Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio."

Transkriptio

1 Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

2 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7 Huomautus. Desimaaliluvun alussa olevilla nollilla ei ole merkitystä tiettyyn merkitsevien numeroiden tarkkuuteen pyöristettäessä, koska ne häviävät kymmenpotenssimuotoon kirjoitettaessa. Tämän vuoksi usein sanotaan, että alussa olevat nollat eivät ole merkitseviä numeroita. Huomaa myös, että luku on poikkeustapaus: ei ole mielekästä puhua luvun pyöristämisestä tiettyyn merkitsevien numeroiden tarkkuuteen, koska luvulla ei ole kymmenpotenssiesitystä, jonka kerroin on välillä [, [ (kuten kaikilla muilla luvuilla on). b) i) Tarkka arvo on T = e ja likiarvo L =,6. Virhe on T L = e,6 =,78, absoluuttinen virhe ΔT = T L =,78 ja suhteellinen virhe ΔT/ T =,78 / e =,77,8 =,8 %. ii) Tarkka arvo on T = sin ja likiarvo L =,8. Virhe on T L = sin,8 =,7, absoluuttinen virhe ΔT = T L =,7 ja suhteellinen virhe ΔT/ T =,7 /sin =,7,7 =,7 %. a) + + = ( + + ) yhteinen tekijä Polynomin + + nollakohdat: ± ± = = =. Siis + + = ( ( ))( ( ) ) = ( + )( + ), joten ( ) ( )( ) + + = + + = + +. b) Polynomin + termeillä ei ole yhteistä tekijää, eikä tekijöitä löydy helposti muistikaavojen avulla eikä ryhmittelemällä, joten yritetään löytää jokin polynomin nollakohta. Vakiotermin tekijät ovat ± ja korkeimman asteen termin kertoimen tekijät ±, ± ja ±, joten rationaaliset nollakohtaehdokkaat ovat ±, ± ja ±. Kokeilemalla huomataan, että = on nollakohta: + + =. Polynomi on siis jaollinen termillä ( ). Jaetaan jakokulmassa: + + ± + + ± + ±

3 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Siis + = ( )( ). Muistikaavan avulla saadaan edelleen ( )( ) + + = ( ) = ( ) ( ) + + = ( )(+ ) Osoitetaan, että funktiolla f () = + 7 on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio on derivoituva (ja siis myös jatkuva). Laaditaan funktion kulkukaavio derivaatan avulla. Derivaatta on f () = +. Derivaatan nollakohdat ja derivaatan kuvaaja: + = Kulkukaavio: = =±. f + f Funktion arvot paikallisissa ääriarvokohdissa: ( ) =( ) + ( ) 7 = f f () = + 7 =. + f Välillä [, [ ei ole nollakohtia, koska kulkukaavion perusteella funktion suurin arvo tällä välillä on. Koska funktio on aidosti vähenevä välillä ], [, tällä välillä on korkeintaan yksi nollakohta. Siis kaiken kaikkiaan funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Koska f( ) = 8> ja f( ) = < ja koska f on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f on nollakohta välillä ], [. Näin ollen funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta. a) Ratkaistaan yhtälöstä + 7 = seuraavasti: + = 7 = 7 = 7. Iterointifunktioksi saadaan näin g ( ) = 7. Valitaan alkuarvoksi = ja taulukoidaan tulokset: n n,779,879,7,767,7999 6,786 7,7 Laskimella: ) EXE ) (Ans-7) Juuri näyttäisi olevan kolmen desimaalin tarkkuudella,8.

4 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Tarkkuuden osoitus: koska f f (, 8) =, >, (,7) =9, < niin Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],7;,8[, joten sen kolmidesimaalinen likiarvo on,8. b) Valitaan aluksi esimerkiksi laskimella piirretyn kuvaajan perusteella väli [,;,]. f (,) =,7 > f (,) = < Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[. Haarukoidaan uusi väli, esimerkiksi [,;,]. f (,) =,9 > f (,) =,6 < Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[. Jatketaan haarukointia. Lopulta löydetään nollakohdan sisältävä väli, jonka kaikki luvut pyöristyvät kolmen desimaalin tarkkuudella samaan, esimerkiksi väli ],7;,8[. Juuren likiarvoksi saadaan,8. a) P( ) 7 7 = M( ) 7 7 = a+ b a b = + c c c ar as = b) P ( ) = 7 7 = ( 7 7 ) a-kohta r s = a Jakamalla polynomi jakokulmassa trinomilla T( ) = + + havaitaan, että jako menee tasan ja osamäärä on +. Siis kun polynomi P ( ) jaetaan trinomilla T( ), saadaan polynomi ( + ) =. c) Kohtien a ja b nojalla josta P ( ) = ( ) = ( )( ), P ( ) = + + = + ( ). Vastaus a) b) c)

5 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU f ( n ) Newtonin algoritmi: n+ = n. f ( ) Koska = = =, n niin on funktion f () = ainoa nollakohta. Sovelletaan siis Newtonin menetelmää tähän funktioon. Funktion derivaatta on f () =, joten palautuskaavaksi saadaan = = + = +. n+ n n n n n n n n Valitaan alkuarvoksi =. = + =,666 =,666 + =,,666 =, =, Viisidesimaalinen likiarvo näyttäisi olevan,. Varmistetaan: f f (,) =,6 >, (,) =,9 < 6 joten Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[, jolloin sen viisidesimaalinen likiarvo on,. 6 Tutkitaan funktiota ln( + ) f( ) =. + Arvioidaan derivaattaa numeerisesti keskusdifferenssin avulla: f ( + h) f( h) f ( ). h ln( + ) Nyt h =, ; = ja f( ) =, joten + f( +,) f(,) f (), f(,) f(,) =, ln(,) ln(,999),,999 =, =,977 Lasketaan derivaatan tarkka arvo: ln( + ) f( ) = + ( + ) ln( + ) f ( ) = + ( + ) ln f () = = ln. =

6 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Absoluuttinen virhe on Δ = ( ln ) (,977 ) =, Suhteellinen virhe on Δ,68 = = = ln ln, 7,7 %. Vastaus f 7 (),97... ; suhteellinen virhe noin,7 7 a) Taylorin polynomi on f () f () P ( ) f() f ()!! = Lasketaan funktion f derivaattoja. f( ) = e +, f() = f ( ) = e +, f () = f ( ) = e, f () = f ( ) = e, f () = Saadaan P ( ) 6 = +. b) Yhtälö = e + on yhtäpitävä yhtälön e = kanssa. Merkitään g() = e, jolloin g () = e. Newtonin menetelmän palautuskaava on ( ) e n g e n n n n n+ = n = n = n + ( ) e n g e n n +. Valitaan alkuarvoksi esimerkiksi graafisen tarkastelun perusteella =. Saadaan e = + =,788 e + e,788,788 =,788 + =,6698 e,788 + =,67 =,67 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän desimaalin tarkkuudella,67. Varmistetaan tämä: g on jatkuva (eksponenttifunktion ja identtisen funktion summa), ja (,67) =,6 > g g(,67) =, <, joten Bolzanon lauseen nojalla välillä ],67;,67[ on nollakohta, jolloin sen nelidesimaalinen likiarvo on,67. Ratkaistaan sitten yhtälö = P (). Nyt = P ( ) = = + 6=. ( 6)

7 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Merkitään h() = + 6, jolloin h () = 6 +. Newtonin menetelmän palautuskaavaksi saadaan h ( n) n n + n 6 n n + 6 n+ = n = n = h n n n + n n +. ( ) 6 6 Valitaan jälleen alkuarvoksi =. Saadaan =, =,677 =,679 =,679 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän desimaalin tarkkuudella,67. Koska h on polynomifunktiona jatkuva ja koska h(,66) = 6,67 < h(,67) =,9 >, niin Bolzanon lauseen nojalla h:lla on nollakohta välillä ],66;,67[. Ratkaisun nelidesimaalinen likiarvo on siis todella, ( ) f( ) d, f() + f(,) + f() + + f(,) + f(6) =, (,7 +,6 +, + +,9 +,87) = 7, c) Yhtälön = e + juuren nelidesimaalinen likiarvo on T =,67 ja yhtälön = P () juuren nelidesimaalinen likiarvo L =,67. Suhteellinen virhe on siten T L T,67,67 = =,, %.,67

8 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Koe a) Olkoon ylälikiarvo L. Suhteellinen virhe on % ja L >, joten L =, L =, L =,6 L =,6. Arvon f(l) = L suhteellinen virhe verrattuna tarkkaan arvoon f() = on siis L,6 = =,68 6 %. b) Olkoon alalikiarvo L. Suhteellinen virhe on % ja L < 8, joten 8 L =, 8 8 L =, 8 8 L =, L = 7,6. Arvon f(l) = L suhteellinen virhe verrattuna tarkkaan arvoon f(8) = 8 on siis 8 L 8 7,6 = =,6 %. 8 8 Huomautus. Tulon = likiarvon L = L L L suhteellinen virhe on melko tarkasti kolme kertaa likiarvon L suhteellinen virhe tarkkaan arvoon verrattuna. Yhtälön + = juuret ovat samat kuin funktion f () = + nollakohdat. Funktio on polynomifunktiona jatkuva. ) Lasketaan funktion arvot välin [, ] päätepisteissä: f () = + = < f () = + = >. Arvot ovat erimerkkiset, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. ) Funktion derivaatta on f () =. Välillä ], [ pätee f () = > =, joten f on aidosti kasvava välillä [, ]. Funktiolla f on siis korkeintaan yksi nollakohta välillä [, ]. Kohtien ja nojalla funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä [, ], joten yhtälöllä + = on täsmälleen yksi juuri välillä [, ]. a) Ratkaistaan juuren likiarvo puolitusmenetelmällä. Väli Välin keskikohta c f (c) [, ],, < [,; ],7,9 > [,;,7],6,6 > [,;,6],6,7 > [,;,6],, < [,;,6],687,6 > [,;,687],96, > [,;,96],6, > [,;,6],, > [,;,],66, > [,;,66],788, < [,788;,66]

9 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Viimeisen välin kaikki luvut pyöristyvät neljän merkitsevän numeron tarkkuudella lukuun,, joten juuri on neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. b) Ratkaistaan juuren likiarvo Newtonin menetelmällä. Palautuskaava on f( n) n n + n n+ = n = n = f ( n) n n. Valitaan alkuarvoksi esimerkiksi =. Saadaan = = =,666 9 =,86 =,9 =,8 Juuri näyttäisi oleva neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Tarkkuuden osoitus: f (,) < ja f (,) >, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f on nollakohta välillä ],;,[. Juuri on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Lasketaan jakokulmassa: + + ± + ± + ± Huomioi: jakajan termien järjestys vaihdettu jaettavan tyhjät tilat Täten vaillinainen osamäärä on ja jakojäännös. Siis + = +, josta saadaan jakoyhtälö + = ( )( ) +. Vastaus vaillinainen osamäärä jakojäännös jakoyhtälö + = ( )( ) +

10 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Saadaan f( ) = = 7 ( + + 7) = = + + = tai 7 7. g( ) Funktiolla f on siis ainakin nollakohta =. Selvitetään funktion g nollakohtien lukumäärä. Derivaatta on g ( ) = 76 + = (7 + ). = vain kun = Derivaatta on siis vähintään nolla kaikkialla ja nolla ainoastaan yksittäisessä kohdassa =, joten g on aidosti kasvava koko R:ssä. Näin ollen funktiolla g on korkeintaan yksi nollakohta, jolloin funktiolla f on korkeintaan kaksi nollakohtaa. Koska esimerkiksi 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 < < 7 < 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 = + 7 = > ja koska g on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla g:llä on nollakohta välillä ], [. Siis funktiolla g on nollakohta, joka on pienempi kuin funktion f edellä löydetty nollakohta =, joten funktiolla f on täsmälleen kaksi reaalista nollakohtaa. Määritetään funktion f pienemmän nollakohdan eli funktion g ainoan nollakohdan likiarvo. Funktion g kuvaaja putoaa hyvin jyrkästi, kun kohdasta = lähdetään vasemmalle. Tangentit ovat lähes pystysuoria, joten Newtonin menetelmän iteraatio suppenee hyvin hitaasti kohti > nollakohtaa. Nopeammin nollakohdan löytää haarukoimalla laskimen avulla. Haarukoinnin voi toteuttaa vaikkapa seuraavasti: g(,) <, g(,) <, g(,) >, g(,) <, g(,) <, g(,) >, g(,) <. Tästä näkyy, että nollakohta on välillä ],;,[, joten se on kolmen desimaalin tarkkuudella,. a) + = Ratkaisukaavalla saadaan ± ± = = ( ) 6 Diskriminantti on negatiivinen, joten reaalisia juuria ei ole. Imaginaariset juuret ovat ± i 6 ± i = = = ± i. b) + = + = Merkitsemällä = t saadaan t + t = ± ± ± t = = = t = tai t = = tai = ( ) 6 =± tai =± i..

11 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 6, + +, = = Jälkimmäinen yhtälö on kokonaislukukertoiminen. Vakiotermin tekijät ovat ± ja ±. Korkeimman asteen termin kertoimen tekijät ovat ± ja ±. Yhtälön rationaalijuuriehdokkaat ovat siten ±, ±, ± ja ±. Kokeilemalla todetaan, että = on juuri: () 9() =. Koska = on polynomin P() = nollakohta, niin polynomi on jaollinen binomilla ( ) =. Jaetaan jakokulmassa ± ± + ± Yhtälö = saadaan tulomuotoon ( )( ) =. Tästä saadaan ratkaistua muut juuret: = ± ( ) ( ) ± 8 ± = = = = ±. 7 Määritettävänä on yhtälön sin e = juuri eli funktion f() = sin e nollakohta. Yleisen sekanttimenetelmän algoritmi on = f( ) n+ n n n n f( ) f( ) n n = (sin e ), n=,, n n n n n sin e n sin e n n n + Alkuarvoilla = ja = saadaan =,98 =,9 =,7 =,7 Laskimella (TI): - A ENTER - B ENTER B-(sin B-e^B)(B-A)/(sin B- e^b-sin A+e^A) C:B A:C B Painellaan ENTER-näppäintä toistuvasti. Juuri näyttäisi olevan neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Tarkkuuden osoitus: Koska f on jatkuva ja koska f (,) =, < f (,) =, >, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on välillä ],;,[ nollakohta. Nollakohta on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Vastaus, Vastaus = =, = ±

12 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Lasketaan ensin funktion arvot f () = cos = cos = ja π f ( π ) = cos =. Interpolaatiosuora kulkee siis pisteiden (, ) ja (π, ) kautta. Suoran kulmakerroin on k = = π π. Interpolaatiosuoran yhtälö on y = ( ) π y = +. π Lineaarisen interpolaation avulla saadaan f(,) + =,9,9. π Suhteellinen virhe on, f (,),9 cos,9 = =,666 6,7 %. f (,) cos,

13 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) Likiarvon muoto,67 kertoo, että pyöristäminen on tehty 6 desimaalin tarkkuuteen. Ainoa tapa kirjoittaa likiarvo kymmenpotenssimuotoon pyöristysinformaatio säilyttäen on,67 = 6,7. Kertoimessa on numeroa, joten merkitseviä numeroita on. ii) 67, = 6,7, joten merkitseviä numeroita on. iii) Likiarvo on valmiiksi kymmenpotenssimuodossa, joten nähdään suoraan, että merkitseviä numeroita on. b) i) Kymmenpotenssimuodon kertoimen numeroiden määrällä kerrotaan pyöristystarkkuus. Kertoimen numeroiden määrä on sama kuin merkitsevien numeroiden määrä. Jos siis pyöristys on tehty merkitsevän numeron tarkkuuteen, niin kirjoitetaan 67 = 6,7. ii) Vastaavasti kuin i-kohdassa 67 = 6,7. iii) Jälleen vastaavasti 67 = 6,7. a) Funktio f( ) = on välillä > derivoituva (ja siis myös jatkuva), koska b f( ) = ab= = ln e = = ln e eln a ebln a b eln a = ebln a ja koska eksponenttifunktio, neliöjuurifunktio, logaritmifunktio ja vakiofunktio ovat derivoituvia. Etsitään kokonaislukuväli, jossa funktion merkki vaihtuu. Taulukoidaan arvoja: f( ) = Funktion merkki 9 negatiivinen 7, negatiivinen,9 negatiivinen negatiivinen, negatiivinen 6, positiivinen Havaitaan, että jatkuva funktio f ( ) saa erimerkkiset arvot kohdissa = ja = 6, joten Bolzanon lauseen nojalla välillä < < 6 on ainakin yksi reaalijuuri.

14 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 b) Funktio f( ) = on välillä > aidosti kasvava, sillä sekä kantaluku > että eksponentti kasvavat :n kasvaessa. Aidosti kasvavalla funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Tämän ja a-kohdan perusteella nollakohtia on täsmälleen yksi. c) i) Sovelletaan Bolzanon lausetta yhä pienenevillä väleillä: Funktion arvo ja merkki Juuren sijainti Välin pituus f (), < f (6), > ], 6[ 6 = f (,),< f (, ),87 > ],;,[, f (,9), 9 < f (, ),87 > ],9;,[, f (,9), 9 < f (,9),9 > ],9;,9[, Koska välin,9 < <,9 kaikki luvut pyöristyvät kahden desimaalin tarkkuudella lukuun,9, niin kysytyn juuren kaksidesimaalinen likiarvo on,9. ii) Newtonin menetelmässä pitää tietää derivaatan lauseke. ( ) f ( ) = D e ln s ( ) s ( ) De = e s ( ) = ln + = ln + = ln + Newtonin menetelmän mukainen palautuskaava on f ( n ) n+ n f ( n ) =, n =,,,, joten n+ = n n n n n n ln n + Otetaan alkuarvoksi =,. Algoritmilla saadaan seuraava jono: n n+,97966,9779,986,986 Juuren kaksidesimaalinen likiarvo on siten,9. Tarkkuus on osoitettu i-kohdassa. Vastaus a) lukujen ja 6 c),9

15 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU a) + 9 =( + 9) a ab+ b = ( a b) (( ) ) = + =() yhteisen tekijän erottaminen: ma + mb = m( a + b) b) Etsitään lauseketta + vastaavan yhtälön + = mahdolliset rationaalijuuret, jolloin polynomi saadaan jaettua tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön kertoimet ovat kokonaislukuja. Vakiotermin a = = tekijät ovat ±, ±, ±, ±8, ±, ±. Korkeimman asteen termin kertoimen a = tekijät ovat ±. Mahdollisen rationaalijuuren = p/ q osoittaja p on vakiotermin tekijä ja nimittäjä q korkeimman asteen termin kertoimen tekijä, joten rationaalijuuriehdokkaat ovat ±, ±, ±, ±8, ±, ±. Kokeilemalla ehdokkaita havaitaan, että = on ratkaisu, sillä + = = on ratkaisu, sillä ( ) ( ) ( ) + = = on ratkaisu, sillä + =. Muita ehdokkaita ei kannata kokeilla, sillä kolmannen asteen yhtälöllä on enintään kolme juurta. Koska P( ) = a( )( )( ), jossa, ja ovat polynomin nollakohdat, niin + = ( )( ( ))( ) = ( )( + )( ). Vastaus a) ( ) b) ( )( )( + ) a) Luvut, ja ovat polynomin nollakohtia, jos ( + ), ( ) ja ( ) ovat polynomin tekijöitä. Etsitään lisäksi sellainen korkeimman asteen termin kerroin a, että P ( ) = a( + )( )( ) saa kohdassa = arvon 8. P() = a( + )( )( ) = a = 8 a = Siten kysytyksi polynomiksi kelpaa P ( ) = ( + )( )( ) = ( )( ) = ( + ) = ( a+ b)( a b) = a b b) Sovelletaan tulon nollasääntöä yhtälöön (+ )( ) =. ) + = = : = ei reaalijuuria Imaginaariset juuret: = =± i =± i

16 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU ) = = b) Lasketaan jakolasku + jakokulmassa. = =± Vastaus P ( ) = 8+ 8 a) b) reaalijuuret =±, ab = a b, imaginaariset juuret =± i ± ± Termien järjestys pitää vaihtaa alenevaksi: + = = + Jako ei mennyt tasan, sillä jäi jakojäännös on. a) Lasketaan jakolasku + 7 jakokulmassa ± + 7 ± 6 ± Huomaa, että jakajan termien järjestys on vaihdettu. Jako meni tasan, koska jakojäännös oli nolla. Jakolaskun osamäärä on +. Jakolaskussa pätee P( ) J( ) V( ) Q ( ) Q ( ) osamäärä ja J( ) jakojäännös. Siispä + = 6 +. Vastaus a) + b) 6 f () = e +, [, ] = +, jossa V( ) on vaillinainen 6+ Funktion f derivaatta on f () = e <, joten f on aidosti vähenevä. Näin ollen se saavuttaa välillä [, ] suurimman arvonsa kohdassa = ja pienimmän arvonsa kohdassa =. Koska f () = e + < + = ja f () = e + >, niin < f () < välillä [, ].

17 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU Toinen derivaatta on f () = e >, joten derivaatta on aidosti kasvava. Derivaatta on negatiivinen, joten derivaatan itseisarvo saavuttaa välillä [, ] suurimman arvonsa kohdassa =. Koska f () = e = e,7 <,, niin f () <, välillä [, ]. Lasketaan jonon,,, termejä palautuskaavan n = f ( n ) avulla lähtemällä alkuarvosta =,. Saadaan = f ( ) = f (,) = e, + =,7 = f ( ) =,8 =,78 =,789 =,788 6 =,787 7 =,786 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,78. Varmistetaan: Koska f (,77),77 > ja f (,78),78 < ja koska funktio f () on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f () on nollakohta eli yhtälöllä = f () on ratkaisu välillä ],77;,78[. Ratkaisu on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,78. Huomautus. Kyseessä on luonnollisesti kiintopistemenetelmä. Ehto < f () < takaa kiintopisteen olemassaolon, sillä ehdon nojalla f () > ja f () <, jolloin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f () on nollakohta eli yhtälöllä = f () on ratkaisu eli funktiolla f on kiintopiste välillä [, ]. Derivaattaehto f () <, takaa sen, että funktiolla f iterointi suppenee kohti kiintopistettä (ks. kirjan sivulla 7 olevaa suppenemisehtoa). 7 Integroitava funktio on f( ) =, ja osavälin pituus on Simpsonin säännöllä saadaan h = =. d h ( f () + f () + f () ) = + + = = 9 9. Virhekaavan mukaan virhe on () () ( ba) f ( t) () f ( t) () E f t t = = = ( ), jossa < < Lasketaan derivaattoja: f ( ) = =, f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = 6, () f ( ) =. () Neljännen derivaatan itseisarvo f ( ) = on välillä [, ] aidosti () vähenevä, joten se on välillä ], [ pienempi kuin f () = =. Absoluuttiselle virheelle saadaan arvio () E = f ( t) < =, Integraalin tarkka arvo on d / ln ln ln ln = = =, joten likiarvon tarkka absoluuttinen virhe on ln,. 9 9

18 PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU a) Vasemmanpuoleisen erotusosamäärän avulla: f() f( h) f () h ( h) = h h h = =,,99 6,99 =,97., Oikeanpuoleisen erotusosamäärän avulla:, f( + h) f(), 6 f () =,9986. h, Keskusdifferenssin avulla:,,99 f( + h) f( h),,99 f () =,. h, b) Suhteellinen virhe on T L, jossa T on tarkka arvo ja L likiarvo. Nyt T T = f () = 8( + ln ),77. Kun h =, niin keskusdifferenssin avulla saadaan derivaatalle likiarvo,,9 f( + h) f( h),,9 =,86, h, jonka suhteellinen virhe on noin,77,86,77, =, %. Kun h =, niin a-kohdassa lasketun likiarvon suhteelliseksi virheeksi saadaan noin,77,,77 c) Kun h =, niin keskusdifferenssi on, =,%. + f( + h) f( h) ( + ) ( ) = h TI-86-laskimella laskettuna keskusdifferenssi on. Eri laskimet antavat erilaisia tuloksia. Osoittajassa on kahden lähes samansuuruisen luvun erotus, jolle laskin saattaa antaa arvoksi nollan muistipaikkojen loppumisen takia. (Laskin ei erota edes lukuja + h ja h toisistaan, kun h on riittävän pieni. Kokeile tätä syöttämällä laskimeen + ja ). Mikäli laskin antaa keskusdifferenssiksi nollan, niin absoluuttinen virhe on T L = T = 8( + ln ) ja suhteellinen virhe %. Derivaatan määritelmän nojalla keskusdifferenssi lähestyy derivaattaa, kun h, ja absoluuttinen virhe siis lähestyy nollaa. Suoraan laskimella laskettu keskusdifferenssin arvo ei kuitenkaan lähesty derivaattaa, koska hyvin pienillä h:n arvoilla laskimen kapasiteetti loppuu. Vastaus a) f (),9986, f (), 97, f (), b), %;, % c) Riippuu laskimesta; luultavasti absoluuttinen virhe on hyvin suuri..

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön ratkaiseminen Suora iterointi Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = f(x). Ensin päätellään jollakin tavoin jokin alkuarvo x 0 ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle, jolloin saadaan tarkennettu ratkaisu

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Vapaa matikka. Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Polynomifunktiot (MAA2)

Vapaa matikka. Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Polynomifunktiot (MAA2) Vapaa matikka Polynomifunktiot (MAA2) Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 4.0 -lisenssillä. Versio 0.90 (22.9.2014) LISENSSI Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03 Sisältö Polynomit................................... 4 Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla................. 5. Kokonaislukujen jakolasku......................

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Matematiikan pitkä oppimäärä

Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Kertauskirja Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA 0 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Tehtäväsarjoja

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot