102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

Transkriptio

1 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett Todistus 1 Kärä x + = x = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja = 7, niin kärän htälön Piste ( 3,7 ) on kärällä vasen puoli on oikea puoli on Siis piste 3,7 on kärällä. 7 ja = 7. a) Piste ( 1, ) on kärällä, jos ja vain jos sen koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 1 ja =, niin kärän htälön vasen puoli on = 4 ja oikea puoli on 3 ( 1) + 31 = 4. Siis piste ( 1, ) on kärällä. b) Piste ( 3, ) on kärällä, jos ja vain jos sen koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja =, niin kärän htälön vasen puoli on = 36ja oikea puoli on = Siis piste ( 3, ) ei ole kärällä.

2 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitett Kärä a) x = 3 7 Kun x = ja =, niin kärän htälön vasen puoli on 3 7= 1 ja oikea puoli on 1. Siis piste (, ) ei ole kärällä. b) Jos x =, niin = 3 = 7 7 = 3 1 = Kokeillaan esimerkiksi, onko piste ( x, ) = ( 1,1) paraabelilla ( x) + 6x+ 4=. Saadaan x + 6x+ 4 = ( 1 1) = = Joka on sama kuin htälön oikea puoli. Siis piste ( 1,1 ) on paraabelilla. Huomautus: Paraabelilla on tietenkin äärettömän monta pistettä, jotka kelpaavat tässä ratkaisuksi. Piste ( 1,1 ) valittiin siksi, että tällöin ensimmäinen paraabelin htälön vasemmalla puolella esiintvä termi (toisen asteen termi) menee nollaksi. Siis esimerkiksi 1, 3 on kärän piste.

3 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 3 Päivitett Kun ( x, ) = (, 1), niin htälön 3 3 x + 3 = + 3 ( 1) = 4+ 3 ( 1) = 8 3= 5 3 x = vasen puoli on eli htä suuri kuin oikea puoli, joten piste on kärällä. Kun ( x, ) = ( 1, 1), niin htälön x + 3 = ( 1) = ( 1) = 3= 1 5, joten piste ei ole kärällä. Kun ( x, ) = ( 1,1), niin htälön 3 3 x + 3 = = = + 3= 5 x + 3 = 5 vasen puoli on 3 x + 3 = 5 vasen puoli on eli htä suuri kuin oikea puoli, joten piste on kärällä. 16 Todistus. Piste (, ) on mprällä x + = 4x, jos ja vain jos pisteen koordinaatit toteuttavat mprän htälön. Vastaavasti piste (, ) on suoralla x =, jos ja vain jos pisteen koordinaatit toteuttavat suoran htälön. Osoitetaan siis, että pisteen (, ) koordinaatit toteuttavat sekä mprän että suoran htälön. Kun x = ja =, niin mprän htälön vasen puoli on + = 4+ 4= 8 ja oikea puoli on 4 = 8. Siis piste (, ) on mprän piste. Kun x = ja =, niin suoran htälön vasen puoli on = 4 = ja oikea puoli on. Siis piste, on mös suoran piste. Vastaus Pisteet (, 1 ) ja ( 1,1) ovat kärällä piste ( 1, 1) ei ole. 3 x + 3 = 5 ja

4 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitett Väite: Kärät ( x ) ( ) ( x )( ) Todistus: = 5 ja 3 = 6 leikkaavat origossa. On siis osoitettava, että origo on kärien hteinen piste. Origo on kärän ( x 3) ( 4) 5 ( x, ) = (,) niin htälön vasen puoli on + = piste, sillä kun 18 Taulukoidaan ensin piirrettävien suorien htälöt. c c 1 = ( c 1) x+ c 1 ( ) 1= 4 1= 3 ( 1) 1= 1 1= = 3x = = = = x 1 1 1= 1 1= = 1 1= 4 1= 3 = 3 + x ( 3) + ( 4) = 9+ 16= 5 eli htä suuri kuin oikea puoli. Origo on kärän ( x 3)( ) = 6 piste, sillä kun ( x, ) = (,) niin htälön vasen puoli on ( 3)( ) = ( 3)( ) = 6 eli htä suuri kuin oikea puoli. Siis kärät ( x ) ( ) ( x )( ) leikkaavat origossa = 5 ja 3 = 6

5 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett Käräparvi a) cx x c 4, c + + = R Kärän kuvaaja kulkee origon kautta, jos ja vain jos Kun c =, niin kärän htälö on x+ x+ ( ) = 4 eli x + x = Vastaus a) x + x = ja x + x = b) x + x = c + + c = 4 c = 4 c = ± Kun c =, niin kärän htälö on x+ x+ = 4 eli x + x = Kun c =, niin kärän htälö on x+ x+ ( ) = 4 eli x + x = b) Kärän kuvaaja kulkee pisteen ( 4, ) kautta, jos ja vain jos c + + c = c + 4c+ 4= ( c + ) = c + = c = 11 Piste (, 1) k k + on paraabelilla toteuttaa suoran htälön. Siis k 1 k + = k k 3= ± ( ) 4 1 ( 3) ± 16 ± 4 k = = = 1 k = 3 tai k = 1 Kun 3 Kun 1 k =, niin piste on ( 3,7 ). k =, niin piste on ( 1, 1) Vastaus 3 1. k =, ( 3,7 ) k =, ( 1, 1). = x, jos ja vain jos piste

6 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett Kärä 5 5 x + cx+ cx 1= leikkaa x-akselia, jos jokin muotoa ( x,) oleva piste on kärällä. Tämä toteutuu, kun 5 5 x + c x + cx 1= cx 1= cx = 1 11 a) Janan AB pituus on ( 5 1) + ( 5 ) = = = 5 = 5 Toisen asteen htälöllä cx = 1 on ratkaisuja, kun c >. b) Koska pisteiden A ja B x-koordinaatit ovat samat, jana AB pituus on 3 7 = 1 = 1. Vastaus 5 5 x + cx+ cx 1= leikkaa x-akselia täsmälleen silloin, kun c >. c) Janan AB pituus on ( 6 9) + 4 ( 4) = = = 89 = 17

7 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett Pisteiden ( 1,1 ) ja ( aa, ) välinen etäiss on 114 Olkoon A (,6 ), B ( 1, 3 ) ja C ( 4,1) = = =. ( a ( 1) ) + ( a 1) = ( a+ 1) + ( a 1) = a + a+ 1+ a a+ 1 = a + Lasketaan kolmion sivujen pituudet. AB = ( 1 ) + ( 3 6) = 1 + ( 9) = 8 AC = = = 41 [ ] BC = = = 41 Koska AC = BC, niin kolmio on tasaklkinen. Vastaus On

8 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett Kolmio on suorakulmainen täsmälleen silloin, kun Pthagoraan lause on voimassa. Lasketaan kolmion sivujen pituudet ja tutkitaan, onko Pthagoraan lause voimassa. 116 (, 3 ), ( 1, ) ja ( 6,5) A= B= C = AB = [ ( ) ] + ( 6) = 4 + ( 8) = 8 AC = [ 8 ( ) ] + ( 1 6) = 1 + ( 5) = 15 [ ] BC = ( 8 ) + 1 ( ) = = 45 Pisin sivu on AC, joten merkitään a= 8, b= 45 ja c= 15. Tällöin a b + = = = 15 c = 15 = 15 Siis Pthagoraan lause suorakulmainen. a + b = c on voimassa, joten kolmio on a) b) [ ] [ ] [ ] [ ] AB = 1 + ( 3) = = 169 = 13 AC = = = 8 = 8 BC = = = 5 = 5 Piiri p = = = 9, ,3 A= A A A A ADEF = 1 8 = = 8 Vastaus a) ,3 b) 8

9 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitett Väite: Pisteiden A ( x, ) ja B ( x, ) = = etäisdelle 1 1 pätee kaava ( x x ) ( ) 1 + mös silloin, kun 1 1 = eli kun jana AB on vaakasuorassa. Todistus: Kun jana AB on vaakasuorassa, niin pisteiden A ja B välinen etäiss on x x1. Toisaalta kaava antaa tuloksen ( x x ) x x + = = + = x x a = a = x x 118 Kulma α saadaan htälöstä 4 tanα = 3 α = 53,13... Vastaavasti tan β = 5 β = 1,81... Tällöin kupera kulma ABC = α β = 54, Vastaus 55 Näin väite on todistettu.

10 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett Pisteiden ( x,3 ) ja (, 1) etäiss on [ ] d = ( x ) + 3 ( 1) x R = x 4x = x x+ 4 1 Olkoon A ( 3, 1 ), B (,4) -akselin piste C = (, ). = = ja kstt Koska etäisden pitää olla 5, niin juurrettavan oltava 5. x 4x + on Siis x x 4x+ = 5 4x 5= 4± x = 1 4± 36 4± 6 x = = x= 5 tai x= 1 Vastaus x = 5 tai x = 1 Jana AB näk pisteestä C suorassa kulmassa, jos ja vain jos kolmio ABC on suorakulmainen ja jana AB sen hpotenuusa. Kateettien pituudet ovat a= BC = + 4 = = 8+ [ ] b= AC = ( 3) + ( 1) = = Hpotenuusan pituus on [ ] c= AB= ( 3) + 4 ( 1) = = 6

11 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 11 Päivitett Saadaan htälö ( 8+ ) + ( + + 1) = ( 6) = = : 3+ = a + b = c 3± ( 3) 4 1 = 1 3± 1 = = tai = 1 Siis -akselin pisteet ovat (, ) ja (,1 ). 11 Olkoon A = (, 5) ja ( 3,7) Janan AB pituus on B =. B A B A AB = x x + [ ] = ( 3 ) + 7 ( 5) = ( 5) + 1 = = 169 = 13 Janan AB keskipiste C on x ( 3) A + xb A + B C =, =, =,1 Vastaus 1 13,,1

12 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett Olkoon A= (, 4 ) ja P= (, 1) ja kstt piste B ( x, ) =. 13 Olkoon A (, a) ja B ( b,) = =. Tällöin + x = 4 + = 1 + x = = x = 6 = Vastaus ( 6, ) Koska janan keskipiste on (,6) saadaan + b a+ = ja = 6 b= 4 ja a= 1 Siis A (,1 ) ja B ( 4,) = =. Vastaus (,1 ), ( 4, ) P =,

13 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 13 Päivitett (, 1 ), (, 3 ) ja ( 4,5) A= B= C = b) Janan BC keskipiste on xb + xc B + C D =, =, = 3,1 Mediaanin AD pituus on AD = x x + = [ 3 ( ) ] + 1 ( 1) = 5 + = 9 D A D A [ ] (, 1) ( 3,1) A = D = a) [ ] [ 3 ( 1) ] B A B A = 4 + ( ) = = 4 5 = 5 AB = x x + = + Vastaus a) AB = 5 4,5 AC = 6 8,5 [ 4 ] [ 5 ( 1) ] C A C A AC = x x + = + BC = 17 8, = + = = b) 9 5,4 ( 4 ) [ 5 ( 3) ] BC = x x + = + C B C B = + = = =

14 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 14 Päivitett Olkoon janan AB keskipiste C. Tällöin piste P on janan CB keskipiste. Janan AB keskipiste on C =, =, 16 Janan päätepisteet ovat A ( x, ) ja B ( x, ) = =. On osoitettava, että janan AB keskipiste on x + x, + P = mös silloin, kun jana AB ei ole nouseva. a) x1 x ja 1 < >, joten jana AB on laskeva. Peilataan jana AB -akselin suhteen, jolloin saadaan janan AB kanssa htä pitkä nouseva jana B' A ', jonka keskipiste on P '. Tämän janan päätepisteet ovat A' = ( x1, 1) ja B' = ( x, ), x1 > x ja 1 > Janan B' A ' keskipiste on x1+ ( x) 1+ x1+ x 1+ P' =, =, Janan AB keskipiste saadaan tästä peilaamalla -akselin suhteen, jolloin nähdään, että x 1+ x 1, + P = Janan CB keskipiste on ) ) P =, =, =, =, Vastaus P 3 3 =, 4 4

15 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitett x b) 1 = x, joten jana AB on pstsuora. Janan AB keskipiste on tällöin 1+ x1 1+ P= x1, =, x1+ x1 1+ =, x = x x1+ x 1+ =, c) 1 1 =, joten jana AB on vaakasuora. Janan AB keskipiste on tällöin x1+ x x1+ x 1 P=, 1 =, x1+ x 1+ 1 =, = x1+ x 1+ =, Siis janan keskipiste on aina x + x, + P = 17 Oletus: Väite: Todistus: Janan AB päätepisteet ovat paraabelilla Janan AB keskipiste ei ole tällä paraabelilla. Merkitään A ( ac, ) ja B ( bd, ) = x. = =, missä A ja B ovat eri pisteitä. Koska P on paraabelilla = x, niin c= a. Vastaavasti koska Q on paraabelilla = x, niin d = b. Siis A = ( aa, ) ja B= ( bb, ), missä a b, sillä A ja B ovat janan päätepisteitä. Janan AB keskipiste on a+ b a + b P= ( x, ) =, Tutkitaan, onko P paraabelilla a + b = ja oikea puoli a+ b x = a + ab+ b = 4 = x. Yhtälön vasen puoli on

16 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 16 Päivitett Tutkitaan, voivatko nämä olla htä suuret. Saadaan htälö a + b a + ab+ b = 4 a + b = a + ab+ b a ab b + = ( a b) = a= b mikä ei pitänt paikkaansa. Siis keskipiste P ei ole paraabelilla = x. 18 Kun piste peilataan x-akselin suhteen, niin pisteen x-koordinaatti x, säil ja -koordinaatti muuttuu vastaluvukseen. Pisteen peilikuva x-akselin suhteen on piste ( x, ). Kun piste peilataan -akselin suhteen, niin pisteen -koordinaatti x, säil ja x-koordinaatti muuttuu vastaluvukseen. Pisteen peilikuva -akselin suhteen on piste ( x, ). Kun piste peilataan origon suhteen, niin pisteen x- ja x, -koordinaatit muuttuvat vastaluvuikseen. Pisteen peilikuva origon suhteen on piste ( x, ). a) Pisteen ( 1, ) peilikuva on x-akselin suhteen ( 1, ) -akselin suhteen ( 1, ) origon suhteen ( 1, ) b) Pisteen ( 1, ) peilikuva on x-akselin suhteen ( 1, ) -akselin suhteen ( 1, ) origon suhteen ( 1, )

17 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 17 Päivitett c) Pisteen (, ) peilikuva on x-akselin suhteen (, ) -akselin suhteen (, ) origon suhteen (, ) d) Pisteen ( ab, ) peilikuva on * x-akselin suhteen ( a, b) ja näiden pisteiden etäiss on [ ] a a + b b = 4b = b * -akselin suhteen ( ab, ) ja näiden pisteiden etäiss on [ a ( a) ] + ( b b) = 4a = a * origon suhteen ( a, b) ja näiden pisteiden etäiss on [ a ( a) ] + [ b ( b) ] = 4a + 4b = 4 a + b = a + b 19 Oletus: Olkoon PQ ' ' janan PQ peilikuva x-akselin suhteen. Väite: Janat PQ ja PQ ' ' ovat saman pituisia. Todistus: Merkitään P= ( x1, x) ja Q= ( x, ). Tällöin janan PQ pituus on ( x x ) + ( ) 1 1 Pisteiden P ja Q peilikuvat ovat P' ( x, ) ja Q' ( x, ) joten janan PQ ' ' pituus on ( x x ) + ( ) 1 1 ( x x ) ( ) 1 1 = + + ( x x ) ( ) = ( x x ) ( ) 1 1 = + = =, 1 1 Siis PQ ja P' Q ' ovat htä pitkiä.

18 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 18 Päivitett Tarkastellaan tasasivuista kolmiota, jonka kärjet ovat pisteissä (,1 ), (, 1 ) ja ( 3,) A= B= C = 131 Suora 3x 1 = + kulkee pisteiden (,1) B = ( 1, ) = ( 1, 4) kautta. A = ja a) Kun peilataan x-akselin suhteen, niin piste A peilautuu pisteeksi A ' = (, 1) ja B peilautuu pisteeksi B ' = ( 1, 4). Suora = 3x+ 1 peilautuu siis suoraksi, jonka kulmakerroin on 4 ( 1) = 3 1 ja ratkaistun muodon vakiotermi on 1 eli suoraksi = 3x 1. Kun kolmio peilataan x-akselin suhteen, niin kärki A peilautuu pisteeksi (, 1) eli kärjeksi B, kärki B peilautuu pisteeksi, ( 1) (,1) kärki C ps paikallaan. = eli kärjeksi A ja Siis kolmio peilautuu itselleen eli on x-akselin suhteen smmetrinen. b) Kun peilataan -akselin suhteen, niin piste A ps paikoillaan ja B peilautuu pisteeksi B '' = ( 1,4 ). Suora = 3x+ 1 peilautuu siis suoraksi, jonka kulmakerroin on 4 1 = ja ratkaistun muodon vakiotermi 1 eli suoraksi = 3x+ 1. Sen sijaan -akselin suhteen peilattaessa kärki C peilautuu pisteeksi ( 3, ), joka ei ole lainkaan tämän tasasivuisen kolmion piste. Siis tämä tasasivuinen kolmio ei ole -akselin suhteen smmetrinen.

19 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 19 Päivitett a) Sijoittamalla saadaan (( 5) + ( 1) + 5) 1 ( 5) = ( ) 1 5 = 51 5 = = 5 = 5 ja = ( ) 16 = 5 16 = 9 = 3, on parametria c = 5 ja joten piste piste ( 4,3 ) parametria c = 3 vastaavalla kärällä. Sen sijaan 11 1,5 1, joten piste ( 5, 1) käristä. b) ( 6 + ( 1 π ) + 5) 1 6 ei ole millään ( 61 1 π π ) π 4π 18π 48π π + 4π + 18π + 48π ,7 ja piste ( 6, 1 π ) = = joten ei ole millään käristä. c) Kuvaaja on ksiosainen, kunhan sillä on jokin -akselin piste (, ). Sijoittamalla piste kuvaajan htälöön todetaan, että ( + + 5) 1 = c, josta saadaan ( ) c = Parametrin arvolla c = 1 on c = 1 < 5, joten ehto ei toteudu ja kuvaaja koostuu kahdesta kärästä. d) Väite: Yhtälön x x = c kuvaajat ovat x- ja - akselien suhteen smmetrisiä, kun c = 1, 5, 3, 5. Todistus: Olkoon c jokin luvuista 1, 5, 3 ja 5, sekä olkoon x, kuvaajan piste. Tällöin ( ) ( 5) 1 Koska x = x ja ja x + + x = c. =, pätee mös ( 5) 1( ) x + + x = c ( ) joten pisteet ( x, ) ja ( x, ) x x = c, ovat mös kuvaajan pisteitä. Siis kuvaajat ovat x- ja -akselien suhteen smmetrisiä.