i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k

Transkriptio

1 1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje ooaisluuäärä o 84. Määritä todeäöisi partitio. sitä yös eergiatasoje esiääräiset iehitysluvut. Rataisu ): Laaditaa tauluo oistee esieri.1. tapaa ( j j P Alialla rivillä olevat partitioide todeäöisyydet saadaa yhtälöstä 1 P! i N gi, i i! issä idesi i ueroi eergiatasot. Nyt g i 1 joaiselle eergiatasolle. Site saadaa esierisi 4! 4! P1 4, P 1, je.!1!!1!1! Mirotiloje ooaisluuäärä o 9 P 84. Todeäöisi partitio o partitio 6, 1 jolle P6 4 eli partitio sisältää 4 irotilaa. Ruuduo oiealla puolella ovat eergiatasoje esiääräiset iehitysluvut. Voidaa todeta, että iide sua o hiuaste ooaisluuäärä 4. p: partitiot oiei ja irotiloje ooaisluuäärä 1p: todeäöisi partitio p: eergiatasoje esiääräiset iehitysluvut

2 . Säiliö, joa tilavuus o 5,00 d, sisältää eoaasua 7,0 C läpötilassa ja 04 Pa paieessa. Määritä (a) aasu ooaiseergia (aasu oletetaa ideaaliaasusi), (b) eoatoi esiääräie liie-eergia, (c) eoatoi rs-opeus. Neoatoi assa o 0,180 u (1 u 1, g; atoiassaysiö). Rataisu : V 5,00 d, t 7,0 C, p 04 Pa. Ne, 0,180 u. (a) Kieettise aasuteoria uaa N pv U U pv ,00 10,8 J. Tai uistaalla, että utai vapausastetta ohde sisäeergia o T ja äyttäällä ideaaliaasu tilayhtälöä (aiiaa N appaletta atoeita) U N T NT, pv NT U pv. (b) Neoatoi esiääräie liie-eergia o U J -1 K, ave T 1, ( 7,15 + 7, 0 ) K 6, J 8,8 ev N K (c) Moleyyli eliöllie esiopeus saadaa yhtälöstä 1 T K, ave vr s T vr s J 1, ( 7,15 + 7, 0 ) K K 609. v rs -7 0,180 1,66 10 g s p: (a) aasu ooaiseergia p: (b) eoatoi esiääräie liie-eergia p: (c) eoatoi rs-opeus. Miä o evipartitioperiaattee uaa hyvi oreissa läpötiloissa (a) aoiaioleyyli NH (ei-lieaarie oleyyli) ja (b) hiilidiosidioleyyli CO (tiedetää lieaarisesi) esiääräie eergia. Hyvi orealla läpötilalla taroitetaa sitä, että aii äille oleyyleille ahdolliset liiee vapausasteet (eletroista virittyistä luuu ottaatta) osallistuvat läpöeergia jaaisee.

3 NH o ei lieaarie oleyyli. Atoie paia ilaiseisee tarvitaa x4 1 oordiaattia. Näistä assaesipistee liieelle (ei potetiaalieergiaa) siis eteeisliiee eergia esiääri (/) T. Pyöriisee tarvitaa ole ulaoordiaattia, jällee potetiaalieergia o 0, jote esiääräie pyöriiseergia (/) T. Loput 6 oordiaattia uvaavat värähtelyä. Niihi liittyy seä liie että potetiaalieergiaa. Siis värähtelyeergiaa yhteesä 6 T ja yhde aoiaioleyyli esiääräie ooaiseergia o ((/)+(/)+6) T 9T. Hiilidiosidissa o ole atoia ja siis x 9 oordiaattia. teeisliie saoi ui yllä (/) T, lieaarie oleyyli, jote pyöriie vai asi oordiaattia siis eergiaa 1 x T ja loput 4 oordiaattia värähtelyy 4 T yhteesä saadaa siis ((/)+(/)+4) T 6,5T. Seä (a)- että (b)-ohdat: 1p: traslaatio 1p: rotaatio 1p: vibraatio 4. Systeeissä hiuaste ahdolliset tilat ovat 1 0, ε ja ε. Oletetaa, että gi 1, i 1,,. Miehitysluvut ovat 1 000, 800 ja 00. (a) Miä o jaaua todeäöisyyde uutos, u yliältä ja alialta tilalta siirretää ysi hiuae esiäiselle tilalle? (b) oo yllä aettu jaaua a) ohda tulose perusteella lähellä tasapaiotilaa? (c) Lase systeei todeäöisi jaaua aetulle ooaishiuasäärälle ja sisäeergialle. Opastus: ooaishiuasäärä ja sisäeergia säilyie ataa asi side-ehtoa tuteattoille suureille 1, ja. (a) Systeeissä o yhteesä N 000 hiuasta. Aluperäise partitio todeäöisyys o P ! 800! 00! Hiuaste siirtäise jälee partitio todeäöisyys o 1p P. 1999! 80! 199! Jaauie todeäöisyysie suhde o P1 1999! 80! 199! P 000! 800! 00! ,6. 1p. Siis aluperäie partitio oli 1,6 ertaa todeäöisepi. (b) Kosa pieellä iehitysluvu uutosella saadaa suuri irotiloje luuäärä uutos, systeei o ileisesti hyvi auaa terodyaaisesta tasapaiosta. 1p. (c) Todeäöisiä partitio äärääie. Maxwell-Boltza -jaaua o N 0/ T N ε / T N ε / T 1 e, e, e 1p. issä o partitiofutio. Systeeissä o 000 hiuasta joide ooaiseergia o 100 ε.

4 Meritää tällöi irjoittaa / T e ε x, jolloi x1 ja x x + 1 x 000 ja eergia säilyie ( 1 x) ε + ( 1 x )( ε ) 100ε. Supistaalla ε jäliäisestä yhtälöstä saae yhtälöpari 1. Hiuasäärä säilyie voidaa 1 (1 + x + x ) p. (1) ( x + x ) 100 Jaaalla (1) puolittai ja supistaalla 1 saadaa 8x + x 0, josta x 0, 465 (vai positiivie juuri elpaa). Sijoittaalla yhtälöö (1) saae 1 046, Tulos o pyöristetty lähipii ooaisluuihi. 1p. Huoaa, että jos äihi iehitysluuihi tehdää uutos ja 1 o partitio todeäöisyyde uutos varsi piei. (Periaatteessa äärettöä piei jos hiuasia o tarpeesi). 5. Lase aliui erieergia olettaalla että joaie atoi luovuttaa yhde eletroi johtovyöhö. Johtavuuseletroit uodostavat vapaa vuorovaiuttaattoa eletroiaasu. Kaliui tiheys o 8,51 g/c ja yhde aliu atoi paio o 6, g. letroie tilatiheys etallissa o g( ) 1/ / Tehtäväaossa aettu tilatiheyde lausee ei ota huoioo eletroi spiiä, jote tilatiheys o vielä errottava ahdella. Kosa aava oli vääri tehtävässä, ei virhettä tule vaia ei olisiaa tehyt äi. V 1/. erieergialla taroitetaa eergiaa, joho saaa etalli johtovyö tilat ovat täyä läpötilassa T 0 ja joa yläpuolella tilat ovat tyhjiä. Absoluuttisessa ollapisteessä D-jaauafutio ( µ )/ T fd( ) e + 1 o 1 ferieergiaa saaa ja 0 se yläpuolella, jote eletroie luuäärä tilavuudessa V o yhtä suuri ui tilatiheyde itegraali erieergiaa saaa. 1 p. Itegroialla ja rataisealla ferieergia eletroie tiheyde avulla saadaa 1/ / V 1/ N g( ) f ( ) d d D 0 0 1/ / N V / 4 / / p.. (1)

5 9 Kaliui tiheys o ρ / 1,1 10 atoia /. Kosa ui atoi luovuttaa yhde eletroi johtovyöhö, tää o saalla johtovyö eletroie tiheys yhtälössä (1) 1p. Sijoittaalla saae erieergiasi 9, 41eV. 1p. Jos tilatiheyde lauseetta ei ole ertout ahdella saadaa erieergiasi: / 4/ / 1/ 14,9eV