( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi"

Ilmari Mattila
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 S-4.35, FYSIIKKA III, Syksy 00, LH, Loppuiikko 38 LH-* Laske happimolekyylin keskimääräinen apaa matka 300 K lämpötilassa ja,0 baarin paineessa. Voit olettaa, että molekyyli on pallon muotoinen ja pallon säteeksi oit alita 0,5 nm. Vapaa matka on happimolekyylin kahden peräkkäisen törmäyksen älillä kulkema matka. Voimme ajatella, että yksittäinen molekyyli A poraa kaasuun sylinterimäisen reiän. Keskimäärin molekyyli törmää toiseen molekyyliin B, kun molekyylin B keskipiste osuu R etäisyydelle, missä R on molekyylin säde. Peräkkäisten törmäysten älillä molekyyli A on L 4π R, missä L on aatinut muista molekyyleistä apaata tilaa keskimäärin ( ) keskimääräinen törmäysäli eli apaa matka. Tässä tilauudessa täytyy siis olla keskimäärin molekyyli. Yhden molekyylin aatima tila saadaan tilanyhtälöstä kt pv = kt Vmolekyyli = = L( 4π R ). p kt Tästä saadaan apaaksi matkaksi L = = =. p 4πR n 4πR nσ ( ) ( ) issä sijoitimme n = p/ kt ja σ = 4πR on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen aikutusala). Sijoittamalla numeroarot saadaan apaaksi matkaksi 8 L =,38 0 m = 3, nm. Yksityiskohtaisemman kineettisen tarkastelun aulla oidaan osoittaa, että molekyylin keskimääräinen apaa matka on hieman pienempi kuin yllä johdettu karkea ario. LH- Tarkastellaan -ulotteista ideaalikaasua. Sen molekyylit oiat liikkua ain tasossa, jonka laidalla ne tärmääät elastisesti reunukseen. olekyylit eiät näe toisiaan, toisin sanoen niiden älisiä oimia ei oteta huomioon. Johda samalla menettelyllä kuin 3-ulotteisen kaasun tapauksessa molekyylien reunukseen kohdistama -ulotteinen paine ( = oima / pituusyksikkö) ja siitä astaaa -ulotteisen ideaalikaasun tilanyhtälö. ulotteisen ideaalikaasun tilanyhtälö. (rt. Opetusmoniste) olekyylit sijaitseat laatikossa, jonka pinta-ala on S. Tehtää ratkaisu oidaan muodostaa helposti 3-ulotteiseen tarkasteluun pohjautuen. Tarkasteltaessa differentialisen kaasualkion törmäystä astian seinään, pinta-ala A kuassa. korautuu nyt laatikon siun osan pituudella L ks oheista kuaa. Kuan. sylinteri korautuu siis suunnikkaalla, jonka siun pituudet oat L ja dt ja pinta-ala S. Tässä suunnikkaassa on

2 dtlcosθ nx = Lxdtnx molekyyliä, joilla nopeuden x-komponentin itseisaro on x. Tiheys n x ilmoittaa nyt niiden molekyylien lukumäärän pinta-alayksikköä kohden joilla on nopeuden itseisaro. Liikemäärä ennen törmäystä on P = (/ ) mn S x x x ja jälkeen törmäyksen ' ' P = (/ ) mn S = (/ ) mn S. x x x x x x Seinän saama impulssi on liikemäärän muutos : ' x x x x x x x Fdt = P = P P = mn S = mn L dt () ( F > 0 )ja siis pinta-alaan A kohdistua D-paine p = F/L: p D x x = mn () Kirjoitamme paineelle alaindeksin D, jotta muistamme että kyseessä on oima pituusyksikköä kohden.seuraaaksi summaamme paineen () yli kaikkien nopeuden x- komponenttien: p = m n (3) D i xi xi Summaus suoritetaan nopeuden x- komponentin itseisarojen yli. Samoin kuin 3-ulotteisessa tarkastelussa keskiaro nopeuden x-komponentin neliöstä määritellään: ( ) n / n x ae xi xi xi i i (4) joten pd = m( n)( x) ae, missä n = nxi on molekyylien kokonaistiheys pintaalayksikköä kohden. opeus ektorin neliölle pätee = +, joten i D-nopeuden keskiarolle saadaan ae x ae y ae ( ) = ( ) + ( ). Symmetrian perusteella x y x ae y ae ( ) = ( ) ts. ( x) ae = ( ) ae. erkitään ( ) ae rms. Voima pituusyksikköä kohden eli D-paine on siis pd = mnrms (5) Vastaaa tilanyhtälö saadaan kertomalla D-paine molekyylit sisältään laatikon pintaalalla pda= manrms = mrms.

3 Suluissa olea lauseke on (myös) D-kaasun kokonaisenergia. Koska molekyyleillä on kaksi liikkeen apausastetta, sen on oltaa ekipartitioperiaateen mukaan = (/) kt. Dideaalikaasun tilanyhtälö on siis pd A= kt. LH-3* olekyyli koostuu neljästä atomista, jotka sijaitseat tetraedrin kärkipisteissä. ääritä translaatio-, rotaatio- ja ibraatioapausasteiden lukumäärät tälle molekyylille. Koska molekyyli on aidosti kolmiulotteinen, sillä on 3 translaatioapausastetta ja 3 rotaatioapausastetta. äihin liittyy ekipartitioperiaatteen mukaan molekyyliä kohden lämpöenergiaa (3+ 3) ( /) kt = 3kT. Värähtelyapausasteita jää siis 3 6= 6 kappaletta. Koska kuhunkin ärähtelyapausasteeseen liittyy ( / )kt erran lämpöenergiaa, saadaan yhteensä 6kT ärähtelyenergiaa molekyyliä kohden. Yhteensä lämpöenergiaa on molekyyliä kohden määrä 9kT. Kokonaisenergia molekyyliä kohden oidaan kirjoittaa myös muodossa E = f (/) kt missä f on efektiiisten apausasteiden määrä. Tällöin on ärähtelyjen osalta kerrottu todellisten apausasteiden määrä tekijällä, jotta otettaisiin huomioon niihin sisältyä kaksinkertainen määrä lämpöenergiaa. Tilastollisen mekaniikan osassa tulemme johtamaan tämän tuloksen yksityiskohtaisesti ns. partitiofunktion aulla. Yhteensä on tetraedrimolekyylillä ekialentteja apausasteita siis f = = 8. Ominaislämpö akiopaineessa määritellään (käsitellään lähemmin termodynamiikan osassa) cv = fr. Tämä on lyhyesti se lämpömäärä, joka taritaan kohottamaan kaasumoolin lämpötilaa yhdellä asteella tilauuden pysyessä akiona. Vastaukseksi saamme siis cv = 9R. Adiabaattiakion γ aroksi saamme astaaasti 9R + R 0 γ = = 9R 9 iten saat tästä tuloksesta helposti metaanin CH 4 adiabaattiakion? etaanin etyatomit muodostaat tetraedrin. Hiiliatomi on tetraedrin keskellä. Adiabaattiakio on yhteydessä kaasun tilanyhtälöön adiabaattisessa tilanmuutoksessa. Voidaan osoittaa, että adiabaattisen tilanmuutoksen yhtälö oidaan yleisesti esittää muodossa pv γ = akio. Aiemmin osoitimme, että 5/3 yksiatomiselle kaasulle pv = akio adiabaattisessa laajenemisessa. Yksiatomisen kaasun adiabaattiakio on siis (3 translaatioapausastetta) LH-4* Astiassa on 0,00 µmol etyä (H) ja,00 µg typpeä (). Seoksen lämpötila on 373 K ja paine 0,33 Pa. ääritä a) astian tilauus, b) edyn ja typen osapaineet ja c) molekyylien lukumäärä cm3:ssä kaasua. Typpiatomin järjestysluku on 7. Oletetaan kaasu ideaalikaasuksi ja soelletaan Daltonin lakia.

4 Kumpikin seoksen kaasu toteuttaa erikseen ideaalikaasun tilanyhtälön: m ph V = ν H RT p V = ν RT = RT, () missä 8, 0 g mol on typen moolimassa ja p H ja p oat edyn ja typen osapaineet. a) Daltonin lain mukaan kokonaispaine on p= p + p. () H Yhtälöistä () ja () saadaan m RT ph + p = ν H + = p, V josta oidaan ratkaista astian tilauus m RT 3 V = ν H + 3,6 dm. p ν H RT b) Yhtälöistä () ja () saadaan ph = 98,0 mpa V ( ) p = p ph 0,33 9,80 0 Pa 35,0 mpa. c) olekyylien kokonaislukumäärä on = H +. oolissa on Aogadron luun ilmoittama määrä molekyylejä, joten molekyylin kokonaislukumäärä astiassa on m 6 = ν H + 8,73 0 A olekyylien lukumäärätiheys on siten 3-3 n =,58 0 cm. V LH-5* Laske nopeuden itseisaron keskiaro ae ja nopeuden neliöllinen keskiaro rms seuraaille 6 molekyylien nopeusjakaumille: a) kaikkien auhti 0 m/s, b) kolmen auhti 5 m/s ja kolmen 0 m/s, c) neljän auhti 5 m/s ja kahden 0 m/s, d) kolme molekyyliä on leossa ja kolmen auhti 0 m/s ja e) yhden auhti 5 m/s, kahden auhti 7 m/s, kahden 5 m/s ja yhden 0 m/s? Vauhti = nopeuden itseisaro. opeuden neliöllinen keskiaro on nopeuden neliön keskiaron neliöjuuri : rms ( ) =. Vauhti = nopeuden itseisaro. opeuden itseisaron keskiaro :lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä ae i i = = () ae

5 ja nopeuden neliöllinen keskiaro yhtälöllä rms / i. () i = = Jaetaan hiukkaset aliryhmään. Olkoon hiukkasten lukumäärä aliryhmässä n j, j =,,..,, jolloin =. Kuhunkin aliryhmään kuulualla hiukkasella on sama nopeus j. j n j Yhtälöt () ja () oidaan tällöin kirjoittaa painotettuina keskiaroina; kutakin nopeuden aroa painotetaan ao. ryhmään kuuluien hiukkasten lukumäärällä: ja n j j ae = = n j j n j / n j j rms = n = j j n j Sijoittamalla saadaan seuraaat tulokset: ae m/s rms m/s a) 0,0 0,0 b),5 4,6 c) 0,0, d) 0,0 4, e),5,7 (3) (4)

Samankaltaiset tiedostot

Vauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä

Vauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä S-4.35, Fysiikka III (ES) entti 8.3.006. Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ave ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rms seuraaville 6 molekyylien nopeusjakaumille: a) kaikkien vauhti 0 m/s, b) kolmen