Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio."

Transkriptio

1 Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

2 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7 Huomautus. Desimaaliluvun alussa olevilla nollilla ei ole merkitystä tiettyyn merkitsevien numeroiden tarkkuuteen pyöristettäessä, koska ne häviävät kymmenpotenssimuotoon kirjoitettaessa. Tämän vuoksi usein sanotaan, että alussa olevat nollat eivät ole merkitseviä numeroita. Huomaa myös, että luku on poikkeustapaus: ei ole mielekästä puhua luvun pyöristämisestä tiettyyn merkitsevien numeroiden tarkkuuteen, koska luvulla ei ole kymmenpotenssiesitystä, jonka kerroin on välillä [, [ (kuten kaikilla muilla luvuilla on). b) i) Tarkka arvo on T = e ja likiarvo L =,6. Virhe on T L = e,6 =,78, absoluuttinen virhe ΔT = T L =,78 ja suhteellinen virhe ΔT/ T =,78 / e =,77,8 =,8 %. ii) Tarkka arvo on T = sin ja likiarvo L =,8. Virhe on T L = sin,8 =,7, absoluuttinen virhe ΔT = T L =,7 ja suhteellinen virhe ΔT/ T =,7 /sin =,7,7 =,7 %. a) + + = ( + + ) yhteinen tekijä Polynomin + + nollakohdat: ± ± = = =. Siis + + = ( ( ))( ( ) ) = ( + )( + ), joten ( ) ( )( ) + + = + + = + +. b) Polynomin + termeillä ei ole yhteistä tekijää, eikä tekijöitä löydy helposti muistikaavojen avulla eikä ryhmittelemällä, joten yritetään löytää jokin polynomin nollakohta. Vakiotermin tekijät ovat ± ja korkeimman asteen termin kertoimen tekijät ±, ± ja ±, joten rationaaliset nollakohtaehdokkaat ovat ±, ± ja ±. Kokeilemalla huomataan, että = on nollakohta: + + =. Polynomi on siis jaollinen termillä ( ). Jaetaan jakokulmassa: + + ± + + ± + ±

3 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Siis + = ( )( ). Muistikaavan avulla saadaan edelleen ( )( ) + + = ( ) = ( ) ( ) + + = ( )(+ ) Osoitetaan, että funktiolla f () = + 7 on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio on derivoituva (ja siis myös jatkuva). Laaditaan funktion kulkukaavio derivaatan avulla. Derivaatta on f () = +. Derivaatan nollakohdat ja derivaatan kuvaaja: + = Kulkukaavio: = =±. f + f Funktion arvot paikallisissa ääriarvokohdissa: ( ) =( ) + ( ) 7 = f f () = + 7 =. + f Välillä [, [ ei ole nollakohtia, koska kulkukaavion perusteella funktion suurin arvo tällä välillä on. Koska funktio on aidosti vähenevä välillä ], [, tällä välillä on korkeintaan yksi nollakohta. Siis kaiken kaikkiaan funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Koska f( ) = 8> ja f( ) = < ja koska f on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f on nollakohta välillä ], [. Näin ollen funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta. a) Ratkaistaan yhtälöstä + 7 = seuraavasti: + = 7 = 7 = 7. Iterointifunktioksi saadaan näin g ( ) = 7. Valitaan alkuarvoksi = ja taulukoidaan tulokset: n n,779,879,7,767,7999 6,786 7,7 Laskimella: ) EXE ) (Ans-7) Juuri näyttäisi olevan kolmen desimaalin tarkkuudella,8.

4 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Tarkkuuden osoitus: koska f f (, 8) =, >, (,7) =9, < niin Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],7;,8[, joten sen kolmidesimaalinen likiarvo on,8. b) Valitaan aluksi esimerkiksi laskimella piirretyn kuvaajan perusteella väli [,;,]. f (,) =,7 > f (,) = < Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[. Haarukoidaan uusi väli, esimerkiksi [,;,]. f (,) =,9 > f (,) =,6 < Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[. Jatketaan haarukointia. Lopulta löydetään nollakohdan sisältävä väli, jonka kaikki luvut pyöristyvät kolmen desimaalin tarkkuudella samaan, esimerkiksi väli ],7;,8[. Juuren likiarvoksi saadaan,8. a) P( ) 7 7 = M( ) 7 7 = a+ b a b = + c c c ar as = b) P ( ) = 7 7 = ( 7 7 ) a-kohta r s = a Jakamalla polynomi jakokulmassa trinomilla T( ) = + + havaitaan, että jako menee tasan ja osamäärä on +. Siis kun polynomi P ( ) jaetaan trinomilla T( ), saadaan polynomi ( + ) =. c) Kohtien a ja b nojalla josta P ( ) = ( ) = ( )( ), P ( ) = + + = + ( ). Vastaus a) b) c)

5 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU f ( n ) Newtonin algoritmi: n+ = n. f ( ) Koska = = =, n niin on funktion f () = ainoa nollakohta. Sovelletaan siis Newtonin menetelmää tähän funktioon. Funktion derivaatta on f () =, joten palautuskaavaksi saadaan = = + = +. n+ n n n n n n n n Valitaan alkuarvoksi =. = + =,666 =,666 + =,,666 =, =, Viisidesimaalinen likiarvo näyttäisi olevan,. Varmistetaan: f f (,) =,6 >, (,) =,9 < 6 joten Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[, jolloin sen viisidesimaalinen likiarvo on,. 6 Tutkitaan funktiota ln( + ) f( ) =. + Arvioidaan derivaattaa numeerisesti keskusdifferenssin avulla: f ( + h) f( h) f ( ). h ln( + ) Nyt h =, ; = ja f( ) =, joten + f( +,) f(,) f (), f(,) f(,) =, ln(,) ln(,999),,999 =, =,977 Lasketaan derivaatan tarkka arvo: ln( + ) f( ) = + ( + ) ln( + ) f ( ) = + ( + ) ln f () = = ln. =

6 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Absoluuttinen virhe on Δ = ( ln ) (,977 ) =, Suhteellinen virhe on Δ,68 = = = ln ln, 7,7 %. Vastaus f 7 (),97... ; suhteellinen virhe noin,7 7 a) Taylorin polynomi on f () f () P ( ) f() f ()!! = Lasketaan funktion f derivaattoja. f( ) = e +, f() = f ( ) = e +, f () = f ( ) = e, f () = f ( ) = e, f () = Saadaan P ( ) 6 = +. b) Yhtälö = e + on yhtäpitävä yhtälön e = kanssa. Merkitään g() = e, jolloin g () = e. Newtonin menetelmän palautuskaava on ( ) e n g e n n n n n+ = n = n = n + ( ) e n g e n n +. Valitaan alkuarvoksi esimerkiksi graafisen tarkastelun perusteella =. Saadaan e = + =,788 e + e,788,788 =,788 + =,6698 e,788 + =,67 =,67 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän desimaalin tarkkuudella,67. Varmistetaan tämä: g on jatkuva (eksponenttifunktion ja identtisen funktion summa), ja (,67) =,6 > g g(,67) =, <, joten Bolzanon lauseen nojalla välillä ],67;,67[ on nollakohta, jolloin sen nelidesimaalinen likiarvo on,67. Ratkaistaan sitten yhtälö = P (). Nyt = P ( ) = = + 6=. ( 6)

7 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Merkitään h() = + 6, jolloin h () = 6 +. Newtonin menetelmän palautuskaavaksi saadaan h ( n) n n + n 6 n n + 6 n+ = n = n = h n n n + n n +. ( ) 6 6 Valitaan jälleen alkuarvoksi =. Saadaan =, =,677 =,679 =,679 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän desimaalin tarkkuudella,67. Koska h on polynomifunktiona jatkuva ja koska h(,66) = 6,67 < h(,67) =,9 >, niin Bolzanon lauseen nojalla h:lla on nollakohta välillä ],66;,67[. Ratkaisun nelidesimaalinen likiarvo on siis todella, ( ) f( ) d, f() + f(,) + f() + + f(,) + f(6) =, (,7 +,6 +, + +,9 +,87) = 7, c) Yhtälön = e + juuren nelidesimaalinen likiarvo on T =,67 ja yhtälön = P () juuren nelidesimaalinen likiarvo L =,67. Suhteellinen virhe on siten T L T,67,67 = =,, %.,67

8 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Koe a) Olkoon ylälikiarvo L. Suhteellinen virhe on % ja L >, joten L =, L =, L =,6 L =,6. Arvon f(l) = L suhteellinen virhe verrattuna tarkkaan arvoon f() = on siis L,6 = =,68 6 %. b) Olkoon alalikiarvo L. Suhteellinen virhe on % ja L < 8, joten 8 L =, 8 8 L =, 8 8 L =, L = 7,6. Arvon f(l) = L suhteellinen virhe verrattuna tarkkaan arvoon f(8) = 8 on siis 8 L 8 7,6 = =,6 %. 8 8 Huomautus. Tulon = likiarvon L = L L L suhteellinen virhe on melko tarkasti kolme kertaa likiarvon L suhteellinen virhe tarkkaan arvoon verrattuna. Yhtälön + = juuret ovat samat kuin funktion f () = + nollakohdat. Funktio on polynomifunktiona jatkuva. ) Lasketaan funktion arvot välin [, ] päätepisteissä: f () = + = < f () = + = >. Arvot ovat erimerkkiset, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. ) Funktion derivaatta on f () =. Välillä ], [ pätee f () = > =, joten f on aidosti kasvava välillä [, ]. Funktiolla f on siis korkeintaan yksi nollakohta välillä [, ]. Kohtien ja nojalla funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä [, ], joten yhtälöllä + = on täsmälleen yksi juuri välillä [, ]. a) Ratkaistaan juuren likiarvo puolitusmenetelmällä. Väli Välin keskikohta c f (c) [, ],, < [,; ],7,9 > [,;,7],6,6 > [,;,6],6,7 > [,;,6],, < [,;,6],687,6 > [,;,687],96, > [,;,96],6, > [,;,6],, > [,;,],66, > [,;,66],788, < [,788;,66]

9 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Viimeisen välin kaikki luvut pyöristyvät neljän merkitsevän numeron tarkkuudella lukuun,, joten juuri on neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. b) Ratkaistaan juuren likiarvo Newtonin menetelmällä. Palautuskaava on f( n) n n + n n+ = n = n = f ( n) n n. Valitaan alkuarvoksi esimerkiksi =. Saadaan = = =,666 9 =,86 =,9 =,8 Juuri näyttäisi oleva neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Tarkkuuden osoitus: f (,) < ja f (,) >, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f on nollakohta välillä ],;,[. Juuri on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Lasketaan jakokulmassa: + + ± + ± + ± Huomioi: jakajan termien järjestys vaihdettu jaettavan tyhjät tilat Täten vaillinainen osamäärä on ja jakojäännös. Siis + = +, josta saadaan jakoyhtälö + = ( )( ) +. Vastaus vaillinainen osamäärä jakojäännös jakoyhtälö + = ( )( ) +

10 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Saadaan f( ) = = 7 ( + + 7) = = + + = tai 7 7. g( ) Funktiolla f on siis ainakin nollakohta =. Selvitetään funktion g nollakohtien lukumäärä. Derivaatta on g ( ) = 76 + = (7 + ). = vain kun = Derivaatta on siis vähintään nolla kaikkialla ja nolla ainoastaan yksittäisessä kohdassa =, joten g on aidosti kasvava koko R:ssä. Näin ollen funktiolla g on korkeintaan yksi nollakohta, jolloin funktiolla f on korkeintaan kaksi nollakohtaa. Koska esimerkiksi 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 < < 7 < 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 = + 7 = > ja koska g on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla g:llä on nollakohta välillä ], [. Siis funktiolla g on nollakohta, joka on pienempi kuin funktion f edellä löydetty nollakohta =, joten funktiolla f on täsmälleen kaksi reaalista nollakohtaa. Määritetään funktion f pienemmän nollakohdan eli funktion g ainoan nollakohdan likiarvo. Funktion g kuvaaja putoaa hyvin jyrkästi, kun kohdasta = lähdetään vasemmalle. Tangentit ovat lähes pystysuoria, joten Newtonin menetelmän iteraatio suppenee hyvin hitaasti kohti > nollakohtaa. Nopeammin nollakohdan löytää haarukoimalla laskimen avulla. Haarukoinnin voi toteuttaa vaikkapa seuraavasti: g(,) <, g(,) <, g(,) >, g(,) <, g(,) <, g(,) >, g(,) <. Tästä näkyy, että nollakohta on välillä ],;,[, joten se on kolmen desimaalin tarkkuudella,. a) + = Ratkaisukaavalla saadaan ± ± = = ( ) 6 Diskriminantti on negatiivinen, joten reaalisia juuria ei ole. Imaginaariset juuret ovat ± i 6 ± i = = = ± i. b) + = + = Merkitsemällä = t saadaan t + t = ± ± ± t = = = t = tai t = = tai = ( ) 6 =± tai =± i..

11 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 6, + +, = = Jälkimmäinen yhtälö on kokonaislukukertoiminen. Vakiotermin tekijät ovat ± ja ±. Korkeimman asteen termin kertoimen tekijät ovat ± ja ±. Yhtälön rationaalijuuriehdokkaat ovat siten ±, ±, ± ja ±. Kokeilemalla todetaan, että = on juuri: () 9() =. Koska = on polynomin P() = nollakohta, niin polynomi on jaollinen binomilla ( ) =. Jaetaan jakokulmassa ± ± + ± Yhtälö = saadaan tulomuotoon ( )( ) =. Tästä saadaan ratkaistua muut juuret: = ± ( ) ( ) ± 8 ± = = = = ±. 7 Määritettävänä on yhtälön sin e = juuri eli funktion f() = sin e nollakohta. Yleisen sekanttimenetelmän algoritmi on = f( ) n+ n n n n f( ) f( ) n n = (sin e ), n=,, n n n n n sin e n sin e n n n + Alkuarvoilla = ja = saadaan =,98 =,9 =,7 =,7 Laskimella (TI): - A ENTER - B ENTER B-(sin B-e^B)(B-A)/(sin B- e^b-sin A+e^A) C:B A:C B Painellaan ENTER-näppäintä toistuvasti. Juuri näyttäisi olevan neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Tarkkuuden osoitus: Koska f on jatkuva ja koska f (,) =, < f (,) =, >, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on välillä ],;,[ nollakohta. Nollakohta on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Vastaus, Vastaus = =, = ±

12 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Lasketaan ensin funktion arvot f () = cos = cos = ja π f ( π ) = cos =. Interpolaatiosuora kulkee siis pisteiden (, ) ja (π, ) kautta. Suoran kulmakerroin on k = = π π. Interpolaatiosuoran yhtälö on y = ( ) π y = +. π Lineaarisen interpolaation avulla saadaan f(,) + =,9,9. π Suhteellinen virhe on, f (,),9 cos,9 = =,666 6,7 %. f (,) cos,

13 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) Likiarvon muoto,67 kertoo, että pyöristäminen on tehty 6 desimaalin tarkkuuteen. Ainoa tapa kirjoittaa likiarvo kymmenpotenssimuotoon pyöristysinformaatio säilyttäen on,67 = 6,7. Kertoimessa on numeroa, joten merkitseviä numeroita on. ii) 67, = 6,7, joten merkitseviä numeroita on. iii) Likiarvo on valmiiksi kymmenpotenssimuodossa, joten nähdään suoraan, että merkitseviä numeroita on. b) i) Kymmenpotenssimuodon kertoimen numeroiden määrällä kerrotaan pyöristystarkkuus. Kertoimen numeroiden määrä on sama kuin merkitsevien numeroiden määrä. Jos siis pyöristys on tehty merkitsevän numeron tarkkuuteen, niin kirjoitetaan 67 = 6,7. ii) Vastaavasti kuin i-kohdassa 67 = 6,7. iii) Jälleen vastaavasti 67 = 6,7. a) Funktio f( ) = on välillä > derivoituva (ja siis myös jatkuva), koska b f( ) = ab= = ln e = = ln e eln a ebln a b eln a = ebln a ja koska eksponenttifunktio, neliöjuurifunktio, logaritmifunktio ja vakiofunktio ovat derivoituvia. Etsitään kokonaislukuväli, jossa funktion merkki vaihtuu. Taulukoidaan arvoja: f( ) = Funktion merkki 9 negatiivinen 7, negatiivinen,9 negatiivinen negatiivinen, negatiivinen 6, positiivinen Havaitaan, että jatkuva funktio f ( ) saa erimerkkiset arvot kohdissa = ja = 6, joten Bolzanon lauseen nojalla välillä < < 6 on ainakin yksi reaalijuuri.

14 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 b) Funktio f( ) = on välillä > aidosti kasvava, sillä sekä kantaluku > että eksponentti kasvavat :n kasvaessa. Aidosti kasvavalla funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Tämän ja a-kohdan perusteella nollakohtia on täsmälleen yksi. c) i) Sovelletaan Bolzanon lausetta yhä pienenevillä väleillä: Funktion arvo ja merkki Juuren sijainti Välin pituus f (), < f (6), > ], 6[ 6 = f (,),< f (, ),87 > ],;,[, f (,9), 9 < f (, ),87 > ],9;,[, f (,9), 9 < f (,9),9 > ],9;,9[, Koska välin,9 < <,9 kaikki luvut pyöristyvät kahden desimaalin tarkkuudella lukuun,9, niin kysytyn juuren kaksidesimaalinen likiarvo on,9. ii) Newtonin menetelmässä pitää tietää derivaatan lauseke. ( ) f ( ) = D e ln s ( ) s ( ) De = e s ( ) = ln + = ln + = ln + Newtonin menetelmän mukainen palautuskaava on f ( n ) n+ n f ( n ) =, n =,,,, joten n+ = n n n n n n ln n + Otetaan alkuarvoksi =,. Algoritmilla saadaan seuraava jono: n n+,97966,9779,986,986 Juuren kaksidesimaalinen likiarvo on siten,9. Tarkkuus on osoitettu i-kohdassa. Vastaus a) lukujen ja 6 c),9

15 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU a) + 9 =( + 9) a ab+ b = ( a b) (( ) ) = + =() yhteisen tekijän erottaminen: ma + mb = m( a + b) b) Etsitään lauseketta + vastaavan yhtälön + = mahdolliset rationaalijuuret, jolloin polynomi saadaan jaettua tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön kertoimet ovat kokonaislukuja. Vakiotermin a = = tekijät ovat ±, ±, ±, ±8, ±, ±. Korkeimman asteen termin kertoimen a = tekijät ovat ±. Mahdollisen rationaalijuuren = p/ q osoittaja p on vakiotermin tekijä ja nimittäjä q korkeimman asteen termin kertoimen tekijä, joten rationaalijuuriehdokkaat ovat ±, ±, ±, ±8, ±, ±. Kokeilemalla ehdokkaita havaitaan, että = on ratkaisu, sillä + = = on ratkaisu, sillä ( ) ( ) ( ) + = = on ratkaisu, sillä + =. Muita ehdokkaita ei kannata kokeilla, sillä kolmannen asteen yhtälöllä on enintään kolme juurta. Koska P( ) = a( )( )( ), jossa, ja ovat polynomin nollakohdat, niin + = ( )( ( ))( ) = ( )( + )( ). Vastaus a) ( ) b) ( )( )( + ) a) Luvut, ja ovat polynomin nollakohtia, jos ( + ), ( ) ja ( ) ovat polynomin tekijöitä. Etsitään lisäksi sellainen korkeimman asteen termin kerroin a, että P ( ) = a( + )( )( ) saa kohdassa = arvon 8. P() = a( + )( )( ) = a = 8 a = Siten kysytyksi polynomiksi kelpaa P ( ) = ( + )( )( ) = ( )( ) = ( + ) = ( a+ b)( a b) = a b b) Sovelletaan tulon nollasääntöä yhtälöön (+ )( ) =. ) + = = : = ei reaalijuuria Imaginaariset juuret: = =± i =± i

16 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU ) = = b) Lasketaan jakolasku + jakokulmassa. = =± Vastaus P ( ) = 8+ 8 a) b) reaalijuuret =±, ab = a b, imaginaariset juuret =± i ± ± Termien järjestys pitää vaihtaa alenevaksi: + = = + Jako ei mennyt tasan, sillä jäi jakojäännös on. a) Lasketaan jakolasku + 7 jakokulmassa ± + 7 ± 6 ± Huomaa, että jakajan termien järjestys on vaihdettu. Jako meni tasan, koska jakojäännös oli nolla. Jakolaskun osamäärä on +. Jakolaskussa pätee P( ) J( ) V( ) Q ( ) Q ( ) osamäärä ja J( ) jakojäännös. Siispä + = 6 +. Vastaus a) + b) 6 f () = e +, [, ] = +, jossa V( ) on vaillinainen 6+ Funktion f derivaatta on f () = e <, joten f on aidosti vähenevä. Näin ollen se saavuttaa välillä [, ] suurimman arvonsa kohdassa = ja pienimmän arvonsa kohdassa =. Koska f () = e + < + = ja f () = e + >, niin < f () < välillä [, ].

17 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Toinen derivaatta on f () = e >, joten derivaatta on aidosti kasvava. Derivaatta on negatiivinen, joten derivaatan itseisarvo saavuttaa välillä [, ] suurimman arvonsa kohdassa =. Koska f () = e = e,7 <,, niin f () <, välillä [, ]. Lasketaan jonon,,, termejä palautuskaavan n = f ( n ) avulla lähtemällä alkuarvosta =,. Saadaan = f ( ) = f (,) = e, + =,7 = f ( ) =,8 =,78 =,789 =,788 6 =,787 7 =,786 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,78. Varmistetaan: Koska f (,77),77 > ja f (,78),78 < ja koska funktio f () on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f () on nollakohta eli yhtälöllä = f () on ratkaisu välillä ],77;,78[. Ratkaisu on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,78. Huomautus. Kyseessä on luonnollisesti kiintopistemenetelmä. Ehto < f () < takaa kiintopisteen olemassaolon, sillä ehdon nojalla f () > ja f () <, jolloin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f () on nollakohta eli yhtälöllä = f () on ratkaisu eli funktiolla f on kiintopiste välillä [, ]. Derivaattaehto f () <, takaa sen, että funktiolla f iterointi suppenee kohti kiintopistettä (ks. kirjan sivulla 7 olevaa suppenemisehtoa). 7 Integroitava funktio on f( ) =, ja osavälin pituus on Simpsonin säännöllä saadaan h = =. d h ( f () + f () + f () ) = + + = = 9 9. Virhekaavan mukaan virhe on () () ( ba) f ( t) () f ( t) () E f t t = = = ( ), jossa < < Lasketaan derivaattoja: f ( ) = =, f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = 6, () f ( ) =. () Neljännen derivaatan itseisarvo f ( ) = on välillä [, ] aidosti () vähenevä, joten se on välillä ], [ pienempi kuin f () = =. Absoluuttiselle virheelle saadaan arvio () E = f ( t) < =, Integraalin tarkka arvo on d / ln ln ln ln = = =, joten likiarvon tarkka absoluuttinen virhe on ln,. 9 9

18 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU a) Vasemmanpuoleisen erotusosamäärän avulla: f() f( h) f () h ( h) = h h h = =,,99 6,99 =,97., Oikeanpuoleisen erotusosamäärän avulla:, f( + h) f(), 6 f () =,9986. h, Keskusdifferenssin avulla:,,99 f( + h) f( h),,99 f () =,. h, b) Suhteellinen virhe on T L, jossa T on tarkka arvo ja L likiarvo. Nyt T T = f () = 8( + ln ),77. Kun h =, niin keskusdifferenssin avulla saadaan derivaatalle likiarvo,,9 f( + h) f( h),,9 =,86, h, jonka suhteellinen virhe on noin,77,86,77, =, %. Kun h =, niin a-kohdassa lasketun likiarvon suhteelliseksi virheeksi saadaan noin,77,,77 c) Kun h =, niin keskusdifferenssi on, =,%. + f( + h) f( h) ( + ) ( ) = h TI-86-laskimella laskettuna keskusdifferenssi on. Eri laskimet antavat erilaisia tuloksia. Osoittajassa on kahden lähes samansuuruisen luvun erotus, jolle laskin saattaa antaa arvoksi nollan muistipaikkojen loppumisen takia. (Laskin ei erota edes lukuja + h ja h toisistaan, kun h on riittävän pieni. Kokeile tätä syöttämällä laskimeen + ja ). Mikäli laskin antaa keskusdifferenssiksi nollan, niin absoluuttinen virhe on T L = T = 8( + ln ) ja suhteellinen virhe %. Derivaatan määritelmän nojalla keskusdifferenssi lähestyy derivaattaa, kun h, ja absoluuttinen virhe siis lähestyy nollaa. Suoraan laskimella laskettu keskusdifferenssin arvo ei kuitenkaan lähesty derivaattaa, koska hyvin pienillä h:n arvoilla laskimen kapasiteetti loppuu. Vastaus a) f (),9986, f (), 97, f (), b), %;, % c) Riippuu laskimesta; luultavasti absoluuttinen virhe on hyvin suuri..

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

Schildtin lukio

Schildtin lukio MAA1.9.15 Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut

Harjoitustehtävien ratkaisut Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt 1. Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on x 3 2x 5 = 0, jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli,

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

2.4 Korkeamman asteen yhtälö

2.4 Korkeamman asteen yhtälö .4 Korkeamman asteen yhtälö.4.1 Eräitä erikoistapauksia Korkeamman asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on a x + a x + a x + + a x + a x + a = n n n 1 n 1 n n... 1 o 0 (*), missä kertoimet an, an-1,...,

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 9 3.11.009 alkavalle viikolle Ratkaisuedoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 Näissä arjoituksissa saa käyttää kaikkia koulusta tuttuja koulusta tuttujen

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot