Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö:

Transkriptio

1 A1 Seppä karkaisee teräsesineen upottamalla sen lämpöeristettyyn astiaan, jossa on 118 g jäätä ja 352 g vettä termisessä tasapainossa Teräsesineen massa on 312 g ja sen lämpötila ennen upotusta on 808 C Laske teräksen lämpötila koko systeemin saavutettua uuden termisen tasapainon Astian lämpenemistä ei tarvitse huomioida m j m v m t T t (g) (g) (g) ( C) A B C D Jään sulattamiseen vaadittava lämpö: Q s = L j m j = 333 kj 0,118 kg = 39,3 kj kg Teräs voi enimmillään luovuttaa sulavalle jäälle lämmön: T l trk+1 T l trk+1 (K) (K) ( C) ( C) A: ,4 36,3 36,29 B: ,1 19,9 19,92 C: ,3 28,2 28,18 D: ,5 15,4 15,37 Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö: Q s Q t,max (kj) (kj) A 39,3 116 B 54,6 103 C 47,3 110 D 61,3 101 Q t,max = c t m t T t,max = 0,460 kj kg C 0,312 kg (0 808 C) = 116 kj Koska Q s < Q t,max niin kaikki jää sulaa ja vesi lämpenee Teräksen luovuttama lämpö menee jään sulattamiseen ja veden lämmittämiseen tai Q luovutettu = Q vastaanotettu, eli c t m t (T t T l ) = L j m j + c v (m j + m v )(T l T v ), missä T v on vesi-jää seoksen alkulämpötila, 0 C tai 273,15 K, ja T l on teräsvesi-systeemin loppulämpötila kun terminen tasapaino on saavutettu Teräsvesi seoksen loppulämpötilaksi saadaan: T l = c tm t T t + c v (m j + m v )T v L j m j c v (m j + m v ) + c t m t = 309 K

2 A2 Oheisessa kytkentäkaaviossa virtamittarin ja jännitemittarin sisäiset resistanssit ovat R A = 1,70 Ω ja R V = 1,00 kω Jännitelähteellä E ei ole sisäistä resistanssia a) Kytkennässä virtamittarin lukema on 0,260 A ja jännitemittarin lukema on 12,0 V Kuinka suuri on vastuksen R resistanssi? (2p) b) Piirrä kytkentä kun kytkentää muutetaan siten, että jännitemittari mittaa vastuksessa R tapahtuvaa jännitehäviötä ja virtamittari mittaa jännitelähteen E läpi kulkevaa sähkövirtaa Tällöin virtamittarin lukema on 0,271 A Kuinka suuri jännitemittarin lukema on? (4p) R A R V I a U a I b (Ω) (kω) (A) (V) (A) A 1,70 1,00 0,260 12,0 0,271 B 2,26 1,00 0,310 12,0 0,321 C 3,00 1,00 0,450 12,0 0,459 D 2,60 1,00 0,350 12,0 0,360 R E V A Tehtävän 2a kytkentäkaavio a) (max 2p) Virtamittari ja vastus R on kytketty sarjaan eli niiden kokonaisresistanssi on R kok,a = R + R A Vastuksen resistanssi R voidaan ratkaista Ohmin laista kun tunnetaan sarjaan kytkettyjen vastusten läpi kulkeva virta I a ja vastusten yli vaikuttava jännite U a : U a = R kok,a I a = (R + R A )I a = b) (max 4p) R on kytketty rinnan jännitemittarin kanssa Kokonaisresistanssi tälle kytkennälle on 1 = 1 R kok,b R + 1 = R R kok,b = RR V V R + R V R E V A Tehtävän 2b kytkentäkaavio Virtamittarin mittaama virta I b on sama kuin R kok,b :n läpi kulkeva virta Ohmin laista saadaan U b = R kok,b I b = RR V I R + R b V Yllä olevaan lausekkeeseen voidaan sijoittaa a-kohdasta vastuksen R resistanssi ( ) Ua I a R A R V U b = ( ) I b = 11,5 V Ua I a R A + R V U b trk+1 (V) (V) A: 11,5 11,53 B: 11,3 11,29 C: 10,6 10,61 D: 11,1 11,06 Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa Oikeat vastauksest: R = U a I a R A = 44,5 Ω R trk+1 (Ω) (Ω) A: 44,5 44,45 B: 36,4 36,45 C: 23,7 23,67 D: 31,7 31,69

3 A3 Oheisessa kuvassa on vauhtipyörä A, joka pyörii kitkatta kiinteän akselin S ympäri kulmanopeudella 12,3 rad/s Vauhtipyörään A liitetään nopeasti vauhtipyörä B, joka ei aluksi pyöri Liittämisen jälkeen vauhtipyörät pyörivät kitkatta yhteisellä kulmanopeudella Vauhtipyörän A hitausmomentti on 1,07 kgm 2 ja vauhtipyörän B hitausmomentti 0,503 kgm 2 akselin S suhteen ilmoitettuna a) Kuinka suuri on vauhtipyörien yhteinen kulmanopeus liittämisen jälkeen? b) Kuinka suuri on systeemin mekaanisen energian muutos? ω A J A J B (rad/s) (kgm 2 ) (kgm 2 ) A 12,3 1,07 0,503 B 13,0 1,47 0,466 C 12,9 1,23 0,472 D 11,6 1,03 0,568 S A B Tehtävän 3 kuva a) (max 3p) Vauhtipyörien yhteenliittämisessä pyörimismäärä säilyy, eli pyörimismäärä ennen yhteenliittämistä on yhtä suuri kuin yhteenliitettyjen vauhtipyörien pyörimismäärä: J A ω A = J AB ω AB Yhteenliitettyjen vauhtipyörien muodostaman systeemin hitausmomentti on yhtä suuri kuin vauhtipyörien A ja B yhteenlaskettu hitausmomentti, eli b) (max 3p) Alussa vain vauhtipyörä A:lla on pyörimisenergia, E A = 1 2 J Aω 2 A Systeemin pyörimisenergia yhteenliittämisen jälkeen on E AB = 1 2 (J A + J B )ωab 2 = 1 ( ) 2 (J JA ω 2 A + J B ) A = 1 JA 2 ω2 A J A + J B 2 J A + J B Systeemin mekaanisen energian muutos on siis E = E AB E A = 1 2 JA 2 ω2 A 1 J A + J B 2 J AωA 2 = 1 ( ) 2 J AωA 2 JA 1 = 25,9 J J A + J B E trk+1 E A E AB (J) (J) (J) (J) A: -25,9-25,88 80,94 55,06 B: -29,9-29,90 124,2 94,32 C: -28,4-28,38 102,3 73,96 D: -24,6-24,63 69,30 44,67 Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa J AB = J A + J B Nyt voidaan ratkaista systeemin kulmanopeus yhteenliittämisen jälkeen: ω AB = J Aω A J AB = J Aω A J A + J B = 8,37 rad/s ω AB trk+1 (rad/s) (rad/s) A: 8,37 8,367 B: 9,87 9,871 C: 9,32 9,323 D: 7,48 7,477

4 A4 214 Pb-näytteen radioaktiivisuutta on mitattu 10 minuutin välein oheiseen taulukkoon Näytteen aktiivisuus A on suoraan verrannollinen radioaktiivisten ydinten lukumäärään, A = λn, missä radioaktiivisten ytimien lukumäärä N noudattaa hajoamislakia N = N 0 e λt Aika t (min) 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Aktiivisuus A (Bq) a) Määritä graafisesti 214 Pb-isotoopin puoliintumisaika b) Kuinka monta lyijy-ydintä koko 50 minuutin mittauksen aikana on hajonnut? a) (max 3p) ln(a/a 0 ) ln(a/a 0 ) t 30 Aika (min) Kuvaaja, Tapa Aktiivisuus (Bq) Aika (min) Kuvaaja, Tapa Tapa 2: Piirretään kuvaaja A(t) ja merkitään kuvaajaan kohta jossa aktiivisuus on puolittunut (A=605 Bq) Kohtaa vastaava aika on näytteen puoliintumisaika T 1/2 = 27 min b) (max 3p) Aktiivisten ydinten ja aktiivisuuden välinen yhteys on A = λn Hajoamisvakio λ saadaan ratkaistua puoliintumisajasta: Hajonneiden ydinten lukumäärä on N = N(0) N(50) = trk+1: 2, kpl λ = ln 2 T 1/2 = 0, s 1 A(0) A(50) λ Tehtävän tarkkuus on kaksi numeroa = [A(0) A(50)]T 1/2 ln 2 = 2, kpl Tapa 1: Näytteen aktiivisuudelle pätee A = A 0 e λt, missä A 0 = N 0 /λ on näytteen aktiivisuus ajanhetkellä t = 0 min ja λ on 214 P-ytimen hajoamisvakio Jakamalla yllä oleva yhtälö A 0 :lla ja ottamalla luonnollinen logaritmi puolittain saadaan ln(a/a 0 ) = λt Yllä oleva yhtälö vastaa suoraa jonka kulmakerroin on λ Piirretään ln(a/a 0 ):n kuvaaja ajan funktiona ja määritetään suoran kulmakerroin graafisesti: λ = ln(a/a 0) t = 0, s 1 Puoliintumisaika ratkaistaan hajoamisvakiosta: trk+1: 26,8 min T 1/2 = ln 2 λ = 27 min

5 A5 Kesälomalla oleva teekkari si ee kylmää juomaa laiturinnokassa aurinkoisena päivänä Hän on vähän huolimaton lisätessään jäitä juomaansa ja pudottaa jääpalan järveen Kauhuissaan hän muistaa entropia-luennon kevään Termodynamiikka-kurssilta ja luulee, että hän on nyt järkyttänyt universumin tasapainoa ja kokonaisentropia termodynamiikan toisen pääsäännön vastaisesti universumissa pienenee Auta hätääntynyttä teekkaria Määritä jääpalan entropian muutos kun jää a) lämpenee, (1p) b) sulaa vedeksi, (1p) c) sulamisvesi lämpenee (1p) d) Laske järviveden entropian muutos ja osoita, että universumin entropian muutos on positiivinen (3p) Jääpalan massa ja alkulämpötila ovat 12,0 g ja -10,8 C Järviveden lämpötila on 17,0 C ja sen lämpötila ei muutu m j T i T f (g) ( C) ( C) A 12,0 10,8 17,0 B 21,0 10,0 17,0 C 18,0 10,0 17,0 D 15,0 10,0 16,6 a) (max 1p) Jääpalan lämmetessä sen lämpötila muuttuu lämpötilasta T i = 10,0 C = 263,2 K lämpötilaan = 0 C = 273,2 K Jääpalan entropian muutos on kaavan (6) mukaan S a = c j m j ln T i = 1,02 J/K b) (max 1p) Jääpalan sulaessa sen entropian muutos on kaavan (3) mukaan S b = Q b = L jm j = 14,6 J/K c) (max 1p) Sulamisveden lämmetessä veden entropian muutos on kaavan (6) mukaan S c = c v m j ln T f = 3,04 J/K, missä T f = 17,0 C = 290,2 K d) (max 3p) Järvivesi luovuttaa jääpalalle lämmön ( ) Q d = c j m j ( T i ) + L j m j + c v m j (T f ) Entropian muutos järvivedelle saadaan kaavan (3) avulla: S d = Q d = c jm j ( T i ) + L j m j + c v m j (T f ) = 17,7 J/K T f T f Jääpala-järvivesi -systeemin entropian muutos on siis S kok = S a + S b + S c + S d = 1,03 J/K Tämä on samalla universumin entropian muutos, sillä muita lämpöjä ei prosesseissa vaihdu S a trk+1 S b trk+1 S c trk+1 S d trk+1 S kok trk+1 (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) (J/K) A: 1,02 1,017 14,6 14,63 3,04 3,036-17,7-17,66 1,03 1,026 B: 1,64 1,645 25,6 25,60 5,31 5,313-30,8-30,78 1,78 1,782 C: 1,41 1,410 21,9 21,94 4,55 4,554-26,4-26,38 1,53 1,527 D: 1,17 1,175 18,3 18,29 3,71 3,708-21,9-21,93 1,24 1,243 Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa

6 A6 Oheisessa pv-tason kuvaajassa on esitetty syklinen prosessi ideaalikaasulle Prosessi koostuu kolmesta osaprosessista Prosessi a b on isokoorinen, prosessi b c isoterminen ja prosessi c a isobaarinen Ideaalikaasun muodostama systeemi on suljettu a) Määritä entropian muutoksen merkki (+/-) jokaiselle osaprosessille Perustele b) Hahmottele kaasun prosessin pv-tason kuvaajaa vastaava kuvaaja entropialämpötilatasossa, eli ST-tasossa Tehtävän 6 kuvaaja a) (max 3p) Prosessi a b: Kaavan (7) mukaan entropian muutos on isokoorisessa prosessissa S a b = C V ln T b Kyseessä on ideaalikaasu, joten tilanyhtälön mukaan pv = nrt Tilavuuden pysyessä muuttumattomana ja paineen kasvaessa lämpötila nousee, eli T b > Näin ollen S a b > 0 Vastaus: + b) (max 3p) Kuvaajassa arvostellaan: a b: S kasvaa, T kasvaa, b c: S kasvaa, T vakio, c a: S pienenee, T pienenee Syklinen prosessi, prosessin suunta a:n, b:n ja c:n paikat toistensa suhteen kuvaajassa oikein S T ST-kuvaajan hahmotelma, akselit eivät ole lineaarisia Prosessi b c: Isotermisessä prosessissa ideaalikaasulle, kaasun sisäenergia ei muutu Termodynamiikan ensimmäisestä pääsäännöstä seuraa silloin että Q b c = W b c Koska kaasu laajenee kaasun ympäristöön tekemä työ on positiivinen ja kaasu näin ollen myös vastaanottaa lämpöä ympäristöstä (Q b c > 0) Kaavasta (3) seuraa silloin että S b c > 0 Vastaus: + Prosessi c a: Kaavan (6) mukaan entropian muutos on S c a = C p ln T c Paineen pysyessä muuttumattomana ja tilavuuden pienentyessä ideaalikaasun tilanyhtälöstä seuraa että lämpötila laskee, eli < T c (++) Näin ollen S a b < 0 Vastaus: -