ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Transkriptio

1 ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016

2 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset Maxwellin yhtälöt Vektoripotentiaali Magneettiset rajapintaehdot nduktanssi Magneettinen energia 2 (19)

3 Lorentzin voimalaki Kun varaus q liikkuu E- ja B-kentässä nopeudella u, siihen kohdistuu sähkömagneettinen voima F = q (E + u B) B F m q u Varaus voi magneettisen voiman F m = q u B takia esim. päätyä ympyräradalle. 3 (19)

4 Virtajohtimeen vaikuttava magneettinen voima A dv = A dl + + ρ v u + + Tarkastellaan virtajohtimen pätkää ulkoisessa magneettikentässä. Virtajohtimessa on varaustiheys ρ v joka liikkuu nopeudella u. dl Varaukseen dq kohdistuu magneettinen voima J = ρ v u, = A ρ v u df m = dq u B = ρ v A dl u B = ρ v Au dl B = dl B. ntegroimalla saadaan virtasilmukkaan kohdistuva magneettinen voima: F m = dl B C 4 (19)

5 Virtasilmukka vakiomagneettikentässä F 4 F 1 F 3 B F 1 F 2 y n α d 3 d 1 a/2 a/2 F 3 b B = x B 0 Kokonaisvoima häviää F m = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 0 Vääntömomentti on voima kertaa vipuvarsi T = d 1 F 1 + d 3 F 3 = 2 d 1 F 1 = 2 ( x a ) ( ) 2 sin α ŷ B 0 b = ẑ sin α }{{} = n x ( n ab = m B ) B 0 ab ) ( x B 0 5 (19)

6 Magneettinen momentti ja vääntömomentti Edellisen esimerkin yleistys n Magneettinen momentti on A N m = n m = n NA, kun käämissä on N kierrosta. Jos käämi (tai virtasilmukka, N = 1) on tasaisessa ulkoisessa magneettikentässä, saadaan vääntömomentti T = m B 6 (19)

7 Magneettinen dipoli E H H + N S (a) Electric dipole (b) Magnetic dipole (c) Bar magnet re 5-13 Sähköisen Patterns of (a) jathe magneettisen electric field of an electric dipolin dipole, kentät (b) the magnetic ovat hyvin field of asamalaiset magnetic dipole, and (c) netic field of a bar magnet. Far away from the sources, the field patterns are similar in all three cases. p E = ( R 4πεR 3 2 cos θ + θ ) sin θ, H = m ( R 4πR 3 2 cos θ + θ ) sin θ, missä R dipolin tai silmukan koko. 7 (19)

8 Biot Savartin laki dh R R dl Virtajohtimen alkio dl synnyttää magneettikenttäalkion dh = 4π dl R R 2. (Huomaa oikean käden kiertosuunta ja etäisyysriippuvuus 1/R 2.) ntegroimalla virtajohtimen yli saadaan Biot Savartin laki H = dl R 4π l R 2 (Tämä oli alunperin kokeellinen laki, mutta tulos on myös johdettavissa Maxwellin yhtälöistä.) 8 (19)

9 Suoran virtalangan magneettikenttä Biot Savartin lain avulla saadaan θ 2 θ 1 r H H = φ ) (cos θ 1 + cos θ 2 4πr ja erikoistapauksena θ 1 = θ 2 = 0 saadaan äärettömälle virtalangalle H = φ 2πr. Huom: Tässä kulma θ 2 on määritelty toisin kuin oppikirjan Example 5-2, jotta saadaan symmetrisempi lopputulos. 9 (19)

10 Magnetostaattiset Maxwellin yhtälöt Differentiaalimuodossa B = 0 H = J B =µh ntegroimalla tilavuuden yli ja käyttämällä Gaussin lausetta saadaan integraalimuotoinen magneettinen Gaussin laki S B ds = 0 Magneettisia varauksia ei ole, joten magneettivuo on aina lähteetön. Sen sijaan magneettikentänvoimakkuus ei välttämättä ole konservatiivinen eli pyörteetön. 10 (19)

11 Lävistyslaki (integraalimuotoinen Ampèren laki) ntegroidaan Ampèren laki mielivaltaisen pinnan S yli S H = J ( H) ds = S J ds = Stokesin lauseen avulla saadaan lävistyslaki C H dl = missä C on pinnan S oikean käden kiertosuunnan mukainen reunakäyrä ja on kokonaisvirta pinnan S läpi. Milloin lävistyslailla voidaan laskea magneettikenttä? 11 (19)

12 Esim: ääretön suora virtajohdin Olkoon z-akselilla a-säteinen virtajohdin, jossa virtajakauma on tasainen ja kokonaisvirta +z-suuntaan on. Symmetrian takia magneettikenttä on tällöin muotoa H = φ H(r ). (Miksi?) Valitsemalle r -säteinen ympyrä integrointipoluksi saadaan C H dl = 2π 0 πr 2 H(r ) φ φ r dφ = 2πr H(r ) = πa 2, r < a, r a H r 2πa H = 2πa φ, 2πr φ, r < a r a a r 12 (19)

13 Vektoripotentiaali Magneettivuontiheys on lähteetön, B = 0, joten se voidaan esittää vektorifunktion roottorin avulla B = A Vektoripotentiaali A on apusuure, joka ei liity potentiaalienergiaan. Vektoripotentiaalin divergenssi ei vaikuta B-kenttään, joten voidaan valita A = 0. Kun lisäksi oletetaan µ vakioksi, saadaan Poissonin yhtälö vektoripotentiaalille ( ) 1 H = J µ A = J ( A) 2 A = µ J 2 A = µ J 13 (19)

14 Annetun virtajakauman vektoripotentiaali Vertaamalla sähköstatiikan yhtälöihin 2 V = ρ V v ε, V = ρ v dv 4πεR, saadaan 2 A = µ J, A = V µ J dv 4πR missä R on etäisyys tarkastelu- ja integroimispisteen välillä. Kentän laskeminen vektoripotentiaalin kautta dv J A B voi olla helpompaa kuin suoraan Biot Savartin lailla. 14 (19)

15 Lankavirran vektoripotentiaali ja kenttä Jos virtajakauma on ohut virtajohdin, tilavuusintegraali muuttuu polkuintegraaliksi µ dl A = 4πR = µ dl 4π R, l missä R ja dl ovat kuten Biot Savartin laissa. Roottorin avulla voidaan laskea magneettikentänvoimakkuus H = 1 µ A = 4π dl R, mistä saadaankin Biot Savartin laki H = ( 1 ) dl = ( 1R ) 4π R 4π 2 R dl = 4π l l l l l dl R R (19)

16 Magneettiset rajapintaehdot Kahden väliaineen rajapinnalla Magneettivuontiheyden normaalikomponentti B norm on aina jatkuva. Magneettikentänvoimakkuuden tangentiaalikomponentti H tang on jatkuva, jos rajapinnalla ei ole pintavirtaa. (Pintavirta J s voi esiintyä vain ideaalijohteen pinnalla. Se ei ole kovin kiinnostava tapaus magnetostatiikassa.) 16 (19)

17 nduktanssi Tarkastellaan aluksi pintaa S, jonka reunalla C kulkee virta, joka synnyttää magneettikentän. Laskemalla magneettivuo silmukan (pinnan S) läpi, Φ = B ds, voidaan määritellä silmukan induktanssi L = Φ/. S Jos yksittäisen virtasilmukan sijaan on kela, jossa virta kulkee N kierrosta, määritellään käämivuo ja itseisinduktanssi Λ = NΦ L = Λ 17 (19)

18 Keskinäisinduktanssi Tarkastellaan kahden kelan järjestelmää: Kelassa 1 on N 1 kierrosta, jossa kulkee virta 1. Tämä synnyttää magneettivuontiheyden B 1. Osa tästä magneettivuosta kulkee kelan 2 läpi, jolloin saadaan virran 1 synnyttämä käämivuo kelassa 2: Λ 12 = N 2 Φ 12 = N 2 S 2 B 1 ds Tämän käämivuon avulla määritellään keskinäisinduktanssi L 12 = Λ (19)

19 Magneettinen energia Kelaan varastoitunut energia voidaan ilmaista piirisuureiden avulla muodossa W m = 1 2 L 2 ja magneettikenttään varastoitunut energia on W m = 1 2 µ V H 2 dv Vertaa kondensaattorin sähköstaattiseen energiaan: W e = 1 2 C V 2, W e = 1 2 ε V E 2 dv. 19 (19)