F R = ΣdF df = w x dx Resultanttivoima saadaan, kun summataan kaikki systeemin voimat F R = L df = L w x dx = L da = A Resultanttivoiman vaikutussuora kulkee jakaumakuvion pintakeskiön, C, kautta

13 Jakaantunut voima Voima df aiheuttaa momentin pisteen O ympäri. xdf = xw x dx Siten jakaantunut voima aiheuttaa momentin pisteen O ympäri. + M R O = L xw x dx Momentin avulla voidaan ratkaista resultanttivoiman paikka. xf R = L xw x dx x = Lxw x dx F R = Lxw x dx L w x dx = L xda L da

14 Jakaantunut voima Käytännössä jakaantunut voima on usein muodoltaan yksinkertainen, kuten suorakulmio, jolloin sen pinta-ala voidaan helposti laskea ilman integrointia b 2 Tasainen jakaantunut kuorma w 0 vaikuttaa palkin pituudella b. Resultanttivoima on suuruudeltaan kuormituskuvion pinta-ala, eli F R = w 0 b. b Resultanttivoima vaikuttaa kuormituskuvion painopisteessä, eli pituuden b puolivälissä.

15 Esimerkki Määritä resultanttivoima ja sen paikka mitattuna pisteestä A. Resultanttivoiman suuruus on kuormituskuvion pinta-ala. Jaetaan pinta-ala kahteen osaan, ja lasketaan ensin erikseen molempien osien resultanttivoimat. + F 1 = 1 3 kn/m 2 4.5m = 6.75 kn + F 2 = 3 kn/m 6 m = 18 kn Resultanttivoimien vaikutussuorat kulkevat kuvion painopisteen kautta. x 1 = m = 1.5 m 3 3 kn/m 3 kn/m F 1 F2 x 2 = m = 3 m x 1 x 2

16 Esimerkki x kn = 6.75kN 1.5 m + 18 kn(3 m) Kahden kuormituskuvion resultanttivoimista saadaan koko kuormituksen resultantti. + F R = F 1 + F 2 x = 2.59 m F R = 6.75 kn + 18 kn = kn x Määritetään resultanttivoiman paikka momenttitasapainon avulla. + M R A = ΣM A F R x = F 1 x 1 F 2 x 2

17 Yhteenveto Opimme uudet käsitteet: Samanarvoinen voimasysteemi Jakaantunut voima Opimme sieventämään voimasysteemejä Voimasysteemi redusoitiin samanarvoiseksi resultanttivoimaksi tai resultanttivoiman ja voimaparin momentin resultantin pariksi Jakautunut kuorma sievennettiin yhdeksi resultanttivoimaksi