5 Kentät ja energia (fields and energy)

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5 Kentät ja energia (fields and energy)"

Transkriptio

1 5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m 1m 2 F = G m 1m 2 ˆr missä ˆr on r :n suuntainen yksikkövektori ja G on yleinen gravitaatiovakio (gravitational constant), jolle G = 6, Nm 2 /kg 2 Laki on tyypillinen inverse square law, jossa voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön Ohuen pallonkuoren ja pistemäisen hiukkasen välinen voima on F = { G mm ˆr kun r R 0 kun r < R missä m on pistemäisen hiukkasen massa, M s pallonkuoran massa ja R pallonkuoren säde (katsotaan tarkemmin myöhemmin) Homogeenisen pallon aiheuttama gravitaatiovoima Otetaan a-säteinen pallo, jonka tiheys on ρ. Tällöin pallon massa M on M = V ρ = 4 3 πa3 ρ Pallon ulkopuolella hiukkasen ja pallon välinen vetovoima on F ulkopuolella = GmM 1

2 missä r on hiukkasen ja pallon keskipisteen välinen etäisyys Pallon sisäpuolella, säteen r päässä pallon keskipisteestä F sisäpuolella = Gm(4/3πr3 )ρ = G mm a r 3 Vektorina tämä sama on { G mmˆr kun r a F = G mm rˆr kun r < a a 3 Paino: Kappaleelle, joka on Maan (planeetan tai jonkin muun kappaleen) pinnalla, on voima F = G mm p ˆr Rp 2 missä r = R p planeetan säde ja M p planeetan tai kappaleen massa Maan pinnalla kappaleen paino W on W = mg = G mm E ˆr RE 2 josta saadaan g = GM E R 2 E Tässä Maan massa on M E = 5, kg ja Maan säde R E = 6, m 5.2 Yleinen voimakenttä (general force field) Testihiukkanen on hyvin pienimassainen hiukkanen, jolla voidaan ympäristöä häiritsemättä mitata voimia avaruuden eri pisteissä. Voimakenttä on vektorikenttä, jossa kussakin pisteessä (x,y) on testihiukkasella mitattu voima F. Pistemäisen hiukkasen tapauksessa gravitaatiovoima suuntautuu hiukkasta kohti Suunta voidaan havaita testihiukkasen avulla. Gravitaatiokentän kenttäviivat ovat viivoja, joita pitkin vapaa testihiukkanen liikkuisi, jos se päästettäisiin levosta liikkeelle. 2

3 Pistemäisen hiukkasen (tai homogeenisen pallon tapauksessa) kenttäviivat ovat radiaalisia Homogeenisessä gravitaatiokentässä kenttäviivat on joka paikassa yhdensuuntaisia Gravitaatiokentän voimakkuus Kappale, jolla on massa M, aiheuttaa gravitaatiokentän Jos muita kappaleita ei ole lähistöllä, ei kappaleeseen vaikuta voimia Pisteessä P r:n etäisyydellä m massaisesta kappaleesta gravitaatiokenttä on g(r) = F(r) m missä F(r) on voima, joka vaikuttaa m-massaiseen hiukkaseen etäisyydellä r Homogeenisessä kentässä g(r) = g o = vakio Radiaalisessa kentässä g(r) = G M ˆr Kun g(r) tunnetaan kaikkialla, tunnetaan samalla gravitaatiokenttä. Siten merkintä F(r) tarkoittaa, että F on paikan r funktio. 5.3 Vuo (flux) Gravitaatiovoima on eräs esimerkki inverse square law voimasta. Se on siis kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Tässä kappaleessa otetaan esille käsitteet vuo, vuon tiheys ja kokonaisvuo. Esimerkkeinä valon virtaus sähkölampusta, veden virtaus vesijohdossa, rdioaktiivisen lähteen hajoaminen,... Veden virtauksessa lähteen kokonaisvuo on litraa/s, vuon tiheys jossain pisteessä on litraa/m 2 s. Gravitaatiovuon tiheys Gravitaatiossa voidaan puhua myös vuosta ja vuon tiheydestä, vaikka gravitaatiossa ei mitään virtaakaan. Kyseessä on siten abstrakti käsite. Voidaan kuitenkin ajatella, että gravitaatiovuorovaikutus liittyy gravitaation voimaviivoihin (vaikkei sellaisiakaan ole). Toiseksi gravitaation voimaviivat päättyvät kappaleeseen, jolla on massa. Kappaleet ovat pikemminkin nieluja kuin lähteitä. Gravitaatiovuon voidaankin ajatella saavansa al- 3

4 kunsa äärettömän kaukaa ja päättyvän kappaleeseen. Jos jossain alueessa on useita kappaleita, joiden massat ovat M 1, M 2, M 3... ovat gravitaatiokentän voimaviivat monimutkaisia. Kappaleisiin yhdistetty kokonaisvuo Φ g rinnastetaan kappaleiden massoihin Φ g = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 = M 1 + M 2 + M 3 Tällöin saadaan vuon tiheys [ Γ g = lim A 0 ] Φ g ˆt A missä Φ g on vuo kohtisuoran pinta-alan A läpi ja ˆt on A:ta vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jonka suunta on virtauksen tai vuon suunta. t on kenttäviivojen tangentin suuntainen ja vuon tiheys vektori on kenttäviivojen suuntainen. Siten Γ g. Pistemäisen lähteen vuon tiheys Olkoon meillä pistemäinen vuon lähde. Jos tarkastelemme tilannetta etäisyydellä r, siis r-säteisen pallon pinnalla, täytyy vuo/pinta-ala olla sama kaikissa pallon pinnan pisteissä. Vastaavasti pallon keskipisteeseen asennettu pistemäinen valolähde valaisee pallon sisäpinnan tasaisesti. Tällöin vuon tiheys Γ kaikissa r:n etäisyydellä lähteestä olevissa pisteissä P on Γ = Φ 4π Gravitaation tapauksessa vuo on sisäänpäin, joten gravitaatiovuon tiheys etäisyydellä r pistemäisestä kappaleesta, jonka massa on M saadaan Γ g (r) = M 4π ˆr Koska gravitationkentän voimakkuus on g(r) = G M ˆr joten g(r) = 4πG Γ g (r) 4

5 5.4 Gaussin laki gravitaation tapauksessa Newtonin gravitaatiolakia voidaan kutsua Gaussin laiksi gravitaation tapauksessa ja se sanoo: Gravitaatiokentän vuo minkä suljetun pinnan läpi tahansa on pinnan sisään jäävien kappaleiden massan summa. Pieni vuo jonkin pinnan läpi saadaan vuon tiheyden ja pienen pinta-alan tulona Φ = Γ ( A)n = Γ A Vuon tiheys riippuu paikasta ja A on pinta-ala vektori, joka on kohtisuorassa pintaa vastaan. Kokonaisvuo suljetun pinnan läpi saadaan summaamalla edelläolevat tulot koko pinnan yli. Käytännössä kokonaisvuo saadaan pinta-integraalina seuraavasti Φ = Γ d(a) = i S M i Esimerkki: kaksi pistemäistä kappaletta A ja B, niiden massat m A ja m B ja niiden välinen etäisyys r. Tällöin kappaleen B kohdalla kappaleen A aiheuttama gravitaatiovuon tiheys Γ g on Γ g (r) = m A 4π ˆr joten gravitaatiok entän voimakkuus pisteessä B on g(r) = 4πGΓ g (r) = 4πG m A 4π ˆr = Gm A ˆr Näin kappaleeseen B vaikuttava voima on F = m B g(r) = G m Am B ˆr Esimerkki: homogeenisen pallonkuoren aiheuttama gravitaatiokenttä. Olkoon meillä ohutseinäinen pallonkuori, jonka säde on R. Gaussin lain avulla voidaan pallonkuoren aiheuttaman gravitaatiokentän voimakkuus laskea missä pisteessä tahansa. 5

6 a) Tarkastellaan pistettä P pallonkuoren ulkopuolella. Valitaan pallon pinta S, jonka säde on r > R. Tämän sisällä oleva massa on sama kuin pallonkuoren massa M s. Olkoon Γ gravitaatiovuon tiheys pallon S pinnan pisteessä P. Gaussin lain avulla saamme Γ d(a) = Γ(4π ) = M s S Etäisyyden r päässä pallonkuoren keskipisteestä gravitaatiovuon tiheys on Γ(r) = M s 4π ˆr ja gravitaatiokentän voimakkuudeksi pisteessä P saadaan g(r) = 4πGΓ(r) = G M s ˆr b) Tarkastellaan pistettä P pallonkuoren sisäpuolella. Valitaan pallon pinta S, jonka säde on r < R. Tämän sisällä oleva massa on nolla. Gravitaatiovuon tiheys Γ pallon S pinnan pisteessä P on myös nolla. Näin ollen g(r) = 0. Gravitaatiokenttä pallonkuoren sisäpuolella on siten nolla. Esimerkki: homogeenisen pallon (massa M) aiheuttama gravitaatiokenttä. Olkoon meillä homogeeninen pallo, jonka säde on a. a) Vastaavasti kuin pallonkuoren tapauksessa etäisyyden r > a päässä pallon aiheuttama gravitaatiovuon tiheys on Γ(r) = M s 4π ˆr ja pallolle saadaan gravitaatiokentän voimakkuudeksi g(r) = 4πGΓ(r) = G M ˆr b) Kun ollaan pallon sisällä etäisyyden r < a päässä pallon keskipisteestä pallon aiheuttama gravitaatiovuon tiheys on Γ(r) = M r 4π ˆr ja pallon sisälle etäisyydelle a keskipisteestä saadaan gravitaatiokentän voimakkuudeksi g(r) = 4πGΓ(r) = G M a 3 r 6

7 Pistemäisen kappaleen, massa m, kokema voima on siten Käy kirjan esimerkit tarkasti läpi. Paino F(r) = G mm ˆr kun r a F(r) = G mmr ˆr kun r a a 3 Olemme käyttäneet painoa jo monessa paikassa, mutta kirjassa se tulee tässä paikassa. Maapallon pinnalla m-massaiseen kappaleeseen vaikuttava gravitaatiovoima on siten F = G mm E ˆr RE 2 missä M E on maapallon massa ja R E on maapallon säde. Kappaleen paino W on W = mg = G mm E ˆr RE 2 Koska myös gravitaatiovoima on massa kertaa kiihtyvyys, saadaan saadaan kiihtyvyydeksi F = G mm = ma a = G M joka on riippumaton massasta m. 5.5 Liike tasaisessa kentässä: heittoliike Heittoliike on tasossa tapahtuva liike. Tämä on käsitelty jo aikaisemmin. 5.6 Mekaaninen työ ja energia Mekaanista työtä ja energiaa on tarkasteltu yksiulotteisen liikkeen tapauksessa jo aikaisemmin. Tässä tarkastelemme näitä suureita kolmiulotteisesti. Laskettaessa mäkeä, gravitaatiovoima tekee työtä. Kiihtyvyys riippuu kenttävoiman likkeen suuntaisesta komponentista. 7

8 Jos kappale liikkuu matkan s, tekee voima F työn W = F s = F cosθ s missä θ on voiman ja siirtymän välinen kulma. Työn yksiköksi tulee [W ] = [F ][s] = Nm = J Jos kappale liikkuu voimakentässä A:sta B:hen, voidaan polku jakaa pieniin s:n suuruisiin osiin, jolloin työ tulee olemaan W A B = F 1 s 1 + F 2 s F n s n = i F i s i Yleisesti työ lasketaan viivaintegraalina W A B = W AB = B A F ds Potentiaalienergia: konservatiivinen kenttä Yleisesti työ edellisessä yhtälössä riippuu tiestä. Tarkastellaan esimerkkiä, jossa voima F = byi + bxj, missä b on vakio. Lasketaan työ pitkin suljettua polkua (x, y) (x+ x, y) (x+ x, y+ y) (x, y+ y) (x, y). Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä, jossa voima F = byi + bxj. Miten nyt käy? Jos voimakenttä on konservatiivinen, tulee työn W AB arvo olemaan vakio Se ei siten riipu tiestä. Tällöin integraalin arvo riippuu vain alku- ja loppupisteistä ja W AB = B A F ds = U(r B ) ( U(r A )) = U(r A ) U(r B ) Tässä U(r):ta sanotaan potentiaalienergiafunktioksi. 8

9 eli U = F s Potentiaalienergia määritellään funktion arvojen erotuksena kahdessa pisteessä Tällöin funktioon voidaan lisätä mielivaltainen vakio ja erotus pysyy samana Usein: Jos voima on nolla potentiaalienergia on nolla. Hiukkasen potentiaalienergia paikassa r on r r o F ds = U(r) [ U(r o )] = U(r o ) U(r) Nyt jos U(r o ) = 0 r U(r) = r o F ds Hiukkasen potentiaalienergia pisteessä P on työ, joka tehdään voimakentässä siirtämällä hiukkanen nollapotentiaalienergiasta pisteeseen P. Potentiaalienergian yksikkö [U] = J Jos potentiaalienergiafunktio on olemassa, voidaan kentän voima laskea missä pisteessä tahansa Koska U = F ds = F x x saadaan yhdessä ulottuvuudessa U F = lim x 0 x = du dx Laajennetaan lauseke kolmeen ulottuvuuteen jolloin U = (F x x + F y y + F z z) ja saadaan F x = U x 9

10 F y = U y F z = U z Osittaisderivaatta: Jos U = U(x, y, z) U x = lim x 0 [ ] U(x + x, y, z) U(x, y, z) x Derivoidaan vain yhden muuttujan suhteen pitäen muut muuttujat vakioina Gradientti: Edellisistä saadaan yhteensä F = ( U x i + U y j + U ) ( z k = x i + y j + ) z k U = U missä on suluissa oleva vektorioperaattori = gradientti = x i + y j + z k ja U = U x i + U y j + U z k Jos voimakenttä on siis konservatiivinen, on potentiaalienergia laskettavissa alku- ja loppupisteiden avulla. Kuljetulla tiellä ei ole merkitystä. Lisäys: Yleisesti Stokesin teoreema sanoo, että 10

11 F dr = S ( F) ˆn da missä S on suljettu pinta, jonka yli integroidaan, da on pinta-ala-alkio ja ˆn on pintaalavektori (suunta oikealla kädellä!). F = curl F on sama kuin roottori F eli se kuvaa pyörteisyyttä. Jos F = niin voima on konservatiivinen! i j k x y z F x F y F z 0 Voima on konservatiivinen, jos sen roottori häviää! Jos roottori F häviää, sen kaikki komponentit häviävät. Tällöin F x = U x, F y = U y, F z = U z ja F = U x i U y j U z k U:n tulee olla jatkuva ja derivoituva funktio. Välttämätön ja riittävä ehto U(x,y,z):n olemassaololle on F = 0. Gradientti osoittaa suurimman muutoksen suunnan! Vapaasti liikkuva hiukkanen liikkuu siten pienimmän potentiaalienergian suuntaan. Voima on AINA kohtisuorassa potentiaalienergian tasa-arvokäyriä tai -pintoja vastaan. 11

12 Mekaaninen energia Tarkastellaan miten potentiaalienergiaa voidaan muuttaa työksi W AB = B A F(r) ds Newtonin II lain avulla F = ma saadaan W AB = B A B ma ds = m A B dv dt ds = m A dv dt ds dt dt B = m A B dv dt vdt = m A vdv = 1 2 m(v2 B v 2 A) Siten työ on W AB = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A Lauseketta 1 2 mv2 sanotaan kineettiseksi energiaksi K joten K = 1 2 mv2 Koska W AB = U(r B ) ( U(r A )) = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A 1 2 mv2 A + U(r A ) = 1 2 mv2 B + U(r B ) Lauseke on vakio pisteistä A ja B riippumatta. Se on mekaaninen kokonaisenergia. Kyseessä on mekaanisen energian säilymisperiaate E = K + U = 1 2 mv2 + U(r) 12

13 Konservatiivisessa voimakentässä mekaaninen energia säilyy Koska hiukkasen liikemäärä p = mv saadaan K = 1 2 mv2 = m2 v 2 2m = p2 2m jolloin mekaaninen kokonaisenergia on Hamiltonin funktio E = p2 2m + U(r) Esitellään Hamiltonin funktio, jota tullaan käyttämään myöhemmin mm. kvanttimekaniikassa joten H(p, r) = p2 2m + U(r) H(p, r) = E = vakio Teho (power) Teho määritellään mekaanisen työn avulla: teho = tehty työ aikayksikössä P = lim t 0 W t = dw dt jonka yksikkö on [P ] = [W ] [t] = J s = W = watti Koska dw = F ds saadaan P = dw dt = F ds dt = F v jolloin 13

14 P = F v missä v on kappaleen nopeus ja F kappaleeseen vaikuttava voima Potentiaalienergiafunktion kuvaaja Potentiaalienergia voidaan esittää x:n funktiona kuten mikä muu suure tahansa Jos voimakenttä on konservatiivinen, on kokonaisenergia E = K + U = vakio, myös kuvaajassa Koska K = 1 2 mv2 0 E U - Potentiaalienergiafunktion ja kokonaisenergian leikkauspisteet ovat hiukkasen käännepisteitä - käännepisteiden ulkopuolella olevat alueet ovat kiellettyjä klassisessa mekaniikassa Kuvaajasta saadaan myös voima F = du dx 5.7 Energia tasaisessa kentässä Tässä kappaleessa tarkastellaan muutamaa esimerkkiä: - kappale vapaassa putoamisliikkeessä - kappale putoaa vapaasti ja rajana on maanpinnan taso - hiukkanen 1-dimensioisessa laatikossa 5.8 Energia inverse square law kentässä Etäisyyden neliöön verrannollinen vetovoima Newtonin vetovoimalain mukaisessa tilanteessa potentiaalienergia U on U(r) = GmM r Tällöin potentiaalienergia on äärettömän kaukana nolla 14

15 Potentiaalienergian kuvaajasta ja kokonaisenergiasta voidaan päätellä kappaleen tilasta. U(r):n gradientti on aina positiivinen ja voima siten F = du dr aina negatiivinen eli radiaaliseen suuntaan nähden vastakkainen Jos otamme potentiaalienergiafunktiosta hyvin pienen r:n suuruisen pätkän, se näyttää suoralta Vastaavasti Maan pinnan läheisyydessä potentiaalienergiakäyrä on lähes suora. Siten m-massaisen hiukkasen potentiaalienergia on Derivoidaan U r:n suhteen, jolloin U = GmM E r Etäisyydellä r potentiaalienergia on du dr = GmM E tai du(r) = GmM E dr U(r) = GmM E r ja etäisyydellä r + r U(r + r) = GmM E (r + r) (r + r) GmM E (r + r) 2 jolloin näiden erotus on U = GmM E r Jos ero r tulkitaan korkeudeksi y siten, että nollataso on Maan pinnan tasolla, saadaan 15

16 U = GmM E y RE 2 missä Tällöin U = mgy g = GM E R 2 E Huom! Tämä pätee vain pienellä korkeusalueella Maan pinnan läheisyydessä Etäisyyden neliöön kääntäen verrannollinen poistovoima Voima voi olla yhtä hyvin veto- kuin poistovoima. Poistovoiman tapauksessa potentiaalienergia on U(r) = + C r missä C on jokin vakio. Tällaisen käyrän gradientti on negatiivinen Miten hiukkanen voi liikkua tällaisessa voimakentässä? Entä jos kaksi attraktiivista inverse square law kenttää laitetaan R:n etäisyydelle toisistaan, miten tässä kentässä oleva hiukkanen voisi liikkua?? 16

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki 2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia

Luento 11: Potentiaalienergia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee

Lisätiedot

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan

Lisätiedot

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

W el = W = 1 2 kx2 1

W el = W = 1 2 kx2 1 7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)

6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

Potentiaali ja potentiaalienergia

Potentiaali ja potentiaalienergia Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,

Lisätiedot

Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta

Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta 8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Työ ja kineettinen energia

Työ ja kineettinen energia Työ ja kineettinen energia Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

= ( F dx F dy F dz).

= ( F dx F dy F dz). 17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Fysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto

Fysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä

Lisätiedot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Gravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike

Gravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä

Lisätiedot

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää 3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

kertausta Esimerkki I

kertausta Esimerkki I tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.

Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita. 766323A Mekaniikka Mansfield and O Sullivan: Understanding physics kpl 1 ja 2. Näitä löytyy myös Young and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 2 ja 3, s. 40-118. Johdanto Fysiikka on perustiede.

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

Liikemäärä ja voima 1

Liikemäärä ja voima 1 Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman

Lisätiedot

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5 Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot