a(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50

Transkriptio

1 BM0A Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan suuremmaksi kuin 70. Oletetaan, että t 0, jolloin (b) Nyt a(t) 3 t < 70 Eli hengissä pysytään 116 aikayksikköön asti. 3 t 1 < 69 t 1 < 46 t < a(t) v (t) 50 Koska kiihtyvyys on vakio eikä ylitä 70:tä, henki ei lähde koskaan. (c) Nyt kiihtyvyys a(t) v (t) t cos(t ) 4t cos(t ) Seuraavaksi on selvitettävä, milloin kiihtyvyys on itseisarvoltaan suurempi kuin 70. Kiihtyvyyden lauseke koostuu nyt kahdesta osasta: lineaarisesta 4t ja värähtelevästä osasta cos(t ). Värähtelevän osan takia kiihtyvyyden suuruus vaihtelee nopeasti välillä [ 4t, 4t]. Voidaan ajatella, että kiihtyvyys on suurempi kuin 70 silloin, kun lineaarinen osa 4t 70 eli t Vaikka raja ei ylitykään täsmälleen hetkellä t 17.5, se ylittyy niin pian sen hetken jälkeen, ettei käytännön kannalta eroa synny.. (a) Olkoon katoksen sivun pituus, ( > 0). Katoksen seiniin kuluu tällöin rahaa Katoksen lattian hinnaksi tulee 80 ja katon hinnaksi 50. Koska budjetti on 3500 euroa, saadaan ratkaistavaksi yhtälö Katoksen sivun pituus on siis.904 m. 88 ± ( 9.77)

2 (b) Olkoon katoksen pohjan säde r, (r > 0). Katoksen seiniin kuluu rahaa πr.3 90, lattiaan πr 50 ja kattoon πr 80. Saadaan siis yhtälö πr πr 50 + πr πr + 414πr r 414π ± (414π) π π ( 4.948) (c) Katoksen pohjan halkaisija on r 3.48 m. i. Olkoon jälleen katoksen sivun pituus, ( > 0), ja katoksen korkeus h, (h > 0). Katoksen lattian ja katon kustannukset saadaan samalla lausekkeella kuin a-kohdassa. Koska katoksen tilavuus V h 100, voidaan ilmaista h 100. Seinien hinnaksi tulee siis 4 h Kutsutaan rakentamisen kustannuksia kuvaavaa funktiota f. Saadaan f () Halutaan siis minimoida kustannukset, eli on etsittävä funktion f () pienin arvo. Avoimella välillä ]0, [ funktion f pienin arvo löytyy sen derivaatan nollakohdista tai pisteistä, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska f on em. välillä kaikkialla jatkuva ja derivoituva, pitää tutkia sen derivaatan nollakohdat. f () : f () f () Kuva 1: Merkkitaulukko Tutkimalla derivaatan merkkiä (kuva 1) nollakohdan ympärillä voidaan todeta, että kyseessä on funktion minimikohta. Täten siis sivun pituus m. ii. Olkoon jälleen katoksen pohjan säde r, (r > 0) ja korkeus h, (h > 0). Koska katoksen tilavuus V πr h 100 h 100, saadaan seinien hinnaksi πr h πr r 90. Lattian ja katon kustannukset ovat samat kuin b-kohdassa, joten kokonaiskustannukset ovat f (r) πr 50 + πr 80 r 130πr r

3 f (r) r + f (r) Kuva : Merkkitaulukko Kuten edellisessä kohdassa, on etsittävä f :n derivaatan nollakohdat. f (r) 130πr r 0 r 60πr πr r r : 60π Tutkimalla derivaatan merkkiä (kuva ) nollakohdan ympärillä voidaan todeta, että kyseessä on funktion minimikohta. Täten siis pohjan halkaisija r 1.84 m. 3. Oletetaan, että 0 < θ < π. Olkoon rännin korkeus h. Rännin tilavuus maksimoituu silloin, kun sen poikkipinta-ala on suurimmillaan. Poikkipinta-ala on puolisuunnikas, jonka pinta-ala on A a + c h cosθ 10sinθ 100sinθ + 100cosθsinθ Avoimella välillä A saavuttaa suurimman (ja pienimmän) arvonsa derivaatan nollakohdissa ja pisteissä, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska A on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, ääriarvot löytyvät sen derivaatan nollakohdista. Merkitään cosθ u, jolloin saadaan Nyt siis A (θ) 0 jos A (θ) 100cosθ ( sinθ sinθ + cosθ cosθ) 100cosθ (cos θ sin θ) 100cosθ (cos θ 1) 00cos θ + 100cosθ u + 100u : 100 u + u 1 0 u 1 ± cosθ 1 θ ± π 3 + nπ cosθ 1 θ ±π + nπ

4 Saaduista ratkaisuista määrittelyvälille kuuluu vain θ π 3. Tutkimalla derivaatan merkkiä tämän nollakohdan ympärillä voidaan todeta, että se on maksimiarvo ja siten A:n suurin arvo määrittelyvälillä. Eli siis kulman täytyy olla θ π 3 rad Kutsutaan ibuprofeenin määrää elimistössä hetkellä t (tuntia) a(t), jolloin a 0 a(0) 400 mg. Tunnin kuluttua a(1) 0.71a 0, tunnin kuluttua a() a 0 ja niin edelleen. t tunnin kuluttua ibuprofeenin määrä elimistössä on a(t) 0.71 t a 0. (a) a(8) mg 5.83 mg (b) Puoliintumisajan kuluttua elimistössä on jäljellä puolet alkuperäisestä määrästä ibuprofeenia, eli a(t) 0.71 t a 0 0.5a t 0.5 t ln(0.71) ln(0.5) t ln(0.5).0 (h) ln(0.71) 5. (a) v(t) a(t)dt (1 + e t )dt t e t + c v(0) 0 e 0 + c 1 c v(t) t e t + (b) p(t) v(t)dt (t e t + )dt 1 t + e t + t + c p(0) 0 + e c 0 c 1 p(t) 1 t + e t + t 1 6. Piirrustuksetkin kelpaisivat perusteeksi (viimeisen funktion piirtäminen ehkä hieman hankalaa "lonkalta"), mutta tehdään nyt "kaavoilla": f ( ) f (),

5 siis f on pariton funktio. Sekä parillisuuteen että parittomuuteen välttämätön ehto on g() g( ). Todetaan vastaesimerkillä ettei g voi olla pariton eikä parillinen. g(1) , ja toisaalta g( 1) 1. Siis g ei voi olla pariton eikä parillinenkaan. Siis h on parillinen. h( ) ( ) h(), siis s on parillinen. s( ) cosh( ) + ep( ( ) ) ep() + ep( ) 7. Funktion f jaksonpituus on 0.5 sillä ep( ) + ep( ( )) + ep( ) + ep( ) cosh() + ep( ) s(), f () sin(4π) sin(4π + π) sin(4π( + 0.5) f ( + 0.5). Funktion g() jaksonpituus on π sillä g() sin() + 1 sin( + π) + 1 g( + π). Funktio h() sin( ) ei ole jaksollinen sillä se alkaa "oskilloimaan"yhä suuremmalla taajuudella mitä suurempia :n arvot ovat. Piirrustus riittää perusteluksi. Matemaattiseksi perusteeksi voi vaikka antaa derivaatan lausekkeen h () cos( ), josta nähdään että derivaatan arvot sen kuin kasvavat mitä pidemmälle mennään ja toisaalta jaksollisella funktiolla funktioin ja sen derivaattojenkin arvojen täytyisi alkaa toistamaan itseään. 8. (i) Oletamme siis että f () f ( ). Derivoimalla puolittain saadaan f () f ( ). Siis f on pariton funktio. (ii) Oletamme siis että f () f ( ). Derivoimalla puolittain saadaan f () ( f ( )), eli f () f ( ) eli f on parillinen funktio.