1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat

Transkriptio

1 Yleensä jodetaan aina ensin funktion y sin derivaatta. Erotusosamäärän sin( + ) sin käsittely vaatii ainakin sinin yteenlaskukaavan allintaa: sin( + ) sin sin + sin sin sin 1 sin, missä viimeksi saadussa esitysmuodossa kumpainenkin termi saa epämääräisen muodon, kun läestyy rajattomasti nollaa. Ensimmäinen kysymys kuuluu siis niin, että mitä on sin? P R sin tan O B A Olkoon nyt < <. Yllä olevassa kuviossa lukua edustaa yksikköympyrän kaari AP, lukua sin edustaa jana PB ja lukua tan jana RA. Jos vedotaan siien ilmeiseen avaintoon, että jana PB < kaari AP < jana RA, niin päästään kaksois-epäytälöön sin < < tan. 1(5)

2 Ottamalla uomioon tangentin esitys sinin ja kosinin avulla ja jakamalla sitten kaksoisepäytälö sin :llä ( > ) tullaan uuteen kaksoisepäytälöön näin: sin 1 sin sin < < 1< < < < 1. sin Viimeisin esitysmuoto on saatu siirtymällä käänteisarvoiin, mikä kääntää järjestyksen. Koska y on jatkuva funktio ( ), niin muuttujan läestyessä rajattomasti nollaa y läestyy rajattomasti sin ykköstä. Koska nyt lauseke on ykkösen ja ykköstä rajattomasti sin läenevän luvun välissä, niin 1. + Tämä tulos on voimassa myös :n negatiiviarvoilla. Kun nimittäin pysytellään koordinaatiston neljännessä neljänneksessä, läestytäänän nimenomaan nollaa sin( ) sin sin ja nyt negatiiviselta puolelta, niin. On jotenkin todistettu LAUSE 16. sin 1 Tämän raja-arvon jotaminen ei kuitenkaan vielä riitä sinin erotusosamäärän 1 käsittelyyn. Nimittäin raja-arvo! Jodetaan sinin derivaatta käyttäen erotusosamäärän toista esitysmuotoa, jossa f () f ( ) silti tarvitaan lauseen 16 raja-arvoa: y ( ). Tämän rajaarvon käsittely sinin yteydessä vaatii kuitenkin esityksen kaden eri kulman sinin erotukselle. Jodetaan se. sin( + y) sin y + sin y, ja kun puolittain väennetään, saadaan sin( y) sin y sin y sin( + y) sin( y) sin y. (5)

3 α + β + y α Sijoitetaan tään viimeksi saatuun ytälöön ; y β α β y α + β α β ja saadaan sin α sinβ sin. Nyt voidaan jotaa sinin derivaatta. sin sin + + sin sin + sin 1. Toisten trigonometrisen funktioiden derivaattojen jotaminen onkin jo elpompaa: y sin, ja kun käytetään ydistetyn funktion derivaattaa, niin D Dsin ( 1) sin. LAUSE 17. Trigonometristen funktioiden derivaatat y sin y sin 1 y tan 1 + tan 1 y cot 1 cot sin Tangentin ja kotangentin derivaatan jotaminen jätetään arjoitustetäväksi. Näistä jälkimmäistä saatat tarvita integraalilaskennan ongelmissa. 3(5)

4 Esim.. D sin sin Esim. 3. D ( sin ) sin sin. Esim. 4. D ( sin ) sin. Esim. 5. Määritä funktion f: f() sin paikalliset ääriarvot. Kyse on jaksollisesta funktiosta. Tällöin riittää tutkia ääriarvojen olemassaolo ja laatu yden perusjakson matkalta, perusjakso on. Funktio f on kaikkialla jatkuva kaden jatkuvan trigonometrisen funktion summana ja kaikki ääriarvot löytyvät derivaatan nollakodista. f () + sin sin sin( ) + ± + + n + + n tai + n + n + n 4 on kaksi madollista ääriarvokotaa, 3 7 ja. Vain näissä kodissa 4 4 derivaatta VOI muuttaa merkkinsä. Muuttuuko merkki? Välillä [,] f () + sin 1 > f ( ) + sin 1< f () f () 1 > Kummassakin derivaatan nollakodassa yden perusjakson aikana derivaatta vaitaa aina merkkinsä, joten molemmat ovat ääriarvokotia. Merkitään yksikköympyrään derivaatan merkki kullakin :n arvolla (katso alempana oleva kuva): 4(5)

5 3 3 3 f ( ) sin f ( ) sin Vastaus: Funktio f saavuttaa äärettömän - + monta kertaa maksimiarvon, - + tarkemmin sanoen kodissa n Funktio f saavuttaa äärettömän monta kertaa minimiarvon 7 sanoen kodissa + n + n. 4 4, tarkemmin 5(5)