MAA7 Harjoitustehtävien ratkaisuja

Transkriptio

1 Harjoitustetävien ratkaisuja MAA7 Harjoitustetävien ratkaisuja. a) < < < < < + < < b) U(, ) tarkoittaa lukuja, jotka ovat alla puolikkaan etäisyydellä luvusta eli kyseessä väli < <. c ) <.. < <.. < < +.. < < < <. 5 < <.55.. a) Välin. < <. keskipiste on.8. Tästä pisteestä tullaan välin kumpaan taansa päätepisteeseen, kun kuljetaan matka.. Siten ko. välin pisteet toteuttavat epäytälön.8 <.. b) Avoimen välin ].5, 7.65[ 7 keskipiste on 7.5. Tästä pisteestä tullaan välin kumpaan taansa päätepisteeseen, kun kuljetaan matka.5. Ko. välin pisteet toteuttavat epäytälön 7.5 <. 5. a + b + a b. a) Väite: ma(a, b) eli on suurempi luvuista a ja b. Erotetaan tapausta sen mukaan, onko a > b vai onko a < b. a > b, jolloin a + b + a b a + b + a b a b a b a ma(a, b) a + b + a b a + b a + b a < b b ma(a, b) a + b a b b) Sievennetään vastaavasti : a > b, a + b a b a + b a + b jolloin a b a b b min(a, b) a + b a b a + b (b a) a b b + a a < b a min(a,b) Tässä tapauksessa kyseessä on pienempi luvuista a ja b. Tetävän kumpaisessakin kodassa luvut saattavat olla ytä suuret, jolloin on vään kyseenalaista puua luvuista toisen olevan toista suurempi. Oikeastaan tetäväasettelussa pitäisi sulkea lukujen ytäsuuruuden madollisuus poies.. ()

2 Harjoitustetävien ratkaisuja. Ilmoitettava epäytälön < 8 ratkaisujoukko tetävän a) kodan mukaisella tavalla. Ratkaistaan epäytälö ja sitä varten, kuten AINA TOISEN JA KORKEAMMAN ASTEEN EPÄYHTÄLÖSSÄ ratkaistaan ENSIN vastaava ytälö. < 8 8 tai. Epäytälön normaaliluoto kysyy, millä :n arvoilla vasemman puolen kuvaajaparaabeli kulkee -akselin alapuolella. Vastaus tään on < <. Tämän välin keskipiste on ykkönen ja päätepisteet ovat tästä kolmen pituusyksikön etäisyydellä. Ratkaisu voidaan ilmoittaa muodossa <. 5. a) Funktio f() on määritelty niillä muuttujan arvoilla, joilla 5 + nimittäjä eroaa nollasta. Mitään muuta rajoitusta ei ole. 5 5 ± 5 + tai. Funktion määritysjoukko: R {,} nelonen. b) Täytetään taulukkoa tetävässä vaaditulla tavalla: eli kaikki reaaliluvut paitsi ykkönen ja f(),9 -,56,95 -,596,99 -,656,995 -,6589,999 -,665, -,8759,5 -,7576, -,687,5 -,676, -,668 c) Vaikuttaa siltä, että funktion arvot ovat jossakin luvun.666 tuntumassa, kun läestyy ykköstä. Saattaisi olla f () jokin tätä yvin läellä oleva luku. tai ()

3 Harjoitustetävien ratkaisuja 6. Lausekkeen nimittäjän nollakodat on jo määritetty, ovat ja 5 +. Nimittäjä voidaan jakaa ensiasteen tekijöiin: 5 + ( )( ). Haetaan osoittajan nollakodat myös. ( ) ± tai. Tällöin on 6 ( )( + ) ( + ) 5 + ( )( ) + + 5, kun. Taitaa saadun luvun likiarvo olla niissä tietämissä, missä liikuttiin edellistetävän b) ja c) kodissa. 7. a) g() ( ). Tässä osoittaja meni tekijöiin ET-kaavalla b) g() 7 <. 5 7( ) a ab + b (a b) <. <.8.8 < < < < tai < <.. Piste ei saa kuulua joukkoon!! + 8. a) + b) ( ) + ( ) ( ) + + 8, josta ei voi paljon päätellä vielä. + tai, joten saadaan osoittaja tekijöiin. + ( )( + ) + +, 8 8 c) kun. ()

4 Harjoitustetävien ratkaisuja Sekä osoittaja ja nimittäjä ovat jaolliset binomilla. Nimittäjä menee suoraan ET kaavalla a b (a b)(a + b). Osoittajan voipi jakaa jakokulmassa, ellei tiedä tulosta a b (a b)(a + ab + b ). 8 ( )( + + ) ( )( + ) , + kun. 9. a) ( ). ( ) ( )( + ) ( ( ) )( + ) + + ( ), 6 kun. b) + 9 ( + 9 ( ) )( ) ( + 9) ( ) ( ) ( ), 6 kun. On f() + + +, kun <, kun > f () ( ) ( ) + ( ) + ( ) + f () ( + + ) ( ) ( ) + 5 Vastaus: f () ei ole olemassa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ydy. 5 +, kun >. On annettu funktio f(). 5a + a, kun < ()

5 Harjoitustetävien ratkaisuja Tässä f () on olemassa, mikäli toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja ovat lisäksi ytä suuret. 5 + () 5 + f () + + Jaetaanpa taasen osoittaja ja nimittäjä tekijöiin: 5 + ( )( ) ( )( + ) + + f () (5a + a) 5a + a 6a. Raja-arvo f () on olemassa ja oikeanpuoleinen raja-arvo ( ), mikäli toteutuu ytälö 6a a. 5 + a 5 + a a. On annettu f(). Nyt f () + +, jolloin voidaan sanoa, että raja-arvo ei varmasti ole olemassa, mikäli a ei ole myös nolla eli raja-arvo saattaa löytyä, jos a. Lausekkeen nimittäjässä on varmasti ytenä tekijänä binomi ja kyllä se on myöskin osoittajan tekijä, kun a. 5 + ( )( ) + ( )( + 5) a + 7, kun vakiolla a on arvo., 7 kun + ( ) + +. a) n., kun ( ). b) n.. ( ) ( ) + + +, kun ()

6 Harjoitustetävien ratkaisuja + ( ) + c) n., n ( ) Murtolauseke on negatiivinen niillä muuttujan arvoilla, joilla osoittaja ja nimittäjä ovat erimerkkiset. Laaditaan lausekkeen merkkikaavio osoittajan ja nimittäjän merkkien avulla. >, kun >. Taasen >, kun > osamäärä + + kun Funktio ei ole määritelty pisteessä, ja funktion arvojen itseisarvot kasvavat rajattomasti, kun läenee lukua. Koska merkkikaavion mukaan funktion arvot ovat eri-merkkiset pisteen eri puolilla, niin on ilmeistä, että tässä tilanteessa funktiolla on epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot ½ 8 ja ( ) 6 ( ) ( ) + +. Puolikas on nimittäjän nollakota. Pitäisi kai yrittää jakaa tekijöiin. Lavennetaan koko murtolauseketta ensin kakkosella ja otetaan seuraavaksi yteistä tekijää niin paljon kuin madollista ( ) ( ) ; + ( + ) ( ) 6()

7 Harjoitustetävien ratkaisuja Tämän lausekkeen merkin määrää osoittaja yksin, koska nimittäjä on positiivinen kaikilla :n arvoilla, jotka erisuuria kuin ½. Kun pyöritään puolikkaan läiympäristössä ja on vain oleellista tutkia raja-arvon olemassaoloa pisteessä ½, niin ollaan niin läellä, että >. Tällöin ( ) on samanmerkkinen kuin alkuperäinen lauseke ( ) Siten esimerkiksi > + ( ) > > >. ( ) Kun käsiteltävän lausekkeen nimittäjässä on tekijänä lauseke ( ), niin tätä kotaa oitettaessa lauseke ei vaida merkkiään. Koska lauseke on positiivinen silloin, kun >, niin erikoisesti välillä < < ko. lauseke on negatiivinen, mutta kun se itseisarvoltaan tulee sitä suuremmaksi, mitä likempänä ollaan pistettä ½, niin voidaan varmuudella sanoa, että ½ a) ( )? ( ) ( + )( ), kun b) ( ) ( ) ( ) Suora sijoitus on tura, koska se ilman muuta jotaa epämääräiseen muotoon. Lavennetaan : 7()

8 Harjoitustetävien ratkaisuja + ( + )( + + ) ( ( + + ) + ) ( ) ( + + ) + ( + + ) ( + + ) ( + + ), kun ( + + ) 8. Ratkaistavana on epäytälö n < n, missä n > on positiivinen kokonaisluku. Korotetaan puolittain neliöön, ojeen mukaisesti: n < n n < n + n (n ) + n n <. RVY: ( n ) n ± + n n n ( n ( n ) ) ( n ) n n n n ± n ± n n n + n (n ) n n ± n (n ) n( n) n (n )(n + ) n tai n ± n (n ) n n + Kun on nyt tiedossa, että n on kokonaisluku ja väintään kakkonen, niin vastaavan ytälön juuria esittävän lausekkeen nimittäjä on varmasti positiivinen. Osoittajassa on luvun n neliö aina suurempi kuin itse luku n. Näin ollen epäytälö toteutuu vastaavan ytälön juurien välissä, joten on yvä osata sanoa, kumpi niistä on suurempi. n n < n < < n n + n n n n n + n n + n + Määritetyistä raja-arvoista näkyy, että yvin suurilla n:n arvoilla ratkaisujoukko kapenee väliksi < <. 8()

9 Harjoitustetävien ratkaisuja 9. Kun on tutkittavana funktio, kun < f () + + a, kun ja sen jatkuvuus vain ydessä pisteessä, niin riittää jatkuvuuden määritelmän soveltaminen. + f () f () + ( ) ( + + a) + + a + a f () Jatkuvuudelle pisteessä välttämätön ja riittävä eto f () f () toteutuu silloin, kun toteutuu ytälö + a a.. Kun on tutkittavana funktio, kun < a f () +, kun a ja sen jatkuvuus koko R:ssä, niin on jaariteltava laveammin. Tosin määritelmääkin tarvitaan. Tutkittava funktio on paloittain määritelty katena polynomifunktiona, joten se on jatkuva kaikkialla muualla R:ssä, paitsi madollisesti lainvaitumiskodassa a, joka on tutkittava erikseen. a a+ f () f () a a+ ( ) a ( + ) a + f (a) Jatkuvuudelle pisteessä a välttämätön ja riittävä eto f () f (a) toteutuu silloin, kun toteutuu ytälö a a + a a a tai a a. Funktio f toteuttaa kaikilla :n arvoilla edon f () 5. a) Lukua f(5) voidaan arvioida epäytälörymästä f () 5, toisin sanoen on f (5) 5 5 f (5) f (5) b) Olkoon luku p > annettu. Valitaan luku d p. Tällöin on 5 < d f () f (5) f () 5 < d p. On annettu f() a) f( ) ( ) + ( ) ()

10 Harjoitustetävien ratkaisuja 5 f( ) ( ) + ( ) + 7 b) Koska f on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla R:ssä ja erityisesti 5 välillä [-,-], niin ytälöllä on varmasti ainakin yksi juuri vastaavalla avoimella välillä. Siitä, onko juuria tällä välillä enemmänkin kuin yksi, seurauslause 7.9. ei sano mitään c) f(.5) (.5) + (.5) < Juuri on välillä [-.5, -].. 5. f(.) (.) + (.) > 5 f(.) (.) + (.) < Juuri on välillä [-., -.] f(.5) (.5) + (.5) >. Juuri on välillä [-., -.5] ja sen likiarvo on ydellä desimaalilla On annettu funktio f(). Tämä on kaden polynomin suteena, rationaali(murto)funktiona jatkuva kaikkialla paitsi nimittäjäpolynomin nolla-kodissa. Onko eitä? ± ± tai. Kumpikaan nimittäjän nollakota ei satu välille [, ], joten f on jatkuva tällä välillä? ( ) + ( ) + f(-) < ( ) 5( ) f() > Funktiolla f on varmasti ainakin yksi nollakota välillä < <? ()

11 Harjoitustetävien ratkaisuja +. Olkoon f(). Tällöin f(6) 9 > ja f() <. 5 Vaikka tässä nyt päätepistearvot ovat erimerkkiset, ei voida sitovasti päätellä, että funktiolla f olisi nollakota välillä < < 6, sillä funktiolla on epäjatkuvuuskota 5 ko. välillä. + Ytälöllä on yksi ratkaisu. Murtolauseke on nolla kun sen 5 + osoittaja on nolla. Tässä, kun -. Tämä luku ei satu 5 tarkasteltavalle välille. 5. Ytälöllä 5 + 5m + on juuri funktiolla P() 5 + 5m + on nollakota. Polynomifunktiona P on jatkuva välillä. Tiedetään, m että m on positiivinen reaaliluku. 5 P( ) ( ) + 5m( ) < m m m 5 5 m m 5 P() ( ) + 5m + + 5m + + 5m >, koska m >. Välin kaventamiskysymys on vään kukaties ölä. Onpa m mikä taansa positiivinen luku, niin välillä on varmasti ainakin yksi m nollakota, koska välin päätepistearvot ovat eri merkkiset. Tämä väli tosin rajoituksetta läestyy väliä < <, kun m ()

12 Harjoitustetävien ratkaisuja 6 EO,5 6,5, 6,9, 6,99, 6,999 Näyttää kovin läestyvän lukua 7 tuo erotusosamäärä, ainakin oikealta. Muodostetaan sen lauseke ja yritetään ottaa siitä raja-arvo. y( + ) y( ) 5( + ) ( + ) 5( ) + ( ) ( + ) Saatu lauseke läestyy lukua 7 kun läestyy nollaa. Siten voidaan sanoa, että funktion y 5 erotusosamäärällä pisteessä on raja-arvo 7. Voidaan myös sanoa, että funktion derivaatta y ( ) 7. Lisäksi tiedetään että paraabelille y 5 pisteeseen (, 6) asetetun tangentin kulmakerroin on Derivaattaa ei voida jotaa pisteessä ½, koska tässä funktiota ei ole edes määritelty. Epäjatkuvuuskota. Nimittäjän nollakota. Nollalla ei saa jakaa. ( + )( ), kun ( ) [ ( + ) ] f ( + ) f ( ) ( + ) [( + ) ]( ) + [ + ]( ) ( + )( ) 8. Olkoon :n saama lisäys. Funktion itsensä saama lisäys on f( + ) f() erotusosamäärän osoittaja. Jos tämä lisäys on ytä suuri kuin :n saama lisäys, niin erotusosamäärän arvo pisteessä on tasan yksi. f ( + ) f () ( + ) ( + ) [ ] ()

13 Harjoitustetävien ratkaisuja + +, kun > 9. On annettu funktio f (). +, kun Jatkuvuus pisteessä : + f () f () + ( + + ) + + ( + ) + f (). On jatkuva. Muodostetaanpa erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot: + f ( + ) f () ( + ) + ( + ) + f () ( + ) f ( + ) f () + + f () + + f () Erotusosamäärä toispuoleiset raja-arvot pisteessä eivät ole samat, joten erotusosamäärällä ei siten ole raja-arvoa. Tämä merkitsee, ettei funktiolla f myöskään ole derivaattaa pisteessä.. On annettu funktio f() ( ), kun < +, kun. a) Jatkuvuus pisteessä edellistetävän tapaan raja-arvoin + f () + ( + ) f () ( ) ( ) + f () Funktio on jatkuva pisteessä, koska funktiolla on tässä pisteessä rajaarvo nolla, joka myös ytyy funktion arvoon f(). (Käytetään tätä tietoa yväksi eti alla) ( + ) + ( + ) f ( + ) f () b) + + ()

14 Harjoitustetävien ratkaisuja + + ( ) f ( + ) f () ( + ) + ( + ) c) Erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot pisteessä ovat nyt ytä f ( + ) f () suuret, joten on olemassa ja. Funktiolla f on siis derivaatta tässä pisteessä.. a) f() b) 5 f () 5 n+ n f () f () (n + ) p p+ p+ p c) f () f () (p + ) d) f () ( + ) + + f () +. P() + 77 P () 6 ± ( 8) 8 tai. P() a + b + + P () a + b +. P( ) a ( ) + b ( ) + P ( ) a( ) + b( ) + a + b a + b a b a b Laskemalla ytälöt yteen saadaan, jotta a. Sijoitetaan tämä joonkin yksinkertaiseen välillä esiintyneeseen ytälöön: - + b, josta b. Vastaus: a b. y + a + + y + a +. ()

15 Harjoitustetävien ratkaisuja Kysymys, millä vakion a arvoilla derivaatta saa vain positiivisia arvoja, jotaa toisen asteen epäytälöön + a + >. RVY: a ± a 6 + a + 6 derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka saa positiivisia arvoja niillä :n arvoilla, joilla paraabeli kulkee -akselin yläpuolella. Kun tadotaan tilanne sellaiseksi, että derivaatta olisi positiivinen kaikilla :n arvoilla, derivaatan kuvaajalla ei saa olla lainkaan nollakotia elikkä ytälön + a + diskriminantin tulee olla negatiivinen. Tämä taas merkitsee uutta epäytälöä a 6 <. RVY: a 6 eli a 9 eli a ± Vastaus < a <. 5. Q() ( ) + 9 ( + ) ja kun derivaatta Q () 6 + on polynomifunktio, niin se on jatkuva kaikkialla ja erityisesti suljetulla välillä < < ½. Q () on myös derivoituva avoimella välillä < < ½. Q (), mikä on aluksi ivenen uolestuttavaa, ja kun vielä Q (½) 6(½) (½) + ½ + niin uomataan, että ei ainakaan suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuuksia taideta käyttää. Rollen lause ekä toimisi, mutta sitä ei kai vielä osata. Yritetään siis ratkaista ytälö 6 + (8 6 + ). Jo tiedetään, että nolla on ratkaisu. Lisää juuria saadaan tulomuodossa olevan derivaatan toisesta tekijästä merkitsemällä se nollaksi: ± ± 6 + tai 6 6 Viimeksi kirjoitettu juuri kuuluu välille < < ½. 6. Paraabelin y tangentti pisteessä (,y )? y() () y 5 ja y () 5 k t a. 5()

16 Harjoitustetävien ratkaisuja Tangentin ytälö tunnetun tuloksen y k( ) nojalla: y y ( ) y + + y Piste (, ) on annetun paraabelin piste. f() + ja edelleen f () sekä f (). Kun derivaatta saa arvon nolla pisteessä, niin käyrän tangentti on vaakasuora ja sen kulmakerroin on. Tangentin ytälö siis y. Kun tangentti on -akselin suuntainen, niin normaali on y-akselin suuntainen eikä sillä ole kulmakerrointa ollenkaan. Normaalin ytälö yksinkertaisesti. Tangentin ytälö y ja normaalin ytälö. Kyseinen piste (, ) on annetun paraabelin uippu. 8. Kun käyrän pisteeseen on asetettu normaali, jonka kulmakerroin on, niin tään samaan pisteeseen asetetun tangentin kulmakerroin on k t. Mikä on paraabelin y + se piste, jossa derivaatta saa arvon? 9 y + 9 y y( ) ( ) Vastaus: Etsitty piste on (,) 9. Piste (, ) ei taida olla paraabelin y + piste, sillä tämän pisteen koordinaatit eivät toteuta paraabelin ytälöä. Olkoon sivuamispisteen koordinaatit (a, a a + ). y + y ja y (a) a. Pisteen (, ) koordinaatit toteuttavat tangentin ytälön y a + a (a )( a) : a a + a (a )( a) a a a + a ± Käsitellään molemmat tapaukset: a tai a a a + a a : y + ( )( ) y 5 ( ) y 7 a : y + ( )( ) y ( ) y 6()

17 Harjoitustetävien ratkaisuja Saadaan kaksi tangenttia. Toisen ytälö y 7 ja toinen, kulkien paraabelin uipun kautta, on vaakasuora. Haetaan aluksi käyrien leikkauspisteet: y a y a ( a) Se toinen leikkauspiste on (a, a ). Asetellaan normaalit: y a y y a y ja ja Näiden normaalien ytälöt: y (a) a y (a) a k k n n a a y a ( a) ja y a ( a) a a y + + a ja y + + a a a a a tai eli a. Nämä normaalit leikkaavat toisensa y-akselilla pisteissä + a ja + a. a a Jos y-akselilta erottuvaa janaa pidetään kolmion kantana, niin sen pituus on + a ( + a ). Itseisarvoa lienee syytä a a a a 6a 6a 6a käyttää, koska ei tiedä, onko a < vai onko a >. Missä käyrät leikkaavat toisensa, on jo selvitetty. Tämä piste on (a, a ), joten erottuvan kolmion korkeus on ko. pisteen etäisyys y-akselista ja se on luvun a itseisarvo. Kolmion ala A a 6a a 6a. Kun pidetään kiven lentorataa alaspäin aukeavana paraabelina, jonka nollakodat ovat origo ja, niin tällaisen paraabelin ytälö on y a( ). Tämän paraabelin uipun -koordi on nollakotien puolivälillä eli 5 ja uipun y-koordi on. Paraabeli kulkee siis pisteen (5,) kautta. Sijoitetaan koordinaatit: 6 7()

18 Harjoitustetävien ratkaisuja 5a(5 ) 5a Paraabelin ytälö näin ollen y ( 5 5 ) y ja a ( 5 5 ) Kiven lätökulma saadaan kiven rataparaabelille origoon asetetun tangentin kulmakertoimen avulla: y () α tan ( ) 5 ( ) Vastaus: Kivi lätee noin 5. P() ( )( )( 7)( 5). tanα kulmassa maanpintaan näden. a) Kun tämä funktio kirjoitetaan polynomiksi poistamalla sulkeet, niin saadaan neljännen asteen polynomi. Kun tämä polynomi derivoidaan, tuloksena on astetta alempi eli kolmannen asteen polynomi. Kun tämä merkitään nollaksi, edessä on kolmannen asteen ytälö ja kun tiedetään, että ytälöllä on enintään astelukunsa ilmoittama määrä juuria, niin on varmassa tiedossa, että derivaatalla on korkeintaan kolme nollakotaa. b) Kun P() voidaan sulut aukikertomalla saattaa polynomifunktioksi, niin se on derivoituva kaikkialla R:ssä ja siten jatkuva ja jatkuva millä taansa R:n osavälillä. Kun lisäksi P() P() P(5) P(7), niin kullakin osavälillä [, ], [, 5] ja [5, 7] P() täyttää Rollen lauseen oletukset ja niistä jokaisessa on derivaatalla ainakin yksi nollakota. derivaatalla on siten väintään kolme nollakotaa. c) Kun jonkin lukumäärä on kolme tai väemmän ja samalla se on kolme tai enemmän, niin jää jäljelle vain kolme. Derivaatalla on aivan varmasti täsmälleen kolme nollakotaa.. Q() ( ) + 9 ( + ) ja kun derivaatta Q () 6 + on polynomifunktio, niin se on jatkuva kaikkialla ja erityisesti suljetulla välillä < < ½. Q () on myös derivoituva avoimella välillä < < ½. Q (), mikä on aluksi ivenen uolestuttavaa, mutta kun Q (½) 6(½) (½) + ½ + 8()

19 Harjoitustetävien ratkaisuja. niin uomataan, että funktio Q () täyttää Rollen lauseen oletukset, ja siten sillä on varmasti derivaatan nollakota välillä < < ½. Tätä ei tarvitse määrittää (vaikka sen määrittäminen riittäisi tietenkin osoittamaan nollakodan olemassaolon), koska Rolle takaa tämän ominaisuuden ilman muuta. f () + a + b f () b b f () + a f () + a a Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka saa pienimmän arvonsa uipussa, derivaatan nollakodassa. f() + ja edelleen f (), josta f() +. Vastaus: f() + ja f() >. 5. Funktio f: f() + on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla R:ssä ja siten jatkuvakin ja jatkuva millä taansa R:n osavälillä. Se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteessä taikka välille kuuluvassa derivaatan nollakodassa. f () ±, joista molemmat kuuluvat tarkasteltavalle välille. f ( ) ( ) f ( ) ( ) f () () f () () ( ) ( ) () Funktion f suurin välillä [, ] on ja pienin arvo on nolla. 6. Paraabelin y kuvaajan ja suorakulmion yteinen piste I neljänneksessä on (, ). Tällöin suorakulmion kanta on ja sen korkeus on ja pinta-ala A ( ), missä voi saada arvot. A() ( ) 6 on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla R:ssä ja siten jatkuvakin ja jatkuva millä taansa R:n osavälillä. Se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteessä taikka välille kuuluvassa derivaatan nollakodassa. 9()

20 Harjoitustetävien ratkaisuja A () ±, joista ei kuulu tarkasteltavalle välille. A() A() 6 6 A( ) 6 ( ) 6 ( ) 6, missä viimemainittu tulos on selvä laskemattakin. Vastaus: Suorakulmion suurin madollinen ala on neljä pinnan yksikköä. 7. Paraabelin y b + b b uipun -koordinaatti on derivaatan nolla-kota. y b b. Huipun y-koordinaatti saadaan sijoittamalla -koordinaatti paraabelin ytälöön: y(b) (b) b b + b b b 8b + b b b. Huippupiste parametrin b avulla lausuttuna on siis (b, b). Tässä koordinaatit ovat ytä suuret, mutta vastakkaismerkkiset, joten kyseessä on suoran y piste onpa b mikä taansa Kolmion ABC kannan puolikas on a ja korkeuden antaa C Pytagoras: a + 9a eli 8a a 8 ABC on ydenmuotoinen DEC kanssa (kk). Merkitään suorakulmion kantaa, missä a. Merkitään edelleen suorakulmion korkeus y. Ydenmuotoisuuden avulla verranto: A B a 8 y a 8, missä on otettu kumpaisestakin kolmiosta korkeuden ja a kannan sude. Ratkaistaan y: D E a 8 y a 8 a a 8 y 8 a 8 y a 8 y 8 (a ) 8 (a ) y y y (a ) A() (a ) (a ) on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla R:ssä ja siten jatkuvakin ja jatkuva millä taansa R:n osavälillä. Se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin a päätepisteessä taikka välille kuuluvassa derivaatan 8 ()

21 Harjoitustetävien ratkaisuja nollakodassa. Tässä voitaisiin kai nojata siienkin, että koska alan lauseketta kuvaa toisen asteen polynomifunktio, jossa toisen asteen termin kerroin on negatiivinen, ala saavuttaa suurimman arvonsa ilman muuta derivaatan nollakodassa, paraabelin uipussa. A () (a ) a a ja A() (a a a ) (a a ) a. Todettakoon varmuuden vuoksi, että A() A(a). Vastaus: Suorakulmion suurin madollinen ala on a. Sattuu olemaan puolet kolmion alasta. 9. Kaikki mustat pyöryläiset ovat pallon pinnalla. Kuvassa olevan suorakulmaisen kolmion ypotenuusa on pallon säde R, ja sen toinen kateetti on pojaneliön lävistäjän puolikas. Toinen kateetti on sitten särmiön korkeusjanan puolikas Olkoon pojaneliön sivu. Silloin lävistäjä on, ja lävistäjän puolikas on. Olkoon särmiön korkeuden puolikas. Tälle saadaan esitys + R R. Tämä muuttujien valinta jotaisi siien, että jouduttaisiin derivoimaan neliö-juuria. Se voi olla ankalaa tässä vaieessa, kun asiaa ei ole edes käsitelty. Olisi nimittäin V() 6 R R. Tuntemattoman valintavaieessa kannattaa joskus miettiä 5 minuuttia. Saattaa säästää tunnin työn. Muutetaan nyt valintaa niin, että suorakulmaisen särmiön korkeus on, jolloin korkeuden puolikas on ja pojaneliön lävistäjän puolikkaalle saadaan esitys R. Itse lävistäjä on pituudeltaan kaksinkertainen, siis R ja kun neliön sivu saadaan jakamalla lävistäjä kakkosen ()

22 Harjoitustetävien ratkaisuja neliöjuurella, niin tiedetään nyt, että pojaneliön sivu on R R (R ) ja kun vielä sovittiin, että särmiön korkeus on, niin voidaan lausua särmiön tilavuus pallon säteen R (vakio) ja korkeuden avulla, siis korkeuden funktiona: V() (R ) (R ) (R missä voi saada arvot R, jotta saatu V:n lauseke esittäisi pallon sisässä olevan särmiön tilavuutta. V() on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla R:ssä ja siten jatkuvakin ja jatkuva millä taansa R:n osavälillä. Se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin R päätepisteessä taikka välille kuuluvassa derivaatan nollakodassa. V() (R ) V () (R Negatiivinen juuri ei kelpaa. V() ( R V( R ) V(R) (R R R ( R R ) R ( ) 8R.5R ) ) R 8R Vsärm 8R V pallo πr πr 6, π π ) R ), R ± 8R Vastaus: Särmiö suurin madollinen tilavuus on.5r ja se on noin 7 prosenttia pallon tilavuudesta. Kyseessä on muuten pallon sisässä oleva kuutio. 5. a) P() ( )( ) P () ( ) + ( ) R. ()

23 Harjoitustetävien ratkaisuja 5. b) Q() ( ) 5 Q () 5( ) D( ) 5( ) ( ) ( ) ( ) f () f () ( ) ( ) ( ) Tämä saa aina positiivisen arvon, kunan vain nimittäjä ei ole nolla, mikä toteutuu, kun. Derivaatan merkin nojalla voidaan sanoa, että f on kaikilla :n arvoilla aidosti kasvava. 5. f() ( + )( ) ( ) f () + ( + ) f (). ( + ) ( + ) Derivaatan merkki on sama kuin on sen osoittajan merkki. Pisteessä ei ole derivaattaa. f () > + ( + ) > + > RVY: + ( + ) tai - - eli ( + ) f () Vastaus: f () <, kun < <. Pisteessä ei ole derivaattaa. P() P () 8 +. P () ± + 8 tai. ()

24 Harjoitustetävien ratkaisuja Derivaattaa kuvaa alaspäin aukeava paraabeli, joka saa positiivisen arvon nollakotien välissä. P + P väenee kasvaa väenee P( ) + 8( ) + ( ) P() ( ) 86 ma min Q() + Q () ( Q () + ( + ) tai tai + ) ()

25 Harjoitustetävien ratkaisuja Q () + + Q() väenee kasvaa väenee kasvaa ( ) ( ) Q( ) + Q() ma Q() + ( ) 7 min 5 min a) f() 5 f () 5 aina ja vain ydessä pisteessä. Funktio f on aina aidosti kasvava, joten sillä ei ole minkäänlaisia ääriarvoja 5()

26 Harjoitustetävien ratkaisuja 5 b) f() 6 f () 6. Derivaatta vaitaa merkin origossa nega- tiivisesta positiiviseksi, joten funktiolla f on yksi ainoa ääriarvo f(), ja se on absoluuttinen minimi. c) f() d) f() f () 6 + ( + ) ( ) Derivaatta on kaikilla :n arvoilla positiivinen paitsi pisteessä. Koska derivaatta ei vaida merkkiään kotaa oitettaessa, niin funktiolla f ei ole ääriarvoja. ± + f () +. 6 Viimeksi kirjoitetun ratkaisukaavan diskriminantti on negatiivinen, joten derivaatalla ei ole nollakotia. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, ja saa derivaatta siten kaikilla :n arvoilla positiivisen arvon. Funktio f on aina aidosti kasvava, eikä sillä tällöin ole minkäänlaista ääriarvoa. + ( + ) R() R (). Funktio R on määritelty ja jatkuva kaikilla :n arvoilla, paitsi kun. derivaatta on saman merkkinen kuin on sen osoittaja. R () > >, mutta pisteessä ei derivaattaa ole. Lauseke on positiivinen nollakotiensa ulkopuolella ja negatiivinen nollakotien välissä. R () + + R() kasvaa väenee kasvaa. ( ) + R( ) ma ja + R() min!! + + R() mutta, R kasvaa rajattomasti, 6()

27 Harjoitustetävien ratkaisuja + + R() ja R pienenee rajattomasti, kun läestytään origoa -akselin negatiivisesta suunnasta. + + R(), kun. Tämä merkitsee sitä, että funktion R() ja suoran y kuvaajat läestyvät rajattomasti toisiaan eli niiden välinen rako kapenee, kun. Sanotaan, että suora y on käyrän R() asymptootti. Vielä se seikka, että R() kertoo sen, että ko. erotus on saman merkkinen kuin (tai :n käänteisarvo) eli tiedetään varmaksi sanoa, että R() kulkee suoran y yläpuolella, kun >, mutta alapuolella, kun <. itse asiassa tällainen selvittely kertoo murtofunktiosta ja sen kuvaajasta paljon enemmän kuin mitä ääriarvot kertovatkaan Funktiolla on ääriarvokodassa derivaatta aina nolla, sikäli kun funktio on derivoituva. Tuntemattomien määräämiseksi saadaan toinen ytälö siitä, että kuvaaja kulkee ääriarvopisteen kautta. f() a + b + f () a + b 7()

28 Harjoitustetävien ratkaisuja f () a + b + a + b a b a + + f () a + b a b a b b f() + f () ( ). Funktio f on derivoituva kaikkialla ja derivaatta saa arvon nolla paitsi pisteessä myös pisteessä. Derivaatta ei kuitenkaan vaida merkkiään origossa, joten pisteessä on ainut ääriarvo. f() on minimi, koska derivaatta vaitaa siinä merkin negatiivisesta positiiviseksi. Tekijä määrää derivaatan mekin yksi (paitsi origossa). + + ( + a)( + ) ( + + ) 58. R () R () + a ( + a) + + a + a ( + + ) + (a ) + a R () ( + a) ( + a) Nyt vään vakion a arvosta riippuu, onko R derivoituva kaikkialla vai ei. Jos alutaan kiinnittää se tosiasia, että on ääriarvokota, niin R ( ). ( ) + ( )(a ) + a R ( ) ( + a) a + + a a. Tämä määrityksen jälkeen päätellään, että R on derivoituva ja siten jatkuva kaikkialla, koska R:n nimittäjä ei voi tulla nollaksi. Sijoitetaan a : ( ) + R() R (). Derivaatta + ( + ) ( + ) on samanmerkkinen kuin lauseke. ( ) + ( ) + R( ), ja tämä on minimi, koska ( ) + derivaatta kotaa oitettaessa vaitaa merkin miinuksesta plussaan. + + R(), joka on maksimipiste. + 8()

29 Harjoitustetävien ratkaisuja,6,,,8,6,, B CB a ja CA B a y C b A Suorakulmion piirtäminen synnyttää ydenmuotoisia kolmioita, joista saadaan verrantoja :n ja y:n sitomiseksi toisiinsa ja myös pituuksiltaan tunnettuiin kateetteiin. A(,y) y, mutta tässä täytyy pystyä siirtymään yden muuttujan funktioon. a b ab ay b ab ay b y b ab ay a a A(y) y (by y ) ja A (y) (b y). b b b Funktio A(y) on polynomifunktiona jatkuva, ja ellei nyt tukeuduta suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuuksiin, niin muodostettu derivaatta saa arvon nolla täsmälleen silloin, kun y b/. Derivaatan merkin määrää termi b y, joka y:n kasvaessa vaitaa merkin plussasta miinukseen. Kodassa y b/ on siis maksimiarvo. Tämän tietäisi ilman derivaatan merkkiäkin, kun alan lauseketta esittää toisen asteen polynomifunktio, jonka toisen asteen kerroin on negatiivinen. Derivaatan kuvaajaparaabelin 9()

30 Harjoitustetävien ratkaisuja ominaisuuksien nojalla lausekkeella A(y) on suurin arvo derivaatan nollakodassa. b ab ay a b b a b b b b A( ) y (b ( ) ) ( ) a( b b b Alan maksimiarvo on puolet suorakulmion alasta. Suorakulmion ala on siis enimmillään 5% suorakulmaisen kolmion alasta. 6. a) Epäytälön > ratkaisemiseksi epäytälön vasemman puolen + merkki- kaavio. Tässä >, kun >. Vastaavasti + >, kun >. + ) ab lauseke + + b ) > > > > ja nyt ollaan normaauodossa., lauseke + Näyttäsi siltä, että epäytälö toteutuu joukossa < < 5 6. > > > > taas normaauodossa. 5, ja ollaan lauseke + + Vastaus: < tai > 5. ()

31 Harjoitustetävien ratkaisuja + 6. Epäytälössä < aetaan aluksi osoittajan ja nimittäjän + + nollakodat. + tai + + tai lauseke Vastaus: < < tai < <. ( 5)( + ) > > > > ( ) ± 5 7 tai lauseke + + Vastaus: < < tai > 7 ()

32 Harjoitustetävien ratkaisuja 6. + R() on määritelty, derivoituva ja jatkuva, kun. Suora on pystyasymptootti. Koska osoittaja on astetta korkeampi kuin nimittäjä, niin kuvaajalla on muotoa y k + b oleva asymptootti. Se saadaan selville jakolaskulla: Suora y + on vino asymptootti. Asia selviäisi myös funktion lauseketta muokkaamalla seuraavasti: + + ( )( + ) R() , joten R () ( + ) > >, mistä nädään, että R:n kuvaaja on suoran y + yläpuolella, kun > ja alapuolella kun <. + ( ) ( R() R () ( ) R () tai + ) ( ) Derivaatan merkin määrää yksin, ja on negatiivinen, kun < <. R () + + R() kasvaa väenee kasvaa ( ) + R( ) maksimi + R() 6 minimi. ()

33 Harjoitustetävien ratkaisuja R() on määritelty, derivoituva ja jatkuva kaikkialla. Nimittäjällä + ei ole nollakotia, joten ei ole pystyasymptoottiakaan. Osoittajan asteluku on nimittäjän astelukua alempi. Tällöin ainut asymptootti on -akseli. Funktion kuvaaja kulkee :n positiiviarvoilla tämän asymptootin yläpuolella, muuten alapuolella. ( + ) R() R (). + ( + ) ( + ) R () + R() väenee kasvaa väenee ()

34 Harjoitustetävien ratkaisuja R( ) ( ) + minimi R() + maksimi.,6,, , -, -, R() on määritelty, derivoituva ja jatkuva, paitsi nimittäjän nolla-kodissa ±. Näissä pisteissä kuvaajalla on y-akselin suuntaiset asymp-tootit. Suora y on vaakasuora asymptootti; osoittaja ja nimittäjä ovat saman asteiset ja korkeinta astetta olevien termien kertoimien sude on ykkönen. R() + ( R () ( ) ( R () ( ) Funktio on aina aidosti väenevä ) ( + ) ( + ( ) + ) ( ) R(). + ) ( ) < Saadun lausekkeen merkki, jos sen jaksaa selvittää, paljastaa millä :n arvoilla kuvaaja on suoran y yläpuolella ja milloin alapuolella. aina. ()

35 Harjoitustetävien ratkaisuja Nimittäjä on kuitenkin itseisarvoltaan suurilla :n arvoilla positiivinen. Osoittaja on suurilla :n arvoilla positiivinen mutta pienillä negatiivinen. Voidaan päätellä, että kun läestyy ääretöntä, kuvaaja läestyy suoraa y yläpuolelta ja kun, ollaan suoran y alapuolella R() on määritelty, derivoituva ja jatkuva aina paitsi kun ½, ja tässä kodassa kuvaajalla on y-akselin suuntainen asymptootti. Nimittäjän aste-luku on osoittajan astelukua korkeampi, joten -akseli on asymptootti. Kuvaaja kulkee tämän asymptootin yläpuolella, kun > ½ ja alapuolella, kun < ½. R() R () < aina määritysjoukossaan. Funktio ( ) on kaikkialla aidosti väenevä. Sillä ei ole ääriarvoja. 5()

36 Harjoitustetävien ratkaisuja R() on määritelty, derivoituva ja jatkuva aina paitsi kun ( ) ½, ja tässä kodassa kuvaajalla on y-akselin suuntainen asymptootti. Nimittäjän aste-luku on osoittajan astelukua korkeampi, joten -akseli on asymptootti. Kuvaaja kulkee aina tämän asymptootin yläpuolella, koska funktiolla ei ole ytään negatiivista arvoa. ( ) R() R () >, kun <, siis ( ) ( ) ( ) pysty-asymptoottinsa vasemmalla puolella funktio kasvaa ja oikealla 6()

37 Harjoitustetävien ratkaisuja puolella se väenee. Funktiolla ei ole kuitenkaan ääriarvoa, mutta on epäoleellinen raja-arvo ( ) Olkoon toinen osa, jolloin toinen on. Osien tulo on kaikkialla jatkuva :n funktio, derivoituvakin ja T() ( ) T () 7 Funktiota T esittää alaspäin aukeava paraabeli, jonka y-koordinaatti saa suurimman arvonsa paraabelin uipussa. Tällöin myös funktiolla T on maksimiarvo ja luvun osat ovat 7 ja 7, jotta osien tulo olisi madollisimman suuri. Luku on siis pantava katia. 7. Olkoon suorakulmion kanta, jolloin sen korkeus on 7()

38 Harjoitustetävien ratkaisuja p p ja ala A() p Tässä lienee syytä ottaa tilanteen realiteetit uomioon ja todeta, että on rajattava välille < < p/. p A () p. Tässä, kuten edellisessäkin tetävässä, funktiota A esittää toisen asteen polynomi-funktio, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Suurin arvo saavutetaan derivaatan nollakodassa, joka kuuluu myös funktion A määrittelyvälille. a 7. Olkoon suorakulmion kanta, jolloin sen korkeus on, >. Tällöin on suorakulmion piirille p voimassa: p() + derivoituva joukossa > ja a, joka on a a p () ± a, joista negatiivinen ei kuulu a koko määrittelyalueeseen. Sinänsä lausekkeen merkin määrää osoittaja yksin: a a a + + a + + p () ei ole määritelty + p() ei ole määritelty väenee kasvaa Piiri on pienin kun kanta on a jolloin korkeuskin on a. Jälleen kyseessä on neliö. 8()

39 Harjoitustetävien ratkaisuja 7. Tässä voisi sanamuodosta päätellä, ettei ajetun reitin pituudella olisi mitään merkitystä. Sanontoiin tulee kiinnittää nyt tarkkaa uomiota. Polttoainekulut tunnissa, muut kulut tunnissa. Lädetään liikkeelle siitä, että matka s kestää ajan t, ja jos ajetaan vakiovaudilla, niin on s vt. Polttoainekulut reitillä Kaikki kulut reitillä: K(t) P(t) + M(t) kv t + P(t) kv t ja muut kulut M(t) t. t Kun tetävässä kysytään edullisinta vautia, pitäisi päästä siirtymään ajan funktiosta vaudin funktioon ja saada tietoa vakion k suuruudesta. Edellisestä ongelmasta selvitään sijoituksella t s/v ja jälkimmäisessä auttaa tieto mukaan polttoainekulut ovat 5 /, kun ajetaan vaudilla km/. 5 5 km 5 5 k k km 8km 8km Sijoitellaan tietoja: 5 K(v) P(v) + M(v) v 8km s v s + 5 v s v 8km määritelty, derivoituva ja jatkuva kun v >. Tällöin matkakin joutuu. +, v 5 v 5 v K(v) s K (v) s 8km v 8km v 5 v 6km 5 v 6km v 8km 5 km km v v Derivaatan sulkeissa oleva tekijä eräässä muodossa on, joka 8km on muotoa av b. Koska y on aina aidosti kasvava, niin on myös muuttujan v funktio f(v) av b aidosti kasvava. Derivaatta K (v) vaitaa ja 9()

40 Harjoitustetävien ratkaisuja 7. merkin negatiivisesta positiiviseksi nollakodassaan, joka antaa siten edullisimman vaudin. Vastaus: Kannattaa ajaa noin km/. V πr cm. Litran lieriöitä voisi valmistaa monen kokoisia, ja niissä vaipan ala vaitelee. A(r,) π r + πr, missä olisi päästävä siirtymään yden muuttujan funktioon. Onnistuu tilavuuden avulla, mutta jotaa murtofunktioon. V V V ja A(r) πr + πr πr +, määritelty, derivoituva ja πr πr r jatkuva, kun r >. Derivoidaan: V V cm cm A (r) πr r ja r. r π π π V πr V Kuten edellisessä tetävässä derivaatta A (r) πr, ja r r sen merkin määrää osoittaja yksin joukossa r >. Osoittaja on derivaatan lausekkeessa aidosti kasvava. Pienin kokonaispinta-ala saadaan, kun pojan cm säteeksi valitaan 6.8 cm. π V cm cm ( π) Lieriölle πr π cm π cm π cm cm π π Matoiko käydä nyt niin, että korkeus ja pojaympyrän säde ovat täsmälleen saman kokoiset, noin 6.8 cm. ()