Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio"

Transkriptio

1 TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Johdaus odeäöisyyslaseaa Momeiemäfuio ja aaeisie fuio TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Miä oimme? / Tässä luvussa aasellaa sauaismuuujie momeiemäfuioia eli momei geeoivia fuioia ja aaeisisia fuioia, joa ova aljo äyeyjä yövälieiä odeäöisyyslaseassa ja maemaaisessa ilasoieeessä. Sauaismuuuja momeiemäfuio ai aaeisise fuio avulla voidaa helosi johaa sauaismuuuja momei; s. luua Jaaumie uusluvu. Moe äeä odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee eoeema voidaa odisaa äevimmi momeiemäfuio ai aaeisise fuio avulla; s. luuja Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma ja Kovegessiäsiee ja ajaavolausee. Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Miä oimme? / Johdamme ässä luvussa avallisimie diseeie ja jauvie odeäöisyysjaaumie (s. luuja Diseeejä jaaumia ja Jauvia jaaumia) momeiemäfuio. Lisäsi äyämme, mie äsielyje jaaumie odousavo ja vaiassi (s. luua Jaaumie uusluvu) johdeaa momeiemäfuio avulla. O syyä huomaa, eä aiilla odeäöisyysjaaumilla ei ole momeiemäfuioa, mua aiille jaaumille voidaa määää aaeisie fuio ja sisi aiissa iemmälle meevissä odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee esiysissä sovelleaa aaeisisa fuioa. Tässä luvussa esiellää myös äeimmä aaeisise fuio omiaisuude. TKK (c) Ila Melli (4) 3 TKK (c) Ila Melli (4) 4 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Esiiedo Esiiedo: s. seuaavia luuja: Sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma Jaaumie uusluvu Diseeejä jaaumia Jauvia jaaumia Moiuloeise sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Lisäiedo Momeiemäfuioa sovelleaa iiumaomie sauaismuuujie summie jaaumie määäämisee luvussa Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Momeiemäfuioa sovelleaa eseise aja-avolausee odisamisee luvussa Kovegessiäsiee ja aja-avolausee TKK (c) Ila Melli (4) 5 TKK (c) Ila Melli (4) 6

2 TKK (c) Ila Melli (4) 7 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio >> Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Avaisaa Momei geeoiva fuio Momei Momeiemäfuio Odousavo Riiumaomie sauaismuuujie summa jaauma Tayloi saja TKK (c) Ila Melli (4) 8 Momeiemäfuio Momeiemäfuio määielmä Oloo sauaismuuuja. Oleeaa, eä odousavo m () E(e ) o olemassa aiille ( h, +h) jossa h > o vaio. Tällöi fuioa m () usuaa sauaismuuuja ja se jaauma momeiemäfuiosi eli momei geeoivasi fuiosi. Momeiemäfuio Momeiemäfuio määielmä: Kommeeja / Sauaismuuuja momeiemäfuio eli momei geeoiva fuio ei välämää ole olemassa. Momeiemäfuio m () E(e ) olemassaolo aoiaa siä, eä odousavo E(e ) o ääellie. TKK (c) Ila Melli (4) 9 TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio määielmä: Kommeeja / Sauaismuuuja momeiemäfuio m () E(e ) iiuu vai agumeisa. Jos sauaismuuuja momeiemäfuio m () o olemassa, ii m () E(e ) E() Momeiemäfuio Diseeie sauaismuuujie momeiemäfuio Oloo diseei sauaismuuuja, joa iseodeäöisyysfuio o f() P( ) Jos sauaismuuuja momeiemäfuio o olemassa, ii se saadaa aavalla m () E( e ) e f( ) TKK (c) Ila Melli (4) TKK (c) Ila Melli (4)

3 TKK (c) Ila Melli (4) 3 Momeiemäfuio Jauvie sauaismuuujie momeiemäfuio Oloo jauva sauaismuuuja, joa iheysfuio o f() Jos sauaismuuuja momeiemäfuio o olemassa, ii se saadaa aavalla () E( m e ) e f( ) d Momeiemäfuio Momeiemäfuio ysiäsieisyys Jos sauaismuuuja momeiemäfuio m () E(e ) o olemassa jossai isee ymäisössä, se o ysiäsieie ja määää äysi sauaismuuuja odeäöisyysjaauma. Tämä meisee seuaavaa: Jos sauaismuuujilla U ja V o sama momeiemäfuio, sauaismuuuja U ja V oudaava samaa odeäöisyysjaaumaa. TKK (c) Ila Melli (4) 4 Momeiemäfuio Momeiemäfuio ysiäsieisyys: Seuaus / Momeiemäfuio ysiäsieisyyä äyeää usei hyväsi odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee lauseide odisusissa seuaavalla alvolla esieävässä ilaeessa. Momeiemäfuio Momeiemäfuio ysiäsieisyys: Seuaus / Tehävää o selviää, miä o sauaismuuuja U jaauma. Oleeaa, eä sauaismuuuja U momeiemäfuio m U () yhyy isee ymäisössä sauaismuuuja V momeiemäfuioo m V () joa odeäöisyysjaauma ueaa. Tällöi momeiemäfuio ysiäsieisyydesä seuaa, eä sauaismuuuja U oudaaa samaa jaaumaa ui sauaismuuuja V. TKK (c) Ila Melli (4) 5 TKK (c) Ila Melli (4) 6 Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja momei Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momeiemäfuio eli momei geeoiva fuio. Momei geeoivalla fuiolla m () o aiie ealuuje deivaaa iseessä ja dm() E( ),,,3, d jossa E( ) o sauaismuuuja. (oigo-) momei. Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja momei: Joho Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momei geeoiva fuio. Tällöi dm() d E( e ) d d d E e d E( e ) E( ) TKK (c) Ila Melli (4) 7 TKK (c) Ila Melli (4) 8

4 TKK (c) Ila Melli (4) 9 Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja momeie määäämie Sauaismuuuja ja se jaauma momei voidaa usei johaa aiei äevimmi äyämällä hyväsi jaauma momei geeoiva fuio deivaaoja. Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja odousavo ja vaiassi Sauaismuuuja odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) E[( µ ) ] TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momeiemäfuio. Momeiemäfuio m () voidaa ehiää Tayloi sajasi m() E( )!! jossa E( ) o sauaismuuuja. momei. TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä: Joho Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momeiemäfuio. Kehieää esoeifuio e Tayloi sajasi: ( ) e! Oamalla äsä sajaehielmäsä odousavo saadaa: ( ) m () E( e ) E! E( )!! TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä ja momeiemäfuio deivaaa Oloo j j j m () E( e ) E( ) j j j! j j! sauaismuuuja momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä. Deivoidaa ämä sajaehielmä emeiäi : suhee: j j d m () j+ E( ) j,,,3, d j j! j j! + Valisemalla ässä, saadaa edellä esiey ulos: dm() E( ),,,3, d Momeiemäfuio Riiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova m (), m (),, m () Tällöi summa momeiemäfuio o sauaismuuujie,,, momeiemäfuioide ulo: m () m ()m () m () TKK (c) Ila Melli (4) 3 TKK (c) Ila Melli (4) 4

5 TKK (c) Ila Melli (4) 5 Momeiemäfuio Riiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio: Peuselu / Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova m (), m (),, m () Määiellää sauaismuuuja Käyämme hyväsi siä, eä iiumaomie sauaismuuujie ulo odousavo o ulo eijöide odousavoje ulo (s. luua Moiuloeise sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma). Momeiemäfuio Riiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio: Peuselu / Sie m () E[e( )] E[e( ( ))] E[e( )] E[e( )e( ) e( )] E[e( )]E[e( )] E[e( )] m () m () m () TKK (c) Ila Melli (4) 6 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Momeiemäfuio >> Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Avaisaa Diseeejä jaaumia: Beoulli-jaauma Biomijaauma Diseei asaie jaauma Geomeie jaauma Negaiivie biomijaauma Poisso-jaauma Momei geeoiva fuio Momei Momeiemäfuio Odousavo Vaiassi TKK (c) Ila Melli (4) 7 TKK (c) Ila Melli (4) 8 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseeejä odeäöisyysjaaumia / Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseeejä odeäöisyysjaaumia / Taaselemme seuaavie diseeie odeäöisyysjaaumie momeiemäfuioia eli momei geeoivia fuioia: Diseei asaie jaauma Beoulli-jaauma Biomijaauma Geomeie jaauma Negaiivie biomijaauma Poisso-jaauma Lisäieoja diseeeisä odeäöisyysjaaumisa: s. luua Diseeejä jaaumia. Esiämme johdo aaselavie jaaumie momeiemäfuioille. Lisäsi sovellamme momeiemäfuioa aaselavie jaaumie odousavo,. momei ja vaiassi määäämisee. TKK (c) Ila Melli (4) 9 TKK (c) Ila Melli (4) 3

6 TKK (c) Ila Melli (4) 3 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa diseeiä asaisa jaaumaa. Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ),,,, jossa {,,, } o eaaliaseli eillise iseide muodosama jouo. Diseei asaise jaauma momeiemäfuio o m () e Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa diseeiä asaisa jaaumaa, ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e f( ) e e TKK (c) Ila Melli (4) 3 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi / Diseei asaise jaauma momeiemäfuio o m () e. deivaaa iseessä : dm () e d. deivaaa iseessä : dm () d e Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie diseei asaise jaauma odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) ( ) TKK (c) Ila Melli (4) 33 TKK (c) Ila Melli (4) 34 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa Beoullijaaumaa Be(). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,< <, q, Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa Beoulli-jaaumaa Be(), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e P( ) + e P( ) q+ e Beoulli-jaauma momeiemäfuio o m () q+ e TKK (c) Ila Melli (4) 35 TKK (c) Ila Melli (4) 36

7 TKK (c) Ila Melli (4) 37 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Beoulli-jaauma Be() momeiemäfuio o m () q+ e. deivaaa iseessä : dm () e d. deivaaa iseessä : dm() e d Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie Beoulli-jaauma Be() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) q TKK (c) Ila Melli (4) 38 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa biomijaaumaa Bi(, ). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,, q < <,,,, Biomijaauma momeiemäfuio o m () ( q+ e ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa biomijaaumaa Bi(, ), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e q ( e ) q ( q+ e ) TKK (c) Ila Melli (4) 39 TKK (c) Ila Melli (4) 4 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa biomijaaumaa Bi(, ), ii se voidaa esiää iiumaomie, samaa Beoulli-jaaumaa Be() oudaavie sauaismuuujie,,, summaa: Kosa iiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio o summa eijöide momeiemäfuioide ulo (s. aalea Momeiemäfuio), ii m() E( e ) m() m() m() ( q+ e ) ( q+ e ) ( q+ e ) ( q+ e ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Odousavo ja vaiassi / Biomijaauma Bi(, ) momeiemäfuio o m () ( ) q+ e. deivaaa iseessä : dm () ( ) q + e e d. deivaaa iseessä : dm() ( )( q e) ee q ( e) e d e ( q + e ) ( ) e + ( q + e ) + ( ) TKK (c) Ila Melli (4) 4 TKK (c) Ila Melli (4) 4

8 TKK (c) Ila Melli (4) 43 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie biomijaauma Bi(, ) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) + ( ) d σ Va( ) + ( ) q Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa geomeisa jaaumaa Geom(). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,< <, q,,3, Geomeise jaauma momeiemäfuio o e m () qe TKK (c) Ila Melli (4) 44 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa geomeisa jaaumaa Geom(), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e q ( qe ) e e e q e qe Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Geomeise jaauma Geom() momeiemäfuio o e m () qe. deivaaa iseessä : dm () e ( qe ) e ( qe ) d ( qe ) e ( qe ) TKK (c) Ila Melli (4) 45 TKK (c) Ila Melli (4) 46 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Geomeise jaauma Geom() momeiemäfuio o e m () qe. deivaaa iseessä : dm() e ( qe ) e ( qe )( qe ) 4 d ( qe ) e ( + qe ) 3 ( qe ) + q Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Odousavo ja vaiassi 3/3 Sie geomeise jaauma Geom() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() + q E( ) d + q σ Va( ) q TKK (c) Ila Melli (4) 47 TKK (c) Ila Melli (4) 48

9 TKK (c) Ila Melli (4) 49 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa egaiivisa biomijaaumaa NegBi(, ). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,, q < <,,3, ;, +, +, Negaiivise biomijaauma momeiemäfuio o ( e ) m () ( qe ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa egaiivisa biomijaaumaa NegBi(, ), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e q + ( e ) e q ( e ) ( qe ) ( e ) ( qe ) TKK (c) Ila Melli (4) 5 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Negaiivise biomijaauma NegBi(, ) momeiemäfuio o ( e ) m () ( qe ). deivaaa iseessä : dm () ( e ) e ( qe ) ( e ) ( qe ) ( qe ) d ( qe ) ( e ) + ( qe ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Negaiivise biomijaauma NegBi(, ) momeiemäfuio o ( e ) m () ( qe ). deivaaa iseessä : dm() d + ( e ) e ( qe ) ( e ) ( + )( qe ) ( qe ) + ( qe ) ( e ) ( + qe ) + ( qe ) + q TKK (c) Ila Melli (4) 5 TKK (c) Ila Melli (4) 5 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Odousavo ja vaiassi 3/3 Sie egaiivise biomijaauma NegBi(, ) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() + q E( ) d + q σ Va( ) q Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa Poissojaaumaa Poisso(). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o e f( ) P( ), >!,,, Poisso-jaauma momeiemäfuio o m () e ( e ) TKK (c) Ila Melli (4) 53 TKK (c) Ila Melli (4) 54

10 TKK (c) Ila Melli (4) 55 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa Poisso-jaaumaa Poisso(), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e e! ( e ) e! e e e ( e ) e Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Poisso-jaauma Poisso() momeiemäfuio o ( ) m () e e. deivaaa iseessä : dm () ( e ) + ( e ) e e e d. deivaaa iseessä : d m () d e ( + e ) + ( + ) e TKK (c) Ila Melli (4) 56 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie Poisso-jaauma Poisso() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) + Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia >> Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio TKK (c) Ila Melli (4) 57 TKK (c) Ila Melli (4) 58 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauvia odeäöisyysjaaumia / Avaisaa Jauvia jaaumia: Esoeijaauma Jauva asaie jaauma Nomaalijaauma Momei geeoiva fuio Momei Momeiemäfuio Odousavo Vaiassi Taaselemme seuaavie jauvie odeäöisyysjaaumie momeiemäfuioia eli momei geeoivia fuioia: Jauva asaie jaauma Esoeijaauma Nomaalijaauma Lisäieoja jauvisa odeäöisyysjaaumisa: s. luua Jauvia jaaumia. TKK (c) Ila Melli (4) 59 TKK (c) Ila Melli (4) 6

11 TKK (c) Ila Melli (4) 6 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauvia odeäöisyysjaaumia / Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma Esiämme johdo aaselavie jaaumie momeiemäfuioille. Lisäsi sovellamme momeiemäfuioa aaselavie jaaumie odousavo,. momei ja vaiassi määäämisee. Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa jauvaa asaisa jaaumaa Uifom(a, b). Tällöi se iheysfuio o f( ), a b b a Jauva asaise jaauma momeiemäfuio o b a e e m () b ( a) TKK (c) Ila Melli (4) 6 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa jauva asaisa jaaumaa Uifom(a, b), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) d b e d b a a b e b a a b a e e b ( a) Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Jauva asaise jaauma Uifom(a, b) momeiemäfuio o b a e e m () b ( a). deivaaa iseessä : b a b a dm () ( be ae ) ( b a) ( e e )( b a) d ( b a) b a b a ( be ae ) ( e e ) ( b a) a+ b TKK (c) Ila Melli (4) 63 TKK (c) Ila Melli (4) 64 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Jauva asaise jaauma Uifom(a, b) momeiemäfuio o b a e e m () b ( a). deivaaa iseessä : dm() d b a b a b a [( b e a e ) + ( be ae ) ( be ae )] ( b a) 4 ( b a) b a b a [( be ae ) ( e e )] ( b a) 4 ( b a) b a b a b a ( be ae ) ( be ae ) + ( e e ) a + ab+ b 3 ( b a) 3 TKK (c) Ila Melli (4) 65 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi 3/3 Sie jauva asaise jaauma Uifom(a, b) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () a+ b µ E( ) d dm() a + ab+ b E( ) d 3 a + ab+ b ( a+ b) σ Va( ) 3 4 ( b a) TKK (c) Ila Melli (4) 66

12 TKK (c) Ila Melli (4) 67 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa esoeijaaumaa E(). Tällöi se iheysfuio o f( ) e, >, Esoeijaauma momeiemäfuio o m () Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa esoeijaaumaa E(), ii se momeiemäfuio o () E( m e ) e f( ) d e e d e ( ) d ( ) e TKK (c) Ila Melli (4) 68 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma: Odousavo ja vaiassi / Esoeijaauma E() momeiemäfuio o m (). deivaaa iseessä : dm () d ( ). deivaaa iseessä : dm() 3 d ( ) Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie esoeijaauma E() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) TKK (c) Ila Melli (4) 69 TKK (c) Ila Melli (4) 7 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa omaalijaaumaa N(µ, σ ). Tällöi se iheysfuio o µ f( ) e, < µ <, σ > σ π σ < < Nomaalijaauma momeiemäfuio o m ( ) e( µ + σ ) Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa omaalijaaumaa N(µ, σ ), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) d e( ) e ( µ ) d σ σ π e( µ σ ) e [ ( µ + σ )] σ π σ + e µ + σ d TKK (c) Ila Melli (4) 7 TKK (c) Ila Melli (4) 7

13 TKK (c) Ila Melli (4) 73 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma: Odousavo ja vaiassi / Nomaalijaauma N(µ, σ ) momeiemäfuio o m ( ) e( µ + σ ). deivaaa iseessä : dm () µ + σ e ( µ + σ ) µ d. deivaaa iseessä : dm () µ + σ µ + σ e ( µ + σ ) + e σ d µ + σ Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie omaalijaauma N(µ, σ ) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) µ d dm() E( ) µ + σ d σ Va( ) µ + σ µ σ TKK (c) Ila Melli (4) 74 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Kaaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia >> Kaaeisie fuio Avaisaa Fouie-muuos Kaaeisie fuio Odousavo Riiumaomie sauaismuuujie summa jaauma Tayloi saja TKK (c) Ila Melli (4) 75 TKK (c) Ila Melli (4) 76 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio määielmä Oloo sauaismuuuja. Tällöi odousavo ϕ () E( e i ), i o sauaismuuuja ja se jaauma aaeisie fuio. Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio määielmä: Kommeeja Sauaismuuuja aaeisie fuio o oisi ui se momeiemäfuio aia olemassa. Kaaeisise fuio ϕ () E( e i ), i olemassaolo aoiaa siä, eä odousavo E(e i ) o ääellie. Sauaismuuuja aaeisie fuio ϕ () E( e i ), i iiuu vai agumeisa. TKK (c) Ila Melli (4) 77 TKK (c) Ila Melli (4) 78

14 TKK (c) Ila Melli (4) 79 Kaaeisie fuio Kaaeisie fuio ja momeiemäfuio Jos sauaismuuuja momeiemäfuio m () E(e ) ueaa, saadaa se aaeisie fuio ϕ () E( e i ), i momeiemäfuiosa sijoiusella i, i Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio omiaisuusia Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Aia äee: (i) ϕ () E(e ) E() (ii) ϕ () aiille (, ). (iii) ϕ ( ) ϕ ( ) jossa meiä z aoiaa omlesiluvu z ojugaaia. (iv) ϕ () o asaisesi jauva aiille (, ). TKK (c) Ila Melli (4) 8 Kaaeisie fuio Diseeie sauaismuuujie aaeisie fuio Oloo diseei sauaismuuuja, joa iseodeäöisyysfuio o f () P( ) Sauaismuuuja aaeisie fuio saadaa aavalla i i ϕ () E( e ) e f ( ), i Kaaeisie fuio Jauvie sauaismuuujie aaeisie fuio Oloo jauva sauaismuuuja, joa iheysfuio o f () Sauaismuuuja aaeisie fuio saadaa aavalla i i ϕ () E( e ) e f ( ) d, i TKK (c) Ila Melli (4) 8 TKK (c) Ila Melli (4) 8 Kaaeisie fuio Ivesioeoeema / Kaaeisie fuio Ivesioeoeema / Oloo F () P( ) sauaismuuuja eymäfuio ja ϕ () E( e i ), i se aaeisie fuio. Oleeaa, eä (a h, a + h) sellaie eaaliaseli väli, eä eymäfuio F () o jauva väli ääeiseissä. Tällöi F ( a+ h) F ( a h) + T si( h) ia lim e ϕ ( ) d T π T TKK (c) Ila Melli (4) 83 TKK (c) Ila Melli (4) 84

15 TKK (c) Ila Melli (4) 85 Kaaeisie fuio Ivesioeoeema: Kommeeja Jos jaauma aaeisie fuio ueaa, voidaa jaauma eymäfuio määää ivesioeoeemassa määielly ajaosessi avulla. Myös aaeisise fuio ysiäsieisyys voidaa odisaa ivesioeoeema avulla. Kaaeisie fuio Ivesioeoeema ja jauva jaauma / Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä ϕ () o iegoiuva aiille (, ). Tällöi sauaismuuuja o jauva ja se iheysfuio f () saadaa aavalla i f( ) e ϕ( ) d, i π TKK (c) Ila Melli (4) 86 Kaaeisie fuio Ivesioeoeema ja jauva jaauma / Huomaa, eä jauva sauaismuuuja aaeisie fuio i ϕ () e f ( ) d, i o sauaismuuuja iheysfuio Fouiemuuos ja i f( ) e ϕ( ) d, i π o se ääeie Fouie-muuos. Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio ysiäsieisyys Sauaismuuuja aaeisie fuio ϕ () E( e i ), i o ysiäsieie ja määää äysi sauaismuuuja odeäöisyysjaauma. Tämä meisee seuaavaa: Jos sauaismuuujilla U ja V o sama aaeisie fuio, sauaismuuuja U ja V oudaava samaa odeäöisyysjaaumaa. TKK (c) Ila Melli (4) 87 TKK (c) Ila Melli (4) 88 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio ysiäsieisyys: Seuaus / Kaaeisise fuio ysiäsieisyyä äyeää usei hyväsi odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee lauseide odisusissa seuaavalla alvolla esieävässä ilaeessa. Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio ysiäsieisyys: Seuaus / O selvieävä, miä o sauaismuuuja U jaauma. Oleeaa, eä sauaismuuuja U aaeisie fuio ϕ U () yhyy sauaismuuuja V aaeisisee fuioo ϕ V () joa odeäöisyysjaauma ueaa. Tällöi aaeisise fuio ysiäsieisyydesä seuaa, eä sauaismuuuja U oudaaa samaa jaaumaa ui sauaismuuuja V. TKK (c) Ila Melli (4) 89 TKK (c) Ila Melli (4) 9

16 TKK (c) Ila Melli (4) 9 Kaaeisie fuio Sauaismuuuja momei ja aaeisise fuio deivaaa / Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä sauaismuuuja. (oigo-) momei E( ) o olemassa. Tällöi aaeisie fuio ϕ () o diffeeioiuva ealuuu ja d ϕ () E( ), i,,,, i d Kaaeisie fuio Sauaismuuuja momei ja aaeisise fuio deivaaa / Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä sauaismuuuja aaeisie fuio ϕ () o diffeeioiuva ealuuu. Tällöi aii momei E( ),,,, ova olemassa, jos o aillie ja aii momei E( ),,,, ova olemassa, jos o aio. TKK (c) Ila Melli (4) 9 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio deivaaa ja sauaismuuuja momei: Joho Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Jos E( ) o olemassa, ii d ϕ () d i E( e ) d d d i E e d E( ie ) i E( ) i Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio deivaaa ja sauaismuuuja momei / Jos sauaismuuuja momei ova olemassa, ii e voidaa usei johaa aiei äevimmi äyämällä hyväsi jaauma aaeisise fuio deivaaoja. TKK (c) Ila Melli (4) 93 TKK (c) Ila Melli (4) 94 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio deivaaa ja sauaismuuuja momei / Sauaismuuuja odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavisa aavoisa: dϕ () ie( ) i iµ d d ϕ () i E( ) d σ Va( ) E[( µ ) ] jossa i TKK (c) Ila Melli (4) 95 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio Tayloi sajaehielmä Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä sauaismuuuja. (oigo-) momei E( ) o olemassa. Tällöi aaeisie fuio ϕ () voidaa ehiää Tayloi sajasi ( i) ( i) ϕ() E( ) + o ( ) + o ( )!! jossa o( )/, u. TKK (c) Ila Melli (4) 96

17 TKK (c) Ila Melli (4) 97 Kaaeisie fuio Riiumaomie sauaismuuujie summa aaeisie fuio Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide aaeisise fuio ova ϕ (), ϕ (),, ϕ () Tällöi summa aaeisie fuio o sauaismuuujie,,, aaeisise fuioide ulo: ϕ () ϕ ()ϕ () ϕ () Kaaeisie fuio Riiumaomie sauaismuuujie summa aaeisie fuio: Peuselu / Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova ϕ (), ϕ (),, ϕ () Määiellää sauaismuuuja Käyämme hyväsi siä, eä iiumaomie sauaismuuujie ulo odousavo o ulo eijöide odousavoje ulo (s. luua Moiuloeise sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma). TKK (c) Ila Melli (4) 98 Kaaeisie fuio Riiumaomie sauaismuuujie summa aaeisie fuio: Peuselu / Sie ϕ ( ) E[e( i )] E[e( i( ))] E[e( i+ i + + i )] E[e( i)e( i ) e( i )] E[e( i)]e[e( i )] E[e( i )] ϕ () ϕ () ϕ () TKK (c) Ila Melli (4) 99

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. / Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat: Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,

Lisätiedot

Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3

Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3 TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva

Lisätiedot

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV. Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Moimuuujameeelmä: Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Ilkka Melli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarie

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.

q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2. Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,

Lisätiedot

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu Tilausohjaun uoannon areasuunnielu Tilausohjaussa uoannossa sarjojen muodosaminen ei yleensä ole relevani ongelma, osa uoevaihelu on suura, mä juuri onin peruse MTO-uoannolle Tuoe- ja valmisusraenee ova

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto Ma-1.361 Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria 7.1. Suurimma uskoavuude esimoiimeeelmä: Johdao Aikasarja,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus 6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017 OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän

Lisätiedot

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi 55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit

Lisätiedot

LEVYSUOJATUN PALKKIVÄLIPOHJAN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 60

LEVYSUOJATUN PALKKIVÄLIPOHJAN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 60 Esimeri 3 LEVYSUOJATUN PALKKIVÄLIPOHJAN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 6 1 Paloilaee uormius ψ =,3 (ässä esimerissä muuuva uorma o yöyuorma) p = p + ψ p = 1, 5 +, 3 1, = 1, 86 N/m i g, q, Oelo oreus oelo pali

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY

8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora

Lisätiedot

5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE

5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE Värähelymeaiia 5. 5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE 5. Johao Luvussa 4 araselii yhe vapausasee syseemii harmoisesa heräeesä aiheuuvaa vasea ja havaiii se riippuva pääasiassa syseemi vaimeusesa

Lisätiedot

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä

Lisätiedot

1. Ominaisarvot. Diagonalisointi

1. Ominaisarvot. Diagonalisointi MA-45 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 8 Kertaamme Lama :ssa esitettyä omiaisarvoteoriaa, erityisesti - ulotteisissa avaruusissa ulemme tarvitsemaa äitä Lama 5:ssa differetiaaliyhtälöitä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa: ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen SATE14 Dnaainen kenäeoia sks 16 1 /7 Laskuhajoius 4 / Sähköagneeise aalojen polaisoiuinen Tehävä 1. Vapaassa ilassa väähelevän piseläheen aiheuaan palloaallon sähkökenän voiakkuus on A V E, sincos k e.

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

ää!ääää ääälrirtiiti

ää!ääää ääälrirtiiti v giiäiääiääi EiääliI ä äilliiääi;fiiääiiäiilii lääiieffi iääi!:;ääti ää!ääää ääälrirtiiti v A oo 5: t.l \J o "-! a ) i < \ J O 11 F z tiie;t; E!.ääEäE ii ze }E ieee:::eee etiä!ä! äerie;icfe giä:lä :iffiti

Lisätiedot

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

8. Ortogonaaliprojektiot

8. Ortogonaaliprojektiot 44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

t{r F F F F F tr r-t "ifi "ii "in "ifl -AUTOKtINIKKA vanhan:o Uusi n:o Kortin "ii "ii "ii KORON Jry ij: o AU 19 sukunimi paikka L-r-r synt.

t{r F F F F F tr r-t ifi ii in ifl -AUTOKtINIKKA vanhan:o Uusi n:o Kortin ii ii ii KORON Jry ij: o AU 19 sukunimi paikka L-r-r synt. KORON 1 -AUOKNKKA aha:o Usi :o Koi :o + 13 14 paikka,--, P /-)- skimi eime L-- ammai osoie sy. aika sy. paikka 1. Oeeko koskaa e kipa ai aiaa iassae? A. RASUKSEEN LYVA RNAKPU 1 a.g!-: Oeeko koskaa e paio

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY

4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY Väähelyekaiikka 4. 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY 4. Johdao Mekaaise syseei ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä saoaa akkoväähelyksi. Jos syseeissä o vaieusa, o kyseessä vaieeva akkoväähely,

Lisätiedot

RF-Tekniikan Perusteet II

RF-Tekniikan Perusteet II RF-Teniian Peusee II Kevä 003 740800 RF-Teniian Peusee II Luenno o 8 0 SM Haa e 8 0 SM Haa alaa.. Kija: Poa Micowave ngineeing, nd diion, Wiley Tuevaa ijallisuua: Räisänen, Leho Radioeniia Collin, Foundaions

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Luento Otosavaruus, tapahtuma. Otosavaruus (sample space) on kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien (sample) ω joukko.

Luento Otosavaruus, tapahtuma. Otosavaruus (sample space) on kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien (sample) ω joukko. Luento odennäöisyyslasentaa Otosavaruus, tapahtuma ja todennäöisyys Ehdollinen todennäöisyys, tilastollinen riippumattomuus, Bayesin teoreema, oonaistodennäöisyys Odotusarvo, varianssi, momentti Stoastiset

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

SUOJAAMATTOMAN LIIMAPUUPALKIN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 60

SUOJAAMATTOMAN LIIMAPUUPALKIN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 60 Esimeri 1 SUOJAAMATTOMAN LIIMAPUUPALKIN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 6 1 Paloilaee uormius ψ =,5 (ässä esimerissä muuuva uorma o lumiuorma) 1,1 p = p + ψ p = 6, +,5 11, = 11,5 N/m i g, 1,1 q, Pali maeriaaliomiaisuue

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma

Lisätiedot

Syyskuu Jo vuodesta Julkaisijat: Lions Club Lavia ry. ja Lavian Yrittäjät ry.

Syyskuu Jo vuodesta Julkaisijat: Lions Club Lavia ry. ja Lavian Yrittäjät ry. LAVIAN TIEDOTUSLEHTI Syyskuu 2017 Jo vuodesta 2014 Julkaisijat: Lions Club Lavia ry. ja Lavian Yrittäjät ry. +/?8/ "//6AB;/< 9=;37A/ /BA=C/

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Riemannin sarjateoreema

Riemannin sarjateoreema Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................

Lisätiedot

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri. ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet vä9 / orms.3 Talousmatmatiian prustt 6. harjoitus, viio 9 45...3.9 L Ma A R5 Ti 4 6 F453 R Ma 4 F453 L To 8 A R Ma 6 8 F453 R6 To 4 F4 R3 Ti 8 F45 R7 P 8 F453 R4 Ti 4 F453 R8 P F453. Las intgraalit a 6x

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot