Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja 1 SISÄLTÖ 1. Poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntömuodonmuutos 2. Vääntöyhtälö 3. Tehonsiirto 4. Kiertymäkulma 5. Staattisesti määräämätön vääntösauva 6. Mielivaltaiset poikkileikkaukset 7. Ohutseinäiset putket 8. Jännityskeskittymät 2 1

2 5.1 YMPYRÄSYLINTERISAUVAN VÄÄNTÖMUODONMUUTOS Vääntömomentti pyrkii kiertämään sauvaa sen pituusakselin ympäri Pienillä kiertymillä on todettu sekä sauvan pituuden että sen säteen pysyvän muuttumattomina YMPYRÄSYLINTERISAUVAN VÄÄNTÖMUODONMUUTOS Määritelmän mukaan liukuma Kun x dx ja φ= dφ BD = ρ dφ = dx γ γ = ρ dφ dx Koska dφ / dx = γ /ρ = γ max /c γ = (π/2) lim θ C pitkin CA B Apitkin BA Yhtälö 5-2 γ = ρ c ( ) γ max 4 2

3 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Umpinaiselle akselille leikkausjännitys muuttuu lineaarisesti pintakeskiön nolla-arvosta ulkopinnan maksimijännitykseen. Käyttäen Hooken lakia ja yhtälöä 5-2, saadaan τ = ρ c ( ) τ max... T = τ max c A ρ 2 da Jännitys muuttuu lineaarisesti säteen suunnassa VÄÄNTÖYHTÄLÖ Puusauvan murtuminen: 6 3

4 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Yhtälössä oleva integraali on ns. polaarinen jäyhyys J, jolloin voidaan kirjoittaa τ max = Tc J τ max = suurin leikkausjännitys ulkopinnalla T = resultoiva sisäinen vääntömomentti leikkauksessa J = poikkipinnan polaarinen jäyhyys (vääntöjäyhyys) c = poikkipinnan säde VÄÄNTÖYHTÄLÖ Leikkausjännitys etäisyydellä ρ on τ = Tρ J Edellä olevat kaksi yhtälöä ovat ns. vääntöyhtälöitä Niitä voi käyttää vain umpinaiselle ympyräpoikkileikkauksiselle sauvalle, jonka materiaali on homogeenista ja käyttäytyy lineaarielastisesti (kimmoisesti) 8 4

5 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Ympyräsylinterisauva Ympyräsylinterisauvalle polaarinen jäyhyys J voidaan määrittää differentiaalirenkaalla, jonka paksuus on dρ ja pituus 2πρ. Renkaan pinta-ala on da = 2πρ dρ, jolloin π J = c 2 4 π J = d 32 4 J on poikkileikkauksen geometrinen suure ja se on aina positiivinen. Yleisimmät käytetyt yksiköt ovat mm 4 ja m 4. tai VÄÄNTÖYHTÄLÖ Pyöreä putki π J = (c o4 c i4 ) 2 tai π J = (D 4 d 4 ) 32 Huomaa leikkausjännityksen parittaisuus Jännitys muuttuu lineaarisesti paksuussuunnassa 10 5

6 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Suurin leikkausjännitys On löydettävä piste, jossa suhde Tc/J on suurimmillaan Piirrä vääntömomenttijakauma (sisäinen leikkausjännitys τ pituusakselin x funktiona) Merkkisääntö: T on positiivinen, oikean käden säännöllä, jos sen suunta on poispäin akselista Kun sisäinen vääntörasitus on selvitetty koko akselin osalta, voidaan suurin suhde Tc/J identifioida VÄÄNTÖYHTÄLÖ ANALYYSIN VAIHEET Sisäinen rasitus Akseli leikataan kohdasta, jossa leikkausjännitys halutaan määrittää Sovella VKK:aa ja statiikan tasapainoyhtälöitä vääntörasituksen määrittämiseksi Poikkileikkaussuure Laske polaarinen jäyhyysmomentti Sylinterille J = πc 4 /2 tai J = πd 4 /32 Putkelle J = π(c 4 o c i2 )/2 tai J = π(d 4 - d 4 )/

7 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ ANALYYSIN VAIHEET Leikkausjännitys Määritä säde ρ pintakeskiöstä. Tyypillisesti se on akselin säde, jolloin saadaan suurin jännitys Sovella vääntöyhtälöä τ = Tρ /J tai τ max = Tc/J Leikkausjännitys vaikuttaa aina kohtisuoraan sädettä vastaan 13 ESIMERKKI 5.3 Kuvan akseli, jonka halkaisija on 150 mm, kuormitetaan kolmella vääntömomentilla. Akselin painoa ei tarvitse ottaa huomioon. Määritä leikkausjännitys pisteissä A ja B, jotka ovat etäisyydellä 15 mm ja 75 mm keskilinjasta leikkauksessa a-a. 14 7

8 ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vääntömomentti on sisäisesti tasapainossa, joten laakereiden tukireaktiot = 0. Sisäinen vääntömomentti leikkauksessa a-a saadaan määritettyä ottamalla leikkauksen vasemmalta puolelta vapaakappalekuva. 15 ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Σ M x = 0; 4250 kn mm 3000 kn mm T = 0 T = 1250 kn mm Poikkileikkaussuure (polaarinen jäyhyysmomentti) J = π/2(75 mm) 4 = mm 4 Leikkausjännitys Pisteessä A ρ = c = d/2= 75 mm τ B = Tc/J =... = 1.89 MPa 16 8

9 ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Leikkausjännitys Vastaavasti pisteessä B ρ = 15 mm τ B = Tρ /J =... = MPa Elementtien A ja B jännityssuunta määräytyy sisäisen vääntömomentin T suunnan perusteella TEHON SIIRTO Teho määritetään tehtynä työnä aikayksikköä kohti Hetkellinen teho on P = T (dθ/dt) Koska akselin kulmanopeus ω = dθ/dt, teho voidaan esittää myös muodossa P = Tω Usein ilmoitetaan akselin pyörimisnopeus n kierroksina minuuttia tai sekuntia kohti. Koska yksi kierros = 2π radiaania eli ω = 2π n, on teho silloin Yhtälö 5-11 P = 2π nt 18 9

10 5.3 TEHON SIIRTO Akselin mitoitus väännölle Mikäli akseli välittää tehoa ja sen pyörimisnopeus tunnetaan, voidaan vääntömomentti määrittää yhtälöstä 5-11 Kun tunnetaan vääntömomentti T ja materiaalin sallittu leikkausjännitys τ sall voidaan soveltaa vääntöyhtälöä J c = T τ sall 19 ESIMERKKI 5.5 Ympyräsylinterisauvaa käytetään kuvan mukaisesti välittämään moottorilta teho 3750 W. Akseli pyörii kulmanopeudella ω = 175 rpm. Teräksen sallittu jännitys τ allow = 100 MPa. Akseli on tuettu hihnapyörän kohdalta siten, ettei taivutusjännitystä tarvitse ottaa huomioon. Määritä akselin halkaisija ja pyöristä se lähimpään tasamillimetriarvoon

11 ESIMERKKI 5.5 (RATKAISU) Vääntömomentti akselissa määritetään yhtälöstä P = Tω. P = 3750 N m/s ja kulmanopeus Siten P = Tω, josta T = N m ja J π c 4 T = = c 2 c rev ω = min 2π rad 1 rev 1min 60 s ( )( )... τ sall = rad/s c = mm Koska 2c = mm, valitaan akseli, jonka halkaisija d = 22 mm KIERTYMÄKULMA Kiertymäkulma on tärkeää määrittää esim. staattisesti määräämättömillä akseleilla φ = 0 L T(x) dx J(x) G φ = kiertymäkulma radiaaneissa T(x) = sisäinen vääntömomentti pisteessä x, joka ratkaistaan leikkausmenetelmällä ja soveltamalla statiikan tasapainoehtoja J(x) = polaarinen hitausmomentti pituuskoordinaatin funktiona G = materiaalin liukumoduli 22 11

12 5.4 KIERTYMÄKULMA Vakio vääntömomentti ja poikkileikkaus φ = TL JG Mikäli akseliin vaikuttaa useita vääntömomentteja tai poikkileikkaus muuttuu tai liukumoduli (materiaali muuttuu) on edellä ollutta yhtälöä sovellettava alue kerrallaan eli TL φ = Σ JG KIERTYMÄKULMA Merkkisääntö Oikean käden sääntö: vääntömomentti ja kiertymäkulma ovat positiivisia, kun peukalo osoittaa ulospäin leikkauksesta: 24 12

13 5.4 KIERTYMÄKULMA ANALYYSIN VAIHEET Sisäinen vääntömomentti Käytä leikkausmenetelmää ja momenttitasapainoa Mikäli vääntömomentti vaihtelee pitkin akselia, ratkaise kuormituspiirros, jolloin saat jakauman T(x) KIERTYMÄKULMA ANALYYSIN VAIHEET Kiertymäkulma Mikäli sauvan poikkileikkaus vaihtelee aksiaalisuunnassa, on polaarinen jäyhyys J(x) määritettävä pituuskoordinaatin funktiona Mikäli J tai sisäinen vääntömomentti äklillisesti muuttuu, on kiertymäkulman laskennassa sovellettava yhtälöitä φ = (T(x)/J(x)G) dx tai φ = TL/JG alueille, joissa J, T ja G ovat jatkuvia tai vakioita 26 13

14 ESIMERKKI 5.9 Valurautainen tanko on upotettu maahaan kuvan mukaisesti. Määritä suurin leikkausjännitys tangossa ja kiertymäkulma vapaassa päässä. Tankoa kuormittaa voimapari jonka tasapainottaa tukireaktio t N mm/mm. G = 40(10 3 ) GPa 27 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vapaakappalekuvasta Σ M z = 0; T AB = 100 N(300 mm) = N mm 28 14

15 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vääntömomenttijakauma segmentissä BC saadaan tasapainoyhtälöstä: Σ M z = 0; 100 N(300 mm) t(600 mm) = 0 t = 50 N mm/mm 29 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Siten vääntömomentti segmentissä BC on Σ M z = 0; T BC 50x = 0 T BC = 50x 30 15

16 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Suurin leikkausjännitys on segmentissä AB, koska vääntömomentti on silloin suurimmillaan ja vääntöjäyhyys on vakio eli T AB c τ max = =... = 1.22 N/mm J 2 31 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Kiertymäkulma Kiertymäkulma on suurimmillaan vapaassa päässä. Koska molemmat segmentit AB ja BC kiertyvät on kokonaiskiertymä pisteessä A T AB L AB φ A = + JG... 0 φ A = rad L BC T BC dx JG 32 16

17 5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Kuvan tanko on staattisesti määräämätön rakenne, koska tasapainoyhtälöt eivät riitä tukireaktioiden määrittämiseen STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Vapaakappalekuvan perusteella voidaan muodostaa tasapainoyhtälö Σ M x = 0; T T A T B = 0 Lisäyhtälö saadaan yhteensopivuusehdosta, jonka mukaan toisen pään vääntökulma toisen pään suhteen on nolla eli φ A/B =

18 5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Oletetaan lineaarielastinen käyttäytyminen ja sovelletaan kuorma-siirtymäyhteyttä φ = TL/JG, jolloin saadaan (huom. merkkisääntö) T A L AC T B L BC = 0 JG JG Ratkaistaan yhtälöt ja otetaan huomioon, että L = L AC + L BC, jolloin saadaan T A = T L BC L ( ) T B = T L AC ( ) L STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA ANALYYSIN VAIHEET Tasapainoehto Piirrä VKK Sovella tasapainoyhtälöitä Yhteensopivuusehto Kirjoita yhteensopivuusehto kiertymävääntömomenttiyhteyden φ = TL/JG avulla Ratkaise yhtälöt 36 18

19 ESIMERKKI 5.11 Terästangon halkaisija on mm. Määritä tukireaktiot jäykästi tuetuissa päissä A ja B kuvan kuormituksella. 37 ESIMERKKI 5.11 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvan perusteella probleema on staattisesti määräämätön Σ M x = 0; T B N m 500 N m T A = 0 Yhteensopivuus Päiden kiertymäkulmien summa on nolla, koska molemmat päät ovat jäykästi kiinnitetyt. Siten φ A/B =

20 ESIMERKKI 5.11 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Yhteensopivuusehtoon sovelletaan kuormitussiirtymäyhteyttä φ = TL/JG T A 0.2T B = 750 Ratkaisemalla saadaan T A = 345 N m T B = 645 N m MIELIVALTAISEN POIKKILEIKKAUKSEN VÄÄNTÖ Mikäli poikkileikkaus ei ole pyöreä eikä aksisymmetrinen, niiden poikkileikkaus käyristyy väännettäessä Vääntöteoria on varsin monimutkainen, eikä sitä tässä käsitellä

21 5.6 MIELIVALTAISEN POIKKILEIKKAUKSEN VÄÄNTÖ Oheisessa taulukossa on esitetty tulokset neliö-, kolmio- ja ellipsipoikkileikkaukselle 41 ESIMERKKI 5.13 Alumiinista, poikkileikkaukseltaan tasasivuinen kolmio, ulokepalkkia kuormitetaan kuvan mukaisesti vääntömomentilla. Määritä suurin momentti T kun τ sall = 56 MPa, φ sall = 0.02 rad, G al = 26 GPa. Kuinka suuren vääntömomentin kantaa saman materiaalimäärän sisältävä ympyräsylinteripoikkileikkaus? 42 21

22 ESIMERKKI 5.13 (RATKAISU) Sisäinen rasitus on sama yli koko sauvan. Siten voidaan käyttää edellä ollutta taulukkoa, jolloin saadaan τ sall = 20T/a 3 ;... T = N m φ sall = 46TL/a 3 G al ;... T = N m Kiertymärajoite on siis määräävä. 43 ESIMERKKI 5.13 (RATKAISU) Ympyräsylinteri Lasketaan poikkileikkauksen säde A ympyrä = A kolmio ;... c = mm Vastaavasti kuin edellä saadaan τ sall = Tc/J;... T = N m φ sall = TL/JG al ;... T = N m Kiertymärajoite on siis määräävä. Vertailemalla todetaan, että ympyräsylinteri kantaa 37% enemmän vääntömomenttia kuin kolmiopoikkileikkaus

23 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Ohutseinäisiä, usein suorakaiteen muotoisia, putkipalkkeja käytetään usein erilaisissa rakenneratkaisuissa Kun seinämänpaksuus on ohut, oletetaan jännityksen olevan tasaisesti jakautunut yli paksuuden OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Leikkausvuo Voimatasapaino edellyttää, että alemman kuvan differentiaalielementissä τ A t A = τ B t B Tuloa kutsutaan leikkausvuoksi q, ja sen yhtälö on q = τ k t Leikkausvuo on siis voima pituusyksikköä kohti palkin poikkileikkauksessa 46 23

24 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Keskimääräinen leikkausjännitys τ k = T 2tA m τ k = keskimääräinen leikkausjännitys seinämän paksuussuunnassa T = vääntömomentin resultantti poikkileikkauksessa t = seinämän paksuus tutkittavassa kohdassa A m = seinämän keskilinjan sulkema pinta-ala OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Keskimääräinen leikkausjännitys Koska q = τ k t, on leikkausvuo poikkileikkauksessa q = T 2A m Kiertymäkulma Energiaperiaatteella voidaan johtaa TL φ = 4 A m2 G O ds t 48 24

25 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ TÄRKEÄÄ Leikkausvuo on putken seinämänpaksuuden ja keskimääräisen leikkausjännityksen tulo. Se on siis vakio kaikissa poikkipinnan pisteissä. Siten suurin keskimääräinen leikkausjännitys on kohdassa, jossa seinämänpaksuus on pienin Sekä leikkausvuo että keskimääräinen leikkausjännitys vaikuttavat seinämän keskilinjan tangentin suunnassa, jolloin ne tuottavat kokonaisvääntömomentin leikkaukseen. 49 ESIMERKKI 5.16 Tutkitaan kuvan alumiinista putkipalkkia. Määritä palkin keskimääräinen leikkausjännitys pisteessä A. Laske myös kiertymäkulma vapaassa päässä. Alumiinin liukumoduli G al = 26 GPa

26 ESIMERKKI 5.16 (RATKAISU) Keskimääräinen leikkausjännitys A m = (50 mm)(50 mm) = 2500 mm 2 T τ k = =... = 1.7 N/mm 2tA 2 m Koska seinämänpaksuus on vakio (paitsi nurkissa), on jännitys sama kaikissa poikkileikkauksen pisteissä. 51 ESIMERKKI 5.16 (RATKAISU) Kiertymäkulma TL φ = 4A m2 G O ds t =... = 0.196(10-4 ) mm -1 O ds Tässä viivaintegraali on seinämän keskilinjan pituus, joten φ = 0.196(10-4 ) mm -1 [4(50 mm)] = 3.92 (10-3 ) rad 52 26

27 5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT Kolme yleistä epäjatkuvuutta ovat: a) Päätylevy, jolla kaksi akselia kytketään yhteen b) Kiilaura, jolla hammasratas tai hihnapyörä kiinnitetään akseliin c) Olake, kun akselin halkaisijaa vaihdetaan pituussuunnassa VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT Pisteet poikkileikkauksessa osoittavat, missä suurimmat leikkausjännitykset vaikuttavat Maksimivääntöleikkausjännitys voidaan määrittää jännityskonsentraatiokertoimella K 54 27

28 5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT K voidaan määrittää graafisesti, esim. kuvassa olake Määritetään ensin halkaisijasuhde D/d ja valitaan käyrä Lasketaan sitten olakkeen säteen ja pienemmän halkaisijan suhde r/d jolloin voidaan kuvasta määrittä jännityskonsentraation arvo pystyakselilta Suurin leikkausjännitys on siten τ max = K(Tc/J) VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT TÄRKEÄÄ Jännityskeskittymät akseleissa esiintyvät pisteissä, joissa poikkileikkaus äkillisesti muuttuu. Mitä suurempi muutos, sitä suurempi jännityskeskittymä. Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa, vaan suurin jännitys leikkauksessa saadaan käyttämällä jännityskonsentraatiokerrointa K Mikäli materiaali on haurasta tai se on vaihtelevan kuorman alainen, pitää jännityskeskittymät ottaa huomioon suunnittelussa ja analyysissa. Sitkeillä materiaaleilla staattisessa kuormituksessa ei paikallisia jännityskeskittymiä tyypillisesti oteta huomioon

29 ESIMERKKI 5.18 Määritä suurin leikkausjännitys kuvan olakkeellisessa akselissa annetuilla vääntökuormilla. Olakkeiden säde r = 6 mm. 57 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Nähdään, että akseli on momenttitasapainossa. Suurin leikkausjännitys on olakekohdissa, jossa vääntömomentti (30 N m) saadaan leikkausmenetelmällä: 58 29

30 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Geometrian perusteella D d r d 2(40 mm) = = 2 2(20 mm) 6 mm) = = (20 mm) Siten K = 1.3 ja τ max = K(Tc/J) =... = 3.10 MPa 59 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Kokeellisesti on havaittu, että leikkausjännitysjakauma on kuvan mukainen: Nimellinen leikkausjännitysjakauma Todellinen leikkausjännitysjakauma 60 30

31 YHTEENVETO Umpinaiseen, poikkileikkaukseltaan poyöreään sauvaan vaikuttava vääntömomentti aiheuttaa leikkausvenymän (liukuman), joka on suoraan verrannollinen etäisyyteen pintakeskiöstä Mikäli materiaali on homogeeninen ja kuormitus pysyy kimmoisella alueella eli Hooken laki pätee, voidaan käyttää vääntöyhtälöä τ = (Tc)/J Umpinaisen, poikkileikkaukseltaan pyöreän vääntösauvan mitoitus perustuu geometriseen parametriin (J/C) = (T/τ sall ) Tehonvälityksessä vääntömomentti saadaan tehon yhtälöstä P = Tω 61 YHTEENVETO Poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntökulma saadaan yhteydestä L T(x) dx φ = 0 JG Mikäli vääntömomentti ja vääntöjäykkyys JG ovat vakioita, on yhteys TL φ = Σ JG Sovelluksissa on merkkisääntö otettava huomioon samoin kuin se, ettei materiaali saa myötää (kimmoinen eli lineaarielastinen alue) 62 31

32 YHTEENVETO Staattisesti määräämättömällä rakenteella saadaan tukireaktiot tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista. Yhteensopivuusehto perustuu kuormitus-siirtymäyhteyteen φ = TL/JG Umpinaiset, poikkileikkaukseltaan mielivaltaiset sauvat, käyristyvät vääntökuormalla. Taulukoista löytyvät kaavat näiden tapausten leikkausjännityksille ja kiertymäkulmille. Putkimaisten sauvojen leikkausjännitys perustuu leikkausvuoin selvittämiseen. Perusoletuksen on vakioleikkausjännitys paksuuden yli. 63 YHTEENVETO Leikkausjännitys yksionteloisille putkille saadaan yhteydestä τ = T/2tA m Jännityskeskittymiä (-konsentraatioita) esiintyy sauvoissa niillä alueilla, joissa poikkileikkaus yhtäkkisesti muuttuu. Suurin leikkausjännitys määritetään silloin jännityskonsentraatiokertoimella K, jolloin τ max = K(Tc/J) 64 32

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43

OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN. Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 OSIITAIN JA YKKIEN LIITOSTEN V AIKUTUS PORTAALIKEHAN VOI MASUUREISIIN Esa Makkonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol.27 No.3, 1994, s. 35-43 Tiivistelmii: Artikkelissa kehitetaan laskumenetelma, jonka avulla

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010)

HITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) Täsmennykset ja painovirhekorjaukset 6.6.2012: Sivu 27: Sivun alaosassa, ennen kursivoitua tekstiä: standardin EN 10149-2 mukaiset..., ks. taulukot 1.6 ja 1.7 standardin EN

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI 1 KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI MOTIVOINTI Tutustutaan kiertoheiluriin käytännössä. Mitataan hitausmomentin vaikutus värähtelyyn. Tutkitaan mitkä tekijät vaikuttavat järjestelmän hitausmomenttiin. Vahvistetaan

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö:

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö: A1 Seppä karkaisee teräsesineen upottamalla sen lämpöeristettyyn astiaan, jossa on 118 g jäätä ja 352 g vettä termisessä tasapainossa Teräsesineen massa on 312 g ja sen lämpötila ennen upotusta on 808

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

Hilti HIT-RE 500 + HIS-(R)N

Hilti HIT-RE 500 + HIS-(R)N HIS-(R)N Hilti HIT-RE 500 + Injektointijärjestelmä Hyödyt Hilti HIT-RE 500 330 ml pakkaus (saatavana myös 500 ml 500 ml ja 1400 ml pakkaus) Sekoituskärki BSt 500 S - soveltuu halkeilemattomaan betoniin

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin FYSP102 / K2 KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITYS Työn tavoitteita tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin kerrata monia toistoja sisältävien laskujen sekä suoransovituksen tekemistä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Käydään läpi vastusten keskinäisten kytkentöjen erilaiset

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta TERÄSSILTAPÄIVÄT 2012, 6. 7.6.2012 Jani Meriläinen, Liikennevirasto Esityksen sisältö Lyhyet esimerkkilaskelmat FLM1, FLM3, FLM4 ja FLM5 Vanha silta Reposaaren silta

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473 Torsioheiluri IIT3S Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G904 Petteri Viitanen G8473 Mittauspäivämäärä:..4 Selostuksen jättöpäivä: 4.3.4 Torsioheilurin mitatuilla neljän jakson

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

MODIX Raudoitusjatkokset

MODIX Raudoitusjatkokset MODIX Raudoitusjatkokset Betoniyhdistyksen käyttöseloste nro 23 2/2009 MODIX -raudoitusjatkos Peikko MODIX raudoitusjatkosten etuja: kaikki tangot voidaan jatkaa samassa poikkileikkauksessa mahdollistaa

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

100-500 40-60 tai 240-260 400-600 tai 2 000-2 200 X

100-500 40-60 tai 240-260 400-600 tai 2 000-2 200 X Yleistä tilauksesta Yleistä tilauksesta Tilaa voimanotot ja niiden sähköiset esivalmiudet tehtaalta. Jälkiasennus on erittäin kallista. Suositellut vaatimukset Voimanottoa käytetään ja kuormitetaan eri

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on FYSA210 / K1 HITAUSMOMENTTI Työn tavoitteena on opetella määrittämään kappaleen hitausmomentti kappaletta pyörittämällä ja samalla havainnollistaa kitkan vaikutusta. Massapisteinä toimivat keskipisteestään

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

Moottorisahan ketjun kytkentä

Moottorisahan ketjun kytkentä Moottorisahan ketjun kytkentä Moottorisaha kiihdytetään tyhjäkäynniltä kierrosnopeuteen 9600 r/min n. 120 krt/h. Mikä on teräketjun keskipakoiskytkimen kytkentäaika ja kuinka paljon kytkin lämpenee, kun

Lisätiedot

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Palauta jokainen funktio-tiedosto. Esitä myös funktiot vastauspaperissasi.

Palauta jokainen funktio-tiedosto. Esitä myös funktiot vastauspaperissasi. Tehtävä 1 Kirjoita neljä eri funktiota (1/2 pistettä/funktio): 1. Funktio T tra saa herätteenä 3x1-kokoisen paikkavektorin p. Se palauttaa 4x4 muunnosmatriisin, johon sijoitettu p:n koordinaattien mukainen

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA 1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 Tämä päivitetty ohje perustuu aiempiin versioihin: 18.3.1988 AKN 13.5.1999 AKN/ks SISÄLLYS: 1. Yleistä... 2 2. Mitoitusperusteet...

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot