Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Transkriptio

1 Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin ja suorien = a, = b rajaaman alueen pinta-ala laskea suoraan sta b f() d. a Jos välillä [a, b] on f() 0, antaa vastaavan pinta-alan negatiivisena. Jos funktio vaihtaa merkkiään välillä [a, b], ottaa -akselin ylä- ja alapuolella olevien alueiden alat huomioon positiivisina ja negatiivisina kuvan osoittamalla tavalla. Jos kaikkien osa-alueiden alat halutaan positiivisina, on väli [a, b] jaettava osiin funktion f nollakohdissa, laskettava erikseen jokaisen osavälin yli ja tuloksia yhteenlaskettaessa otettava osaen merkit huomioon. funktio (reaali-) väli (reaaliakselin) kuvaaja y a + y = f() b Usein on yksinkertaisinta ajatella, että laskettava ala jaetaan kapeisiin pystysuoriin suorakulmioihin ja summeerataan näiden pinta-alat positiivisina. Tällöin saadaan Riemannin, joka jakoa tihennettäessä, so. suorakulmioita kavennettaessa johtaa määrättyyn in. Tämä ajattelu toimii myös, kun laskettavana on kahden käyrän väliin jäävä ala. käyrä (taso-)

2 Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 2/6 Sisältö ESITIEDOT: Esimerkki pinta-alan laskemisesta Olkoon laskettavana sen segmentin ala, joka jää paraabelin y = a 2 ja suoran y = k + b väliin. Tällöin oletetaan, että vakiot a, k ja b ovat siten valitut, että suora todella on paraabelin sekantti; oletetaan lisäksi, että paraabeli aukeaa ylöspäin, ts. a>0. Ratkaisemalla yhtälöryhmä { y = a 2 y = k + b segmentti paraabeli (ykoordinaateissa) suora (yhtälö) sekantti (suora) yhtälöryhmä saadaan paraabelin ja suoran leikkauspisteiden -koordinaateiksi Tässä 1 < 2. 1 = k k 2 +4ab 2a, 2 = k + k 2 +4ab. 2a y y=a 2 y = k + b 1 v j 2 Koska segmentti sijaitsee välillä [ 1, 2 ]ja tällä välillä suora on paraabelia ylempänä, on kohdassa = v j sijaitsevan suorakulmion korkeus kv j + b avj 2 ja kanta j, mikä johtaa alaa approksimoivaan Riemannin an n j=1 (kv j + b avj 2 ) j. Jakoa tihennettäessä tämä lähestyy a 2 Integraalin laskeminen antaa pinta-alaksi 1 (k + b a 2 ) d. (k 2 +4ab) 3/2. 6a 2 Tulos on pätevä myös, jos a < 0. Riemannin ssa tosin suorakulmion korkeus kv j + b avj 2 on tällöin negatiivinen, mutta tästä aiheutuva merkkivirhe kumoutuu siinä, että rajojen 1 ja 2 suuruusjärjestys muuttuu päinvastaiseksi, kun a<0. väli (reaaliakselin) (sijoitus) (osittais-)

3 Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 3/6 Sisältö ESITIEDOT: Tilavuuden laskeminen Olkoon tarkasteltavana kappale, jonka läpi -akseli kulkee. Jaetaan tämä ohuisiin viipaleisiin -akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla. Olkoon kappaleen tasoleikkauksen pinta-ala A(v j ), kun leikkaava taso on kohdassa = v j. Jos tässä kohdassa olevan viipaleen paksuus on j, on viipaleen tilavuus A(v j ) j.koko kappaleen tilavuutta approksimoi Riemannin n j=1 A(v j) j, missä summeeraus ulotetaan kaikkiin viipaleisiin. Viipaleita ohennettaessa tämä johtaa kappaleen tilavuutta esittävään määrättyyn in 2 1 A() d, missä 1 ja 2 ovat kappaleen äärimmäisten pisteiden -koordinaatit. Yleensä -akseli mielletään vaakasuoraksi. Edellä olevassa tarkastelussa akselin ei välttämättä tarvitse olla vaakasuora, vaan aivan yhtä hyvin kelpaa minkä suuntainen akseli tahansa, kunhan akselia vastaan kohtisuorien tasoleikkausten pinta-ala on laskettavissa.

4 Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 4/6 Sisältö ESITIEDOT: Esimerkki tilavuuden laskemisesta Pallonmuotoisen öljysäiliön säde on R ja säiliössä on öljyä korkeuteen h saakka; 0 h 2R. Mikä on öljyn tilavuus? Sijoitetaan kolmiulotteinen yz-koordinaatisto siten, että origo on pallonmuotoisen säiliön keskipisteessä. Symmetria-akseliksi valitaan pystysuora z-akseli. koordinaatisto (yz-) z v j R Korkeudella z = v j oleva vaakasuora tasoleikkaus on tällöin ympyrä, jonka säde on Pythagoraan mukaan R 2 vj 2. Tasoleikkauksen ala on siten A(v j )= π(r 2 vj 2). Vaakasuoran öljyviipaleen tilavuutta esittää tällöin lauseke A(v j) z j ja koko öljymäärää Riemannin n j=1 A(v j) z j, missä summeerataan kaikki öljykerrokset huomioon ottaen. Öljymäärä sijaitsee säiliössä alueella, missä z-koordinaatit ovat välillä [ R, h R]. (Josh=0, saadaan vain säiliön alin piste z = R; josh=2r, on öljyä välillä [ R, R], so. koko pallossa.) Riemannin a vastaa tällöin mikä antaa öljytilavuudeksi h R R π(r 2 z 2 ) dz, π 3 h2 (3R h). Jos erityisesti h =2R, saadaan pallon tilavuus 4 3 πr3. ympyrä Pythagoraan lause väli (reaaliakselin) (sijoitus) (osittais-) (tilavuus)

5 Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 5/6 Sisältö ESITIEDOT: Pyörähdyspinnan ala Pyörähtäköön käyrä y = f(), 1 2, -akselin ympäri, jolloin syntyy pyörähdyspinta. Tämän pinta-ala voidaan laskea jakamalla pinta ympyränmuotoisiin suikaleisiin -akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla. Jokainen suikale on likimain katkaistu kartio. Tämän ala on π(r 1 +r 2 )s, missä r 1 ja r 2 ovat ala- ja yläpohjan säteet sekä s sivujanan pituus. Jos leikkaustasot sijaitsevat kohdissa = j, ovat pohjien säteet f( j 1 ) ja f( j ). Sivujanan pituus on Pythagoraan mukaan ( j j 1 ) 2 +(f( j ) f( j 1 )) 2 ( j j 1 ) 2 + f ( j 1 ) 2 ( j j 1 ) 2 = 1+f ( j 1 ) 2 j, missä on käytetty differentiaalikehitelmää ja merkintää j = j j 1. Summeeraamalla suikaleiden pinta-alat saadaan n j=1 π(f( j 1 )+f( j )) 1+f ( j 1 ) 2 j. Tämä ei ole Riemannin (koska funktioiden arvoja on laskettu sekä pisteessä j 1 että pisteessä j ), mutta voidaan kuitenkin osoittaa, että jakoa tihennettäessä päädytään in käyrä (taso-) pinta kartio (katkaistu) (pintojen) (pintojen) pohja (katkaistun kartion) sivujana (kartion) Pythagoraan lause differentiaalikehitelmä 2 1 joka siis esittää pyörähdyspinnan alaa. 2πf() 1+f () 2 d,

6 Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 6/6 Sisältö ESITIEDOT: Esimerkki pyörähdyspinnan alan laskemisesta Pallopinta syntyy ympyränkaaren y = f() = R 2 2 pyörähtäessä -akselin ympäri välillä [ R, R]. Koska f () = R2 2, (tilavuus) (ala) saadaan pyörähdyspinnan alaksi R 2π R R 2 d = 2 R R R 2πR d =4πR 2. Myös pallon tilavuus voidaan laskea sen pinta-alan perusteella. Pallo jaetaan tällöin samankeskisiksi pallokuoriksi, joiden paksuus on r j. Kuoren tilavuus on tällöin likimain 4πrj 2 r j, jolloin pallon tilavuutta approksimoi Riemannin sum- tilavuus ma n k=1 4πr2 j r j. Pallon tilavuus saadaan siis sta: R 0 4πr 2 dr = 4 3 πr3. Lasku on samanlainen kuin ympyrän alan laskeminen kehän pituuden perusteella. Ei siis myöskään ole sattuma, että pallon pinta-ala on tilavuuden derivaatta! ympyrän ala (integroimalla) ympyrän ala (integroimalla)