Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Transkriptio

1 Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari - kts. kuvaa, kulmaa α vastaava kehän pala on merkitty sinisellä. α Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Koskakokoyksikköympyrän pituuson2π jasitävastaatäysikulma360, saadaan vastaavuus 2πrad = 360, josta voidaan ratkaista, että rad = 80 /π, = (π/80)rad. Käytännössä kulmien arvot muutetaan asteista radiaaneiksi ja toisinpäin näiden muunnoskaavojen avulla. Esimerkiksi πrad = 80, π/2rad = 90,

2 π/4 = 45 ja niin edelleen. Yleisesti jos kulman α suuruus asteissa on x, niin radiaaneissa tämä kulma on (xπ/80) rad. Kääntäen, jos kulman α suuruus radiaaneissa on y rad, niin asteissa α:n suuruus on y80/π. Tässä materiaalin osassa käytämme tästä lähtien kulmien mittaamiseksi radiaaneja, jos ei muuta mainita. Trigonometristen funktioiden ominaisuudet Koska täyden kierroksen 2π lisääminen kulmaan ei muuta sitä vastaava kehäpisteettä, pätee sin(x+2π) = sinx, cos(x+2π) = cosx ja sama tangentille ja kotangentille. Kun yksikköinä käytetään radiaaneja, voidaan siis sanoa, että trigonometriset funktiot ovat 2π-jaksollisia. Esimerkkejä: sinπ/2 = sin90 =, cosπ = cos80 =, cos(0π/3) = cos(2π +4π/3) = cos(4π/3) = cos240 = cos60 = 0,5 tan(3π/2) = sin270 cos270 = EI MÄÄRITELTY. 0 Muista, että tangentti ei ole määritelty sellaisille kulmille joiden kosini on nolla. Neljännekset ja merkki Koko taso on tapana jakaa neljään neljännekseen, joista ensimmäinen vastaa aluetta, jossa sekä x, että y ovat positiivisia ja muiden numerot saadaan liikkumalla vastapäivään. Kun kulma sijoitetaan yksikköympyrään, sen toinen kylki sijaitsee jossakin neljänneksessä. Kun tiedetään missä neljänneksessä se sijaitsee, voidaan päätellä kulman trigonometristen funktioiden arvojen merkki seuraavien sääntöjen mukaisesti: 2

3 I - sin>0, cos >0, tan>0 II - sin>0, cos<0, tan<0 III - sin<0, cos<0, tan>0 IV - sin<0, cos>0, tan<0 II I III IV Koska (cos x, sin x) on yksikköympyrän piste, pätee erittäin tärkeä peruskaava cos 2 x+sin 2 x =. Tämän kaavan avulla voidaan laskea kulman trigonometrisia funktioita, kun tuntee niistä yhden ja lisäksi tietää missä neljänneksessä kulma sijaitsee. Esimerkki: Tiedetään, että sin x = /2. Perusyhtälö sanoo tällöin, että cos 2 x = ( 2 )2 = 3/4, mistä saadaan cosx = ± 3/2 (muista negatiivinen ratkaisu!). Tuntemalla sini ei siis voida päätellä kosini aivan yksiselitteisesti, ainoastaan merkin tarkkuudella. Toisaalta tämä merkki riippuu siitä, missä neljänneksessä kulma sijaitsee. Jos sen tietää,voidaan päätellä mikä on kosinin arvo yksikäsitteisesi. Esimerkiksi jos tiedetään, että kyseinen kulma x sijaitsee ensimmäisessä tai toisessa neljänneksessä, tällöin cos > 0, joten cosx = 3/2. Jos taas x sijaitsee kolmannessa tai neljännessä neljänneksessä, tällöin cos > 0, joten cosx = 3/2. Esimerkki: Tiedetään, että sinx = 0,4 ja kulma x sijaitsee kolman- 3

4 nessa neljänneksessä. Tällöin sen kosini on negatiivinen, joten cosx = 0,4 2 0,92. Nyt voimme laskea myös kulman tangentti - Lisää kaavoja tanx = sinx cosx = 0,4 0,92 = 0,44. Sini on pariton funktio, kosini taas parillinen. Tämä tarkoittaa sitä, että kaikille x pätee sin( x) = sinx, Yhteenlasku-ja vähennyskaavat: cos( x) = cosx. sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny, sin(x y) = sinxcosy cosxsiny, cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny, cos(x y) = cosxcosy +sinxsiny. Esimerkki näiden kaavojen käytöstä: Halutaan laskea 75 asteen sinin tarkka arvo. Koska 75 = 45+30, saadaan sin75 = sin(45+30) = sin45cos30+sin30cos45 = 2 =. 2 4 (Huom., tässä esimerkissä käytämme siis asteita, ei radiaaneja, selkeyden vuoksi). Vähennyskaavoista saadaan esim. erikoistapauksena kaavoja sin(π x) = sinx, cos(x+π/2) = sinx, sin2x = 2sinxcosx, ja niin edelleen. Yhdistämällä erilaisia kaavoja voidaan johtaa lisää kaavoja, esim. (sinx+cosx) 2 = sin 2 x+2sinxcosx+cos 2 x = +sin2x. Tässäviimeisessäsin 2 x+cos 2 x = peruskaavanmukaanjasin2x = 2sinxcosx. 4

5 Trigonometriset yhtälöt. ) Yhtälö muotoa sinx = a. Tällaisella yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Laskin antaa toiminnolla sin vain yhden ratkaisun x 0 = sin a - sen joka sijaitsee välillä [ π/2, π/2]. Yksikköympyrästä näkee (symmetria!), että tällöin myös x = π x 0 on yhtälön ratkaisu - sillä on sama sini kuin x 0 :llä. Lisäksi mikä tahansa kulma joka saadaan näistä kahdesta perusratkaisusta lisäämällä tai vähentämällä mielivaltainen kokonainen määrä kokonaiskierroksia 2π on myös ratkaisu! π x 0 x 0 Näin ollen kaikki ratkaisut saadaan kaavoilla x = x 0 +n 2π, x 2 = (π x 0 )+n 2π, missä n =..., 2,,0,,2,3,... on mielivaltainen kokonaisluku. Ratkaisut siis muodostavat kaksi ratkaisuparvea. Toteamusta n on mielivaltainen kokonaisluku yleensä lyhennetään tässä yhteydessä symboliseksi merkinnäksi n Z. 5

6 Tässä Z tarkoittaa kokonaislukujen joukkoa ja symboli on lyhenne sanoille kuuluu joukkoon. Toisin sanoen n Z tarkoittaa yksinkertaisesti n kuuluu kokonaislukujen joukkoon tai- vielä yksinkertaisemmin n on kokonaisluku. Jos pyydetään yhtälön sinx = a KAIKKI RATKAISUT, niitä pitää antaa siis yllämainitussa muodossa, ei riitä että mainitse vain yhden tai kaksi perusratkaisua. Jos sen sijaan pyydetään ratkaisuja esim. tietyltä väliltä, on vielä tutkittavaa mitkä ratkaisuista kuuluvat tälle välille. Tästä nähdään esimerkkejä alla. Esimerkki: Ratkaistaan yhtälö sin x = 0, 5 radiaaneissa. Laskimesta saadaan x = sin 0,5 = π/6 (30 asetta). Tämä on yksi ratkaisu, toinen saadaan laskulla π π/6 = 5π/6. Nämä ovat kaksi perusratkaisua, kaikki muut saadaan lisäämällä mielivaltainen määrä kokonaiskierroksia 2π. Saadaan siis kaksi ratkaisuparvea x = π/6+n 2π, x = 5π/6+n 2π,n Z. Asteissa sama ratkaisu näyttää seuraavalta, x = 30 +n 360, x = 50 +n 360,n Z. Mitä jos pyydetään saman yhtälön ratkaisuja, mutta vain väliltä[ 3π, 2π]? Tutkitaan mitkä ratkaisut mahtuvat tälle välille. Ensimmäisestä parvesta ratkaisu on kyseisellä välillä jos 3π π/6+n 2π 2π. Muokkaamalla tätä epäyhtälöä saadaan 9π/6 = 3π π/6 n 2π 2π π/6 = π/6, 7/2 = 9/2 n /2. Koska n on oltava luonnollinen luku, pitää olla n = tai n = 0. Näin ollen sopivat ratkaisut ovat π/6 ja π/6. Toisen parven ratkaisuille saadaan samalla tavalla ehto 3π 5π/6+n 2π 2π. Tämän ratkaisut ovat 23/2 n 7/2. 6

7 Sopivatnovattaasn = jan = 0,jotensaadaanratkaisuja 7π/6ja5π/6. Vastaus:välillä[ 3π,2π]kaikkiyhtälönsinx = 0,5ratkaisutovat π/6, 7π/6, π/6 ja 5π/6. 2) Yhtälö mutoa cosx = a. Laskimesta saadaan taas vain yksi ratkaisu x 0 = cos, eli se joka on välillä [0,π]. Yksikköympyrästä nähdään, että myös kulmalla x 0 on sama kosini, joten sekin kelpaa ratkaisu. Lisäksi täysien kierrosten lisääminen ei vaikuta kosinin arvoon. Näin ollen kaikki ratkaisut ovat x = x 0 +n 2π, x = x 0 +n 2π, missä n Z. x 0 x 0 Huomautus: Kun yhtälö sin x = 2 yritetään ratkaista edellä annettujen ohjeiden mukaan, laskin ilmoittaa virheestä heti alussa, siinä vaiheessa kun sin (2) yritetään laskea. Mikä on pielessä? Ongelma on siinä, että sekä sini, että kosini saavat arvoja vain väliltä [,], joten jos a ei kuulu tälle välille, yhtälöillä sinx = a tai cosx = a ei voi olla ratkaisua. Näin ollen tällaisessa tapauksessa todetaan vain, että ratkaisuja ei ole. Yllä annetun ohjeet taas toimivat silloin kun a. 7

8 3) Yhtälö muotoa tanx = a. Laskimesta saa yhden ratkaisun x 0 = tan (a). Kaikki ratkaisut ovat muotoa x = x 0 +nπ,n Z. Huomaa, että tässä tapauksessa on vain yksi ratkaisuparvi ja lisäksi jakso ei ole 2π, vaan yksinkertaisesti π. Myös, yhtälöllä on aina ratkaisuja KAI- KILLA a, sillä tan voi saadaan mitään vaan reaalilukuarvoja. 8