7.1. Käänteiskuvauslause
|
|
- Santeri Saarinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LUKU 7 Käänteiskuvauslause Parit (E, ), (F, ),... ovat Banachin avaruuksia, ellei toisin mainita. [4, Ch. XIV, Lemma. 1.1] 7.1. Käänteiskuvauslause Lause 7.1 (Banachin kiintopistelause). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus ja f : X X kutista kuvaus, t.s. on olemassa k (0, 1) siten, että d(f(x), f(y)) k d(x, y) kaikille x, y X. Tällöin kuvauksella f on täsmälleen yksi kiintopiste, t.s. piste z X, jolle f(z) = z. ja Todistus. Olkoon x 0 X. Määritellään jono (x n ) n=1 rekursiivisesti Kun n = m + r > m, on x n := f(x n 1 ), n Z +. d(x n, x m ) = d(f(x n 1 ), f(x m 1 )) k d(x n 1, x m 1 ) k m d(x r, x 0 ) d(x r, x 0 ) d(x r, x r 1 ) + d(x r 1, x r 2 ) + + d(x 1, x 0 ) (k r 1 + k r ) d(x 1, x 0 ) 1 1 k d(x 1, x 0 ). Näistä epäyhtälöistä seuraa, että jono (x n ) n=1 on Cauchyn jono. Koska X on täydellinen, on jonolla raja-arvo z = lim n x n X. Koska kutistava kuvaus on jatkuva, on z = lim x n+1 = lim f(x n ) = f( lim x n ) = f(z). n n n Siis z on kiintopiste. Jos myös z olisi kiintopiste, olisi Koska k < 1, on oltava d(z, z ) = 0. d(z, z ) = d(f(z), f(z )) k d(z, z ). [4, Ch. XIV, Thm. 1.2], [14, Ch. I, Thm. 5.2], [1, Ch. 1, ], [3, Ch. X, Thm. 2.5], [5, Thm ]: Lause 7.2. Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että Df(x 0 ) on isomorfismi E F. Tällöin pisteellä x 0 on ympäristö U ja pisteellä y 0 := f(x 0 ) on ympäristö V siten, että f U : U V on diffeomorfismi (t.s. f lokaali diffeomorfismi pisteessä x 0 ). 1 Viimeksi muutettu
2 7.1. KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE 47 Todistus. Voidaan olettaa, että E = F ja Df(x 0 ) = I E ; muuten tarkastellaan kuvausta (Df(x 0 )) 1 f : U E. Lisäksi voidaan olettaa, että x 0 = 0 ja y 0 = 0; muuten tarkastellaan funktiota x f(x + x 0 ) y 0. Olkoon g : U E, g(x) := x f(x). Tällöin g(0) = 0 ja Dg(0) = 0. Derivaatan jatkuvuuden nojalla on olemassa r > 0 siten, että Dg(x) 1, kun x 2r. 2 Väliarvolauseen nojalla g(x) 1 x, kun x 2r. Tästä seuraa, että 2 g(b(0; r)) B(0; r/2). Yhtälön y = f(x) ratkeavuus. Osoitetaan, että jokaiselle y B(0; r/2) on olemassa yksikäsitteinen x B(0; r) siten, että f(x) = y. Olkoon g y (x) := y + g(x) = y + x f(x). Kun y r/2 ja x r, on g y (x) y + g(x) r, joten g y on kuvaus g y : B(0; r) B(0; r). Suljettu pallo B(0; r) on täydellinen metrinen avaruus ja g y on kutistava kuvaus: g y (x 1 ) g y (x 2 ) = g(x 1 ) g(x 2 ) 1 2 x 1 x 2. Banachin kiintopistelauseen nojalla kuvauksella g y on yksikäsitteinen kiintopiste x B(0; r). Kiintopiste x on yhtälölle y = f(x) etsitty ratkaisu. Käänteiskuvauksen jatkuvuus. Kuvaus f : B(0; r) B(0; r/2) on siis jatkuva bijektio. Olkoon ϕ := f 1 : B(0; r/2) B(0; r). Koska g(x) + f(x) x, on x 1 x 2 g(x 1 ) g(x 2 ) + f(x 1 ) f(x 2 ) 1 2 x 1 x 2 + f(x 1 ) f(x 2 ), joten x 1 x 2 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Siis ϕ on jatkuva (vieläpä Lipschitz-jatkuva). Käänteiskuvauksen differentioituvuus. Olkoot y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ) B(0; r/2). Tällöin ϕ(y 1 ) ϕ(y 2 ) (Df(x 2 )) 1 (y 1 y 2 ) = x 1 x 2 (Df(x 2 )) 1 (f(x 1 ) f(x 2 )) = (Df(x 2 )) 1( Df(x 2 )(x 1 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) ) (Df(x 2 )) 1 Df(x 2 )(x 1 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) ( ) (Df(x 2 )) 1 ε x 1 x 2 (Df(x 2 )) 1 ε 2 f(x 1 ) f(x 2 ) = 2ε (Df(x 2 )) 1 y 1 y 2, missä epäyhtälö ( ) seuraa funktion f differentioituvuudesta. Siis ϕ on differentioituva pisteessä y 2 ja Dϕ(y 2 ) = (Df(x 2 )) 1, t.s. Dϕ(y) = (Df(ϕ(y))) 1. Tästä kaavasta seuraa, että Dϕ on jatkuva.
3 7.2. IMPLISIITTIFUNKTIOLAUSE 48 Seuraus 7.3. Edellisen lauseen oletuksin: jos f on lisäksi C p -kuvaus (p Z + { }), niin myös käänteiskuvaus f 1 on C p -kuvaus. Todistus. Olkoon g := f 1. Tällöin Dg(y) = (Df(x)) 1, kun x = g(y), t.s. Dg = I Df g, missä I: Isom L(E; F ) Isom L(F ; E), I(A) := A 1. Tässä I on C, Df on C p 1 ja g on C 1. Siis Dg on C 1, jos p 1 1. Väite seuraa induktiolla. Käänteiskuvauslause ei toimi suoraan yleisemmissä topologisissa vektoriavaruuksissa: [5, HT 2.5G] (esimerkissä Fréchet n avaruus). Käänteiskuvauslauseeesta on yleistyksiä Frechet n avaruuksille; ks. [12], [18] Implisiittifunktiolause Vektorifunktiot. Yksi nykymuotoisen Banachin avaruuksien implisiittifunktiolauseen varhainen versio on Hildebrandtilta ja Gravesista vuodelta 1927, [13]. [4, Ch. XIV, Thm. 2.1], [14, Ch. I, Thm. 5.9], [1, Ch. 1, 4.7], [3, Thm. X.2.1], [5, Thm ]: Lause 7.4. Olkoot U E 1 E 2 avoin, (a 1, a 2 ) U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a 1, a 2 ) = b ja osittaisderivaatta D 2 f(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 2 F. Tällöin on olemassa pisteen a 1 ympäristö V 1 E 1 ja jatkuvasti differentioituva funktio g : V 1 E 2 siten, että g(a 1 ) = a 2 ja f(x, g(x)) = b kaikille x V 1. Todistus. Asetetaan ϕ: U E 1 F, ϕ(x 1, x 2 ) := (x 1, f(x 1, x 2 )). Tällöin ϕ(a 1, a 2 ) = (a 1, b) ja derivaatalla Dϕ(a 1, a 2 ) on matriisi [ ] I Dϕ(a 1, a 2 ) = E1 0. D 1 f(a 1, a 2 ) D 2 f(a 1, a 2 ) Tästä seuraa, että Dϕ(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 1 E 2 E 1 F (määrää käänteiskuvaus!). Käänteiskuvauslauseen nojalla ϕ on diffeomorfismi pisteen (a 1, a 2 ) ympäristöstä U U pisteen (a 1, b) ympäristöön U 1 V. Olkoon h := ϕ 1 : U 1 V U. Jos ϕ(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), niin y 2 = f(x 1, x 2 ), joten f(h(y 1, y 2 )) = f(x 1, x 2 ) = y 2. Koska ϕ(x 1, x 2 ) = (x 1, f(x 1, x 2 )), voidaan funktion ϕ käänteiskuvaus h esittää muodossa h(x, y) = (x, H(x, y)), missä H : U 1 V E 2 on C 1 -kuvaus. Asetetaan g : U 1 E 2, g(x) := H(x, b). Tällöin g on C 1 -funktio ja (x, f(x, g(x))) = ϕ(x, g(x)) = ϕ(x, H(x, b)) = ϕ(h(x, b)) = (x, b). Huomautuksia 7.5. a) Pisteen (a 1, a 2 ) ympäristö U voidaan valita niin, että yhtälöllä f(x, y) = b on täsmälleen yksi ratkaisu (x, y) U, y = g(x). Voidaan myös osoittaa, että pisteellä a 1 on ympäristö U 1 niin, että jokaisessa pisteen a 1 yhtenäisessä ympäristössä U 1 U 1 on täsmälleen yksi jatkuva funktio g : U 1 E 2 siten, että g(a 1 ) = a 2, (x, g(x)) U kaikille x U 1 ja f(x, g(x)) = b kaikille x U 1. Ks. [1, Ch. 1, 4.7], [3, Thm. X.2.1].
4 7.2. IMPLISIITTIFUNKTIOLAUSE 49 b) Pari käänteiskuvauslause implisiittifunktiolause voidaan todistaa myös päinvastaisessa järjestyksessä; ks. [3, Thm. X.2.1]. Tällöin kiintopistelauseesta tarvitaan parametrista riippuva versio. Hildebrandtin ja Gravesin artikkeli käyttää tämänkaltaista esitystä Reaalifunktiot. Edellä esitetty implisiittifunktiolauseen todistus pohjautuu vaativantuntuiseen käänteiskuvauslauseeseen. Jos tyydytään tarkastelemaan reaaliarvoisia funktioita, voidaan implisiittifunktiolause todistaa suoraan kurssin Analyysi 2 tiedoilla. 2 Lause 7.6. Olkoot H Hilbertin avaruus, U H avoin ja f : U R jatkuvasti differentioituva funktio. Oletetaan, että pisteessä z 0 U on f(z 0 ) = 0 ja b := f(z 0 ) 0. Asetetaan H 0 := f(z 0 ). Tällöin on olemassa avoin joukko U 0 H 0 ja jatkuvasti differentioituva funktio g : U 0 R siten, että x + g(x) b U kaikille x U 0 ja f(x + g(x) b) = 0 kaikille x U 0. Todistus. Voidaan olettaa, että z 0 = 0; muuten tarkastellaan funktiota z f(z 0 + z). Lisäksi, kun ϱ := Df(0)b = f(z 0 ), b, on ϱ > 0. Koska Df on jatkuva, on Df rajoitettu jossakin origon ympäristössä. Hilbertin avaruus H voidaan esittää suorana summana H = H 0 b. Koska Df on jatkuva ja Df(0)b = ϱ > 0, voidaan olettaa, että Df(z)b ϱ/2 origon ympäristössä U := {z = x + ξ b x δ 1, ξ δ 1 }. Koska f(0) = 0 ja funktion [ δ 1, δ 1 ] R, ξ f(ξ b), derivaatta on Df(ξ b)b > 0, on f( δ 1 b) < 0 < f(δ 1 b). Jatkuvuuden nojalla on olemassa δ 2 (0, δ 1 ) siten, että f(x δ 1 b) < 0 < f(x + δ 1 b) kaikille x H 0, x δ 2. Olkoon x H 0, x δ 2. Koska funktio [ δ 1, δ 1 ] R, ξ f(x + ξ b) on jatkuva, aidosti kasvava ja saavuttaa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, on Bolzanon lauseen nojalla olemassa täsmälleen yksi ξ = ξ x ( δ 1, δ 1 ) siten, että f(x + ξ b) = 0. Asetetaan U 0 := B H0 (0; δ 2 ) ja g : U 0 R, g(x) := ξ x. Tällöin x + g(x) b U U ja f(x + g(x) b) = 0 kaikille x U 0. Olkoon x 0, x U 0. Merkitään z 0 := x 0 + g(x 0 ) b ja z := x + g(x) b. Koska f on differentioituva, löydetään reaaliarvoisten funktioiden väliarvolauseen nojalla piste z J z0,z siten, että joten 0 = f(z) f(z 0 ) = Df(z )(z z 0 ) = Df(z )(x x 0 ) + (g(x) g(x 0 )) Df(z )b, (7.1) g(x) g(x 0 ) = Df(z )(x x 0 ). Df(z )b Koska derivaatta Df on rajoitettu ja Df(z)b ϱ/2 origon ympäristössä U, seuraa yhtälöstä (7.1), että g(x) g(x 0 ) 0, kun x x 0. Siis g on jatkuva. Edelleen yhtälön 2 Todistus on lainattu tasosta Hilbertin avaruudelle modifioituna Ernst Hairerin ja Gerhard Wannerin kirjasta Analysis by Its History (Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, Corrected third printing, Springer, 2000).
5 (7.1) nojalla on g(x) g(x 0 ) + Df(z 0)(x x 0 ) Df(z 0 )b 7.3. KOMPLEMENTOITUVAT ALIAVARUUDET 50 = Df(z 0)(x x 0 ) Df(z 0 )b Df(z )(x x 0 ) Df(z )b = (Df(z )b) Df(z 0 ) (Df(z 0 )b) Df(z ) (Df(z 0 )b) (Df(z )b) (x x 0 ). Kun x x 0, on z = x + g(x) b x 0 + g(x 0 ) b = z 0, joten myös z z 0. Koska (Df(z 0 )b) (Df(z )b) (ϱ/2) 2 ja (Df(z )b) Df(z 0 ) (Df(z 0 )b) Df(z ) (Df(z 0 )b) Df(z 0 ) (Df(z 0 )b) Df(z 0 ) = 0, kun x x 0, seuraa funktion g differentioituvuus edellisestä yhtälöstä. Huomautuksia 7.7. a) Kun edellistä todistusta tarkastelee huolellisesti ja otetaan huomioon lause 7.12, voidaan itse asiassa luopua oletuksesta, että H on Hilbertin avaruus; riittää, että H on normiavaruus ja Df(z 0 ) 0. Tässä tilanteessa asetetaan H 0 := ker Df(z 0 ) ja vektori b valitaan lauseen 7.12 mukaisesti, b H \ H 0. Tällöin H on topologinen suora summana, H = H 0 b. b) Euklidisen avaruuden tapauksessa käänteiskuvauslause voidaan todistaa ilman Banachin kiintopistelausetta; tällöin käytetään apuna kompaktiutta. 3 c) Implisiittifunktiolause pätee ilman avaruuden E täydellisyysvaatimusta, jos kuvauksen f maaliavaruus on äärellisulotteinen: Olkoot E on normiavaruus, U E avoin, f : U R m jatkuvasti differentioituva. Oletetaan, että pisteessä z 0 U on f(z 0 ) = 0 sekä Df(z 0 ): E R m on surjektio. Kohdassa a) yksi tärkeä ominaisuus on ytimen H 0 := ker f(z 0 ) komplementoituvuus, jolle nyt on vastine: Lauseen 7.13 nojalla on olemassa m-ulotteinen aliavaruus H 1 H siten, että H on topologinen suora summana, H = H 0 H 1. Ks. [15, Thm. VI.4.1]. Vrt. myös lauseeseen Komplementoituvat aliavaruudet [4, Ch. V, 1]), [3, V.4, V.8, V.9], [5, 2.1, 2.1B] Vektoriavaruuden E aliavarvuuksien E 1 ja E 2 summa E 1 + E 2 := {u 1 + u 2 u 1 E 1, u 2 E 2 }. Summa on suora, jos E 1 E 2 = {0}; tällöin merkitään E 1 E 2 := E 1 + E 2. Tärkeä Banachin avoimen kuvauksen lauseen seuraus on ([4, Ch. XV, Cor. 1.4]): Lause 7.8. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja A: E F jatkuva lineaarikuvaus. Jos A on bijektio, niin käänteiskuvaus A 1 : F E on jatkuva, t.s. A on isomorfismi. Seuraus 7.9. Olkoot E Banachin avaruus ja E 1, E 2 E suljettuja aliavaruuksia siten, että E = E 1 E 2. Tällöin kuvaus on isomorfismi. E 1 E 2 E, (x 1, x 2 ) x 1 + x 2, 3 Esimerkiksi lause 13.6 kirjassa Tom M. Apostol: Mathematical Analysis, toinen laitos, viides painos, Addison Wesley, 1981.
6 7.3. KOMPLEMENTOITUVAT ALIAVARUUDET 51 Todistus. Kuvaus on selvästi lineaarinen ja jatkuva koska x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 (x 1, x 2 ). Suora summa -oletuksen nojalla kuvaus on myös bijektio. Suljettuina aliavaruudet E 1, E 2 E ovat Banachin avaruuksia ja tällöin niiden tuloavaruus E 1 E 2 on Banachin avaruus. Olkoon normiavaruus E vektorialiavaruuksien E 1 ja E 2 suora summa. Jokainen x E voidaan tällöin esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa x = p 1 (x) + p 2 (x), missä p 1 (x) E 1 ja p 2 (x) E 2. Kuvaukset p 1 ja p 2 ovat lineaarikuvauksia (projektiot aliavaruuksille E 1 ja E 2 ). Nyt kuvaus E 1 E 2 E = E 1 E 2, (x 1, x 2 ) x 1 + x 2, on jatkuva lineaarinen bijektio. Tämän kuvauksen käänteiskuvaus on E = E 1 E 2 E 1 E 2, x (p 1 (x), p 2 (x)). Määritelmä Normiavaruus E on aliavaruuksien E 1 ja E 2 topologinen suora summa, jos projektiot p 1 ja p 2 ovat jatkuvia. Normiavaruuden E aliavaruus E on komplementoituva, 4 jos on olemassa aliavaruus E, siten, että E on aliavaruuksien E ja E topologinen suora summa. Tällöin sanotaan, että E aliavaruudelle E komplementaarinen aliavaruus. Huomaa, että yhtälön x = p 1 (x)+p 2 (x) nojalla määritelmässä riittää olettaa, että edes toinen projektioista on jatkuva (jos p 1 on jatkuva, niin myös p 2 : x x p 1 (x) on jatkuva). Huomaa myös, että komplementoituva aliavaruus on suljettu: E = ker p, kun p ja p ovat jakoon E = E E liittyvat projektiot. Tekijäavaruuksia tunteville: 5 Olkoon F normiavaruuden E suljettu aliavaruus. Tällöin tekijäavaruus E/F on normiavaruus. Jos F on komplementoituva, E = F G topologisesti, niin kuvaus π G : G E/F on isomorfismi (jatkuva lineaarinen bijektio, jonka käänteiskuvaus on jatkuva). Tekijäavaruutta E/F voidaan usein käyttää komplementaarisen aliavaruuden G korvikkeena, vaikkei F olisikaan komplementoituva. Seuraava tulos seuraa projektiolauseesta ([4, Ch. V, Cor. 1.8]): Lause Hilbertin avaruuden suljettu aliavaruus on komplementoituva. Itse asiassa pätee hieman yleisemmin: kun E on sisätuloavaruus ja F E on täydellinen aliavaruus, niin F on komplementoituva ([3, Ch. VI, thm. 3.1]). [3, Ch. V, Thm. 8.1]: 4 Englanninkielessä saatetaan käyttää ilmausta E on aliavaruuden E topological supplement, tai että aliavaruus E splits, tai että aliavaruus E on complemented. 5 Pikakurssi: u v : u v F. Ekvivalenssiluokka [u] = u + F = {u + v v F }. Kanooninen projektio π : E E/F, π(u) := [u]. Normi [u] := inf{ u + v v F } (on normi, kun F on suljettu). Tällöin π on jatkuva, avoin surjektio (avoin: kuvaa avoimet joukot avoimiksi).
7 7.4. INJEKTIOT JA SURJEKTIOT 52 Lause Jos f : E R, f 0, on normiavaruuden E jatkuva lineaarimuoto, niin aliavaruus F := ker f on komplementoituva, E = F b, missä b F. Todistus. Jokainen x E voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa x = y + ϱ b, missä y F ja ϱ R. Koska f(y) = 0, on ϱ = f(x)/f(b). Olkoon p: E b, p(x) := (f(x)/f(b)) b. Tällöin p on jatkuva lineaarikuvaus, joten E = F b on topologinen suora summa. [3, V.9.3], [4, Ch. XV, Cor. 1.6]: Lause Olkoon F normiavaruuden E suljettu aliavaruus. Jos codim F < (t.s. jos on olemassa äärellisulotteinen aliavaruus G E siten, että E = F G algebrallisesti; codim F := dim G), niin F on komplementoituva ja jokainen algebrallinen komplementti G on myös topologinen. Vastaavasti, jokainen äärellisulotteinen aliavaruus on komplementoituva Injektiot ja surjektiot Käänteiskuvauslauseesta saadaan myös seurauslauseita, jotka selvittävät, mitä tapahtuu, kun derivaatta Df(x 0 ): E F ei ole isomorfismi. Pelkkä injektiivisyys tai surjektiivisuus ei ääretönulotteisten avaruuksien tapauksessa riitä (äärellisulotteisessa kylläkin). [14, Ch. I, Cor. 5.5, 5.6], [5, Thm ] (oudot samaistukset); äärellisulotteinen [3, Ch. X, Thm. 3.1]: Lause 7.14 (Lokaali immersiolause I). Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F 1 F 2 C 1 -kuvaus. Oletetaan, että Df(x 0 ) on isomorfismi E F 1 {0}. Tällöin on olemassa pisteen x 0 ympäristö U 1 U, pisteen y 0 := f(x 0 ) ympäristö V F 1 F 2, pisteeen (0, 0) ympäristö V F 1 F 2, diffeomorfismi g : V V ja affiini isomorfismi j : F 1 E siten, että kuvaukselle g f j : F 1 on voimassa: (g f j)(y 1 ) = (y 1, 0). j E f F 1 F 2 g F1 F 2 Todistus. Voidaan olettaa, että x 0 = 0 ja y 0 = 0; muuten tarkastellaan funktiota x f(x + x 0 ) y 0. Olkoon f = (f 1, f 2 ). Oletuksen nojalla Df(0) = (Df 1 (0), Df 2 (0))) = (Df 1 (0), 0) ja Df 1 (0): E F 1 on isomorfismi. Asetetaan j := (Df 1 (0)) 1 : F 1 E ja U := j 1 (U) sekä h: U F 2 F 1 F 2, h(y 1, y 2 ) := f(j(y 1 )) + (0, y 2 ). Tällöin h(y 1, 0) = f(j(y 1 )), h(0, 0) = (0, 0) ja Dh(0, 0) = [ ] Df1 (x 0 ) j 0 = Df 2 (x 0 ) j I F2 [ ] IF I F2 Siis Dh(0, 0) isomorfismi F 1 F 2 F 1 F 2. Käänteiskuvauslauseen nojalla h on lokaali diffeomorfismi pisteen (0, 0) F 1 F 1 ympäristössä, h: V U 1 U 2. Olkoon g := h 1 : U 1 U 2 V. Koska h(y 1, 0) = f(j(y 1 )), on g(f(j(y 1 ))) = (y 1, 0), t.s. (g f j)(y 1 ) = (y 1, 0).
8 7.4. INJEKTIOT JA SURJEKTIOT 53 Jos derivaatta Df(x 0 ) on injektio E F ja kuva-avaruus F 1 := Df(x 0 )(E) on suljettu, niin tällöin Df(x 0 ): E F 1 on kahden Banachin avaruuden välinen jatkuva bijektio, joten sen käänteiskuvaus on jatkuva, t.s. Df(x 0 ): E F 1 on isomorfismi. Seuraus 7.15 (Lokaali immersiolause II). Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että derivaatta Df(x 0 ) on injektio ja kuva-avaruus F 1 := Df(x 0 )(E) on komplementoituva. Tällöin on olemassa pisteen x 0 ympäristö U 1 U, pisteen y 0 := f(x 0 ) ympäristö V F, pisteen 0 ympäristö V F, diffeomorfismi g : V V ja affiini isomorfismi j : F 1 E siten, että on inkluusiokuvaus. g f j : F 1 j U 1 f V g V [14, Ch. I, Cor. 5.7, 5-8], [5, Thm ] (oudot samaistukset): Lause 7.16 (Lokaali submersiolause I). Olkoot U E 1 E 2 avoin, (a 1, a 2 ) U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a 1, a 2 ) = 0 ja osittaisderivaatta D 2 f(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 2 F. Tällöin on olemassa pisteen (a 1, a 2 ) ympäristö U U, pisteen (a 1, 0) ympäristö V 1 V 2 E 1 E 2 ja lokaali diffeomorfismi h: V 1 V 2 U siten, että j f h: V 1 V 2 h U f F j E 2 on projektion (y 1, y 2 ) y 2 rajoittuma, missä j := (D 2 f(a 1, a 2 )) 1. Todistus. Asetetaan ϕ: U E 1 E 2, ϕ(x 1, x 2 ) := (x 1, j(f(x 1, x 2 ))). Tällöin derivaatalla Dϕ(a 1, a 2 ) on matriisi [ ] [ ] I Dϕ(a 1, a 2 ) = E1 0 I = E1 0. j D 1 f(a 1, a 2 ) j D 2 f(a 1, a 2 ) j D 1 f(a 1, a 2 ) I E2 Tästä seuraa, että Dϕ(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 1 E 2 E 1 E 2. Käänteiskuvauslauseen nojalla ϕ on diffeomorfismi pisteen (a 1, a 2 ) ympäristöstä U pisteen (a 1, 0) ympäristöön V 1 V 2. Olkoon h := ϕ 1. Jos ϕ(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), niin y 2 = j(f(x 1, x 2 )), joten j(f(h(y 1, y 2 ))) = j(f(x 1, x 2 )) = y 2. Seuraus 7.17 (Lokaali submersiolause II). Olkoot U E avoin, a U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a) = 0, derivaatta Df(a) on surjektio ja sen ydin E 1 := ker Df(a) on komplementoituva, E = E 1 E 2. Tällöin on olemassa pisteen a ympäristö U U, pisteen 0 ympäristö V E 1 E 2, lokaali diffeomorfismi h: V U ja isomorfismi j : F E 2 siten, että on projektion rajoittuma. j f h: V h U f F j E 2
9 7.5. MONISTOISTA Monistoista [4, Ch. I, 1 2], [14, Ch. II, 1 2], [5, ] Olkoot E, E ja Ẽ Banachin avaruuksia siten, että E E = Ẽ, sekä M Ẽ. Sanotaan, että M on Banachin avaruuden Ẽ alimonisto (tai E-alimonisto tai E- tyyppinen alimonisto), jos jokaiselle x M on olemassa ympäristo U Ẽ ja C1 - diffeomorfismi ψ : U V 1 V 2 E E siten, että ψ(u M) = V 1 {0}. Koska siirto on diffeomorfismi, voidaan yhtälailla vaatia, että ψ(u M) = V 1 {b}, missä b V 2. Kurssin [DL2, määr. 4.1] pinnan määritelmää lähempänä on seuraava parametriehto: Joukko M Ẽ on Banachin avaruuden Ẽ E-alimonisto, jos jokaiselle x M olemassa ympäristo U Ẽ, avoin joukko W E ja C1 -homeomorfismi ϕ: W U M siten, että derivaatta Dϕ(u) on injektio ja kuva Dϕ(u)(E) Ẽ on komplementoituva kaikille u W. Todetaan seuraavaksi, että alimonistolle asetetut määritelmät ovat keskenään yhtäpitävät. Alimonisto parametriehto: Olkoon ψ : U V 1 V 2 E E kuten määritelmässä. Tällöin Dψ(x): Ẽ E E on isomorfismi. Asetetaan ϕ: V 1 U M, ϕ(u) := ψ 1 (u, 0), u V 1. Tällöin ϕ on C 1 -homeomofismi (onhan ψ diffeomorfismi) ja derivaatta Dϕ(u) on injektio. Lisäksi kuvajoukko Dϕ(u)(E) Ẽ on komplementoituva kaikille u W. Nimittäin, isomorfismi (Dψ(x)) 1 : E E Ẽ kuvaa komplementaariset aliavaruudet E {0} ja {0} E komplementaarisiksi aliavaruuksiksi, ja Dϕ(u)(E) = (Dψ(x)) 1 (E {0}). Parametriehto alimonisto: Olkoon x 0 M, ϕ: W U M parametriehdon antama kuvaus ja u 0 W siten, että ϕ(u 0 ) = x 0. Olkoot E 1 := Dϕ(u 0 )(E) Ẽ ja E 2 aliavaruudelle E 1 komplementaarinen aliavaruus. Seurauksen 7.15 nojalla on olemassa pisteen u 0 ympäristö W 1 W, pisteen x 0 ympäristö V Ẽ, pisteen 0 ympäristö V Ẽ, diffeomorfismi g : V V ja affiini isomorfismi j : E 1 E siten, että i := g ϕ j : E 1 j W 1 ϕ V g V on inkluusiokuvaus. Koska ϕ 1 : U M W on jatkuva, on ϕ(w 1 ) = U ϕ(w ) jollekin avoimelle joukolle U Ẽ. Tällöin g(ϕ(w 1)) = g(u M) = (i j 1 )(W 1 ). Koska j 1 (W 1 ) E 1 on avoimen joukon kuva affiinissa isomorfismissa, on j 1 (W 1 ) avoin. Siis g(ϕ(w 1 )) on vaadittua muotoa. (Huomaa: i: E 1 E 1 E 2, x 1 x 1, joten tulomuotoisessa esityksessä sitä vastaa kuvaus E 1 E 1 E 2, x 1 (x 1, 0).) Lause 7.18 (Sileä tasa-arvopinta). Olkoot U E avoin, a U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a) = 0, kaikille x M := f 1 (0) derivaatta Df(x) on surjektio ja sen ydin ker Df(x) on komplementoituva. Tällöin M on alimonisto. Todistus. Olkoot x M, E 1 := ker Df(x) ja E = E 1 E 2. Seurauksen 7.17 nojalla on olemassa pisteen x ympäristö U U, pisteen 0 ympäristö V E 1 E 2,
10 7.6. LAGRANGEN KERTOIMET 55 lokaali diffeomorfismi h: V U ja isomorfismi j : F E 2 siten, että j f h: V h U f F j E 2 on projektion p 2 rajoittuma. Pisteelle x U ehto x M on yhtäpitävä ehdon j(f(x )) = 0 kanssa. Siis x = h(z ) M, jos ja vain jos p 2 (z ) = j(f(h(z ))) = 0. Kun z = z 1 + z 2, on siis x = h(z 1 + z 2 ) M, jos ja vain jos z 2 = p 2 (z 1 + z 2 ) = 0. Siis M U = h(v E 1 ). Määritelmän kaipaama kuvaus ψ = h 1 : U V. Sanotaan, että vektori v on alimoniston M Ẽ tangenttivektori pisteessä x M, jos on olemassa C 1 -polku γ : ( ε, ε) Ẽ siten, että γ(t) M kaikille t ( ε, ε), γ(0) = x ja γ (0) = v. Parien (x; v), missä v on alimoniston M tangenttivektori pisteessä x M, joukko T x (M) on alimoniston M tangenttiavaruus pistessä x. Jos ϕ: W U M on alimoniston M lokaali parametriesitys, niin alimoniston M tangenttiavaruus pistessä x = ϕ(u) M on T x (M) = {x} Dϕ(u)(E). Nimittäin, polun t ϕ(u+t w) tangenttivektori hetkellä t = 0 on Dϕ(u)w. Kääntäen, jos γ : ( ε, ε) M on C 1 -polku, jolle γ(0) = x, ja ψ : U V 1 V 2 E E määritelmän mukainen C 1 -diffeomorfismi, jolle ψ(u M) = W {0} ja ϕ(w) = ψ 1 (w, 0), niin (α, 0) := ψ γ : ( ε, ε) W {0} on C 1 -polku, jolle α(0) = u ja ϕ α = γ. Siis γ (0) = Dϕ(u)α (0) Dϕ(u)(E). Sileän tasa-arvopinnan tangenttiavaruus pisteessä x M = f 1 (0) on T x (M) = {x} ker Df(x). Edellä olleen sileän tasa-arvopintalauseen todistuksessa löydettiin lokaali diffeomorfismi h: V U, h(0) = x. Esityksestä j f h = p 2 nähdään, että lokaali parametriesityksen h V E1 : V E 1 U M derivaatan kuva-avaruus Dh(z 1 )(E 1 ) ker Df(h(z 1 )). Samoin esityksestä nähdään, että jos v ker Df(h(z 1 )), v = Dh(z 1 )u (muista: Dh(z 1 ) on isomorfismi) ja u = u 1 + u 2, niin u 2 0. Siis T x (M) = {x} Dh(0)(E 1 ) {x} ker Df(x) Lagrangen kertoimet Lause 7.19 (Lagrangen kerroin). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, U E avoin, f : U R ja g : U F C 1 -funktioita, a U, c := g(a) ja M := g 1 (c). Oletetaan, että Dg(a): E F on surjektio ja sen ydin E 1 := ker Dg(a) on komplementoituva, E = E 1 E 2, ja että rajoittumalla f M on lokaali ääriarvo pisteessä a. Tällöin a) Df(a)u = 0 kaikille u ker Dg(a); b) on olemassa λ F siten, että Df(a) = λ Dg(a). Todistus. Voidaan olettaa, että c = 0; muuten tarkastellaan kuvausta g c. Lokaalin submersiolauseen 7.17 nojalla on olemassa pisteen a ympäristö U U, pisteen 0 ympäristö V E 1 E 2, lokaali diffeomorfismi h: V U ja isomorfismi j : F E 2 siten, että j g h: V h U g F j E 2
11 7.6. LAGRANGEN KERTOIMET 56 on projektion p 2 : E = E 1 E 2 E 2 rajoittuma. Ehto x M on yhtäpitävä ehdon j(g(x)) = 0 kanssa. Koska j(g(h(z 1 + z 2 )) = z 2, on x = h(z) M, jos ja vain jos z 2 = 0, os siis M U = h(v E 1 ). Ehdosta j g h = p 2 V saadaan p 2 = D(j g h)(z) = j Dg(h(z)) Dh(z). Vektorille v = v 1 + v 2 E 1 E 2 on siis v 2 = 0, jos ja vain jos Dg(h(z))(Dh(z)v) = 0, t.s. ker Dg(h(z)) = Dh(z)(E 1 ). Olkoon ϕ := h V E1 : V E 1 M. Kun rajoittumalla f M on lokaali ääriarvo pisteessä a, on kuvauksella f ϕ: V E 1 R lokaali ääriarvo pisteessä b := h 1 (a). Siis D(f ϕ)(b) = 0, t.s. Df(ϕ(b)) Dϕ(b) = 0. Mutta koska Dϕ(b)(E 1 ) = Dh(b)(E 1 ), on Df(a)u = 0 kaikille u Dϕ(b)(E 1 ) = ker Dg(a). Olkoon A := Dg(a) E2. Tällöin A: E 2 F on jatkuva lineaarinen bijektio kahden Banachin avaruuden välillä, joten se on isomorfismi. Kun asetetaan λ := (Df(a)) A 1 : F R, on λ F. Lisäksi (λ Dg(a))(u 1 ) = λ(dg(a)u 1 ) = 0 = Df(a)u 1, kun u 1 E 1 = ker Dg(a), ja (λ Dg(a))(u 2 ) = Df(a)(A 1 (Dg(a)u 2 )) = Df(a)u 2, kun u 2 E 1. Siis (λ Dg(a))(u) = Df(a)u kaikille u E. Yleistetyssä käänteiskuvauslauseessa (= lokaalissa surjektiolauseessa) 6 ei tarvita lokaalin submersiolauseen oletusta, että derivaatan Df(x) ydin on komplementoituva. Tämän avulla myös Lagrangen kerroinlauseen ehtoja voidaan lieventää. Tähän poimittu versio on lainattu kirjasta [16, 9.2, Thm. 1; 9.3, Thm. 1]; vrt. [4, Ch. XV, 3, Thm. 3.5], [5, Supplement 2.5B]. Lause 7.20 (Yleistetty käänteiskuvauslause). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, U E avoin, h: U G jatkuvasti differentioituva ja x 0 U. Jos Dh(x 0 ): E G on surjektio, niin h on lokaalisti surjektio; tarkemmin: On olemassa vakio K > 0 ja pisteen y 0 := h(x 0 ) ympäristö B(y 0 ; ϱ) siten, että jokaiselle y B(y 0 ; ϱ) on olemassa x U siten, että h(x) = y ja x x 0 K y y 0. Erityisesti, jos Dh(x): E G on surjektio kaikille x U, niin h on avoin kuvaus. [5, HT 2.5H], [16, 9.3, Lemma 1, Thm. 1]: Lause 7.21 (Yleistetty Lagrangen kerroin). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, U E avoin, f : U R ja g : U F C 1 -funktioita, a U, c := g(a) ja M := g 1 (c). Oletetaan, että Dg(a): E F on surjektio, ja että rajoittumalla f M on lokaali ääriarvo pisteessä a. Tällöin a) Df(a)u = 0 kaikille u ker Dg(a); b) on olemassa λ F siten, että Df(a) = λ Dg(a). Todistus. Oletetaan, että piste a on rajoittuman f M on lokaali minimipiste. Olkoon h: U R F, h(x) := (f(x), g(x)). Jos jollekin u E olisi Dg(a)u = 0 ja Df(a)u 0, niin tällöin Dh(a) = (Df(a), Dg(a)): E R F olisi surjektio, koska Dg(a): E F on surjektio. Yleistetyn käänteiskuvauslauseen nojalla jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 ja x U siten, että h(x) = (f(a) δ, 0) (valitse y 0 := (f(a), 0), 6 Lawrence M. Graves, Some mapping theorems, Duke Math. J., Volume 17, Number 2 (1950),
12 *7.7. SUBIMMERSIOLAUSE 57 y := (f(a) δ, 0), 0 < δ < ϱ ja K δ < ε). Tällöin a ei voi olla rajoittuman f M on lokaali minimipiste. Väitteen jälkimmäinen osa seuraa seuraavasta ortogonaalisuuslauseesta ([4, Ch. XV, 2]): Jos A: E F on jatkuva lineaarikuvaus, jonka kuvajoukko Im(A) on suljettu, niin duaalikuvaukselle A : F E, A (λ) := λ A, on voimassa Im(A * ) = (ker A), missä (ker A) := {ϕ E ϕ(u) = 0 kaikille u ker A}. 7 Kun A := Dg(a), on kohdan (i) nojalla ϕ := Df(a) (ker A). Siis on olemassa λ F siten, että ϕ = A (λ) = λ A. *7.7. Subimmersiolause Kesken! Tulos on lainattau kirjasta [5, Thm ], mutta kirjoittaja ei ole erityisen tyytyväinen käytettyihin sekatuloavaruuksiin. Lokaali immersiolause ja submersiolause on toistettu tähän tarkoitukseen sopivin tuloavaruuksin. Lause *7.22 (Lokaali immersiolause). Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F 1 F 2 C 1 -kuvaus. Oletetaan, että Df(x 0 ) on isomorfismi E F 1 {0}. Tällöin on olemassa pisteen x 0 ympäristö U U, pisteen y 0 := f(x 0 ) ympäristö V 1 V 2 F 1 F 2, pisteen (x 0, 0) ympäristö W E F 2 ja diffeomorfismi g : V 1 V 2 W siten, että kuvaus g f : U f V1 V 2 g E F2 on inkluusiokuvauksen E E F 2, x (x, 0), rajoittuma. Todistus. Olkoon f = (f 1, f 2 ). Oletuksen nojalla Df(x 0 ) = (Df 1 (x 0 ), Df 2 (x 0 ))) = (Df 1 (x 0 ), 0) ja Df 1 (x 0 ): E F 1 on isomorfismi. Asetetaan h: U F 2 F 1 F 2, Tällöin h(x, 0) = f(x), h(x 0, 0) = y 0 ja h(x, y) := f(x) + (0, y). Dh(x 0, 0) = [ ] Df1 (x 0 ) 0. 0 I F2 Siis Dh(x 0, 0) isomorfismi E F 2 F 1 F 2. Käänteiskuvauslauseen nojalla h on lokaali diffeomorfismi pisteen (x 0, 0) E F 1 ympäristöstä W pisteen y 0 F 1 F 2 ympäristöön V 1 V 2. Olkoon g := h 1 : V 1 V 2 W. Koska h(x, 0) = f(x), on g(f(x)) = (x, 0), t.s. (g f)(x) = (x, 0). Asetetaan lopuksi U := f 1 (V 1 V 2 ). [5, Thm ]: 7 Väitetty yhtäsuuruus on itse asiassa yhtäpitävää sen kanssa, että kuvauksen A kuvajoukko on suljettu. Sen sijaan yhtäsuuruus ker A = Im(A) := {λ F λ(v) = 0 kaikille v Im(A)} on voimassa ilman rajoituksia; avaruuksien E ja F tarvitse olla täydellisiäkään. Samoin yhtäsuuruus Im(A * ) = ker A on voimassa ilman rajoituksia.
13 *7.7. SUBIMMERSIOLAUSE 58 Lause *7.23 (Lokaali submersiolause). Olkoot U E 1 E 2 avoin, (a 1, a 2 ) U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että osittaisderivaatta D 2 f(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 2 F. Olkoon b := f(a 1, a 2 ). Tällöin on olemassa pisteen (a 1, a 2 ) ympäristö U U, pisteen (a 1, b) ympäristö U 1 V E 1 F ja lokaali diffeomorfismi h: U 1 V U siten, että f h: U 1 V h U f F on projektion E 1 F F, (y 1, y 2 ) y 2, rajoittuma. Todistus. Asetetaan ϕ: U E 1 F, ϕ(x 1, x 2 ) := (x 1, f(x 1, x 2 )). Tällöin ϕ(a 1, a 2 ) = (a 1, b) ja derivaatalla Dϕ(a 1, a 2 ) on matriisi [ ] I Dϕ(a 1, a 2 ) = E1 0. D 1 f(a 1, a 2 ) D 2 f(a 1, a 2 ) Tästä seuraa, että Dϕ(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 1 E 2 E 1 F. Käänteiskuvauslauseen nojalla ϕ on diffeomorfismi pisteen (a 1, a 2 ) ympäristöstä U U pisteen (a 1, b) ympäristöön U 1 V. Olkoon h := ϕ 1 : U 1 V U. Jos ϕ(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), niin y 2 = f(x 1, x 2 ), joten f(h(y 1, y 2 )) = f(x 1, x 2 ) = y 2. Huomautus *7.24. Derivaatalla Dh(y 1, y 2 ) on matriisiesitys [ ] I Dh(ϕ(x)) = E1 0 (D 2 f(x)) 1 D 1 f(x) (D 2 f(x)) 1. Tästä seuraa, että Dh(ϕ(x)) kuvaa aliavaruuden {0} F E 1 F aliavaruudelle {0} E 2 E 1 E 2 isomorfisesti. [5, Thm ]: Lause *7.25 (Lokaali subimmersiolause). Olkoot U E = E 1 E 2 avoin, a = (a 1, a 2 ) U, f : U F = F 1 F 2 C 1 -kuvaus ja b = (b 1, b 2 ) := f(a). Oletetaan, että (i) kuvajoukko Df(a)(E) = F 1 {0}; (ii) ydin ker Df(a) = E 1 {0}; (iii) kuvajoukko G z := Df(z)(E) on komplementoituva kaikille z U; (iv) rajoittuma Df(z) {0} E2 : {0} E 2 Df(z)(E) on isomorfismi (t.s. osittaisderivaatta D 2 f(z) on isomorfismi E 2 Df(z)(E)) kaikille z U. Tällöin on olemassa pisteen a ympäristö U U, pisteen (a 1, b 1 ) ympäristö U 1 V E 1 F 1, pisteen b ympäristö V F, pisteen (b 1, 0) ympäristö V F ja lokaalit diffeomorfismit h: U 1 V U ja g : V V siten, että kuvaukselle on (g f h)(x, y) = (y, 0). g f h: U 1 V h U f V g V, E 1 F 1 E 1 E 2 F 1 F 2 F 1 F 2, Lauseen äärellisulotteinen versio tunnettaan astelauseena; [3, Thm. X.3.1]. Ehtoa (iv) vastaa äärellisulotteisessa tapauksessa ehto, että derivaatan Df(x) asteen tulee olla vakio. Lineaarikuvauksen A: R n R m aste on kuva-avaruuden A(R n ) dimensio. Yhtäpitävästi, lineaarikuvauksen A aste on k {0,..., min{n, m}}, jos lineaarikuvauksen A jokin (k k)-alideterminantti on nollasta eroava ja kaikki useampiriviset
14 *7.7. SUBIMMERSIOLAUSE 59 alideterminantit häviävät. Huomaa, että jos derivaatan Df(x) aste on k, niin pisteen x ympäristössä aste on vähintään k (alideterminantin jatkuvuus). Kompleksianalyyttisen funktion f : U C (U C avoin) Jacobin determinantti J f (z) = f (z) 2, joten derivaatan f (z) aste on nolla tai kaksi. Esimerkiksi funktiolle f : z z 2 derivaatan f (z) aste origossa on nolla, mutta muualla kaksi. Todistus. Tarkastellaan kuvausta f 1 : U F 1. Koska kuvajoukko Df(a)(E) = F 1 {0}, on Df 2 (a) = 0, jolloin D 1 f 2 (a) = 0 ja D 2 f 2 (a) = 0. Koska ker Df(a) = E 1 {0}, on D 1 f(a) = 0, jolloin D 1 f 1 (a) = 0 ja D 1 f 2 (a) = 0. Koska D 2 f(a) on isomorfismi E 2 Df(a)(E), on tällöin D 2 f 1 (a) isomorfismi E 2 Df 1 (a)(e), joten lauseen *7.23 nojalla olemassa lokaali diffeomorfismi h: U 1 V U siten, että f 1 (h(x, y)) = y. Todistuksen loppuosassa näytetään, miten lausetta *7.22 voidaan soveltaa kuvaukseen f h. Olkoon f(x, y) := f(h(x, y)) = (y, η(x, y)), missä η : U 1 V F 2, η(x, y) := f 2 (h(x, y)). Derivaatta Dh(x, y) on isomorfismi E 1 F 1 E 1 E 2 = E ja huomautuksen *7.24 nojalla Dh(x, y) kuvaa aliavaruuden {0} F 1 E 1 F 1 isomorfisesti aliavaruudelle {0} E 2 E 1 E 1. Koska D f(x, y) = Df(h(x, y)) Dh(x, y) ja Dh(x, y) on isomorfismi, on kuvajoukko D f(x, y)(e 1 F 1 ) = Df(h(x, y))(e) = G h(x,y). Oletuksen (iv) ja huomautuksen *7.24 nojalla rajoittuma D f(x, y) {0} F1 : {0} F 1 G h(x,y) on isomorfismi. Olkoon P 1 : F 1 F 2 {0} F 1 F 2 F 1 projektio, P 1 (v 1, v 2 ) := (0, v 1 ). 8 Koska D f(x, y)(u, v) = (v, Dη(x, y)(u, v)), on erityisesti D f(x, y)(0, v) = (v, D 2 η(x, y)v) ja P 1 (D f(x, y)(0, v)) = (0, v), t.s. P 1 D f(x, y) {0} F1 = I {0} F1. Siis P 1 on rajoittuman D f(x, y) {0} F1 : {0} F 1 G h(x,y) käänteiskuvaus. Tällöin on siis myös D f(x, y) P 1 = I Gh(x,y), joten kaikille D f(x, y)(u, v) D f(x, y)(e 1 F 1 ) = Df(h(x, y))(e) = G h(x,y) on (v, Dη(x, y)(u, v)) = D f(x, y)(u, v) = (D f(x, y) P 1 )(D f(x, y)(u, v)) = D f(x, y)(p 1 (v, Dη(x, y)(u, v))) = D f(x, y)(0, v) = (v, D 2 η(x, y)v). Siis Dη(x, y)(u, v) = D 2 η(x, y)v kaikille (u, v) E 1 F 1, joten D 1 η(x, y)u = 0 kaikille u E 1, t.s. D 1 η(x, y) = 0. Tämä tarkoittaa, että η(x, y) ei riipu muuttujasta x. Olkoon ˆf(y) := f(x, y), ˆf : F 1 F 1 F 2. Tällöin D ˆf(y): F 1 D f(x, y)({0} F 1 ) on isomorfismi ja D ˆf(y)(F 1 ) = D f(x, y)({0} F 1 ) = Df(a)(E). Väite seuraa nyt lauseesta * Tarkkaan ottaen P 1 on projektiosta ja isomorfismista F 1 F 2 F 2 F 1, (v 1, v 2 ) (v 2, v 1 ), yhdistetty kuvaus. Tämä isomorfismi on tarpeen, jotta käänteiskuvaukselta vaadittu ehto näyttäisi oikealta.
LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2
LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMonistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W
LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotVektorianalyysi II MAT21020
Vektorianalyysi II MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ke: :5-:, to: :5-4: Helsingin yliopisto 4. huhtikuuta 8 Sisältö RHS:n luennoista 3 5 Kertausta vektorifunktioista 4 6 Vektorifunktioiden
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotEsimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi
. Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018
MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 Ville Tengvall Matematiikan ja tilastotieteen osasto Helsingin yliopisto MAT21020 Vektorianalyysi II Syksy 2018 1 Kurssin perustiedot: Opettajat: Ville Tengvall
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)
Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotVille Suomala VEKTORIANALYYSIN JATKOKURSSI
Ville Suomala VEKTORANALYYSN JATKOKURSS Luentotiivistelmä kevät 2017 R reaalilukujen joukko R n Euklidinen avaruus R n = {(x 1,..., x n ) : x i R} x y pisteiden x, y R n välinen sisätulo, x y = n i=1 x
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotMathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot