Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli"

Transkriptio

1 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Moimuuujameeelmä: Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Ilkka Melli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ja mallia koskeva oleukse.. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli paramerie esimoii.3. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli regressiokeroimia koskeva esi. Eusamie yhde seliäjä lieaarisella regressiomallilla.. Eusamisehävä.. Selieävä muuuja odoeavissa oleva arvo eusamie.3. Selieävä muuuja arvo eusamie 3. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ja sokasie seliäjä 3.. Sokasise seliäjä ogelma 3.. Ehdollisamie 3.3. Regressiomalleja o kaksi 3.4. Korrelaaio olemassaolo esaamie TKK Ilkka Melli (007) /3

2 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Moimuuujameeelmä: Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ja mallia koskeva oleukse SELITTÄVÄ MUUTTUJA JA SEN ARVOJA KOSKEVAT OLETUKSET JÄÄNNÖSTERMIT JA NIITÄ KOSKEVAT OLETUKSET JÄÄNNÖSTERMEJÄ KOSKEVIEN OLETUKSIEN TULKINTA SELITETTÄVÄ MUUTTUJA JA SEN ARVOJEN STOKASTISET OMINAISUUDET MALLIN SYSTEMAATTINEN OSA JA SATUNNAINEN OSA REGRESSIOSUORA REGRESSIOKERTOIMET JA NIITÄ KOSKEVAT OLETUKSET VAKIOPARAMETRISUUSOLETUS REGRESSIOSUORAN KULMAKERTOIMEN TULKINTA MALLIN PARAMETRIT YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISTA REGRESSIOMALLIA KOSKEVAT STANDARDIOLETUKSET.. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli paramerie esimoii REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTORIT REGRESSIOKERTOIMIEN SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMAATTORIT ESTIMOITU REGRESSIOSUORA REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTOREIDEN STOKASTISET OMINAISUUDET SOVITTEET RESIDUAALIT SOVITTEIDEN JA RESIDUAALIEN OMINAISUUDET JÄÄNNÖSVARIANSSIN HARHATON ESTIMAATTORI JÄÄNNÖSVARIANSSIN SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMAATTORI REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTOREIDEN VARIANSSIEN ESTIMOINTI REGRESSIOKERTOIMIEN LUOTTAMUSVÄLIT VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMAN TULKINTA SELITYSASTE SELITYSASTEEN OMINAISUUDET.3. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli regressiokeroimia koskeva esi TESTIT REGRESSIOKERTOIMILLE TESTI REGRESSIOSUORAN KULMAKERTOIMELLE TESTI REGRESSIOSUORAN VAKIOLLE REGRESSION OLEMASSAOLON TESTAAMINEN TKK Ilkka Melli (007) /3

3 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli. Eusamie yhde seliäjä lieaarisella regressiomallilla.. Eusamisehävä OLETUKSET ENNUSTAMISTEHTÄVÄ.. Selieävä muuuja odoeavissa oleva arvo eusamie ENNUSTE ENNUSTEEN JAKAUMA SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI.3. Selieävä muuuja arvo eusamie ENNUSTE ENNUSTEVIRHE ENNUSTEEN JAKAUMA SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI 3. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ja sokasie seliäjä 3.. Sokasise seliäjä ogelma EHDOLLINEN ODOTUSARVO KIINTEÄT JA SATUNNAISET SELITTÄJÄT MALLI REGRESSIOFUNKTIO 3.. Ehdollisamie MODIFIOIDUT STANDARDIOLETUKSET 3.3. Regressiomalleja o kaksi KAKSI REGRESSIOMALLIA PARAMETRIEN ESTIMOINTI 3.4. Korrelaaio olemassaolo esaamie TESTI KORRELAATIOLLE TKK Ilkka Melli (007) 3/3

4 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli TKK Ilkka Melli (007) 4/3

5 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli ja mallia koskeva oleukse Yhde seliäjä lieaarisessa regressiomallissa () y = β0 + β + ε, =,,, o seuraava osa: y = selieävä muuuja y sauaie ja havaiu arvo havaiossa = seliävä muuuja eli seliäjä kiieä (ei-sauaie) ja havaiu arvo havaiossa β 0 = vakioseliäjä regressiokerroi, kiieä (ei-sauaie) ja uemao vakio β = seliäjä regressiokerroi, kiieä (ei-sauaie) ja uemao vakio ε = jääösermi ε sauaie ja ei-havaiu arvo havaiossa Malli () kuvaa selieävä muuuja y havaiuje arvoje y lieaarisa riippuvuua seliävä muuuja eli seliäjä havaiuisa arvoisa. Malli avoieea o seliää selieävä muuuja y havaiuje arvoje vaihelu seliävä muuuja havaiuje arvoje vaihelu avulla. Huomauus : Malli () lieaarisuudella arkoieaa siä, eä malli o lieaarie regressiokeroimie β 0 ja β suhee, mua o syyä huomaa, eä malli o lieaarie myös seliäjä arvoje suhee. Huomauus : Selieävä muuuja y oleeaa mia-aseikollisila omiaisuuksilaa jakuvaksi. Huomauus 3: Kerroi β 0 o vakioseliäjä (seliäjä, joka jokaie havaioarvo = ) regressiokerroi. Vakioseliäjä ei ole samassa mielessä aio seliäjä kui muuuja. Huomauus 4: Malli () esimoiia koskeva ulokse eivä välämää päde ässä esieävässä muodossa, jos mallissa ei ole vakioseliäjää. Seliävä muuuja ja se arvoja koskeva oleukse Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β0 + β + ε, =,,, seliävä muuuja havaiu arvo oleeaa kiieiksi eli ei-sauaisiksi. Tiukasi oae oleus voi päeä vai sellaisissa ilaeissa, joissa seliäjä arvo valiaa. Tieyi TKK Ilkka Melli (007) 5/3

6 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ehdoi seliävä muuuja sauaisuudella ei kuiekaa ole vaikuusa jakossa esieävii uloksii; ks. kappalea 3. Usea seliäjä lieaarise regressiomalli seliäjie arvoja koskeva oleus, joka akaa se, eä regressiokeroimilla o yksikäsieise pieimmä eliösumma esimaaori, saa yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () apauksessa seuraava muodo: Seliäjä arvo eivä saa olla yhä suuria. Jääösermi ja iiä koskeva oleukse Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β0 + β + ε, =,,, jääösermi ε ova ei-havaiuja sauaismuuujia. Jääösermeisä ε ehdää seuraava oleukse: () E(ε ) = 0, =,,, (3) D (ε ) = σ, =,,, (4) Cov(ε s, ε ) = 0, jos s Jos lisäksi oleeaa, eä jääösermi ε oudaava ormaalijakaumaa, ii oleuksisa () ja (3) seuraa, eä (5) ε N(0, σ ), =,,, Jääösermejä koskevie oleuksie ulkia Oleukse () mukaa kaikilla jääösermeillä ε o sama odousarvo: E(ε ) = 0, =,,, Sie jääösermi ε vaiheleva sauaisesi havaiosa oisee, mua olla ympärillä. Oleukse (3) mukaa kaikilla jääösermeillä ε o sama variassi: D (ε ) = σ, =,,, Tää oleusa kusuaa homoskedasisuusoleukseksi. Jos jääösermie ε variassi vaihelee havaiosa oisee, jääösermi ova heeroskedasisia. Jääösermie yheisä variassia σ kusuaa malli jääösvariassiksi. Oleukse (4) mukaa jääösermi ova korreloimaomia. Selieävä muuuja ja se arvoje sokasise omiaisuude Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β0 + β + ε, =,,, selieävä muuuja y havaiu arvo y ova sauaisia. Jääösermeisä ε edellä ehdyisä oleuksisa ()-(4) ja siiä, eä seliäjä o oleeu ei-sauaiseksi seuraa, eä selieävä muuuja y havaiuilla arvoilla y o seuraava sokasise omiaisuude: () E(y ) = β 0 + β, =,,, (3) D (y ) = σ, =,,, (4) Cov(y s, y ) = 0, jos s TKK Ilkka Melli (007) 6/3

7 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Jos jääösermi ε oudaava ormaalijakaumaa, ii myös selieävä muuuja y havaiu arvo y oudaava ormaalijakaumaa: (5) y N(E(y ), σ ), =,,, Malli sysemaaie osa ja sauaie osa Jääösermeisä ε ehdyisä oleuksisa ja siiä, eä seliäjä o oleeu ei-sauaisiksi seuraa, eä yhde seliäjä lieaarie regressiomalli () y = β0 + β + ε, =,,, voidaa kirjoiaa muooo y = E(y ) + ε, =,,, jossa odousarvo E(y ) = β 0 + β, =,,, o vakio, joka riippuu seliäjä saamasa arvosa havaiossa ja jääösermi ε, =,,, o sauaismuuuja, joka ei riipu seliäjä saamasa arvosa havaiossa. Sie yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () selieävä muuuja y saama arvo y o esiey kahde osaekijä summaa, jossa osaekijää E(y ) = β 0 + β, =,,, kusuaa malli sysemaaiseksi (ai seliäjä arvoisa riippuvaksi) osaksi ja osaekijää ε, =,,, kusuaa malli sauaiseksi (ai seliäjä arvoisa riippumaomaksi) osaksi. Sysemaaie osa E(y ) o lieaarie sekä regressiokeroimie β 0 ja β eä seliäjä arvoje suhee. Regressiosuora Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β0 + β + ε, =,,, sysemaaie osa E(y ) = β 0 + β, =,,, määrielee suora y = β 0 + β avaruudessa. Malli sysemaaise osa määrielemää suoraa kusuaa regressiosuoraksi. Seliävä muuuja regressiokerroi β o suora kulmakerroi ja vakioseliäjä regressiokerroi β 0 o suora ja y-akseli leikkauspise. Jääösvariassi σ miaa selieävä muuuja arvoje vaihelua regressiosuora ympärillä. TKK Ilkka Melli (007) 7/3

8 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Regressiokeroime ja iiä koskeva oleukse Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β0 + β + ε, =,,, regressiokeroime β 0 ja β ova ei-sauaisia ja uemaomia vakioia. Vakioparamerisuusoleus Ku yhde seliäjä lieaarie regressiomalli esieää muodossa () y = β 0 + β + ε, =,,, oleeaa implisiiisesi, eä regressiokeroime β 0 ja β ova sama kaikille havaioille. Tää oleusa kusuaa vakioparamerisuusoleukseksi. Regressiosuora kulmakeroime ulkia Oleeaa, eä seliävällä muuujalla o vakioarvo. Tällöi yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β0 + β + ε, =,,, sysemaaisella osalla E(y ) = β 0 + β o vakioarvo y = E( y) = β + β 0 Oleeaa, eä selieävä muuuja arvo kasvaa yhdellä yksiköllä: + Tällöi selieävä muuuja y saama arvo sysemaaie osa y = E( y) muuuu regressiokeroime β verra: y y+ β Sie regressiokerroi β keroo paljoko siä vasaava seliäjä arvossa apahuva yksikö kokoie lisäys muuaa selieävä muuuja y saama arvo sysemaaisa osaa. Malli parameri Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () paramereja ova regressiokeroime β 0 ja β sekä jääösvariassi σ. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli sadardioleukse Yhde seliäjä lieaarisessa regressiomallissa () y = β 0 + β + ε, =,,, o seuraava osa: y = selieävä muuuja y sauaie ja havaiu arvo havaiossa = seliäjä ei-sauaie ja havaiu arvo havaiossa β 0 = vakioseliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi β = seliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi TKK Ilkka Melli (007) 8/3

9 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ε = sauaie ja ei-havaiu jääösermi Seuraavia oleuksia kusuaa yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleuksiksi: (i) Seliäjä havaiu arvo ova ei-sauaisia, =,,, (ii) Seliäjä havaiu arvo eivä ole yhä suuria, =,,, (iii) E(ε ) = 0, =,,, (iv) D (ε ) = σ, =,,, (v) Cov(ε s, ε ) = 0, jos s Usei oleuksii (i)-(v) liieää vielä jääösermejä ε koskeva ormaalisuusoleus: (vi) ε N(0, σ ), =,,, Lisäieoja (mm. odisukse) yhde seliäjä lieaarisesa regressiomallisa: ks. moisea Tilasollise meeelmä. Usea seliäjä lieaarisa regressiomallia eli yleisä lieaarisa mallia käsiellää luvussa Yleie lieaarie malli... Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli paramerie esimoii Regressiokeroimie PNS-esimaaori Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β 0 + β + ε, =,,, regressiokeroime β 0 ja β esimoidaa avallisesi pieimmä eliösumma (PNS-) meeelmällä. Pieimmä eliösumma meeelmässä jääösermie ε eliösumma ε = ( y β0 β) = = miimoidaa regressiokeroimie β 0 ja β suhee. Miimi löydeää derivoimalla eliösumma merkisemällä derivaaa olliksi. Neliösumma ja β suhee lieaarisee yhälöryhmää ε y β0 β β 0 = = = ( ) = 0 ε y β0 β β = = = ( ) = 0 ε regressiokeroimie β 0 ja β suhee ja ε derivoii johaa regressiokeroimie β 0 Näillä ormaaliyhälöillä o yksikäsieie rakaisu paramerie β 0 ja β suhee, jos yhde seliäjä lieaarisa regressiomallia koskeva sadardioleus (ii) päee. Rakaisuksi saadaa regressiokeroimie β 0 ja β pieimmä eliösumma (PNS-) esimaaori: b0 = y b TKK Ilkka Melli (007) 9/3

10 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ˆ σ b = = ˆ ρ ˆ σ ˆ σ ˆ σ Regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaoreide lausekkeissa y = y = y o selieävä muuuja y havaiuje arvoje y arimeeie keskiarvo, = = o seliävä muuuja havaiuje arvoje arimeeie keskiarvo, ˆ σ y = ( y y) = o selieävä muuuja y havaiuje arvoje y oosvariassi, ˆ σ = ( ) = o seliävä muuuja havaiuje arvoje oosvariassi, ˆ σ ( )( ) ˆ = y y = σ y = o selieävä muuuja y ja seliävä muuuja havaiuje arvoje y ja ooskovariassi ja ˆ σ ˆ σ y ˆ ρ = ˆ ρy ˆ σσˆ = ˆ σσˆ = y y o selieävä muuuja y ja seliävä muuuja havaiuje arvoje y ja ooskorrelaaiokerroi. Regressiokeroimie suurimma uskoavude esimaaori Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β 0 + β + ε, =,,, sadardioleuksie (i)-(v) lisäksi jääösermejä ε koskeva ormaalisuusoleus (vi) päee. Tällöi regressiokeroimie β 0 ja β suurimma uskoavuude esimaaori yhyvä keroimie β 0 ja β PNS-esimaaoreihi b 0 ja b. Esimoiu regressiosuora Olkoo b 0 ja b yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaori. Yhälö () y = b 0 + b määrielee suora avaruudessa regressiosuoraksi.. Suoraa () kusuaa mallia () vasaavaksi esimoiduksi TKK Ilkka Melli (007) 0/3

11 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Olkoo y selieävä muuuja y havaiuje arvoje y arimeeie keskiarvo ja seliäjä havaiuje arvoje arimeeie keskiarvo. Esimoiu regressiosuora () kulkee aia havaioaieiso paiopisee (, y ) kaua eli y = b0 + b Regressiokeroimie PNS-esimaaoreide sokasise omiaisuude Lause... Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(v) päevä. Tällöi (i) σ = 0 = β 0 b0 = E( b ) Var( ) ( ) = (ii) E( b) = β Var( b) = = σ ( ) Huomauus : Lauseesa... ähdää, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaori b 0 ja b ova harhaomia eli ja Huomauus : E(b 0 ) = β 0 E(b ) = β = ( ) = σˆ Huomauus 3: Lauseesa... ja huomauuksesa ähdää, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaoreide b 0 ja b variassi pieeevä, jos seliäjä saamie arvoje variassi ˆ σ ai havaioje lukumäärä aeaa kasvaa. Lause... Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarisa regressiomalli () sadardioleuksie (i)-(v) lisäksi ormaalisuusoleus (vi) päee. Tällöi regressiokeroimie β 0 ja β PNSesimaaoreide b 0 ja b oosjakauma ova ormaalisia: TKK Ilkka Melli (007) /3

12 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli (i) (ii) b σ = 0 N β 0, b N β, ( ) = = ( ) σ Soviee Määriellää esimoidu malli soviee kaavalla yˆ = b + b, =,,, 0 jossa b 0 ja b ova yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaori ja o seliäjä arvo havaiossa. Sovie yˆ o esimoidu malli aama arvo selieävälle muuujalle y, ku seliäjällä o arvo. Huomauus: Soviee määräää iille havaioille, joia o käyey regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaoreia b 0 ja b määrääessä. Residuaali Määriellää esimoidu malli residuaali kaavalla e = y yˆ, =,,, jossa y o selieävä muuuja y arvo havaiossa ja y ˆ o vasaava sovie. Residuaali o selieävä muuuja y havaiu arvo y ja esimoidu malli aama arvo y ˆ erous. Residuaali e ova ei-havaiuje jääösermie ε empiirisiä vasieia. Residuaalie avulla voidaa selviää piäväkö mallisa ehdy oleukse paikkaasa. Huomauus: Residuaali määräää iille havaioille, joia o käyey regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaoreia b 0 ja b määrääessä. Sovieide ja residuaalie omiaisuude Lause..3. Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(v) päevä. Tällöi (i) E( yˆ ) = β0 + β, =,,, TKK Ilkka Melli (007) /3

13 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli (ii) E( e ) = 0, =,,, (iii) yˆ = = = y (iv) = e = 0 (v) = ye ˆ = 0 (vi) = e = 0 Jääösvariassi harhao esimaaori Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(v) päevä. Olkoo SSE = e = residuaalie vaihelua kuvaava jääöseliösumma. Tällöi SSE s = o jääösvariassi σ harhao esimaaori eli E(s ) = σ Esimaaoria s kusuaa residuaalivariassiksi. Huomauus: Esimaaori s kaava aaa residuaalie variassi, koska mallissa o seliäjää vakio, jolloi e = 0. Jääösvariassi suurimma uskoavuude esimaaori Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β 0 + β + ε, =,,, sadardioleuksie (i)-(v) lisäksi jääösermejä ε koskeva ormaalisuusoleus (vi) päee. Tällöi jääösvariassi σ suurimma uskoavuude esimaaori o ˆ σ = SSE Regressiokeroimie PNS-esimaaoreide variassie esimoii Edellä o odeu, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β 0 + β + ε, =,,, TKK Ilkka Melli (007) 3/3

14 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli regressiokeroimie PNS-esimaaoreilla o sadardioleuksie (i)-(vi) päiessä seuraava sokasise omiaisuude: Sie Merkiää Tällöi b σ = 0 N β 0, b N β, ( ) = = ( ) σ E( b) = β, i = 0, i i Var( bi) = D ( bi), i = 0, i bi E( bi) zi = N(0,), i = 0, D( b ) Tämä regressiokeroime β i PNS-esimaaori b i oosjakaumaa koskeva ulos o epäoperaioaalie, koska jääösvariassi σ o ormaalisi uemao. Korvaaa σ yo. kaavoissa harhaomalla esimaaorillaa ja olkoo s = SSE ˆD ( bi ), i = 0, äi saaava regressiokeroime β i PNS-esimaaori b i operaioalisoiu variassi. Voidaa osoiaa, eä ˆD ( b i ) o regressiokeroime b i variassi harhao esimaaori ja lisäksi bi E( bi) i = ( ), i = 0, ˆD( b ) i Regressiokeroimie luoamusväli Lause..4. Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleuksie (i)-(v) lisäksi ormaalisuusoleus (vi) päee. Tällöi regressiokeroimie β 0 ja β luoamusväli luoamusasolla ( α) saadaa kaavoisa TKK Ilkka Melli (007) 4/3

15 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli (i) = b0 ± α/ ˆD( b0) = b0 ± α/ s ( ) = (ii) b ± α/ ˆD( b) = b ± α/ s = ( ) joissa b 0 ja b ova regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaori, α/ ja + α/ ova luoamusasoo ( α) liiyvä luoamuskeroime -jakaumasa, joka vapausaseide lukumäärä o ( ), ˆD ( b ) o regressiokeroime β 0 PNS-esimaaori b 0 variassi harhao esimaaori, 0 ˆD ( ) b o regressiokeroime β PNS-esimaaori b variassi harhao esimaaori ja s o jääösvariassi σ harhao esimaaori. Huomauus : Huomauus : = ( ) = σˆ Lauseesa..4. ja huomauuksesa ähdää, eä lieaarise regressiomalli () regressiokeroimie β 0 ja β luoamusväli kaveuva, jos seliäjä saamie arvoje variassi σ ai havaioje lukumäärä kasvaa. ˆ Variassiaalyysihajoelma Mia-aseikolaa jakuvie muuuja arvoje vaihelua miaaa avallisesi iide variassilla. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () selieävä muuuja y arvoje variassi o jossa σ = SST ˆ y SST = ( y y) = o selieävä muuuja y arvoje vaihelua kuvaava kokoaiseliösumma. Kokoaiseliösumma SST lausekkeessa ermi y = y = o selieävä muuuja y havaiuje arvoje y arimeeie keskiarvo. Voidaa osoiaa, eä residuaalie e vaihelua kuvaava jääöseliösumma SSE = e = ( ˆ ρ ) SST = TKK Ilkka Melli (007) 5/3

16 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli jossa ˆ ρ o selieävä muuuja y ja seliävä muuuja havaiuje arvoje ooskorrelaaiokerroi. Koska 0 ˆ ρ äsä yhälösä ähdää, eä jääöseliösumma o korkeiaa yhä suuri kui kokoaiseliösumma: SSE SST Jääöseliösumma SSE lausekkeessa e = y yˆ, =,,, o esimoidu malli residuaali, jossa yˆ = b + b, =,,, 0 o esimoidu malli sovie. Yhälösä = SSE = e = ( ˆ ρ ) SST ja ooskorrelaaiokeroime ˆ ρ omiaisuuksisa ähdää, eä seuraava ehdo ova yhäpiäviä: (i) SSE = 0 (ii) e = 0 kaikille =,,, (iii) Kaikki havaiopisee (, y ), =,,, aseuva samalle suoralle. (iv) ˆ ρ = Erousa SSM = SST SSE kusuaa regressio- ai mallieliösummaksi, koska voidaa osoiaa, eä (ˆ ˆ) (ˆ ) = = SSM = y y = y y Ideieeiä SST = SSM + SSE kusuaa lieaarise regressiomalli () selieävä muuuja y arvoje vaihelua kuvaava kokoaiseliösumma SST variassiaalyysihajoelmaksi. Huomauus: y = y = yˆ = yˆ = = TKK Ilkka Melli (007) 6/3

17 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Variassiaalyysihajoelma ulkia Selieävä muuuja y arvoje vaihelua kuvaava kokoaiseliösumma SST o hajoeu yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () avulla kahde osaekijä summaksi: SST = SSM + SSE Mallieliösumma SSM kuvaa malli () seliämää osaa selieävä muuuja y arvoje kokoaisvaihelusa ja jääöseliösumma SSE kuvaa siä osaa kokoaisvaihelusa, joa malli () ei ole pysyy seliämää. Malli () seliää selieävä muuuja y arvoje vaihelu siä paremmi miä suurempi o mallieliösumma SSM osuus kokoaiseliösummasa ai, mikä o sama asia, miä pieempi o jääöseliösumma SSE osuus kokoaiseliösummasa. Seliysase Variassiaalyysihajoelma SST = SSM + SSE moivoi uusluvu SSM SSE R = = SST SST käyö regressiomalli hyvyyde ai seliysvoima miaamisessa. Tuuslukua R kusuaa esimoidu malli seliysaseeksi. Seliysasee omiaisuude Lause..5. (i) 0 R (ii) Jos kaikki residuaali häviävä eli e = 0, =,,, ii SSE = 0 ja R = Tällöi malli sopii havaioihi äydellisesi. (iii) Jos b = 0, residuaali ova muooa e = y y, =,,, jolloi SSE = SST ja R = 0 Tällöi seliäjä ei seliä ollekaa selieävä muuuja y arvoje vaihelua. TKK Ilkka Melli (007) 7/3

18 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli (iv) jossa R = [Cor( yy, ˆ)] Cor( yy, ˆ) = = ( y y)(ˆ y y) ( y y) (ˆ y y) = = (v) selieävä muuuja y arvoje y ja vasaavie sovieide y ˆ välie ooskorrelaaiokerroi. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli apauksessa R = ˆ ρ jossa ˆ ρ o selieävä muuuja y ja seliävä muuuja havaiuje arvoje ooskorrelaaiokerroi. Koska Lausee..5. kohda (i) mukaa 0 R, seliysase ilmoieaa avallisesi proseeia: 00 R % Huomauus: y = y = yˆ = yˆ = =.3. Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli regressiokeroimia koskeva esi Olkoo () y = β 0 + β + ε, =,,, yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, jossa y = selieävä muuuja y sauaie ja havaiu arvo havaiossa = seliäjä ei-sauaie ja havaiu arvo havaiossa β 0 = vakioseliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi β = seliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi ε = sauaie ja ei-havaiu jääösermi Oleeaa, eä lieaarise regressiomalli () sadardioleuksie (i)-(v) lisäksi ormaalisuusoleus (vi) päee (ks. kappale..). Tesi regressiokeroimille Lieaarise regressiomalli () paramerie esimoimise jälkee o apaa esaa seuraavia malli regressiokeroimia koskevia hypoeeseja: (i) H 0 : β = 0 TKK Ilkka Melli (007) 8/3

19 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Jos ollahypoeesi H 0 päee, regressiomalli () selieävä muuuja y ei riipu lieaarisesi seliäjäsä. (ii) H 00 : β 0 = 0 Jos ollahypoeesi H 00 päee, regressiomallissa () ei arvia vakioseliäjää. Tesi regressiosuora kulmakeroimelle Olkoo ollahypoeesia H 0 : β = 0 Jos ollahypoeesi H 0 päee, regressiomalli () selieävä muuuja y ei riipu lieaarisesi seliäjäsä. Nollahypoeesia H 0 voidaa esaa esisuureella b = = ˆD( b ) s/ ( ) = b jossa b o regressiokeroime β PNS-esimaaori, ˆD ( b ) o regressiokeroime β PNSesimaaori b variassi harhao esimaaori ja s o jääösvariassi σ harhao esimaaori. Oleeaa, eä lieaarisa regressiomallia () koskeva oleukse (i)-(vi) päevä. Tällöi esisuure o jakauuu -jakauma mukaa vapausasei ( ), jos ollahypoeesi H 0 päee: ( ) H 0 Iseisarvolaa suure esisuuree arvo viiaava siihe, eä ollahypoeesi ei päde. Jos ollahypoeesi H 0 : β = 0 hyläää, saoaa, eä kerroi β ja siä vasaava seliäjä ova ilasollisesi merkiseviä. Huomauus : Huomauus : = ( ) = σˆ Tesisuuree arvo kasvaa, jos seliäjä saamie arvoje variassi ˆ σ ai havaioje lukumäärä kasvaa. Tesi regressiosuora vakiolle Olkoo ollahypoeesia H 00 : β 0 = 0 Jos ollahypoeesi H 00 päee, regressiomallissa () ei arvia vakioseliäjää. TKK Ilkka Melli (007) 9/3

20 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Nollahypoeesia H 00 voidaa esaa esisuureella b = = ˆD( b0 ) = s ( ) = b jossa b 0 o regressiokeroime β 0 PNS-esimaaori, ˆD ( b 0) o regressiokeroime β 0 PNSesimaaori b 0 variassi harhao esimaaori ja s o jääösvariassi σ harhao esimaaori. Oleeaa, eä lieaarisa regressiomallia () koskeva oleukse (i)-(vi) päevä. Tällöi esisuure 0 o jakauuu -jakauma mukaa vapausasei ( ), jos ollahypoeesi H 00 päee: 0 ( ) H 00 Iseisarvolaa suure esisuuree 0 arvo viiaava siihe, eä ollahypoeesi ei päde. Jos ollahypoeesi H 00 : β = 0 hyläää, mallissa () arviaa vakioseliäjää. Huomauus : Huomauus : = ( ) = σˆ Tesisuuree 0 arvo kasvaa, jos seliäjä saamie arvoje variassi ˆ σ ai havaioje lukumäärä kasvaa. Regressio olemassaolo esaamie Yhde seliäjä regressiomalli apauksessa edellä esiey -esi ollahypoeesille H 0 : β = 0 o ekvivalei F-esi kassa, jossa esisuureea o SSM F = ( ) SSE SST SSE = ( ) SSE R = ( ) R ˆ ρ = ( ) ˆ ρ missä SST = o selieävä muuuja y arvoje vaihelua kuvaava kokoaiseliösumma SSM = esimoidu malli mallieliösumma TKK Ilkka Melli (007) 0/3

21 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ja SSE = esimoidu malli jääöseliösumma SSM SSE R = = = ˆ ρ SST SST o esimoidu malli seliysase, missä ˆ ρ o selieävä muuuja y ja seliävä muuuja havaiuje arvoje ooskorrelaaiokerroi. Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(vi) päevä. Tällöi esisuure F o jakauuu F-jakauma mukaa vapausasei ja ( ), jos ollahypoeesi H 0 päee: F F(, ) H 0 Suure esisuuree F arvo viiaava siihe, eä ollahypoeesi H 0 ei päde. Huomauus: F = jossa o edellä esiey -esisuure ollahypoeesille H 0 : β = 0 TKK Ilkka Melli (007) /3

22 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli. Eusamie yhde seliäjä lieaarisella regressiomallilla.. Eusamisehävä Oleukse Olkoo () y = β 0 + β + ε, =,,, yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, jossa y = selieävä muuuja y sauaie ja havaiu arvo havaiossa = seliäjä ei-sauaie ja havaiu arvo havaiossa β 0 = vakioseliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi β = seliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi ε = sauaie ja ei-havaiu jääösermi Seuraavia oleuksia kusuaa yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleuksiksi: (i) Seliäjä havaiu arvo ova ei-sauaisia, =,,, (ii) Seliäjä havaiu arvo eivä ole yhä suuria, =,,, (iii) E(ε ) = 0, =,,, (iv) D (ε ) = σ, =,,, (v) Cov(ε s, ε ) = 0, jos s Usei oleuksii (i)-(v) liieää vielä jääösermejä ε koskeva ormaalisuusoleus: (vi) ε N(0, σ ), =,,, Eusamisehävä Mie yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () selieävä muuuja y käyäyymisä voidaa eusaa? Tällä eusamisehävällä arkoieaa kaha oisillee läheisä sukua olevaa ogelmaa: (i) Mikä o paras arvio eli euse selieävä muuuja y odoeavissa olevalle arvolle, jos seliäjä saa arvo? (ii) Mikä o paras arvio eli euse selieävä muuuja y arvolle, jos seliäjä saa arvo?.. Selieävä muuuja odoeavissa oleva arvo eusamie Euse Mikä o paras arvio eli euse yhde seliäjä lieaarise regressiomalli TKK Ilkka Melli (007) /3

23 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli () y = β 0 + β + ε, =,,, selieävä muuuja y odoeavissa olevalle arvolle, ku seliäjä saa arvo, ja mikä ova eusee sokasise omiaisuude? Oleeaa, eä selieävä muuuja y saa arvo y, ku seliäjä saa arvo. Tällöi ja y = β + β + ε 0 E( y ) = β + β 0 o selieävä muuuja y saama arvo y odousarvo, ku seliäjä saa arvo. Käyeää odousarvo E( y ) euseea lausekea () yˆ = b0 + b missä b 0 ja b ova regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaori. Huomauus: Odousarvo E( y ) o vakio, ku aas euse yˆ o sauaismuuuja. Eusee jakauma Lause... Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(v) päevä. Tällöi (i) E( yˆ ) = β0 + β (ii) Huomauus : Var( yˆ ) ( ) ( ) = = σ + Lausee... kohda (i) mukaa yˆ = b + b 0 o harhao euse selieävä muuuja y odoeavissa olevalle arvolle, ku seliäjä saa arvo eli Huomauus : E( ˆ ) = β + β = E( ) 0 Voidaa osoiaa, eä yˆ = b + b 0 o paras selieävä muuuja y odoeavissa oleva arvo E( y ) lieaarise ja harhaomie euseide joukossa siiä mielessä, eä se miimoi eusee keskieliövirhee. TKK Ilkka Melli (007) 3/3

24 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Huomauus 3: = ( ) = σˆ Huomauus 4: Lausee... kohda (ii) mukaa eusee yˆ = b + b 0 variassi pieeee, jos havaioje lukumäärä ai seliäjä variassi ˆ σ kasvaa. Toisaala eusee yˆ = b + b 0 variassi o siä suurempi miä kauempaa o seliäjä keroimie β 0 ja β PNSesimoiissa käyeyje havaiuje arvoje arimeeisesa keskiarvosa. Lause... Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleuksie (i)-(v) lisäksi ormaalisuusoleus (vi) päee. Tällöi yˆ N(E( yˆ ),Var( yˆ )) missä ja E( yˆ ) = β + β Var( yˆ ) 0 ( ) ( ) = = σ + Selieävä muuuja odoeavissa oleva arvo luoamusväli Lause..3. Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(vi) päevä ja olkoo E( y ) selieävä muuuja y saama arvo y odousarvo, ku seliäjä saa arvo. Tällöi odousarvo E( y ) luoamusväli luoamusasolla ( α) o ( ) b0 + b ± α / s + ( ) = jossa s o jääösvariassi σ harhao esimaaori ja α/ ja + α/ ova luoamusasoo ( α) liiyvä luoamuskeroime -jakaumasa, joka vapausaseide lukumäärä o ( ). TKK Ilkka Melli (007) 4/3

25 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Huomauus : = ( ) = σˆ Huomauus : Lauseesa..3. ähdää, eä luoamusväli kaveuu, jos havaioje lukumäärä ai seliäjä variassi σ kasvaa. ˆ Toisaala luoamusväli o siä leveämpi miä kauempaa o seliäjä keroimie β 0 ja β PNS-esimoiissa käyeyje havaiuje arvoje arimeeisesa keskiarvosa..3. Selieävä muuuja arvo eusamie Euse Mikä o paras arvio eli euse lieaarise regressiomalli () y = β 0 + β + ε, =,,, selieävä muuuja y arvolle, ku seliäjällä saa arvo, ja mikä ova eusee sokasise omiaisuude? Oleeaa, eä selieävä muuuja y saa arvo y, ku seliäjä saa arvo. Tällöi ja y = β + β + ε 0 E( y ) = β + β 0 o selieävä muuuja y saama arvo y odousarvo, ku seliäjä saa arvo. Käyeää selieävä muuuja y arvo y euseea lausekea (3) yˆ = b0 + b missä b 0 ja b ova regressiokeroimie β 0 ja β PNS-esimaaori. Huomauus: Sekä selieävä muuuja y arvo y eä euse ŷ ova sauaismuuujia. Eusevirhe Erousa kusuaa eusevirheeksi. e = y yˆ = β b + ( β b) + ε 0 0 TKK Ilkka Melli (007) 5/3

26 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Eusee jakauma Lause.3.. Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(v) päevä. Tällöi (i) E( y yˆ ) = 0 (ii) Huomauus : ( ) y yˆ = σ + + ( ) = Var( ) Lausee.3.. kohda (i) mukaa yˆ = b + b 0 o harhao euse selieävä muuuja y arvo y odousarvolle E( y ), ku seliäjä saa arvo, siiä mielessä eä E( y yˆ ) = 0 Se sijaa yˆ ei ole harhao euse selieävä muuuja y arvolle y, koska yleesä E( yˆ ) = β + β y Huomauus : 0 Voidaa osoiaa, eä yˆ = b + b 0 o paras selieävä muuuja y odoeavissa oleva arvo E( y ) lieaarise ja harhaomie euseide joukossa siiä mielessä, eä se miimoi eusee keskieliövirhee. Huomauus 3: = ( ) = σˆ Huomauus 4: Lausee.3.. kohda (ii) mukaa eusee yˆ = b + b 0 variassi pieeee, jos havaioje lukumäärä ai seliäjä variassi ˆ σ kasvaa. Toisaala eusee yˆ = b + b 0 variassi o siä suurempi miä kauempaa o seliäjä keroimie β 0 ja β PNSesimoiissa käyeyje havaiuje arvoje arimeeisesa keskiarvosa. TKK Ilkka Melli (007) 6/3

27 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Lause.3.. Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleuksie (i)-(v) lisäksi ormaalisuusoleus (vi) päee. Tällöi y yˆ N 0,Var( y yˆ ) missä ( ) ( ) y yˆ = σ + + ( ) = Var( ) Selieävä muuuja arvo luoamusväli Lause.3.3. Oleeaa, eä yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleukse (i)-(vi) päevä. Tällöi selieävä muuuja y arvo y luoamusväli luoamusasolla ( α) o ( ) b0 + b ± α / s + + ( ) = jossa s o jääösvariassi σ harhao esimaaori ja α/ ja + α/ ova luoamusasoo ( α) liiyvä luoamuskeroime -jakaumasa, joka vapausaseide lukumäärä o ( ). Huomauus : = ( ) = σˆ Huomauus : Lauseesa.3.3. ähdää, eä luoamusväli kaveuu, jos havaioje lukumäärä ai seliäjä variassi σ kasvaa. ˆ Toisaala luoamusväli o siä leveämpi miä kauempaa o seliäjä keroimie β 0 ja β PNS-esimoiissa käyeyje havaiuje arvoje arimeeisesa keskiarvosa. Huomauus 3: Lauseisa..3. ja.3.3. ähdää, eä selieävä muuuja y odoeavissa oleva arvo E( y ) luoamusväli o kapeampi kui selieävä muuuja y arvo y luoamusväli. Tämä o ymmärreävää, koska muuuja keskimääräise arvo eusamie o helpompaa kui se yksiäise arvo eusamie. TKK Ilkka Melli (007) 7/3

28 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli 3. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli ja sokasie seliäjä 3.. Sokasise seliäjä ogelma Malli Olkoo () y = β 0 + β + ε, =,,, yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, jossa Huomauus: y = selieävä muuuja y sauaie ja havaiu arvo havaiossa = seliäjä sauaie ja havaiu arvo havaiossa β 0 = vakioseliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi β = seliäjä ei-sauaie ja uemao regressiokerroi ε = sauaie ja ei-havaiu jääösermi Seliäjä arvo o (oisi kui kappaleissa ja ) oleeu sauaisiksi. Kiieä ja sauaise seliäjä Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () sadardioleuksissa seliäjä havaiu arvo o oleeu kiieiksi eli ei-sauaisiksi (ks. kappale..). Tiukasi oae ämä oleus voi päeä vai sellaisissa ilaeissa, joissa seliäjä arvo pääsää valisemaa. Seliäjä arvo pääsää valisemaa puhaissa koeaseelmissa, mua muulloi oleus o vaikeasi peruselavissa. Tarkasellaa seuraavassa ilaea, jossa seliäjä arvo o oleeu sauaisiksi. Mie ämä vaikuaa lieaarise regressiomalli () sovelamisee? Täydellise vasaukse aamie ähä kysymyksee o moimukaie ehävä eikä siihe ässä edes pyriä. Tieyi ehdoi sauaise seliäjä apauksessa voidaa kuieki oimia samalla avalla kui kiieä, ei-sauaise seliäjä apauksessa. Täydellise kuvaukse usea sauaismuuuja käyäyymisesä aaa iide yheisjakauma. Sauaismuuujie riippuvuua voidaa ukia iide yheisjakauma muodosamassa kehikossa arkaselemalla iide regressiofukioia. Koska regressiofukio ova yleesä epälieaarisia, jouduaa ällaisissa ilaeissa yleesä sovelamaa epälieaarisa regressioaalyysia; sivuuamme epälieaarise regressiomallie käsiely ässä esiyksessä. Jos arkaselavie sauaismuuujie yheisjakauma o muliormaalijakauma, lieaarise regressiomallie sovelamie peruselua, koska kaikki muliormaalijakauma regressiofukio ova lieaarisia. Lieaarise regressiomalli sovelamie o peruselua myös sellaisissa ilaeissa, joissa epälieaarisa regressiofukioa voidaa approksimoida lieaarisella lausekkeella. TKK Ilkka Melli (007) 8/3

29 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli 3.. Ehdollisamie Modifioidu sadardioleukse Oleeaa, eä seuraava, yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () y = β 0 + β + ε, =,,, modifioidu sadardioleukse ova voimassa: (i) Seliäjä havaiu arvo ova sauaisia, =,,, (ii) Seliäjä havaiu arvo eivä ole yhä suuria, =,,, (iii) E(ε ) = 0, =,,, (iv) D (ε ) = σ, =,,, (v) Cov(ε s, ε s, ) = 0, jos s Usei oleuksii (i) -(v) liieää vielä jääösermejä ε koskeva ormaalisuusoleus: (vi) (ε ) N(0, σ ), =,,, Oleukse (i) -(v) ova yhäpiäviä seuraavie oleuse kassa: (i) Seliäjä havaiu arvo ova sauaisia, =,,, (ii) Seliäjä havaiu arvo eivä ole yhä suuria, =,,, (iii) E(y ) = β 0 + β, =,,, (iv) D (y ) = σ, =,,, (v) Cov(y s, y s, ) = 0, jos s Tällöi ormaalisuusoleusa (vi) vasaa oleus (vi) (y ) N(0, σ ), =,,, Huomauus : Oleukse (iii) mukaa selieävä muuuja y havaiuje arvoje ehdollie odousarvo eli regressiofukio o lieaarie seliävä muuuja havaiuje arvoje suhee. Tämä merkisee ehdollisamisa seliävä muuuja havaiuje arvoje suhee. Huomauus : Koska selieävä muuuja y ehdollie odousarvo eli regressiofukio seliävä muuuja suhee o yleesä epälieaarie, oleus (iii) regressiofukio lieaarisuudesa o hyvi voimakas oleus. Huomauus 3: Jos sauaismuuujie y ja yheisjakauma o -uloeie ormaalijakauma, sekä muuuja y regressiofukio muuuja suhee eä muuuja regressiofukio muuuja y suhee ova lieaarisia. TKK Ilkka Melli (007) 9/3

30 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli 3.3. Regressiomalleja o kaksi Kaksi regressiomallia Jos muuuja y ja ova molemma sauaisia, saaaa olla mielekäsä muodosaa kaksi kappalea yhde seliäjä lieaarisia regressiomalleja: () y = β 0 + β + ε, =,,, () = α 0 + α y + δ, =,,, Tämä o mahdollisa esimerkiksi silloi, ku sauaismuuujie y ja yheisjakauma o -uloeie ormaalijakauma. Malli () seliää muuuja y havaiuje arvoje vaihelu muuuja havaiuje arvoje vaihelu avulla, ku aas malli () seliää muuuja havaiuje arvoje vaihelu muuuja y saamie arvoje vaihelu avulla. Jos modifioidu sadardioleukse (i) -(vi) ova voimassa mallille () ja vasaavalla avalla modifioidu sadardioleukse ova voimassa mallille (), kaikki kappaleissa. ja. esiey eoria päee molemmille malleille. Huomauus: Sovellus määrää usei mie ukiavaa ilmiöä kuvaava muuuja o mielekäsä jakaa selieäviksi ja seliäviksi muuujiksi. Regressioaalyysia sovelleaa kuieki myös sellaisissa ilaeissa, joissa jako ei ole isesää selvä ai, joissa voidaa samaaikaisesi sovelaa useampia äkökulmia. Paramerie esimoii Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () regressiokeroimie β 0 ja β PNSesimaaori ova b0 = y b ˆ σ ˆ σ y b ˆ = = ρ ˆ σ ˆ σ Sie malli () esimoiu regressiosuora o (3) y = b 0 + b Suora (3) yhälö voidaa esiää muodossa ˆ y (4) y y = ˆ ρ σ ( ) ˆ σ Yhde seliäjä lieaarise regressiomalli () regressiokeroimie α 0 ja α PNSesimaaori ova a0 = ay ˆ σ a = = ˆ ρ ˆ σ y ˆ σ ˆ σ Sie malli () esimoiu regressiosuora o (5) = a 0 + a y y TKK Ilkka Melli (007) 30/3

31 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Suora (5) yhälö voidaa esiää muodossa ˆ σ (6) = ˆ ρ ( y y) ˆ σ Jos yhälö (6) rakaisaa muuuja y suhee, saadaa yhälö ˆ y (7) y y = σ ( ) ˆ ρ ˆ σ y Yhälöisä (4) ja (7) ähdää väliömäsi, eä muuuja y regressiosuora muuuja suhee ja muuuja regressiosuora muuuja y suhee eivä yleesä ole sama. Regressiosuora (4) ja (7) yhyvä äsmällee silloi, ku eli ˆ ρ ˆ ρ = ˆ ρ = mikä o yhäpiävää se kassa, eä kaikki havaiopisee (, y ), =,,, aseuva samalle suoralle. Regressiosuorie yhälöisä (4) ja (7) ähdää myös, eä molemma regressiosuora kulkeva havaioarvoje paiopisee (, y ) kaua Korrelaaio olemassaolo esaamie Tesi korrelaaiolle Oleeaa, eä sauaismuuujie y ja yheisjakauma o -uloeie ormaalijakauma ja olkoo σ ρ = Cor(, ) = = ρy σσ sauaismuuujie y ja korrelaaiokerroi, missä σ = Cov(y, ) σ y = Var(y) = Cov(y, y) y σ = Var() = Cov(, ) Aseeaa ollahypoeesi H 0 : ρ = 0 Jos ollahypoeesi H 0 päee, sauaismuuuja y ja ova korreloimaomia. TKK Ilkka Melli (007) 3/3

32 Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Tesi ollahypoeesille H 0 voidaa perusaa esisuureesee ˆ ρ = ˆ ρ jossa ˆ ρ o selieävä muuuja y ja seliävä muuuja havaiuje arvoje ooskorrelaaiokerroi. Em. esisuure o jakauuu -jakauma mukaa vapausasei ( ), jos ollahypoeesi H 0 päee: H 0 Iseisarvolaa suure esisuuree arvo viiaava siihe, eä ollahypoeesi H 0 ei päde. Jos ollahypoeesi H 0 : ρ = 0 hyläää, saomme, eä sauaismuuujie y ja korrelaaio ρ o ilasollisesi merkisevää. Tesisuuree eliö yhyy kappaleessa.3. esieyy F-esisuureesee eli = F Sie esi ollahypoeesille H 0 : ρ = 0 ja kappaleessa.3. esiey -esi regressiosuora kulmakeroimelle β, jossa ollahypoeesia o H 0 : β = 0 ova ekvivaleeja. Täsä ähdää, eä yhde seliäjä lieaarisessa regressiomallissa muuuja y ei riipu lieaarisesi muuujasa ja muuuja ei riipu lieaarisesi muuujasa y, äsmällee silloi, ku muuuja y ja ova korreloimaomia. TKK Ilkka Melli (007) 3/3

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto Ma-1.361 Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria 7.1. Suurimma uskoavuude esimoiimeeelmä: Johdao Aikasarja,

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista

2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät 007 8. lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli: Lisätiedot. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli: Lisätiedot. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?

Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

8.3. Yleinen lineaarinen malli ja yleistetty pienimmän neliösumman menetelmä

8.3. Yleinen lineaarinen malli ja yleistetty pienimmän neliösumman menetelmä Mat-1.361 Tilastollie päättely Tilastollie päättely 8. Yleie lieaarie malli 8.1. Yleie lieaarie malli ja se parametrie estimoiti Estimoiti, Estimaattori hyvyys, Gaussi ja Markovi lause, Harhattomuus, Homoskedastisuus,

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Regressiomallin valinta. Regressiomallin valinta. Regressiomallin valinta: Esitiedot. Regressiomallin valinta: Mitä opimme?

Regressiomallin valinta. Regressiomallin valinta. Regressiomallin valinta: Esitiedot. Regressiomallin valinta: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiomalli valita Eälieaariste riiuvuuksie liearisoiti Johdatus tilastotieteesee Regressiomalli valita TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiomalli valita: Mitä oimme? Tässä luvussa

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

Regressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 2/2. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 1/2

Regressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 2/2. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiodiagostiikka Jodatus tilastotieteesee Regressiodiagostiikka Yleie lieaarie malli a regressiodiagostiikka Poikkeavat avaiot Regressiokertoimie vakioisuus Multikollieaarisuus

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli

Yleinen lineaarinen malli MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 7 9. lueto: Regressiomalli validoiti Kai Virtae Regressiomalli validoiista Estimoitu hieo regressiomalli: Kuvaako malli tutkittavaa ilmiötä oikei? Kuika hyvi

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin: Mitä opimme? 2/3

Johdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin: Mitä opimme? 2/3 TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Johdatus regressioaalsii Johdatus tilastotieteesee Johdatus regressioaalsii Regressioaalsi lähtökohdat a tavoitteet Determiistiset mallit a regressioaalsi Regressiofuktiot a

Lisätiedot

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017 OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Robusti tilastollinen päättely ensimmäisen ja toisen ehdollisen momentin mallintamisessa

Robusti tilastollinen päättely ensimmäisen ja toisen ehdollisen momentin mallintamisessa Robusi ilasollinen pääely ensimmäisen ja oisen ehdollisen momenin mallinamisessa ilasoieeen pro gradu ukielma Jarmo Mika Rafael Mikkola Marraskuu SISÄLLYS JOHDANO EORIAA. Robusi kvasiuskoavuusesimoinimeneelmä.

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

( ) N z ( RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ. B.1 Radioaktiivisten ytimien hajoamislaki. P( z) =

( ) N z ( RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ. B.1 Radioaktiivisten ytimien hajoamislaki. P( z) = B RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ B.1 Radioakiivisen yimien hajoamislaki Miaaessa radioakiivisen yimien hajoamisessa synyvän säeilyn inensieeiä havaiaan, eä ilmaisimeen aikayksikössä saapuvien

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 007 Regressiomallin (selittäjien valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Systeemidynamiikka ja liikkeenjohto

Systeemidynamiikka ja liikkeenjohto Syseemidynamiikka ja liikkeenjoho Opimoiniopin seminaari 21.2.2007 Ilkka Leppänen S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 11 Ilkka Leppänen Opimoiniopin seminaari - Kevä 2007 Sisälö Johdano dynaamisen pääökseneon

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 2007 10. luento: Regressiomallin (selittäjien) valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

LUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN

LUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN LUKU 6 KOHINN VIKUUS NLOGISEN MOULIOIEN SUORIUSKYKYYN ieoliikeeekiikka I 5359 Kari Kärkkäie Osa 6 Luku 6 Kohia vaikuus aalogisii odulaaioihi Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie Kaaaajuie järjeselä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri

Lisätiedot

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona: Diskreei maemaiikka, sks 00 Harjoius 0, rakaisuisa. Esi viriävä puu suunaamaomalle verkolle G = (X, E, Ψ), kun X := {,,, }, E := { {, }, {, }, {, }, {, }, {, }}, ja Ψ on ieninen kuvaus. Rakaisu. Viriäviä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi. Dynaamiset regressiomallit. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi. Dynaamiset regressiomallit. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Dynaamiset regressiomallit TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Dynaamiset regressiomallit >> Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA

KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot