T STATIIKKA 2 (3 OP.) OAMK

Transkriptio

1 T STATIIKKA 2 (3 OP.) OAMK Raimo Hannila

2 Tuntisuunnitelma (Luonnos). SL-2011 (15 vk?)., syysloma vk 43. Kurssin laajuus ks. opinto-opas. Ohjattu työskentely (Teoria +Harjoitus)= 39 h. Itsenäinen työskentely (Oma opiskelu) = 39 h. Osaamisen osoittaminen = 3 h Yhteensä =81 h. Powerpoint-esityksiä täydennetään tunneilla teorialla, esimerkein, harjoitustehtävin ja kuvin. 2

3 KURSSIN SUORITTAMINEN Katso sisällön yksityiskohdat opinto-opaasta! skelu_oamkissa/opinto-opas/ Oppitunnit (teoriaa ja harjoituksia) Henkilökohtaiset harjoitustehtävät, jotka on tehtävä mennessä. Arvosanan määräytyminen: Tentti, numeroarvostelu

4 KURSSIKIRJALLISUUTTA Salmi, Tapio Teknillisen mekaniikan perusteet. Tampere. Pressus oy. Salmi, Tapio Statiikka. Tampere. Pressus oy. Hibbeler, R.C Structural Analysis. Singapore. Pearson Education. 4

5 Tapio Salmi STATIIKKA 3. painos, sivua. ISBN Hinta 36,00 e, sidottu Kirja on tarkoitettu teknillisten yliopistojen ja ammattikorkeakoulujen mekaniikan peruskurssien oppimateriaaliksi. Tapio Salmi TEKNILLISEN MEKANIIKAN PERUSTEET 2. painos, sivua. ISBN Hinta 37,00 e, sidottu Kirja on tarkoitettu teknillisten yliopistojen ja ammattikorkeakoulujen mekaniikan peruskurssien oppimateriaaliksi. Kirja sisältää statiikan, lujuusopin ja dynamiikan keskeiset perusteet integroituna yhteen kirjaan. 5

6 STATIIKKA 2, PÄÄASIAT Statiikka 1 kertausta. Isostaattiset (staattisesti määrätyt) rakenteet. N, Q, M t, M v rasituspinnat muuttujan x funktiona Nivelpalkit Kuormitusyhdistelmien rasituspinnat (min/max) Ristikot (leikkausmenetelmä, Cremonan menetelmä) Kehärakenteet ja kaaret 6

7 7 KERTAUSTA Kertausta Matematiikkaa Statiikkaa

8 VEKTORI- JA MATRIISILASKENNAN PERUSTEITA Kahden tasovektorin summa kun F + F 1 2 ( F ) 1xi F1yj F2xi F2yj = ( F ) 1x F2x i F1y F2y = F = F i+ F j 1 1x 1y F = F i+ F j 2 2x 2y j, 8

9 Vektori- ja matriisilaskennan perusteita Kahden vektorin summa 3-ulott. xyz,, -avaruudessa kun F + F 1 2 ( F ) 1xi F1yj F1zk F2xi F2yj F2zk = ( F F ) ( F F ) ( F F ) = + i+ + j+ + k, 1x 2x 1y 2y 1z 2z F = F i+ F j+ F k 1 1x 1y 1z F = F i+ F j+ F k 2 2x 2y 2z 9

10 Vektori- ja matriisilaskennan perusteita Kahden vektorin pistetulo ( suorakulmaisessa koordinaatistossa) ( F ) x F y F z F x F y F z F F = i+ j+ k i+ j+ k = F F + F F + F F = 1x 2x 1y 2y 1z 2z FF 1 2 cosα = 1x + 1y + 1z F1 F F F F on vektorin pituus = 2x + 2y + 2z F2 F F F F 1 2 on vektorin pituus α on vektorien F ja F välinen kulma. 10

11 Vektori- ja matriisilaskennan perusteita { } { } Kahden sarakematriisin vektorin summa f1 g1 f1+ g1 f + g = f + g = f + g f 3 g 3 f3 + g 3 Kahden rivimatriisin vektorin summa f + g = f f f + g g g = f + g f + g f + g

12 Vektori- ja matriisilaskennan perusteita Kahden matriisin summa a11 a12 a1 n b11 b12 b1 n a21 a22 a 2n b21 b22 b 2n A+ B= [ A] + [ B] = + a a a b b b a + b a + b a + b a + b m1 m2 mn m1 m2 mn = a mn + b mn Matriisien A ja B dimensioiden on oltava yhtäsuuret ( m n ) molemmissa ja yhtäsuuret. 12

13 Vektori- ja matriisilaskennan perusteita Kahden matriisin tulo a11 a12 a1 n b11 b12 b1 m a21 a22 a 2n b21 b22 b 2m AB = [ A][ B] = a a a b b b m1 m2 mn n1 n2 nm ab ab ab 1n n1 ab ab ab 1n n2 ab ab ab 2n n1 = a b + a b Huomaa, että matriisissa A pitää olla nsaraketta ja matriisissa B nriviä! Muutoin matriisitulo ei ole määritelty. [ ] [ ] n ja movat positiivisia kokonaislukuja 1, 2, 3,.... m1 1m m2 2m + a b mn nm 13

14 Vektori- ja matriisilaskennan perusteita Matriisin transpoosi Sarakematriisin vektorin transpoosi f1 T { f} = f 2 { f} = f1 f2 f3 f 3 Matriisin transpoosi a a a a a a a a a n a a a T A= [ A] = A = [ A] = a a a a a a n m T m2 m1 m2 mn 1n 2n mn T T T T AB = BAja A = A T Transponoinnissa matriisin rivit muutetaan matriisin sarakkeiksi ( tai vastaavasti sarakkeet muutetaan riveiksi. ) A A 14

15 Vektori- ja matriisilaskennan perusteita 1 2 1x 1y 1z 1x 1y 1z Kahden vektorin vektoritulo suorakulmaisessa koordinaatistossa F i j k i j k F = det F F F = F F F F F F F F F 2x 2y 2z 2x 2y 2z F1y F1z F1x F F 1z 1x F1y = i j+ k F F F F F F 2y 2z 2x 2z 2x 2y jossa matriisin determinantti F F F F det jne... 1y 1z 1y 1z F1yF2z F2yF1z F2y F = = 2z F2y F2z ( vektori) ( luku) 15

16 PISTETULON JA RISTITULON GEOMETRINEN TULKINTA 16

17 Vektori ja matriisilaskennan perusteita [ K ] 1 [ K]{} x { f} 1 {} x [ K] { f} Yhtälöryhmän ratkaiseminen tässä yhtälöpari ax + by = e a b x e = cx + dy = f c d y f = = Jos yhtälöryhmässä on vain 2 tuntematonta x ja y yhtälöpari, on käänteismatriisi ja 1 d b = det[ K ] c a [ K][ K] = = [ I] ( yksikkömatriisi)

18 STATIIKKAA, KAPPALEEN TASAPAINO Kappale tasapainotilassa, kun se on voimatasapainossa ja momenttitasapinossa. Voimatasapaino: = n = 0 F F F F F F1 F2 Fn 0 jossa esim. tai = = F = F i+ F j 1 1x 1y F = F i+ F j+ F k 1 1x 1y 1z yksiulotteinen tapaus voimat yhdensuuntaisia 2- tai 3-ulotteinen tapaus, ( 2-ulotteinen tapaus) ( 3-ulotteinen tapaus) 18

19 Kappaleen tasapaino Momenttitasapaino: M = M + M + + M = 1 2 M = M1+ M2 + + Mn = 0 jossa esim n 0 Tasotapaus 3-ulotteinen tapaus, Tasotapaus M1 = rf 1 1 Voiman momentti tai pistemomentti M = r F ( 3-ulotteinen tapaus) 19