Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja 1 SISÄLTÖ 1. Poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntömuodonmuutos 2. Vääntöyhtälö 3. Tehonsiirto 4. Kiertymäkulma 5. Staattisesti määräämätön vääntösauva 6. Mielivaltaiset poikkileikkaukset 7. Ohutseinäiset putket 8. Jännityskeskittymät 2 1

2 5.1 YMPYRÄSYLINTERISAUVAN VÄÄNTÖMUODONMUUTOS Vääntömomentti pyrkii kiertämään sauvaa sen pituusakselin ympäri Pienillä kiertymillä on todettu sekä sauvan pituuden että sen säteen pysyvän muuttumattomina YMPYRÄSYLINTERISAUVAN VÄÄNTÖMUODONMUUTOS Määritelmän mukaan liukuma Kun x dx ja φ= dφ BD = ρ dφ = dx γ γ = ρ dφ dx Koska dφ / dx = γ /ρ = γ max /c γ = (π/2) lim θ C pitkin CA B Apitkin BA Yhtälö 5-2 γ = ρ c ( ) γ max 4 2

3 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Umpinaiselle akselille leikkausjännitys muuttuu lineaarisesti pintakeskiön nolla-arvosta ulkopinnan maksimijännitykseen. Käyttäen Hooken lakia ja yhtälöä 5-2, saadaan τ = ρ c ( ) τ max... T = τ max c A ρ 2 da Jännitys muuttuu lineaarisesti säteen suunnassa VÄÄNTÖYHTÄLÖ Puusauvan murtuminen: 6 3

4 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Yhtälössä oleva integraali on ns. polaarinen jäyhyys J, jolloin voidaan kirjoittaa τ max = Tc J τ max = suurin leikkausjännitys ulkopinnalla T = resultoiva sisäinen vääntömomentti leikkauksessa J = poikkipinnan polaarinen jäyhyys (vääntöjäyhyys) c = poikkipinnan säde VÄÄNTÖYHTÄLÖ Leikkausjännitys etäisyydellä ρ on τ = Tρ J Edellä olevat kaksi yhtälöä ovat ns. vääntöyhtälöitä Niitä voi käyttää vain umpinaiselle ympyräpoikkileikkauksiselle sauvalle, jonka materiaali on homogeenista ja käyttäytyy lineaarielastisesti (kimmoisesti) 8 4

5 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Ympyräsylinterisauva Ympyräsylinterisauvalle polaarinen jäyhyys J voidaan määrittää differentiaalirenkaalla, jonka paksuus on dρ ja pituus 2πρ. Renkaan pinta-ala on da = 2πρ dρ, jolloin π J = c 2 4 π J = d 32 4 J on poikkileikkauksen geometrinen suure ja se on aina positiivinen. Yleisimmät käytetyt yksiköt ovat mm 4 ja m 4. tai VÄÄNTÖYHTÄLÖ Pyöreä putki π J = (c o4 c i4 ) 2 tai π J = (D 4 d 4 ) 32 Huomaa leikkausjännityksen parittaisuus Jännitys muuttuu lineaarisesti paksuussuunnassa 10 5

6 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Suurin leikkausjännitys On löydettävä piste, jossa suhde Tc/J on suurimmillaan Piirrä vääntömomenttijakauma (sisäinen leikkausjännitys τ pituusakselin x funktiona) Merkkisääntö: T on positiivinen, oikean käden säännöllä, jos sen suunta on poispäin akselista Kun sisäinen vääntörasitus on selvitetty koko akselin osalta, voidaan suurin suhde Tc/J identifioida VÄÄNTÖYHTÄLÖ ANALYYSIN VAIHEET Sisäinen rasitus Akseli leikataan kohdasta, jossa leikkausjännitys halutaan määrittää Sovella VKK:aa ja statiikan tasapainoyhtälöitä vääntörasituksen määrittämiseksi Poikkileikkaussuure Laske polaarinen jäyhyysmomentti Sylinterille J = πc 4 /2 tai J = πd 4 /32 Putkelle J = π(c 4 o c i2 )/2 tai J = π(d 4 - d 4 )/

7 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ ANALYYSIN VAIHEET Leikkausjännitys Määritä säde ρ pintakeskiöstä. Tyypillisesti se on akselin säde, jolloin saadaan suurin jännitys Sovella vääntöyhtälöä τ = Tρ /J tai τ max = Tc/J Leikkausjännitys vaikuttaa aina kohtisuoraan sädettä vastaan 13 ESIMERKKI 5.3 Kuvan akseli, jonka halkaisija on 150 mm, kuormitetaan kolmella vääntömomentilla. Akselin painoa ei tarvitse ottaa huomioon. Määritä leikkausjännitys pisteissä A ja B, jotka ovat etäisyydellä 15 mm ja 75 mm keskilinjasta leikkauksessa a-a. 14 7

8 ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vääntömomentti on sisäisesti tasapainossa, joten laakereiden tukireaktiot = 0. Sisäinen vääntömomentti leikkauksessa a-a saadaan määritettyä ottamalla leikkauksen vasemmalta puolelta vapaakappalekuva. 15 ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Σ M x = 0; 4250 kn mm 3000 kn mm T = 0 T = 1250 kn mm Poikkileikkaussuure (polaarinen jäyhyysmomentti) J = π/2(75 mm) 4 = mm 4 Leikkausjännitys Pisteessä A ρ = c = d/2= 75 mm τ B = Tc/J =... = 1.89 MPa 16 8

9 ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Leikkausjännitys Vastaavasti pisteessä B ρ = 15 mm τ B = Tρ /J =... = MPa Elementtien A ja B jännityssuunta määräytyy sisäisen vääntömomentin T suunnan perusteella TEHON SIIRTO Teho määritetään tehtynä työnä aikayksikköä kohti Hetkellinen teho on P = T (dθ/dt) Koska akselin kulmanopeus ω = dθ/dt, teho voidaan esittää myös muodossa P = Tω Usein ilmoitetaan akselin pyörimisnopeus n kierroksina minuuttia tai sekuntia kohti. Koska yksi kierros = 2π radiaania eli ω = 2π n, on teho silloin Yhtälö 5-11 P = 2π nt 18 9

10 5.3 TEHON SIIRTO Akselin mitoitus väännölle Mikäli akseli välittää tehoa ja sen pyörimisnopeus tunnetaan, voidaan vääntömomentti määrittää yhtälöstä 5-11 Kun tunnetaan vääntömomentti T ja materiaalin sallittu leikkausjännitys τ sall voidaan soveltaa vääntöyhtälöä J c = T τ sall 19 ESIMERKKI 5.5 Ympyräsylinterisauvaa käytetään kuvan mukaisesti välittämään moottorilta teho 3750 W. Akseli pyörii kulmanopeudella ω = 175 rpm. Teräksen sallittu jännitys τ allow = 100 MPa. Akseli on tuettu hihnapyörän kohdalta siten, ettei taivutusjännitystä tarvitse ottaa huomioon. Määritä akselin halkaisija ja pyöristä se lähimpään tasamillimetriarvoon

11 ESIMERKKI 5.5 (RATKAISU) Vääntömomentti akselissa määritetään yhtälöstä P = Tω. P = 3750 N m/s ja kulmanopeus Siten P = Tω, josta T = N m ja J π c 4 T = = c 2 c rev ω = min 2π rad 1 rev 1min 60 s ( )( )... τ sall = rad/s c = mm Koska 2c = mm, valitaan akseli, jonka halkaisija d = 22 mm KIERTYMÄKULMA Kiertymäkulma on tärkeää määrittää esim. staattisesti määräämättömillä akseleilla φ = 0 L T(x) dx J(x) G φ = kiertymäkulma radiaaneissa T(x) = sisäinen vääntömomentti pisteessä x, joka ratkaistaan leikkausmenetelmällä ja soveltamalla statiikan tasapainoehtoja J(x) = polaarinen hitausmomentti pituuskoordinaatin funktiona G = materiaalin liukumoduli 22 11

12 5.4 KIERTYMÄKULMA Vakio vääntömomentti ja poikkileikkaus φ = TL JG Mikäli akseliin vaikuttaa useita vääntömomentteja tai poikkileikkaus muuttuu tai liukumoduli (materiaali muuttuu) on edellä ollutta yhtälöä sovellettava alue kerrallaan eli TL φ = Σ JG KIERTYMÄKULMA Merkkisääntö Oikean käden sääntö: vääntömomentti ja kiertymäkulma ovat positiivisia, kun peukalo osoittaa ulospäin leikkauksesta: 24 12

13 5.4 KIERTYMÄKULMA ANALYYSIN VAIHEET Sisäinen vääntömomentti Käytä leikkausmenetelmää ja momenttitasapainoa Mikäli vääntömomentti vaihtelee pitkin akselia, ratkaise kuormituspiirros, jolloin saat jakauman T(x) KIERTYMÄKULMA ANALYYSIN VAIHEET Kiertymäkulma Mikäli sauvan poikkileikkaus vaihtelee aksiaalisuunnassa, on polaarinen jäyhyys J(x) määritettävä pituuskoordinaatin funktiona Mikäli J tai sisäinen vääntömomentti äklillisesti muuttuu, on kiertymäkulman laskennassa sovellettava yhtälöitä φ = (T(x)/J(x)G) dx tai φ = TL/JG alueille, joissa J, T ja G ovat jatkuvia tai vakioita 26 13

14 ESIMERKKI 5.9 Valurautainen tanko on upotettu maahaan kuvan mukaisesti. Määritä suurin leikkausjännitys tangossa ja kiertymäkulma vapaassa päässä. Tankoa kuormittaa voimapari jonka tasapainottaa tukireaktio t N mm/mm. G = 40(10 3 ) GPa 27 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vapaakappalekuvasta Σ M z = 0; T AB = 100 N(300 mm) = N mm 28 14

15 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vääntömomenttijakauma segmentissä BC saadaan tasapainoyhtälöstä: Σ M z = 0; 100 N(300 mm) t(600 mm) = 0 t = 50 N mm/mm 29 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Siten vääntömomentti segmentissä BC on Σ M z = 0; T BC 50x = 0 T BC = 50x 30 15

16 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Suurin leikkausjännitys on segmentissä AB, koska vääntömomentti on silloin suurimmillaan ja vääntöjäyhyys on vakio eli T AB c τ max = =... = 1.22 N/mm J 2 31 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Kiertymäkulma Kiertymäkulma on suurimmillaan vapaassa päässä. Koska molemmat segmentit AB ja BC kiertyvät on kokonaiskiertymä pisteessä A T AB L AB φ A = + JG... 0 φ A = rad L BC T BC dx JG 32 16

17 5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Kuvan tanko on staattisesti määräämätön rakenne, koska tasapainoyhtälöt eivät riitä tukireaktioiden määrittämiseen STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Vapaakappalekuvan perusteella voidaan muodostaa tasapainoyhtälö Σ M x = 0; T T A T B = 0 Lisäyhtälö saadaan yhteensopivuusehdosta, jonka mukaan toisen pään vääntökulma toisen pään suhteen on nolla eli φ A/B =

18 5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Oletetaan lineaarielastinen käyttäytyminen ja sovelletaan kuorma-siirtymäyhteyttä φ = TL/JG, jolloin saadaan (huom. merkkisääntö) T A L AC T B L BC = 0 JG JG Ratkaistaan yhtälöt ja otetaan huomioon, että L = L AC + L BC, jolloin saadaan T A = T L BC L ( ) T B = T L AC ( ) L STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA ANALYYSIN VAIHEET Tasapainoehto Piirrä VKK Sovella tasapainoyhtälöitä Yhteensopivuusehto Kirjoita yhteensopivuusehto kiertymävääntömomenttiyhteyden φ = TL/JG avulla Ratkaise yhtälöt 36 18

19 ESIMERKKI 5.11 Terästangon halkaisija on mm. Määritä tukireaktiot jäykästi tuetuissa päissä A ja B kuvan kuormituksella. 37 ESIMERKKI 5.11 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvan perusteella probleema on staattisesti määräämätön Σ M x = 0; T B N m 500 N m T A = 0 Yhteensopivuus Päiden kiertymäkulmien summa on nolla, koska molemmat päät ovat jäykästi kiinnitetyt. Siten φ A/B =

20 ESIMERKKI 5.11 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Yhteensopivuusehtoon sovelletaan kuormitussiirtymäyhteyttä φ = TL/JG T A 0.2T B = 750 Ratkaisemalla saadaan T A = 345 N m T B = 645 N m MIELIVALTAISEN POIKKILEIKKAUKSEN VÄÄNTÖ Mikäli poikkileikkaus ei ole pyöreä eikä aksisymmetrinen, niiden poikkileikkaus käyristyy väännettäessä Vääntöteoria on varsin monimutkainen, eikä sitä tässä käsitellä

21 5.6 MIELIVALTAISEN POIKKILEIKKAUKSEN VÄÄNTÖ Oheisessa taulukossa on esitetty tulokset neliö-, kolmio- ja ellipsipoikkileikkaukselle 41 ESIMERKKI 5.13 Alumiinista, poikkileikkaukseltaan tasasivuinen kolmio, ulokepalkkia kuormitetaan kuvan mukaisesti vääntömomentilla. Määritä suurin momentti T kun τ sall = 56 MPa, φ sall = 0.02 rad, G al = 26 GPa. Kuinka suuren vääntömomentin kantaa saman materiaalimäärän sisältävä ympyräsylinteripoikkileikkaus? 42 21

22 ESIMERKKI 5.13 (RATKAISU) Sisäinen rasitus on sama yli koko sauvan. Siten voidaan käyttää edellä ollutta taulukkoa, jolloin saadaan τ sall = 20T/a 3 ;... T = N m φ sall = 46TL/a 3 G al ;... T = N m Kiertymärajoite on siis määräävä. 43 ESIMERKKI 5.13 (RATKAISU) Ympyräsylinteri Lasketaan poikkileikkauksen säde A ympyrä = A kolmio ;... c = mm Vastaavasti kuin edellä saadaan τ sall = Tc/J;... T = N m φ sall = TL/JG al ;... T = N m Kiertymärajoite on siis määräävä. Vertailemalla todetaan, että ympyräsylinteri kantaa 37% enemmän vääntömomenttia kuin kolmiopoikkileikkaus

23 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Ohutseinäisiä, usein suorakaiteen muotoisia, putkipalkkeja käytetään usein erilaisissa rakenneratkaisuissa Kun seinämänpaksuus on ohut, oletetaan jännityksen olevan tasaisesti jakautunut yli paksuuden OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Leikkausvuo Voimatasapaino edellyttää, että alemman kuvan differentiaalielementissä τ A t A = τ B t B Tuloa kutsutaan leikkausvuoksi q, ja sen yhtälö on q = τ k t Leikkausvuo on siis voima pituusyksikköä kohti palkin poikkileikkauksessa 46 23

24 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Keskimääräinen leikkausjännitys τ k = T 2tA m τ k = keskimääräinen leikkausjännitys seinämän paksuussuunnassa T = vääntömomentin resultantti poikkileikkauksessa t = seinämän paksuus tutkittavassa kohdassa A m = seinämän keskilinjan sulkema pinta-ala OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Keskimääräinen leikkausjännitys Koska q = τ k t, on leikkausvuo poikkileikkauksessa q = T 2A m Kiertymäkulma Energiaperiaatteella voidaan johtaa TL φ = 4 A m2 G O ds t 48 24

25 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ TÄRKEÄÄ Leikkausvuo on putken seinämänpaksuuden ja keskimääräisen leikkausjännityksen tulo. Se on siis vakio kaikissa poikkipinnan pisteissä. Siten suurin keskimääräinen leikkausjännitys on kohdassa, jossa seinämänpaksuus on pienin Sekä leikkausvuo että keskimääräinen leikkausjännitys vaikuttavat seinämän keskilinjan tangentin suunnassa, jolloin ne tuottavat kokonaisvääntömomentin leikkaukseen. 49 ESIMERKKI 5.16 Tutkitaan kuvan alumiinista putkipalkkia. Määritä palkin keskimääräinen leikkausjännitys pisteessä A. Laske myös kiertymäkulma vapaassa päässä. Alumiinin liukumoduli G al = 26 GPa

26 ESIMERKKI 5.16 (RATKAISU) Keskimääräinen leikkausjännitys A m = (50 mm)(50 mm) = 2500 mm 2 T τ k = =... = 1.7 N/mm 2tA 2 m Koska seinämänpaksuus on vakio (paitsi nurkissa), on jännitys sama kaikissa poikkileikkauksen pisteissä. 51 ESIMERKKI 5.16 (RATKAISU) Kiertymäkulma TL φ = 4A m2 G O ds t =... = 0.196(10-4 ) mm -1 O ds Tässä viivaintegraali on seinämän keskilinjan pituus, joten φ = 0.196(10-4 ) mm -1 [4(50 mm)] = 3.92 (10-3 ) rad 52 26

27 5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT Kolme yleistä epäjatkuvuutta ovat: a) Päätylevy, jolla kaksi akselia kytketään yhteen b) Kiilaura, jolla hammasratas tai hihnapyörä kiinnitetään akseliin c) Olake, kun akselin halkaisijaa vaihdetaan pituussuunnassa VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT Pisteet poikkileikkauksessa osoittavat, missä suurimmat leikkausjännitykset vaikuttavat Maksimivääntöleikkausjännitys voidaan määrittää jännityskonsentraatiokertoimella K 54 27

28 5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT K voidaan määrittää graafisesti, esim. kuvassa olake Määritetään ensin halkaisijasuhde D/d ja valitaan käyrä Lasketaan sitten olakkeen säteen ja pienemmän halkaisijan suhde r/d jolloin voidaan kuvasta määrittä jännityskonsentraation arvo pystyakselilta Suurin leikkausjännitys on siten τ max = K(Tc/J) VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT TÄRKEÄÄ Jännityskeskittymät akseleissa esiintyvät pisteissä, joissa poikkileikkaus äkillisesti muuttuu. Mitä suurempi muutos, sitä suurempi jännityskeskittymä. Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa, vaan suurin jännitys leikkauksessa saadaan käyttämällä jännityskonsentraatiokerrointa K Mikäli materiaali on haurasta tai se on vaihtelevan kuorman alainen, pitää jännityskeskittymät ottaa huomioon suunnittelussa ja analyysissa. Sitkeillä materiaaleilla staattisessa kuormituksessa ei paikallisia jännityskeskittymiä tyypillisesti oteta huomioon

29 ESIMERKKI 5.18 Määritä suurin leikkausjännitys kuvan olakkeellisessa akselissa annetuilla vääntökuormilla. Olakkeiden säde r = 6 mm. 57 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Nähdään, että akseli on momenttitasapainossa. Suurin leikkausjännitys on olakekohdissa, jossa vääntömomentti (30 N m) saadaan leikkausmenetelmällä: 58 29

30 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Geometrian perusteella D d r d 2(40 mm) = = 2 2(20 mm) 6 mm) = = (20 mm) Siten K = 1.3 ja τ max = K(Tc/J) =... = 3.10 MPa 59 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Kokeellisesti on havaittu, että leikkausjännitysjakauma on kuvan mukainen: Nimellinen leikkausjännitysjakauma Todellinen leikkausjännitysjakauma 60 30

31 YHTEENVETO Umpinaiseen, poikkileikkaukseltaan poyöreään sauvaan vaikuttava vääntömomentti aiheuttaa leikkausvenymän (liukuman), joka on suoraan verrannollinen etäisyyteen pintakeskiöstä Mikäli materiaali on homogeeninen ja kuormitus pysyy kimmoisella alueella eli Hooken laki pätee, voidaan käyttää vääntöyhtälöä τ = (Tc)/J Umpinaisen, poikkileikkaukseltaan pyöreän vääntösauvan mitoitus perustuu geometriseen parametriin (J/C) = (T/τ sall ) Tehonvälityksessä vääntömomentti saadaan tehon yhtälöstä P = Tω 61 YHTEENVETO Poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntökulma saadaan yhteydestä L T(x) dx φ = 0 JG Mikäli vääntömomentti ja vääntöjäykkyys JG ovat vakioita, on yhteys TL φ = Σ JG Sovelluksissa on merkkisääntö otettava huomioon samoin kuin se, ettei materiaali saa myötää (kimmoinen eli lineaarielastinen alue) 62 31

32 YHTEENVETO Staattisesti määräämättömällä rakenteella saadaan tukireaktiot tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista. Yhteensopivuusehto perustuu kuormitus-siirtymäyhteyteen φ = TL/JG Umpinaiset, poikkileikkaukseltaan mielivaltaiset sauvat, käyristyvät vääntökuormalla. Taulukoista löytyvät kaavat näiden tapausten leikkausjännityksille ja kiertymäkulmille. Putkimaisten sauvojen leikkausjännitys perustuu leikkausvuoin selvittämiseen. Perusoletuksen on vakioleikkausjännitys paksuuden yli. 63 YHTEENVETO Leikkausjännitys yksionteloisille putkille saadaan yhteydestä τ = T/2tA m Jännityskeskittymiä (-konsentraatioita) esiintyy sauvoissa niillä alueilla, joissa poikkileikkaus yhtäkkisesti muuttuu. Suurin leikkausjännitys määritetään silloin jännityskonsentraatiokertoimella K, jolloin τ max = K(Tc/J) 64 32

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti

KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Statiikan välikoe 12.3.2018 Ajankohta ma 12.3.2018 klo 14:00 17:00 Salijako

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 2.3.2016 Susanna Hurme äivän aihe: Staattisesti määrätyn rakenteen tukireaktiot (Kirjan luvut 5.7 ja 6.6) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mitä tarkoittaa staattisesti

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä

Lisätiedot

SUORAN PALKIN TAIVUTUS

SUORAN PALKIN TAIVUTUS SUORAN PALKIN TAIVUTUS KERTAUSTA! Palkin rasituslajit Palkki tasossa: Tasopalkin rasitukset, sisäiset voimat, ovat normaalivoima N, leikkausvoima Q ja taivutusmomentti M t. Ne voidaan isostaattisessa rakenteessa

Lisätiedot

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat: MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset

Lisätiedot

PUHDAS, SUORA TAIVUTUS

PUHDAS, SUORA TAIVUTUS PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

Tasokehät. Kuva. Sauvojen alapuolet merkittyinä.

Tasokehät. Kuva. Sauvojen alapuolet merkittyinä. Tasokehät Tasokehä muodostuu yksinkertaisista palkeista ja ulokepalkeista, joita yhdistetään toisiinsa jäykästi tai nivelkehässä nivelellisesti. Palkit voivat olla tasossa missä kulmassa tahansa. Palkkikannattimessa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat

Lisätiedot

STATIIKKA. TF00BN89 5op

STATIIKKA. TF00BN89 5op STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit

Lisätiedot

Laskuharjoitus 7 Ratkaisut

Laskuharjoitus 7 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Harjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 4: mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on

Lisätiedot

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN Esa Makkonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 Tiivistelmii: Artikkelissa kehitetaan laskumenetelma, jonka avulla

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

SUORAN PALKIN RASITUKSET

SUORAN PALKIN RASITUKSET SUORAN PALKIN RASITUKSET Palkilla tarkoitetaan pitkänomaista rakenneosaa, jota voidaan käsitellä yksiulotteisena eli viivamaisena. Palkkia kuormitetaan pääasiassa poikittaisilla kuormituksilla, mutta usein

Lisätiedot

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)! LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 17.12.2015 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) 5 5 6 Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä.

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

A on sauvan akselia vastaan kohtisuoran leikkauspinnan ala.

A on sauvan akselia vastaan kohtisuoran leikkauspinnan ala. Leikkausjännitys Kuvassa on esitetty vetosauvan vinossa leikkauksessa vaikuttavat voimat ja jännitykset. N on vinon tason normaalivoima ja on leikkausvoima. Q Kuvan c perusteella nähdään N Fcos Q Fsin

Lisätiedot

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)! LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 31.3.2016 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

Laskuharjoitus 1 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.

Lisätiedot

KJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino

KJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino KJR-C1001: Statiikka L3 Luento 27.2.2018: Jäykän kappaleen tasapaino Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

POIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET

POIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET 1.10.018 POIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET KOORDINAATISTON VALINTA: x akseli sauvan tai palkin akselin suuntainen akseli alaspäin akseli siten, että muodostuu oikeakätinen koordinaatisto Pintamomentti (pinnan

Lisätiedot

y 1 x l 1 1 Kuva 1: Momentti

y 1 x l 1 1 Kuva 1: Momentti BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Kevät 17 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Integraalit eivät tosin ole niin vaikeita etteikö niitä suurimmassa

Lisätiedot

RASITUSKUVIOT (jatkuu)

RASITUSKUVIOT (jatkuu) RASITUSKUVIOT (jatkuu) Rakenteiden suunnittelussa yksi tärkeimmistä tehtävistä on rakenteen mitoittaminen kestämään ja kantamaan annetut kuormitukset muotonsa riittävässä määrin säilyttäen. Kun on selvitetty

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2. 7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2 Ratkaisut

Laskuharjoitus 2 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010)

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) Täsmennykset ja painovirhekorjaukset 6.6.2012: Sivu 27: Sivun alaosassa, ennen kursivoitua tekstiä: standardin EN 10149-2 mukaiset..., ks. taulukot 1.6 ja 1.7 standardin EN

Lisätiedot

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

PALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v

PALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v PALKIN KIMMOVIIVA Palkin akseli taipuu suorassa taivutuksessa kuormitustasossa tasokäyräksi, jota kutsutaan kimmoviivaksi tai taipumaviivaksi. Palkin akselin pisteen siirtymästä y akselin suunnassa käytetään

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI 1 KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI MOTIVOINTI Tutustutaan kiertoheiluriin käytännössä. Mitataan hitausmomentin vaikutus värähtelyyn. Tutkitaan mitkä tekijät vaikuttavat järjestelmän hitausmomenttiin. Vahvistetaan

Lisätiedot

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö:

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö: A1 Seppä karkaisee teräsesineen upottamalla sen lämpöeristettyyn astiaan, jossa on 118 g jäätä ja 352 g vettä termisessä tasapainossa Teräsesineen massa on 312 g ja sen lämpötila ennen upotusta on 808

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

HYPERSTAATTISET RAKENTEET

HYPERSTAATTISET RAKENTEET HYPERSTAATTISET RAKENTEET Yleistä Sauva ja palkkirakenne on on isostaattinen, jos tasapainoehdot yksin riittävät sen tukireaktioiden ja rasitusten määrittämiseen. Jos näiden voimasuureiden määrittäminen

Lisätiedot

LUJUUSOPPI. TF00BN90 5op. Sisältö:

LUJUUSOPPI. TF00BN90 5op. Sisältö: LUJUUSOPPI TF00BN90 5op Sisältö: Peruskäsitteet Jännitystila Suoran sauvan veto ja puristus Puhdas leikkaus Poikkileikkaussuureiden laskeminen Suoran palkin taivutus Vääntö Nurjahdus 1 Kirjallisuus: Salmi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot