Kaasu 2-atominen. Rotaatio ja translaatiovapausasteet virittyneet (f=5) c. 5 Ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan kaasun moolimäärä: 3

Transkriptio

1 S-4.5.vk Tehtävä Ideaalikaasun aine on 00kPa, lämötila 00K ja tilavuus,0 litraa. Kaasu uristetaan adiabaattisesti 5-kertaiseen aineeseen. Kaasumolekyylit ovat -atomisia. Laske uristamiseen tarvittava työ. Ratkaisu Kaasu -atominen. Rotaatio ja translaatiovaausasteet virittyneet (f5). 5 7 c 7 cv R, c cv + R R, adiabaattivakio on γ () c 5 Ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan kaasun moolimäärä: 00kPa *0,00m ν 0,080mol () RT J 00K *8. mol * K Adiabaattiselle rosessille ätee: γ γ 4 6,5* 0 m γ vakio. Tästä saadaan laskettua () Nyt voidaan laskea loulämötila T T 475, 5K. () Lämöoin. ääsääntö on du Q W. Adiadaattisessa rosessissa Q 0, joten du W Sisäenergian muutos riiuu vain alku ja loutiloista, ei kuljetusta reitistä 5 J du ν c dt 0,080mol * *8, * ( ) K 9, 9J () mol * K Tämä on systeemille tehty työ jota tehtävässä kysyttiin. (Kaasun tekemä työ on siis 9,9J) Työn voi laskea myös lausekkeesta dw d integroimalla. Tällöin itää muistaa, että aine riiuu tilavuudesta. W d c γ γ γ γ 6.65Pa * m c c γ γ d ( ) 9.9J, missä vakio γ

2 Tehtävä Yksiatominen ideaalikaasu on 00 K lämötilassa, 0.70 m tilavuudessa ja,0bar aineessa. Aluksi kaasu laajenee adiabaattisesti, kunnes sen tilavuus on, m. Sitten se uristetaan isotermisesti takaisin alkueräiseen tilavuuteen ja louksi aine nostetaan isokoorisesti takaisin.0 bar:iin. Laske kaasun tekemä työ kiertorosessin aikana, ja osoita laskemalla osarosesseihin liittyvät lämmöt, että kiertorosessissa tehty työ on yhtä suuri kuin kaasun kiertorosessin aikana saama lämö. Ratkaisu Systeemin ainemäärä on ν RT 00000Pa *0.7m J 00K *8. mol * K 56.6mol ) Adiabaattinen rosessi: Adiabaattisessa rosessissa Q0. Lämöoin. ääsäännöstä seuraa tällöin, että du -W. Tässä rosessissa kaasu siis luovuttaa energiaansa tekemällä työtä. 5 Yksiatomiselle kaasulle c R, ja γ Adiabaattiselle rosessille: γ γ T T vakio. Tästä saadaan laskettua T 09. 4K γ Kuten tehtävässä työ adiabaattisessa rosessissa saadaan laskettua kaavasta: J W ν c dt 56.6mol * *8. ( ) K 6, 4kJ mol * K )Isoterminen rosessi Koska dt0 myös du0 josta seuraa, että WQ. Työ voidaan laskea kaavasta 0.7 W d νrt d RT * ln 56.6mol * 09.4K *8.* ln 5.7kJ ν. Työ on negatiivinen, eli systeemille siis tehdään työtä. (Huom. T oli integroinnissa vakio vain siksi, että rosessi on isoterminen. Monet olivat varsinkin adiabaattisessa rosessissa intergroineet ieleen ottamalla :n tai T:n ulos integroinnista, vaikka adiabaattisessa rosessissa nämä ovat :n funktioita.) )Isokoorinen rosessi Tässä osarosessissa d0 ja siten myös W0. Siten. ääsäännöstä seuraa: du Q cν dt R *56.6mol *( ) K 6. 4kJ Yhteenlaskettuna Wtot Wab + Wbc + W 6.4kJ 5.7kJ kJ ca joka siis on kaasun kiertorosesissa tekemä työ. Qtot Qab + Qbc + Qca 0 5.7kJ + 6.4kJ 0. 7kJ Tehty työ ja saatu lämömäärä siis ovat samat.

3 Tehtävä Omakotitalon sisätilojen lämmittämiseen käytetään lämöumua. Lämöhäviöistä johtuva keskimääräinen lämmönkulutus on talvella 600 MJ vuorokaudessa. Laske kuinka suuren tehon lämöumun sähkömoottori tarvitsee vähintään, kun talon sisällä idetään 8 C lämötila ja lämö otetaan järvestä, jossa veden lämötila on 0 C. Lämöumun tehokerroin on 55 % ideaalisen käänteisen Carnot rosessin tehokertoimesta. Ratkaisu Ideaalista käänteistä Carnot n rosessia hyödyntävän lämöumun tehokerroin on TY ε L T T Y A. Tehtävän lämöumun tehokerroin on ε ε L Tässä taauksessa ylemmän ja alemman lämövaraston lämötilat ovat T T Y A ( 8 7) ( 0 7) + + K, K joten tehokertoimeksi saadaan ε istettä 8 0 Tehokertoimen määritelmä on luovutettu lämömäärä er tehty työ: Q ε Y. W Luovutettu lämömäärä on 600 MJ vuorokaudessa, joten voimme ratkaista tarvittavan sähkötehon W J 780W. istettä s 8.89

4 TEHTÄÄ Tehtävä 4 ja 5 Fredrik Boxberg November, 000

5 TEHTÄÄ Tehtävän anto: I. Tehtävä 4 00 g 6 K asteista vettä kaadetaan 00g alumiiniastiaan, jonka lämötila on 98 K. Laske veden ja kannun kokonaisentroian muutokset. edelle c H O 75,5J/(Kmol) ja alumiinille c Al 6,98g.,7J/(Kmol). eden moolimassa on 8g ja alumiinin A. Ratkaisu Kun vesi kaadetaan astiaan tulee lämötila tasaantumaan, niin että loulta sekä astian että veden lämötila ovat samat (T Al T H O T ). Olettaen että vesi ja alumiini ei luovata/vastaanota lämöä ymäristöstä, saadaan että systeemin kokonais ominaislämömuutos on oltava 0. Eli Q Al + Q H O 0; () missä Kaavasta saadaan josta edelleen seuraa Q AL c AL Q H O c H O ν AL T AL c AL ν H O T H O c H O ν AL (T T Al ) () ν H O (T T H O ): () Q Q Al Q H O ; (4) c AL ν AL (T T Al )ch O ν HO (T H O T ): (5) Tästä voidaan ratkaista T T cal ν AL T Al + c H O c AL ν Al + c H O ν H O T H O ν H O Sijoittamalla annetut arvot tähän yhtälöön ja muistamalla : (6) ν m M ; f esim. ν H 0 00g 8gmol ß 5; 56molg (7) saadaan T ß 7; 88844K fkahden desimaalin tarkkuudellag ß7; 88K: (8) November, 000

6 TEHTÄÄ Entroiamuutokset voidaan laskea seuraavasti ds ffiq T Z T (9) edelle saadaan ) S S S T c ν T dt c ν ln( T T ): (0) S H O c H O ν H O ln( T ja alumiinille T H O ) ß 0; JK ß 0; 0JK: () S Al c Al ν Al ln( T T Al ) ß : JK ß :JK: () II. Pisteet Jos on ystynyt laskemaan systeemin lämötilaa kun tasaaino on saavutettu on saanut istettä. Yleisesti numeroarvojen sijoituksista on saanut sen viimeisen isteen ja kaavoista on saanut isteitä jos on ystynyt käyttämään niitä oikein. Ratkaisu: III. Tehtävä 5 A. Lähdetään liikkeelle entroian differentiaalista ds ffiq T : () oidaan olettaa että veden lämmetessä T 0! T ka:, ffiq c ν dt; (4) missä sekä veden lämökaasiteetti, c, että sen moolimäärä, ν, ovat vakioita. Kun tämä sijoitetaan kaavaan ja integroidaan T 0! T ka: saadaan veden entroiamuutos ψ c ν dt Z ffiq S T Z Tka: T 0 T! c ν ln( T ka: T 0 ): (5) November, 000

7 TEHTÄÄ 4 Kaaleen entroian muutos voidaan laskea kaavasta, sitten että ffiq on veden vastaanottama lämö. Tehtävä annossa on sanottu että voidaan olettaa kaaleen lämötilan ysyvän vaikona jolloin seuraa S ka: ß Q vesi T kaale c ν (T 0 T ka: ) T kaale : (6) Kaaleen entroia ienenee koska se luovuttaa lämöä jolloin myös ffiq < 0. Sijoittamalla numeroarvot kaavoihin ääydtään tulokseen S vesi ß 05; 9 J K (7) S ka: ß ; 8 J K (8) S tot S vesi + S ka: ß 84; J K : (9) B. Nyt lämitetään vettä kahdessa vaiheessa T 0! T ka: ja T ka:! T ka:. Tällöin saadaan samalla tavalla kuin a) kohdassa S c ν ln( T ka: )+c ν ln( T ka: )c ν ln( T ka: ): (0) T 0 T ka: T 0 Huomataan että veden entroian muutos on sama riiumatta kuinka monessa vaiheesa sitä lämmitetään. Tarkastellaan kaaleiden entroiamuutoksia (kuten a) kohdassa) Sijoittamalla numeroarvot saadaan S ka: ß c ν (T 0 T ka:) T ka: () S ka: ß c ν (T ka: T ka:) T ka: : () S vesi ß 05; 9 J K () S ka: ß 647; 7 J K (4) S ka: ß 560; 9 J K (5) S tot S vesi + S ka: + S ka: ß 97; J K : (6) November, 000

8 TEHTÄÄ 5 C. Huomataan a) ja b) kohdista että entroian muutos on ienemi kun vettä lämmitetään useammassa vaiheessa. Tästä tehdään johtoäätös, että jos meillä olisi äärettömän monta isoa kaaletta joiden lämötilat olisivat äärettömän lähellä toisiaan, voisimme lämmittää vettä ilman että kokonaisentroia (universumin entroia) muuttuisi. Meidän tulisi tällöin lämmittä vettä siten että veden lämötila muuttuisi jokaisessa vaiheessa vain hitusen verran. Tätä on myös mahdollista todistaa siten että Kaavassa 7, T n vastaa kaavan 8, T max. S C ( T 0 T + T T + ::: + T n T n ) (7) T T T n lim S n! C ln(t max ): (8) T 0 I. Pisteet Tehtävän kolme eri vaihetta (a - c) ovat kaikki yhtä tärkeät eli + +. Jos on vastanut vain c) kohtaan on yleensä saanut vain yhden isteen koska erustelu on uuttunut. Pelkkä väite "Lämmitetään vesi äärettömän monessa vaiheessa" ei riitä. Jäljelle jää kysymys "Miksi?". November, 000