Oikeasta vastauksesta (1p): Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö:

Transkriptio

1 A1 Seppä karkaisee teräsesineen upottamalla sen lämpöeristettyyn astiaan, jossa on 118 g jäätä ja 352 g vettä termisessä tasapainossa eräsesineen massa on 312 g ja sen lämpötila ennen upotusta on 808 C Laske teräksen lämpötila koko systeemin saavutettua uuden termisen tasapainon Astian lämpenemistä ei tarvitse huomioida m j m v m t t (g) (g) (g) ( C) A B C D Jään sulattamiseen vaadittava lämpö: Q s = L j m j = 333 kj 0,118 kg = 39,3 kj kg eräs voi enimmillään luovuttaa sulavalle jäälle lämmön: Q t,max = c t m t t,max = 0,460 kj kg C 0,312 kg (0 808 C) = 116 kj Oikeasta vastauksesta : l trk+1 l trk+1 (K) (K) ( C) ( C) A: ,4 36,3 36,29 B: ,1 19,9 19,92 C: ,3 28,2 28,18 D: ,5 15,4 15,37 ehtävän tarkkuus on kolme numeroa Jään sulamisen tarkistus puuttuu, max 5p Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö: Q s Q t,max (kj) (kj) A 39,3 116 B 54,6 103 C 47,3 110 D 61,3 101 Koska Q s < Q t,max niin kaikki jää sulaa ja vesi lämpenee eräksen luovuttama lämpö menee jään sulattamiseen ja veden lämmittämiseen tai Q luovutettu = Q vastaanotettu tai eristetty systeemi, eikä tapahdu lämpöhäviöitä eli c t m t ( t l ) = L {{ j m j + c v (m j + m v )( l v ), {{{{ (++) (++) missä v on vesi-jää seoksen alkulämpötila, 0 C tai 273,15 K (++), ja l on teräs-vesi-systeemin loppulämpötila kun terminen tasapaino on saavutettu eräs-vesi seoksen loppulämpötilaksi saadaan: l = c tm t t + c v (m j + m v ) v L j m j = 309 K c v (m j + m v ) + c t m t {{ (++)

2 A2 Oheisessa kytkentäkaaviossa virtamittarin ja jännitemittarin sisäiset resistanssit ovat R A = 1,70 Ω ja R V = 1,00 kω Jännitelähteellä E ei ole sisäistä resistanssia a) Kytkennässä virtamittarin lukema on 0,260 A ja jännitemittarin lukema on 12,0 V Kuinka suuri on vastuksen R resistanssi? (2p) b) Piirrä kytkentä kun kytkentää muutetaan siten, että jännitemittari mittaa vastuksessa R tapahtuvaa jännitehäviötä ja virtamittari mittaa jännitelähteen E läpi kulkevaa sähkövirtaa ällöin virtamittarin lukema on 0,271 A Kuinka suuri jännitemittarin lukema on? (4p) R A R V I a U a I b (Ω) (kω) (A) (V) (A) A 1,70 1,00 0,260 12,0 0,271 B 2,26 1,00 0,310 12,0 0,321 C 3,00 1,00 0,450 12,0 0,459 D 2,60 1,00 0,350 12,0 0,360 R E V A ehtävän 2a kytkentäkaavio a) (max 2p) apa 1: Virtamittari ja vastus R on kytketty sarjaan eli niiden kokonaisresistanssi on R kok,a = R + R A (++) Vastuksen resistanssi R voidaan ratkaista Ohmin laista (++) kun tunnetaan sarjaan kytkettyjen vastusten läpi kulkeva virta I a ja vastusten yli vaikuttava jännite U a : U a = R kok,a I a = (R + R A )I a = R = U a I a R A = 44,5 Ω apa 2: Kirchhoffin silmukkasäännön tai Kirchhoff II tai Ohmin lain (++) mukaan E I a R I a R A = 0 (++) b) (max 4p) apa 1: R on kytketty rinnan jännitemittarin kanssa Kokonaisresistanssi vastukselle ja jännitemittarille on 1 R RV,b = 1 R + 1 R V = R RV,b = RR V R + R V R E V A ehtävän 2b kytkentäkaavio Virtamittarin mittaama virta I b on sama kuin R RV,b :n läpi kulkeva virta Ohmin laista saadaan U b = R RV,b I b = RR V I R + R b = U b = 11,5 V V apa 2: Kirchhoffin silmukkasäännöllä E U V I a R A = 0 Lähdejännite saadaan a-kohdasta, joten Oikeasta vastauksesta : U V = E I a R A = U b = 11,5 V U b trk+1 (V) (V) A: 11,5 11,53 B: 11,3 11,29 C: 10,6 10,61 D: 11,1 11,06 ehtävän tarkkuus on kolme numeroa b-kohdasta 0p, jos kuvaa ei ole tai kuva on väärin Jännitemittari mittaa suoraan lähdejännitettä E, joten U a = (R + R A )I a Oikeasta vastauksesta (++): R trk+1 (Ω) (Ω) A: 44,5 44,45 B: 36,4 36,45 C: 23,7 23,67 D: 31,7 31,69

3 A3 Oheisessa kuvassa on vauhtipyörä A, joka pyörii kitkatta kiinteän akselin S ympäri kulmanopeudella 12,3 rad/s Vauhtipyörään A liitetään nopeasti vauhtipyörä B, joka ei aluksi pyöri Liittämisen jälkeen vauhtipyörät pyörivät kitkatta yhteisellä kulmanopeudella Vauhtipyörän A hitausmomentti on 1,07 kgm 2 ja vauhtipyörän B hitausmomentti 0,503 kgm 2 akselin S suhteen ilmoitettuna a) Kuinka suuri on vauhtipyörien yhteinen kulmanopeus liittämisen jälkeen? b) Kuinka suuri on systeemin mekaanisen energian muutos? ω A J A J B (rad/s) (kgm 2 ) (kgm 2 ) A 12,3 1,07 0,503 B 13,0 1,47 0,466 C 12,9 1,23 0,472 D 11,6 1,03 0,568 S A B ehtävän 3 kuva a) (max 3p) Vauhtipyörien yhteenliittämisessä pyörimismäärä säilyy (++), eli pyörimismäärä ennen yhteenliittämistä on yhtä suuri kuin yhteenliitettyjen vauhtipyörien pyörimismäärä: J A ω A = J AB ω AB (++) Yhteenliitettyjen vauhtipyörien muodostaman systeemin hitausmomentti on yhtä suuri kuin vauhtipyörien A ja B yhteenlaskettu hitausmomentti, eli J AB = J A + J B (++) b) (max 3p) Alussa vain vauhtipyörä A:lla on pyörimisenergia, E A = 1 2 J Aω 2 A Systeemin pyörimisenergia yhteenliittämisen jälkeen on E AB = 1 2 (J A + J B )ωab 2 = 1 ( ) 2 (J JA ω 2 A + J B ) A = 1 JA 2 ω2 A J A + J B 2 J A + J B Systeemin mekaanisen energian muutos on siis E = E AB E A = 1 2 Oikeasta vastauksesta : JA 2 ω2 A 1 J A + J B 2 J AωA 2 = 1 ( ) 2 J AωA 2 JA 1 = 25,9 J J A + J B E trk+1 E A E AB (J) (J) (J) (J) A: -25,9-25,88 80,94 55,06 B: -29,9-29,90 124,2 94,32 C: -28,4-28,38 102,3 73,96 D: -24,6-24,63 69,30 44,67 ehtävän tarkkuus on kolme numeroa b)-kohdan vastauksen merkkiä ei arvostella a)-kohta laskettu energian säilymisellä, tehtävästä 0p Nyt voidaan ratkaista systeemin kulmanopeus yhteenliittämisen jälkeen: Oikeasta vastauksesta : ω AB = J Aω A J AB = J Aω A J A + J B = 8,37 rad/s ω AB trk+1 (rad/s) (rad/s) A: 8,37 8,367 B: 9,87 9,871 C: 9,32 9,323 D: 7,48 7,477

4 A4 214 Pb-näytteen radioaktiivisuutta on mitattu 10 minuutin välein oheiseen taulukkoon Näytteen aktiivisuus A on suoraan verrannollinen radioaktiivisten ydinten lukumäärään, A = λn, missä radioaktiivisten ytimien lukumäärä N noudattaa hajoamislakia N = N 0 e λt Aika t (min) 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Aktiivisuus A (Bq) a) Määritä graafisesti 214 Pb-isotoopin puoliintumisaika b) Kuinka monta lyijy-ydintä koko 50 minuutin mittauksen aikana on hajonnut? a) (max 3p) ln(a/a 0 ) ln(a/a 0 ) t 30 Aika (min) 40 Kuvaaja, apa 1 apa 1: Näytteen aktiivisuudelle pätee 50 Aktiivisuus (Bq) A = A 0 e λt, Aika (min) Kuvaaja, apa 2 missä A 0 = N 0 /λ on näytteen aktiivisuus ajanhetkellä t = 0 min ja λ on 214 P-ytimen hajoamisvakio Jakamalla yllä oleva yhtälö A 0 :lla ja ottamalla luonnollinen logaritmi puolittain saadaan ln(a/a 0 ) = λt Yllä oleva yhtälö vastaa suoraa jonka kulmakerroin on λ Piirretään ln(a/a 0 ):n kuvaaja ajan funktiona ja määritetään suoran kulmakerroin graafisesti : 50 apa 2: Piirretään kuvaaja A(t) ja merkitään kuvaajaan kohta jossa aktiivisuus on puolittunut (A=605 Bq) Kohtaa vastaava aika on näytteen puoliintumisaika 1/2 = 27 min b) (max 3p) Aktiivisten ydinten ja aktiivisuuden välinen yhteys on A = λn Hajoamisvakio λ saadaan ratkaistua puoliintumisajasta: Hajonneiden ydinten lukumäärä on λ = ln 2 = 0, s 1 1/2 {{ A(0) A(50) N = N(0) N(50) = = [A(0) A(50)] 1/2 {{ λ ln 2 trk+1: 2, kpl, = 2, kpl ehtävän tarkkuus on kaksi numeroa Kuvaajaan vaaditaan: yksiköt akseleilla, symbolit akseleilla, akselien jaotus, kaikki pisteet, graafinen tasoitus Kukin puute: (-1/3p) a)-kohta apa 1: Jos on piirretty ln A t:n funktiona, kuvaajasta 0p a)-kohta apa 2: Jos sovitettu A(t)-kuvaajaan suora, kuvaajasta 0p λ = ln(a/a 0) t Puoliintumisaika ratkaistaan hajoamisvakiosta: = 0, s 1 1/2 = ln 2 λ = 27 min trk+1: 26,8 min,

5 A5 Kesälomalla oleva teekkari si ee kylmää juomaa laiturinnokassa aurinkoisena päivänä Hän on vähän huolimaton lisätessään jäitä juomaansa ja pudottaa jääpalan järveen Kauhuissaan hän muistaa entropia-luennon kevään ermodynamiikka-kurssilta ja luulee, että hän on nyt järkyttänyt universumin tasapainoa ja kokonaisentropia termodynamiikan toisen pääsäännön vastaisesti universumissa pienenee Auta hätääntynyttä teekkaria Määritä jääpalan entropian muutos kun jää a) lämpenee, b) sulaa vedeksi, c) sulamisvesi lämpenee d) Laske järviveden entropian muutos ja osoita, että universumin entropian muutos on positiivinen (3p) Jääpalan massa ja alkulämpötila ovat 12,0 g ja -10,8 C Järviveden lämpötila on 17,0 C ja sen lämpötila ei muutu m j i f (g) ( C) ( C) A 12,0 10,8 17,0 B 21,0 10,0 17,0 C 18,0 10,0 17,0 D 15,0 10,0 16,6 a) (max 1p) Jääpalan lämmetessä sen lämpötila muuttuu lämpötilasta i = 10,0 C = 263,2 K lämpötilaan a = 0 C = 273,2 K Jääpalan entropian muutos on kaavan (6) mukaan S a = c j m j ln a = 1,02 J/K (++) {{ i b) (max 1p) Jääpalan sulaessa sen entropian muutos on kaavan (3) mukaan S b = Q b = L jm j = 14,6 J/K (++) {{ a a c) (max 1p) Sulamisveden lämmetessä veden entropian muutos on kaavan (6) mukaan S c = c v m j ln f = 3,04 J/K, (++) {{ a missä f = 17,0 C = 290,2 K d) (max 3p) Järvivesi luovuttaa jääpalalle lämmön ( ) Q d = c j m j ( a i ) + L j m j + c v m j ( f a ) Entropian muutos järvivedelle saadaan kaavan (3) avulla: (++) S d = Q d = c jm j ( a i ) + L j m j + c v m j ( f a ) = 17,7 J/K (++) f f {{ Jääpala-järvivesi -systeemin entropian muutos on siis S kok = S a + S b + S c + S {{ d = 1,03 J/K (++) (++) ämä on samalla universumin entropian muutos, sillä muita lämpöjä ei prosesseissa vaihdu Oikeat vastaukset: S a trk+1 S b trk+1 S c trk+1 S d trk+1 S kok trk+1 (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) A: 1,02 1,017 14,6 14,63 3,04 3,036-17,7-17,66 1,03 1,026 B: 1,64 1,645 25,6 25,60 5,31 5,313-30,8-30,78 1,78 1,782 C: 1,41 1,410 21,9 21,94 4,55 4,554-26,4-26,38 1,53 1,527 D: 1,17 1,175 18,3 18,29 3,71 3,708-21,9-21,93 1,24 1,243 ehtävän tarkkuus on kolme numeroa Laskuissa käytetty C kelvineiden sijaan, koko tehtävästä max 2p

6 A6 Oheisessa pv-tason kuvaajassa on esitetty syklinen prosessi ideaalikaasulle Prosessi koostuu kolmesta osaprosessista Prosessi a b on isokoorinen, prosessi b c isoterminen ja prosessi c a isobaarinen Ideaalikaasun muodostama systeemi on suljettu a) Määritä entropian muutoksen merkki (+/-) jokaiselle osaprosessille Perustele b) Hahmottele kaasun prosessin pv-tason kuvaajaa vastaava kuvaaja entropialämpötilatasossa, eli S-tasossa ehtävän 6 kuvaaja a) (max 3p) Prosessi a b: Kaavan (7) mukaan entropian muutos on isokoorisessa prosessissa S a b = C V ln b a Kyseessä on ideaalikaasu, joten tilanyhtälön mukaan pv = nr b) (max 3p) Kuvaajan pisteytys: a b: S kasvaa, kasvaa (++), b c: S kasvaa, vakio (++), c a: S pienenee, pienenee (++) Syklinen prosessi (++), suunta a)-kohdan perustelupisteitä ei anneta, jos vastaus väärin b)-kohta: hyväksytään sekä S- että S-kuvaaja S S-kuvaajan hahmotelma, akselit eivät ole lineaarisia ilavuuden pysyessä muuttumattomana ja paineen kasvaessa lämpötila nousee, eli b > a (++) Näin ollen S a b > 0 Vastaus: + Prosessi b c: Isotermisessä prosessissa ideaalikaasulle, kaasun sisäenergia ei muutu ermodynamiikan ensimmäisestä pääsäännöstä seuraa silloin että Q b c = W b c Koska kaasu laajenee kaasun ympäristöön tekemä työ on positiivinen ja kaasu näin ollen myös vastaanottaa lämpöä ympäristöstä (Q b c > 0) (++) Kaavasta (3) seuraa silloin että S b c > 0 Vastaus: + Prosessi c a: Kaavan (6) mukaan entropian muutos on S c a = C p ln a c Paineen pysyessä muuttumattomana ja tilavuuden pienentyessä ideaalikaasun tilanyhtälöstä seuraa että lämpötila laskee, eli a < c (++) Näin ollen S c a < 0 Vastaus: -