Kokonaisvahinkomäärän normaaliapproksimointi vinoille jakaumille

Transkriptio

1 Tiedekuta/Osasto Fakultet/Sektio Faculty Matemaattis-luootieteellie Tekijä Författare Author Ja-Erik Lausala Työ imi Arbetets titel Title Oppiaie Läroäme Subject Työ laji Arbetets art Level Tiivistelmä Referat Abstract Aika Datum Moth ad year Laitos Istitutio Departmet Matematiika ja tilastotietee laitos Kokoaisvahikomäärä ormaaliapproksimoiti vioille jakaumille Matematiikka Pro Gradu -tutkielma Toukokuu sivua Sivumäärä Sidoatal Number of pages Tutkielma käsittelee vioude huomioivaa ormaaliapproksimoitia ja se taustalla vaikuttavaa teoriaa. Lisäksi äytetää, että NP-approksimoitia voi soveltaa yritysmaailmassa. Vakuutusyhtiöt Suomessa ovat erittäi vakavaraisia. Tämä johtuu vakuutusyhtiölle eakkoo asetetusta vakavaraisuusehdosta. Vakuutusyhtiö sallitaa jatkaa toimitaasa mikäli todeäköisyys vararikolle toimikaude aikaa o pieempi kui ealta valittu luku 'epsilo'. Käytäössä tämä luku valitaa ii pieeksi, että vararikko o lähes mahdoto. Kokoaisvahikomäärä arvioimie oki merkittävässä roolissa vakuutusyhtiöissä. Tällä arvioiilla voidaa todistaa esimerkiksi vakuutusyhtiö vakavaraisuus, mutta toisaalta kokoaisvahikomäärä suuruus vaikuttaa myös vakuutuksie hioitteluu. Kokoaisvahikomäärä arvioitia lähestytää tutkielmassa kahdesta eri äkökulmasta; simuloimalla vakuutuskaa käyttäytymistä sekä NP-approksimoiilla, joka huomioi jakauma vioude. Liikeevakuutuksia tarkasteltaessa voidaa todeta, että esimerkiksi kuljettajie ajokäyttäytymisessä ja ajotaidoissa o eroja. Näihi eroihi voivat vaikuttaa muu muassa vaihtelevat ajo-olosuhteet ja kuljettaja ajamie kilometrie määrä. Vahikoje itesiteetti ei siis ole kaikille kuljettajille sama. Kokoaisvahikomäärää kuvaavat mallit sisältävät paiotuksia eivätkä e äi olle ole yksikertaisia. Tutkielma pääpaio o NP-approksimaatio taustoje todistamisessa, mutta lisäksi tuotetaa simuloimalla havaitoja erää vakuutuskaa käyttäytymisestä ja verrataa simuloiilla saatua tulosta NP-approksimoiilla saatavaa arvoo. NP-approksimoiissa toteutetaa kolme alimma mometi avulla. Simuloii idea o melko suoraviivaie; ogelmaa ei ratkaista aalyyttisi meetelmi, vaa tilae mallietaa pilkkomalla ogelma pieempii palasii, joita o helppo käsitellä. Simuloiilla saadaa tuotettua umeerisia arvoja tai graafisia kuvia, mutta iide tulkita o haasteellista. Aalyyttiset meetelmät puolestaa atavat tietoa itse mallista, mutta lähestymistapa o simuloitia hakalampi. Yksikertaisuude vuoksi kokoaisvahikomuuttuja mallietaa yhdistettyä Poisso-muuttujaa, ja kyseiselle muuttujalle vahikoje itesiteettiä kuvaava parametri o ealta päätetty suureksi. Tarkkuude paratamiseksi simuloitikierroste määrä o Yhdistety Poisso-muuttuja kertymäfuktio laskemie o haastavaa, vaikka vahikoje lukumäärä sekä yksittäise vahigo suurude jakaumat olisivat tiedossa. Arvioiti oistuu periaattessa myös laskemalla kovoluutiosummia, mutta se o työlästä eikä se ole tarkoituksemukaista. Tutkielma johtopäätös o, että simuloiilla ja NP-approksimoiilla saadut arvot yhtyvät kuha vahikoje itesiteettiparametri o riittävä suuri. Avaisaat Nyckelord Keywords Kokoaisvahikomäärä, mometti, yhdistetty Poisso-muuttuja, NP-approksimaatio, simulaatio Säilytyspaikka Förvarigställe Where deposited Kumpula tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additioal iformatio

2 Pro gradu -tutkielma Kokoaisvahikomäärä ormaaliapproksimoiti vioille jakaumille 17. toukokuuta 2016 Ja-Erik Lausala Helsigi yliopisto Ohjaaja: Harri Nyrhie Matematiika ja tilastotietee laitos

3 Kiitokset rakkaallei Rojalle atamastasi tuesta läpi uraka. Siu tuki sekä loppumato usko mahdollistivat tämä työ valmistumise.

4 Sisältö 1 Johdato Merkitöjä Todeäköisyysavaruus ja -mitta Perusomiaisuuksia Todeäköisyysmitta Todeäköisyysavaruus Satuaismuuttujat ja -vektorit Mitallie kuvaus ja jakauma Muuttujie jaottelu Kovoluutio Karakteristie fuktio Määritelmä ja omiaisuuksia Yleie muoto kovoluutiolle Muuoskaavoja Kehitelmiä keskeiselle raja-arvolauseelle Notaatioita Kehitelmiä tiheysfuktioille Fuktio sileydestä Kehitelmiä jakaumalle Berry-Essee -raja Simulaatio 44 7 Kirjallisuus 47 3

5 1 Johdato Symmetrie ormaalijakauma ja siihe liityvä ormaaliapproksimaatio, eli arvioiti, o moille tuttu esimerkiksi lukio matematiika kursseilta. Tässä tutkielmassa äytetää, että samakaltaista arvioitia voidaa tehdä myös epäsymmetrisille, eli vioille jakaumille käyttämällä ii kutsuttua Normal Power -approksimoitia. Tätä varte todistetaa keskeie raja-arvolause riippumattomille ja samoi jakautueille satuaismuuttujille. Ajatuksea o tutustua NP-approksimoii taustalla vaikuttavaa teoriaa. Tarkastella mite keskeistä raja-arvolausetta voidaa vahvistaa, ku korkeampia mometteja o olemassa. Itseasiassa edes kaikkie momettie olemassaolo ei ole välttämätötä, mutta se ei ole aihee oleaisi osa. Esitellää Berry-Essee -raja, joka ataa suppeemisopeude keskeiselle rajaarvolauseelle. Tämä yläraja avulla voidaa arvioida stadardoidu summamuuttuja jakauma eroavaisuutta ormaalijakaumasta. Käytäössä Berry-Essee -raja ei kuitekaa aa kovi tarkkoja tuloksia. Pääpaio o kuiteki NP-approksimoii taustoje todistamisessa. Lisäksi katsotaa voiko NP-approksimoitia soveltaa yritysmaailmassa. Käy ilmi, että vio jakauma ormaaliapproksimoiilla o käytäöläheisiä sovelluksia, esimerkiksi vakuutusyhtiöissä. Tutkielmassa tarkastella erää vakuutuskaa käyttäytymistä ja kokoaisvahikomäärä suuruutta arvioidaa simuloimalla sattueet vahigot sekä iide suuruudet. Simulaatio toteutetaa R-ohjelmistolla. Vakuutusyhtiö äkökulmasta esimerkiksi ajajie liikeekäyttäytymie ja ajotaidot ovat erilaisia, mistä syystä vakuutusmallit eivät ole yksikertaisia. Vakuutusmalli vahikomuuttuja sisältää paiotuksia, jote tästä muodostettu jakauma ei käyttäydy symmetrisesti, kute ormaalijakauma. Kokoaisvahikomäärä arvioimie liittyy oleellisesti vakuutusyhtiö vakavaraisuusehdo 'todistamisee' ja o äi olle tutkielma kaalta mielekäs. Vakuutusyhtiö sallitaa jatkaa toimitaasa, mikäli todeäköisyys vararikolle toimitakaude aikaa o pieempi kui ealta valittu luku ɛ. Vakuutusyhtiöt Suomessa ovat ii vakavaraisia, ettei vararikko ole käytäössä mahdollista. 4

6 1.1 Merkitöjä Todeäköisyysavaruude perusjoukosta käytetää merkitää Ω ja se alkiosta merkitää ω. Osajouko A Ω vastatapahtumasta eli komplemetista käytetää merkitää A c = {ω Ω: ω / A} Jouko X kaikkie osajoukkoje kokoelmaa eli potessijoukkoa merkitää symbolilla P(X) = {A: A X} Todeäköisyysmitasta käytetää merkitää P. Tapahtuma A todeäköisyys o P [A]. Tyhjä joukko, eli joukko jossa ei ole yhtää alkoita, o. Lisäksi P[ ] = 0. Stadardiormaalijakautuee satuaismuuttuja kertymäfuktiosta käytetää merkitää N (x) ja vastaavasta tiheysfuktiosta merkitää (x). Tällöi odotusarvo o 0, variassi 1 ja tiheysfuktio siis (x) = 1 2π e 1 2 x2. Luv k kertomasta käytetää merkitää k! = k (k 1) 2 1 Olkoo fuktiot u ja v riippuvaisia parametrista x. Sovitaa, että parametri x meee kohti arvoa a. Oletetaa, että fuktio v o positiivie. Tällöi u = O (v) u = o (v) u v, jos u v pysyy rajoitettua 0 1 Olkoo X ja Y satuaismuuttujajooja. Jos joo suppeee jakaumaltaa, käytetää merkitää X d = Y. Jos joo suppeee stokastisesti, käytetää merkitää X p = Y. 5

7 2 Todeäköisyysavaruus ja -mitta 2.1 Perusomiaisuuksia Määritelmä 2.1. Kokoelma F perusjouko Ω osajoukkoja o σ-algebra, jos se toteuttaa ehdot: (i) Ω F (ii) Jos A F, ii A c F. (iii) Jos A F kaikilla N, ii A F. Käyttämällä ehtoa (ii), eli siirtymällä komplemetteihi voidaa ehto (i) korvata ehdolla (i ) F ja ehto (iii) ehdolla (iii ) jos A F kaikilla N, ii A F Määritelmä 2.2. Olkoo (T, τ) topologie avaruus. Kokoelmaa Bor X = {F P(X): F o sigma-algebra, τ F} saotaa jouko X Boreli perheeksi. Tämä perhee alkioita B Bor X kutsutaa Borel-joukoiksi. Huomautus 2.1. Määritemä ojalla Boreli perhe o suppei iistä jouko X sigma-algebroista, jotka sisältävät jouko X avoimet ja siis myös suljetut joukot eli topologia τ. Määritelmä 2.3. Numeroituvuus. Joukko A o umeroituva, jos o olemassa ijektio f : A N. Jos joukko A ei ole umeroituva, saotaa sitä yliumeroituvaksi. 2.2 Todeäköisyysmitta Määritelmä 2.4. Todeäköisyysmitta. Kuvausta P: F [0, 1], joka toteuttaa alla olevat ehdot saotaa todeäköisyysmitaksi. (i) P[Ω] = 1 (ii) jos tapahtumat A F, N, ovat erillisiä eli A m A k = kaikilla m k, ii [ ] P A = P [A ]. Todeäköisyysmitta o yleise mita erikoistapaus. 6

8 2.3 Todeäköisyysavaruus Määritelmä 2.5. Kolmikko (Ω, F, P) muodostaa todeäköisyysavaruude ku Ω ei ole tyhjä joukko, toisi saoe perusjoukossa o aiaki yksi alkio, F o joki σ-algebra ja P todeäköisyysmitta. Lause 2.1. Jos kokoelmat F j, j J, ovat σ-algebroja, ii F j o σ- algebra. Todistus. (i) Selvästi Ω F j, koska Ω F j kaikilla j J. (ii) Jos A F j, ii A F j kaikilla j J. Koska F j o σ-algebra, ii A c F j eli A c F j. (iii) Jos joukot A, N, kuuluvat joukkoo F j, ii e kuuluvat joukkoo F j kaikilla j J. Saadaa A F j kaikilla j J, koska joukot F j, j J, ovat σ-algebroja. Nyt A F j. 3 Satuaismuuttujat ja -vektorit 3.1 Mitallie kuvaus ja jakauma Määritelmä 3.1. Kuvaus X : Ω R o satuaismuuttuja eli mitallie kuvaus, jos {X B} F kaikilla B Bor X. Vastaavasti vektoriarvoie kuvaus X = (X 1,..., X ) : Ω R o satuaisvektori, jos {X B} F kaikilla B Bor X. Määritelmä 3.2. Satuaisvektori X = (X 1,..., X ) jakauma P X o se maalijoukkosa R idusoima todeäköisyysmitta 3.2 Muuttujie jaottelu P X [B] = P [X B], missä B Bor X. Määritelmä 3.3. Satuaismuuttuja jatkuvuus. Satuaismuuttuja X o jatkuva, jos se jakauma o muotoa P X [B] = f X (x) dx B 7

9 kaikilla B Bor X. Fuktio f : R R + o satuaismuuttuja X tiheysfuktio. Vastaavasti satuaisvektori X = (X 1,..., X ) o jatkuva, jos P X [B] =... f(x 1,..., x ) dx 1...dx B kaikilla B Bor X. Fuktio f : R R + o satuaisvektori X yhteistiheysfuktio. Määritelmä 3.4. Satuaismuuttuja o diskreetti, jos se arvojoukko o äärellie tai umeroituvasti ääretö. Olkoo satuaismuuttuja X arvojoukko {x 1, x 2...} ja p k = P[X = x k ]. Tällöi se jakauma o muotoa P X [B] = { 1, jos xk B p k δ xk [B], missä δ xk = 0, muulloi Määritelmä o aettu ii saottuje Diraci pistemassoje δ xk Määritelmä 3.5. Tiheysfuktio o sellaie fuktio f, että avulla. f(x) 0, f(x) dx = 1. Vastaava määritelmä diskreetille satuaismuuttujalle saadaa ku itegraali korvataa summalla ja jokaie pistetodeäköisyys p k o epäegatiivie. Tällöi käytetää imitystä pistetodeäköisyysfuktio. Huomautus 3.1. Tutkielmassa esiityvät satuaismuuttujat ovat pääsäätöisesti jatkuvia. Kaikki jatkuville satuaismuuttujille suoritettavat operaatiot voidaa tehdä myös diskreeteille satuaismuuttujille. Määritelmä 3.6. Kertymäfuktio F kuvaa satuaismuuttuja X jakauma yksikäsitteisesti ja kaikille x R pätee F (x) = P [X x] = x f(y) dy. Huomautus 3.2. Kertymäfuktiolla F o seuraavat omiaisuudet: (i) F o kasvava: F (x) F (y) kaikilla x y, (ii) F o oikealta jatkuva: lim x y+ F (x) = F (y), (iii) lim x F (x) = 0 ja lim x F (x) = 1. 8

10 Kertymäfuktio asemesta voidaa puhua yleisesti vai jakaumasta F eikä vääriymmärtämise riskiä ole. Määritelmä 3.7. Satuaismuuttuja X odotusarvo o E(X) = xf(x) dx. Jos fuktio u o lisäksi jatkuva ja rajoitettu, ii pätee E(u(X)) = u(x)f(x) dx. Huomautus 3.3. Vaikka satuaismuuttuja u(x) jakaumasta ei ole täydellistä tietämystä, ii satuaismuuttuja X jakauma tutemie riittää se fuktio odotusarvoje laskemisee. 3.3 Kovoluutio Moi uusi satuaismuuttuja voidaa määritellä satuaismuuttujie X ja Y fuktioa, mutta tärkei rooli o kuiteki summamuuttujalla X +Y. Tutustutaa yt kovoluutio käsitteesee yksikertaisessa erikoistapauksessa. Olkoo satuaismuuttujat X ja Y riippumattomia, joilla o tiheysfuktiot f ja g. Näide muodostama yhteistiheysfuktio ataa todeäköisyydet tasossa R 2 ja o muotoa (3.1) P [A] = A f (x) g (x) dx dy. Olkoo uusi satuaismuuttuja S = X + Y ja arvojoukko A = {S s}. Olkoo satuaismuuttuja Y jakauma G. Oletetaa, että derivoimalla saadaa tiheysfuktio g(y) = G (y). Haluamme määrittää satuaismuuttuja X + Y = S jakauma, jote itegroidaa yhtälössä (3.1) yli pisteide y s x. Saadaa P [X + Y s] = f(x)g(s x) dx. Symmetriasta johtue jakaumie F ja G roolia voidaa vaihtaa vaikuttamatta itse tuloksee. Tällöi P [X + Y s] = 9 f(s x)g(x) dx.

11 Derivoimalla ähdää, että halutu summamuuttja tiheyde ataa jompikumpi seuraavista itegraaleista (3.2) f(s y)g(y) dy = f(y)g(s y) dy. Tiheysfuktioide f ja g keskittyessä välille [0, ) kovoluutio (3.2) kutistuu muotoo s 0 f (s y) g (y) dy = s 0 f (x) g (s x) dx. Satuaismuuttujie summaus o sekä vaihdaaista että liitääistä ja sama pätee pätee kovoluutiolle. Koska kovoluutio käsite o erittäi tärkeä, siihe palataa myöhemmi yleisessä tapauksessa. 4 Karakteristie fuktio 4.1 Määritelmä ja omiaisuuksia Todeäköisyysteoreettisissa ogelmissa, erityisesti riippumattomie satuaismuuttujie summa tarkastelussa, karakteristie fuktio tarjoaa yksikertaisempia vastauksia ja osoittautuu äi hyödylliseksi apuvälieeksi. Tätä teoriaa jatkettaessa törmätää väistämättä Fourier-aalyysii. Karakteristise fuktio ja kovoluutio välillä o yhteys, sillä matemaattisessa mielessä riippumattomie satuaismuuttujie summa vastaa fuktioide välistä kovoluutiota. Koska karakteristie fuktio määrittelee yksikäsitteisesti sitä vastaava jakauma, toisiaa o yksikertaisempaa korvata kovoluutio karakteristise fuktio tulolla, eikä 'tiedo' meetyksestä ole vaaraa. Tarkastellaa ekspoettifuktiota, joka määritellää reaaliarvoiselle muuttujalle x seuraavasti e iξx = cos ξx + i si ξx, missä ξ o reaaliarvoie vakio ja i 2 = 1. Koska fuktio e iξx o rajoitettu, se odotusarvo o aia olemassa. Lisäksi karakteristie fuktio toimii mometit geeroiva fuktio korvikkeea, jos reaalie argumetti korvataa kompleksisella argumetilla. Määritelmä 4.1. Olkoo X satuaismuuttuja, jolla o jakauma F. Tällöi jakauma F tai yhtäpitävästi satuaismuuttuja X karakteristie fuktio ϕ määriteltyä reaaliarvoiselle muuttujalle ξ o 10

12 missä ϕ(ξ) = e iξx F {dx} = u(ξ) + iv(ξ), u(ξ) = cos ξx F {dx}, v(ξ) = Sekä jakaumalle F, jolla o tiheysfuktio f si ξx F {dx}. (4.1) ϕ(ξ) = e iξx f (x) dx. Yhtälö (4.1) oikea puoli voidaa tulkita myös odotusarvoa, jolloi se o muotoa e iξx f (x) dx = E ( e iξx). Huomautus 4.1. Fourier-alyysissä fuktiota ϕ kutsutaa jakauma F Fourier-Stieltjes -muuokseksi. Tällaisia muuoksia voidaa määritellä kaikille rajoitetuille mitoille ja termi 'karakteristie fuktio' korostaa, että mitalla o yksikkömassa. Muukaltaisilla mitoilla ei ole karakteristista fuktiota. Koska muotoa (4.1) olevia itegraaleja esiityy moissa eri yhteyksissä, sovitaa että (4.1) määrittelee tavallise Fourier' muuokse tiheydelle f. Jakauma F karakteristie fuktio o tiheyde f tavallie Fourier' muuos, ku jälkimmäie o olemassa, mutta termi Fourier' muuos pätee myös toisille fuktioille. Selvitetää yt muutama karakteristise fuktio perusomiaisuus. Lause 4.1. Yksikäsitteisyyslause. Olkoo X ja Y satuaismuuttjia. Tällöi satuaismuuttujia vastaaville karakteristisille fuktioille pätee ϕ X = ϕ Y, jos ja vai jos, X d = Y. Todistus. Väite todistetaa muuoskaavoje yhteydessä. Lemma 4.1. Karakteristie fuktio o tasaisesti jatkuva ja sillä o seuraavat omiaisuudet: ϕ(0) = 1, ϕ(ξ) 1 kaikilla muuttujilla ξ. 11

13 Todistus. Selvästi ϕ(0) = 1 F {dx} = 1. Koska e iξx = 1, tällöi e iξx F {dx} e iξx F {dx} = 1. Näytetää vielä tasaie jatkuvuus. Tarkastella erotusta ϕ(ξ + h) ϕ(ξ) = ja arvioidaa se itseisarvoa. Nyt e iξx+ihx e iξx F {dx} = ϕ(ξ + h) ϕ(ξ) e ihx 1 F {dx}. e iξx (e ihx 1) F {dx} Olkoo luku ɛ > 0 mielivaltaie ja valitaa yt riittävä suuri luku T, että x >T F {dx} < ɛ 4 ja ii piei luku h, että e ihx 1 < ɛ/2, ku x < T. Saadaa ϕ(ξ + h) ϕ(ξ) T T e ihx 1 F {dx} + 2 x T F {dx} ɛ. Tarkastellaa kahta riippumatota satuaismuuttujaa X 1 ja X 2, joilla o jakaumat F 1 ja F 2 sekä karakteristiset fuktiot ϕ 1 ja ϕ 2. Riippumattomie satuaismuuttujie odotusarvolle pätee Tämä ataa seuraavaa lemmma. E(e iξ(x 1+X 2 ) ) = E(e iξx 1 )E(e iξx 2 ). Lemma 4.2. Jakaumie F 1 ja F 2 kovoluutiolla o karakteristie fuktio ϕ 1 ϕ 2. Eli kahde riippumattoma satuaismuuttuja summaa X 1 + X 2 vastaa summattavie satuaismuuttujie karakterististe fuktioide tulo ϕ 1 ϕ 2. 12

14 Huomautus 4.2. Vaikka kovoluutio oki tärkä käsite riippumattomie satuaismuuttujie summaa tutkittaessa, edellie lemma tarjoaa huomattavasti yksikertaisemma lähestymistava. Lisäksi o hyvä huomauttaa, että lemma kääteie tulos ei ole voimassa. O mahdollista löytää toisistaa riippuvat satuaismuuttjat, joide summa o satuaismuutujie jakaumie kovoluutio ja tätä vastaava karakteristie fuktio o satuaismuutujie karakterististe fuktioide tulo. Esimerkiksi lähteestä [2] s.51 löytyy vastaava erikoistapaus. Ee seuraavaa omiaisuutta aetaa määritelmä hiema erikoisemmalle jakaumalle. Määritelmä 4.2. Jakauma F R o aritmeettie, jos se o keskittyyt pistejoukkoo joka o muotoa 0, ±λ, ±2λ, Suuri luvuista λ, jolla o tämä omiaisuus saotaa oleva jakauma F virittäjä. Huomautus 4.3. Yleisemmi puhtaa lattisijakaumasta aritmeettise jakauma asemesta, mutta iide käyttö vaihtelee. Joissai tapauksissa lattiisijakauma o keskittyyt pistejoukkoo, joka o muotoa: a, a ± λ, a ± 2λ, missä luku a o mielivaltaie. Esimerkiksi biomijakauma 'ääripisteissä' ±1 o aritmeettie virittäjää luku 1, mutta vaihtoehtoisessa määritelmässä valitsemalla mielivaltaie luku a = 1 saadaa lattiisijakauma virittäjää 2. Seuraava lemma karakterisoi aritmeettise jakauma. Lemma 4.3. Jos λ 0, seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä (i) ϕ(λ) = 1. (ii) karakteristisella fuktiolla ϕ o sellaie jakso λ, että ϕ(ξ + λ) = ϕ(ξ) kaikilla ξ ja. (iii) Jakauma F o keskittyyt pisteisii 0, ±h, ±2h, joukossa, missä h = 2π/λ. Todistus. Jos (iii) pätee ja jakauma F määrää todäköisyysmassa p pisteelle h, tällöi ϕ (ξ) = p e ihξ. 13

15 Koska tällä fuktiolla o jakso 2π/h, ii väittestä (iii) seuraa väite (ii) joka o vahvepi ehto kui väite (i). Jote väittestä (ii) seuraa väite (i). Oletetaa yt, että väite (i) pätee ja äytetää väite (iii) todeksi. Jos ϕ(λ) = 1, ii epäegatiivise fuktio 1 cos λx odotusarvo katoaa vai silloi ku 1 cos λx = 0 kaikissa pisteissä x, jotka ovat jakauma F hyppykohtia. Tällöi jakauma F o keskittyyt pisteesee 0 ja väite (iii) o tosi. Lemma 4.3 kattaa eriokistapaukse, jossa jakauma F o keskittyyt origo ympäristöö. Tällöi ϕ(ξ) = 1 kaikilla ξ, ja siksi jokaie luku o karakteristise fuktio ϕ jakso. Jos λ o karakteristise fuktio jakso, tällöi myös se jokaie moikerta o jakso. Kuiteki ei-kokoaislukuarvoiselle moikertaiselle jaksolliselle fuktiolle ϕ o olemassa piei positiivie jakso. Tätä kutsutaa tällöi oikeaksi jaksoksi. Vastaavasti aritmeettisella jakaumalla F o olemassa suuri positiivie luku h, jolle omiaisuus (iii) pätee. Tällöi h virittää jakauma. Lemmasta 4.3 seuraa, että virittäjällä h ja periodilla λ o yhteys λh = 2π. Jos ei päde, ϕ(ξ) 1 tai ϕ(ξ) = 1 idettisesti.tällöi o olemassa piei sellaie luku λ > 0, jolle ϕ(λ) = 1, mutta ϕ(λ) 1 ku 0 < ξ < λ. Oletetaa ϕ(λ) = 1 asemesta, että ϕ(λ) = 1. Nyt o olemassa sellaie reaaliarvoie b, että ϕ(λ) = e ibλ. Satuaismuuttujalla X b o karakteristie fuktio E(e iξ(x b) ) = E(e iξx )e iξb = ϕ(ξ)e iξb, joka saa arvo 1 ku ξ = λ. Jokaie tämä karakteristise fuktio jakso o samalla myös fuktio ϕ jakso. Samalla tuli todistetuksi Lemma 4.4. Vai ämä kolme tilaetta ovat mahdollisia: (i) ϕ(ξ) < 1, kaikille ξ 0. (ii) ϕ(λ) = 1 ja ϕ(ξ) < 1 ku 0 < ξ < λ. Tällöi fuktiolla ϕ o jakso λ ja o olemassa sellaie reaaliarvoie b, että jakauma F (X + b) o aritmeettie virittäjää h = 2π/λ. (iii) ϕ(ξ) = 1 kaikilla ξ. Tällöi ϕ(ξ) = e iξb ja jakauma F o keskittyyt pisteesee b. Määritelmä 4.3. Absoluuttie jatkuvuus. Jakauma F o absoluuttisesti jatkuva mita U suhtee, jos se o muotoa F {A} = υ(x)u {dx}. A 14

16 Tällöi fuktio υ o jakauma F tiheys mita U suhtee. Mittateoriassa fuktio υ tuetaa Rado-Nikodym -derivaattaa jakaumalle F mita U suhtee. Jakaumaa F liittyvie hätätodeäköisyyksie paksuus vaikuttaa karakteristisee fuktio ϕ käyttäytymisee. Mitä pieemmät hätätodeäköisyydet jakaumalla o, sitä sileämpi se karakteristie fuktio o. Kääteisesti: mitä sileämpi jakauma F o, sitä kesymmi se karakteristie fuktio ϕ käyttäytyy 'äärettömyydessä'. Karakteristisee fuktioo liittyvät arviot puolestaa riippuvat virhetermi suuruudesta, ku fuktiota e ix arvioidaa Taylor-kehitelmällä vai äärellise moella termillä. Virhetermi suuruutta voidaa arvioida ylöspäi esimmäise pois jätettävä termi avulla. Tämä käy ilmi seuraavasta lemmasta. Lemma 4.5. Kaikille = 1, 2,... ja x > 0 pätee (4.2) eix 1 ix (ix) ! ( 1)! x! Todistus. Olkoo itseisarvoje sisällä oleva lauseke p (x). Tällöi ja p 1 (x) = i x 0 e iy dy = i / x e iy 0 i = e ix 1 x p 1 (x) i x e iy dy = x e iy dy e iy dy = x. 0 0 Väite o tosi, ku = 1. Oletetaa, että väite pätee ku = k ja äytetää, että väite o tosi myös luvulla = k + 1. Nyt iduktio-oletukse ojalla x x ( i p k (y) dy = i e iy 1 iy ) 1! (iy) 1 dy ( 1)! Saadaa 0 p k+1 (x) i x 0 = i 0 / x e iy 0 i y 1! iy2 2! 0 i 1 y ( 1)! = e ix 1 ix 1! (ix)2 (ix) 2!! ( e iy 1 iy ) 1! (iy) 1 ( 1)! dy = p k+1 (x). xk+1 (k + 1)! 15

17 Määritelmä 4.4. Mometista ja absoluuttisesta mometista jakaumalle F käytetää merkitää m = x F {dx}, M = x F {dx}. Momettie olemassaolo edellyttää, että itgraali suppeee. Lemma 4.6. Jos M <, ii tällöi -kertaie derivatta karakteristiselle fuktiolle ϕ o olemassa jatkuvaa fuktioa (4.3) ϕ () (ξ) = i e iξx x F {dx}. Todistus. Kirjoitetaa fuktio ϕ derivaatat erotusosamäärää. Nyt lim ɛ 0 ϕ (ξ + ɛ) ϕ (ξ) ɛ = lim e iξx eiɛx 1 F {dx} ɛ 0 ɛ Tulkitaa e iɛx 1 Taylor-kehitelmäksi, kute lemmassa 4.5. Saadaa arvio e iɛx 1 ɛ ɛx = x. ɛ Nyt voidaa soveltaa domioitua kovergessiä ja pätee lim ɛ eiξx 1 + iɛx 1! + (iɛx)2 2! + + (iɛx) 1 ( 1)! 1 ɛ F {dx} = i e iξx x F {dx}. Väite pitää paikkasa ku = 1 ja yleie tapaus saadaa suoraa iduktiolla. Oletetaa, että väite pitää paikkasa ku = k. Näytettää, että väite pätee myös luvulle = k + 1. Nyt iduktio-oletukse ojalla ξ ϕ(k) (ξ) = ξ ik e iξx x k F {dx}. Koska satuaismuuttuja ξ ei riipu mitasta F {dx}, ii dieretiaali voidaa viedä itegraali sisää ja Saadaa i k ξ eiξx x k F {dx} = i k ix e iξx x k F {dx}. ϕ (k+1) (ξ) = i k+1 e iξx x k+1 F {dx}. 16

18 Korollaari 4.1. Edellisestä lemmasta saadaa seuraava erikoistapaus. Jos m 2 <, tällöi ϕ (0) = im 1, ϕ (0) = m 2. Lemma 4.7. Jos fuktio g o itegroituva ja (4.4) γ(ξ) = ii γ(ξ) 0 ku ξ ±. e iξx g(x) dx, Todistus. Väite voidaa todistaa äärelliste porrasfuktioide g avulla. Mielivaltaiselle itegroituvalle fuktiolle g ja luvulle ɛ > 0 o olemassa sellaie porrasfuktio g 1, että g(x) g 1 (x) dx < ɛ Yhtälö (4.4) mukaie muuos γ 1 fuktiolle g 1 katoaa äärettömyydessä ja äi olle kahde edellise relaatio seurauksea saadaa γ(ξ) γ 1 (ξ) < ɛ kaikille muuttujille ξ. Vastaavasti γ 1 (ξ) < 2ɛ riittävä suurille ξ ja luvu ɛ ollessa mielivaltaie pätee γ 1 (ξ) 0 ku ξ ±. Lemma 4.8. Jos jakaumalla F o tiheys f, ii tällöi karakteristie fuktio ϕ(ξ) 0 ku ξ ±. Jos tiheydellä f o itegroituvat derivaattafuktiot f,..., f (), ii ϕ(ξ) = o( ξ ) ku ξ. Todistus. Väittee esimmäie osa o todistettu edellisessä lemmassa. Jos derivaattafuktio f o itegroituva, ii osittaisitegroii kaavalla u v = /uv uv saadaa e iξx f(x) dx = 1 iξ / e iξx f(x) Ku x ±, ii e iξx f(x) 0 ja saadaa ϕ(ξ) = 1 iξ e iξx f (x) dx, 1 iξ eiξx f (x) dx. ja tällöi ϕ(ξ) = o( ξ 1 ). Jatkamalla osittaisitegroitia kertaa saadaa koko väite. 17

19 Huomautus 4.4. Epäyhtälö (4.2) voidaa ataa myös muodossa (4.5) ( eiξx e itx 1 itx 1! ) (itx) 1 tx. ( 1)!! Käyttämällä yhtälöä (4.3) saadaa (4.6) ϕ(ξ + t) ϕ(ξ) t 1! ϕ (ξ) t 1 ( 1)! ϕ( 1) (ξ) < M t!. Jos absoluuttie mometti M <, epäyhtälö (4.6) o voimassa mielivaltaisille muuttujille ξ ja t. Tämä epäyhtälö ataa tällöi fuktio ϕ ja se esimmäiste termie Taylor-kehitelmä erotukselle yläraja. Jos raja-arvo lim x F (x) < 1, kertymäfuktio F saotaa oleva epätäydellie. Mahdollisesti epätäydellistä jakaumaa kutusutaa pseudo-jakaumaksi ja vastaavasta suppeemisesta käytetää merkitää F v F Määritelmä 4.5. Kuollie suppeemie. Jakaumajoo (F ) suppeee jakaumaa F, jos F {I} F {I} jokaisella jakauma F jatkuvalla ja rajoitetulla itervallilla I. Tällöi käytetää merkitää F F. Suppeemie o kuollista, jos F ei ole epätäydellie. Huomautus 4.5. Edelliselle määritelmälle voida ataa myös vaihtoehtoie muoto. Suppeemie F F o kuollista, jos ja vai jos, jokaista lukua ɛ > 0 kohti o olemassa sellaiset luvut a ja N, että a a F {dx} > 1 ɛ, ku > N. Määritelmä 4.6. Äärettömyydessä katoavat fuktiot. Tällä tarkoitetaa u(± ) = 0 ja pätee E (u) = u(x)f {dx}, E(u) = u(x)f {dx}. Jakauma F o kuollie todeäköisyysjakauma, mutta jakauma F sallitaa oleva epäkelpo. 18

20 4.2 Yleie muoto kovoluutiolle Tämä käsite o tärkeä moella eri matematiika alalla. Keskitytää tarkastelemaa kovoluutiota kahdella eri tavalla: operaatioa jakaumie välillä sekä operaatioa jakauma ja jatkuva fuktio välillä. Olkoo F jakauma ja h rajoitettu fuktio. Uusi fuktio u määritellää tällöi (4.7) u(x) = h (x y) F {dy}. Jos jakaumalla F o tiheys f mita F {dx} suhtee kutistuu yhtälö muotoo (4.8) u(x) = h (x y) f (y) dy. Määritelmä 4.7. Fuktio ϕ ja jakauma F kovoluutio o määritelty yhtälö (4.7) mukaa. Tällöi käytetää merkitää u = F h. Ku jakaumalla F o tiheys f kute yhtälössä (4.8) käytetää merkitää u = f h. Huomautus 4.6. Yksikertaisuude vuoksi fuktio h oletettii rajoitetuksi, mutta se ei ole välttämätötä. 4.3 Muuoskaavoja Yksi karakteristie fuktio tärkeistä omiaisuuksista o, että se määrittelee yksikäsitteisesti sitä vastaava jakauma. Yksi tapa todistaa väite o käyttää muuoskaavoja, tällöi sovelletaa Parsevali kaavaa. Huomautus 4.7. Olkoo X ja Y satuaismuuttujia, joita vastaavat jakaumat F ja G sekä karakteristiset fuktiot ϕ ja γ. Tällöi ϕ(ξ) = e iξx F {dx}. Kertomlla molemmat puolet termillä e iξt ja itegroimalla mita G {dy} suhtee saadaa ( ) e iξt ϕ(ξ) G {dy} = e iξt e iξx F {dx} G {dy}. Fubii lausee avulla saadaa ii kutsuttu Parsevali kaava (4.9) e iξt ϕ(ξ) G {dy} = = ( ) e iξ(x t) G {dy} γ(x t) F {dx}. F {dx} 19

21 Valitsemalla yhtälössä (4.9) t = 0, saadaa hyödyllie kaava ϕ(ξ) G {dy} = γ(x) F {dx}. Parsevali kaava ideaa o yhdistää kaksi jakaumaa ii, että toisella puolella o 'moimutkaie' ja toisella 'yksikertaie' itegraali. Yhtälölle (4.9) voidaaki määritellä mota ekvivalettia muotoa, mutta tarkastellaa yt erästä erikoistapausta ja todistetaa Parsevali kaava avulla yksikäsitteisyyslause 4.1. Todistus. Olkoo X tutkittava satuaismuuttuja ja olkoo satuaismuutuja Y a ormaalijakautuut odotusarvolla 0 ja variassilla a 2. Nyt satuaismuuttujalla Y a o tiheysfuktio g Ya (y) = a 2π e 1 2 a2 y 2 ja karakteristie fuktio o γ(s) = e s2 2a 2. Sijoitamalla ämä Parsevali kaavaa (4.9) saadaa (4.10) e iξt ϕ (ξ) a 2π e 1 2 a2 y 2 dy = e (x t)2 2a 2 F {dx}. Nyt edellise yhtälö oikealla puolella o kovoluutio kaava ja yhtälö voidaa muotoilla uudellee (4.11) f X+Ya (t) = 1 2π Tiheydelle f X+Ya e iξt ϕ (ξ) e 1 2 a2 y 2 dy. saadaa itgroimalla jakauma F. Tällöi F X+Ya (x) = 1 2π x e iξt ϕ (ξ) e 1 2 a2 y 2 dy dt. p Koska Y a 0 ku a, ii satuaismuuttuja X + d Ya X ku a. Nyt satuaismuuttuja X jakauma o yksikäsitteisesti laskettavissa ja tällöi kaikille jakauma F jatkuvuuspisteille x o 1 F X (x) = lim a 2π x e iξt ϕ (ξ) e 1 2 a2 y 2 dy dt. Tämä todistaa karakteristise fuktio yksikäsitteisyyde. Yhtälö (4.11) uudellee muotoilussa käytettii Fourier' kääteismuuosta, joka todistetaa seuraavaksi. Huomautus 4.8. Otetaa käyttöö merkitä ϕ L. Tällä tarkoitetaa ϕ (ξ) dξ <. 20

22 Lause 4.2. Fourier' kääteismuuos. Olkoo jakauma F karakteristie fuktio ϕ. Oletetaa, että ϕ L. Tällöi jakaumalla F o rajoitettu ja jatkuva tiheysfuktio f = F (4.12) f(x) = 1 e iξx ϕ (ξ) dξ. 2π Todistus. Tarkastellaa yhtälössä (4.11) tiheyttä f X+Ya. Rajoitetu kovergessi ojalla o c f X+Ya (t) f(t) = 1 2π e iξt ϕ (ξ) dy, ku a. Yhtälö oikea puoli tulee olemaa satuaismuuttuja X tiheys. Pitää vielä äyttää,että tiheys o juuri haluttua muotoa. Oletetaa, että pisteet c ja d ovat jakauma F X jatkuvuuspisteitä sekä pätee epäyhtälö < c < d <. Tällöi d { d = f(t) dt f X+Ya (t) dt c ku a. F X (d) F X (c), Koska pisteet c ja d ovat mielivaltaisia, tällöi fuktio f o oltava satuaismuuttuja X tiheys. Lemma 4.9. Olkoo F jakauma jolla o karakteristie fuktio ϕ. Jos ϕ (ξ) ϕ(ξ) kaikilla ξ, tällöi o olemassa mahdollisesti epätäydellie jakauma F, jolle pätee F F. Seuraava lause saoo oleellisesti, että rajajakauma F o epätäydellie, jos ja vai jos, raja ϕ o epäjatkuva origossa. Lause 4.3. Jatkuvuuslause. Olkoo (F ) joo todeäköisyysjakaumia ja (ϕ ) joo iitä vastaavia karakteristisia fuktioita. Jotta joo (F ) suppeee kuollisesti todeäköisyysjakaumaa F o välttämätötä, että joo vastaavia karakteristisia fuktioita (ϕ ) suppeee pisteittäi rajafuktioo ϕ. Lisäksi fuktio ϕ o oltava jatkuva jossai origo ympäristössä. Tässä tapauksessa ϕ o jakauma F karakteristie fuktio ja siksi ϕ o kaikkialla jatkuva sekä kovergessi ϕ ϕ o tasaista jokaisessa äärellisessä itervallissa. Todistus. Oletetaa, että F F ja jakauma F o kuollie. Tällöi karakteristiset fuktiot ϕ suppeevat jakauma F karakteristisee fuktioo ϕ tasaisesti jokaisessa äärellisessä itervallissa. 21

23 Oletetaa yt, että joo karkakteristisia fuktioita suppeee rajafuktioo mielivaltaisella muuttujalla ξ, eli ϕ (ξ) ϕ(ξ) kaikilla ξ. Nyt lemma 4.9 ojalla raja F F o olemassa. Sovelletaa Parsevali kaava erikoistapausta (4.10). Tällöi e iξt a ϕ X (ξ) e 1 2 a2 y 2 dy = e (x t)2 2a 2 F X {dx} 2π Oletukse ojalla F F Yhtälö vase puoli o o rajoitetu fuktio e iξt ϕ(ξ) odotusarvo ormaalijakauma (0, a 2 ) suhtee. e iξt ϕ (ξ) a (aξ) dξ = E (0,a 2 ) ( e iξt ϕ(ξ)x ). Ku a jakauma keskittyy origo lähelle ja tällöi vase puoli meee kohti ϕ(0) silloi, ku karakteristie fuktio ϕ o jatkuva jossai origo ympäristössä. Koska ϕ (0) = 1, ii ϕ(0) = 1. Toisaalta 2π(x) 1 kaikilla x ja tällöi oikea puoli ( ) x t 2π F {dx} F {, }. a Siis F {, } 1 ja suppeemise o pakko olla kuollista. Lause 4.4. Keskeie raja-arvolause. Oletetaa, että satuaismuuttujat X 1, X 2,... ovat riippumattomia ja samoi jakautueita. Olkoo jakaumaa F ja karakteristisea fuktioa ϕ. Oletetaa lisäksi, että E(X j ) = 0 ja E(Xj 2 ) = 1. Merkitää S = X X. Tällöi satuaismuuttuja S / jakauma meee kohti ormaalijakaumaa N. Todistus. Jatkuvuuslausee ojalla tämä o ekvivaletti väittee ϕ ( ξ ) e 1 2 ξ2, kaikilla ξ, ku kassa. Nyt lemma 4.6 ojalla karakteristise fuktio ϕ toie derivaatta o olemassa ja jatkuva. Origo ympäristössä Taylor-kehitelmällä saadaa (4.13) ϕ(x) = ϕ(0) + xϕ (0) x2 ϕ (0) + o(x 2 ), x 0. Valitaa mielivaltaie ξ ja olkoo x = ξ/. Tällöi korollaari 4.1 avulla ( ) ξ ξ ϕ = 1 + ie (X) 1 2 E ( ( ) X 2 ) ξ2 1 + o,. 22

24 Oletukse ojalla satuaismuuttuja X odotusarvot E(X) = 0 ja E(X 2 ) = 1. Nyt ( ) ξ ϕ = 1 1 ( ) 1 2 ξ2 + o,. Korottamalla potessii saadaa väite. Jos jakaumalla F o tiheys f, o luoollista olettaa tiheyde S / suppeeva ormaalijakuma tiheytee (x). Tämä ei kuitekaa aia pidä paikkaasa, mutta poikkeamat ovat oeksi tekemällä tehtyjä. Seuraava lause kattaa tilaateet, jotka esiityvät yleisessä käytössä. Lause 4.5. Oletetaa, että muuttuja ϕ o itegroituva. Tällöi satuaismuuttujalla S / o tiheysfuktio f, joka suppeee tasaisesti stadardiormaalijakauma tiheytee (x). Todistus. Fourier' kääteismuuokse kaava (4.12) pätee molemmille tiheyksille f ja (x). Saadaa f (x) (x) 1 ( ) e iξx ξ 2π ϕ e 1 2 ξ2 dξ ja koska e iξx = 1, ii tällöi (4.14) f (x) (x) 1 2π ( ) ξ ϕ e 1 2 ξ2 dξ. Epäyhtälö oikea puoli o riippumato muuttujasta x. Riittää äyttää, että oikea puoli meee arvoo 0, ku luku kasvaa rajatta. Yhtälö (4.13) avulla voidaa valita sellaie luku δ > 0, että ϕ (ξ) e 1 4 ξ2 ku ξ < δ Jaetaa yt itegraali kolmee osaa ja todistetaa, että jokaie osa o pieempää kui mieleivaltaie luku ɛ ku luku vai valitaa riittävä suureksi. (i) Keskeise raja-arvolausee todistuksessa ähdää, että kiiteällä itervallilla a ξ a itegradi meee tasaisesti kohti arvoa 0 jote suljetulla vällä [ a, a] itegraali meee kohti arvoa 0. (ii) Ku a < ξ < δ itegradi ( ) ξ ϕ e 1 2 ξ2 < 2e 1 4 ξ2, 23

25 jote tällä itervallilla itegraali saadaa pieemmäksi kui ɛ, kuha luku a o vai riittävä suuri. (iii) Tiedetää, että ϕ(ξ) < 1, ku ξ 0 ja ϕ(ξ) 0, ku ξ. Tästä seuraa, että fuktio ϕ(ξ) maksimi muuttujalle ξ δ o joki luku η < 1. Itervalli ξ > δ vaikutus itegraalii (4.14) o ( ) ξ ( ) ϕ e 1 2 ξ2 dξ < η 1 ξ ϕ dξ + ξ >δ e 1 2 ξ2 dξ. Toie itegraali vastaa fuktio ϕ itegraalia. Kolmas itegraali o suljetulla välillä [ δ, δ ] jote itegraalie summa suppeee kohti arvoa 0. 5 Kehitelmiä keskeiselle raja-arvolauseelle 5.1 Notaatioita Oletetaa, että esimmäie mometti µ 1 = 0. Olkoo toie mometti µ 2 = σ 2. Näi ormeeratulle ormaalijakaumallle -kertaista kovoluutiota merkitää symbolilla F. Tällöi F (x) = F ( xσ ). Jos jakauma F tiheys o olemassa, käytetää siitä merkitää f. Tässä osiossa tarkastellaa fuktiota, jotka ovat muotoa (5.1) u (x) = 1 2π sekä ilmeistä arviota (5.2) u (x) 1 2π e iξx ν (ξ) dξ, e iξx 1 ν (ξ) dξ = 2π ν (ξ) dξ. Fuktio ν yhtälössä (5.1) määrittelee Fourier' muuokse ja epäyhtälö (5.2) oikea puoli Fourier' ormi fuktiolle u. Molemmat fuktiot u ja ν ovat itegroituvia. Jos fuktio u o todeäköisyystiheys, eli itegraali arvoksi tulee 1, tällöi ν määrittelee tätä tiheyttä vastaava karakteristise fuktio. Stadardiormaalijakauma tiheysfuktio o (x) = 1 2π e 1 2 x2. 24

26 Tällöi karakteristie fuktio o ϕ(ξ) = e 1 2 ξ2. Nyt fuktio u(x) o todeäköisyystiheys ja pätee (x) = u(x). Derivoimalla tätä yhtälöä k-kertaa muuttuja x suhtee k x (x) = 1 k 2π x e iξx e 1 2 ξ2 dξ. Saadaa k x (x) = 1 e iξx ( iξ) k e 1 2 ξ2 dξ 2π kaikilla luvuilla k = 1, 2,.... Edellise yhtälö vasemmalla puolella o esitys k x (x) = ( 1)k H k (x) (x), missä H k (x) o Hermite' polyomi asteluvulla k. Laskemalla kolme esimmäistä auki, huomataa 1 x e 2 ξ2 = xe 1 2 ξ2, 2 1 x e 2 ξ2 = ( x 2 1 ) e 1 2 ξ2, 3 x e ja ii edellee. Tästä päästää seuraavaa määritelmää. Määritelmä 5.1. Hermite' polyomi rekursiokaava o muotoa H k+1 (x) = x H k (x) H k(x) ja kolme esimmäistä Hermite' polyomia ovat H 1 (x) = x, H 2 (x) = x 2 1, H 3 (x) = x 3 3x. 1 2 ξ2 = ( 3x x 3) e 1 2 ξ2 Hermite' polyomi H k karakterisoiva omiaisuus o, että fuktiolla H k (x) (x) o Fourier' muuos (iξ) k e 1 2 ξ Kehitelmiä tiheysfuktioille Keskeistä raja-arvolausetta voidaa huomattavasti vahvistaa, jos korkeampia mometteja o olemassa. Tärkeä oletus kuiteki o, että (5.3) ϕ (ξ) v dξ < jollaki luvulla v 1. Lausee 4.5 todistus voidaa karkeasti tiivistää seuraavasti. Erotuksella u = f (x) o Fourier' muuos 25

27 Itegraali ( ) ξ v (ξ) = ϕ σ e 1 2 ξ2. ( ) ξ ϕ σ e 1 2 ξ2 suppeee kohti lukua 0 kahdesta syystä. Valitaa mielivaltaise piei, mutta kiiitetty luku δ > 0. Tälllöi itervalli ξ > δσ valita saa itegraalii suppeemaa kohti lukua 0 oletukse (5.3) takia. Muuttuja ξ ollessa väli ξ < δσ sisällä itegradi v o melko piei, johtue karakteristise fuktio ϕ käyttäytymisestä origo ympäristössä. Edellie johtopäätös rippuu vai siitä, että mometit µ 1 = 0 ja µ 2 = σ 2. Ku korkeamma astee mometteja o olemassa, voidaa karakteristise fuktio ϕ Taylor-kehitelmää laajetaa useampaa termii. Tällöi saadaa tarkempia tuloksia kovergessi f (x) opeudesta. Valitettavasti merkitöje kassa tulee ogelmia, ku termejä o eemmä kui kolme. Siksi erotetaa helpoi ja tärkei erikoistapaus. Lause 5.1. Oletetaa, että kolmas mometti µ 3 o olemassa ja että (5.3) o itegroituva jollaki luvulla v 1. Tällöi tiheys f o olemassa jollaki luvulla v ja ku luku kasvaa rajatta (5.4) f (x) (x) µ 3 ( 6σ 3 x 3 3x ) ( ) 1 (x) = o tasaisesti alueessa x. Todistus. Fourier' kääteislausee (4.12) ojalla vase puoli yhtälössä (5.4) o olemassa luvulle v ja sillä o Fourier' ormi (5.5) N = 1 2π ( ) ξ ϕ σ e 1 2 ξ2 µ 3 6σ 3 (iξ)3 e 1 2 ξ2 dξ. Valitaa mielivaltaie, mutta kiiteä luku δ > 0. Koska ϕ o tiheyde f karakteristie fuktio, tiedetää ϕ(ξ) < 1 kaikilla ξ 0 ja ϕ(ξ) 0 ku ξ. Nyt o olemassa sellaie luku q δ < 1, että ϕ(ξ) < q δ ku ξ δ. Itervalli ξ > δσ vaikutus itegraalii (5.5) o tällöi 26

28 1 2π q v δ ( ) ξ ϕ σ e 1 2 ξ2 µ 3 ( ) ξ v ϕ σ dξ + 6σ 3 (iξ)3 e 1 ξ >δσ 2 ξ2 dξ < ) e 1 2 (1 ξ2 + µ 3 ξ 3 σ 3 dξ, joka suppeee lukuu 0 opeammi kui mikää luvu 1/ potessi. Olkoo fuktio ψ(ξ) (5.6) ψ(ξ) = log ϕ(ξ) σ2 ξ 2. Tällöi (5.7) N = 1 ( ( )) e 1 ξ 2π ξ <δσ 2 ξ2 exp ψ σ 1 µ ( ) 3 6σ 3 (iξ)3 1 dξ +o. Käytetää seuraavalaista kaavaa ylläoleva itegradi arvioimisee (5.8) e α 1 β = ( e α e β) + ( e β 1 β ) ( α β β2 ) e γ, missä luku γ = max ( α, β ). Epäyhtälö o totta mielivaltaisille reaali- tai kompleksiluvuille α ja β. Korvaamalla fuktiot e α ja e β iitä vastaavilla potessisarjoilla saadaa ( e α 1 β = =0 α! =0 ) ( β β +!! =0 1 β). Olkoo edellise yhtälö oikea puoli A. Kolmioepäyhtälö ojalla o ( α ) A! β! β β3 + =0 =0 Järjestellää oikeapuoleise itseisarvo termit uudellee ja arvioidaa jokaista termiä yksittäi ylöspäi ( α ) A! β (! β β + 1 ) 6 β2 + =0 =0 27

29 Oikeapuoleisissa suluissa olevat termit muodostavat fuktio e β Taylorsarja ja selvästi 1 2 β2 e β 1 2 β2 e γ. Väliarvolausee ojalla puolestaa saadaa arvio vasemmapuoleiselle itseisarvolle b a f (ξ) = f(b) f(a) e α e β α β e γ. Nyt saatii haluttu arvio ja sitä voidaa soveltaa. Fuktio ψ o kolme kertaa derivoituva ja selvästi ψ(0) = log ϕ(0) = 0. Pisteessä 0 fuktio ψ derivaatta saa arvot ψ (0) = ψ (0) = 0 sekä ψ (0) = i 3 µ 3. Näytetää, että äi o. Luvu alussa tehtyje oletuste ojalla esimmäie mometti µ 1 = 0 ja toie mometti µ 2 = σ 2. Nyt Toie derivatta. ψ (ξ) = 1 ϕ(ξ) ϕ (ξ) + σ 2 ξ ja ψ (0) = i µ 1 ϕ(0) + σ2 0 = 0. ψ (ξ) = ϕ (ξ) ϕ(ξ) ϕ (ξ) ϕ (ξ) + σ 2 ja ψ (0) = i2 µ σ 2 = 0. ϕ(ξ) 2 1 Kolmas derivaatta ψ (ξ) = ϕ (ξ) = i 3 e iξx x 3 F {dx} ja ψ (0) = i 3 µ 3. Koska fuktio ψ o jatkuva, voidaa origo läheltä löytää sellaie luvu ξ < δ ympäristö, että fuktio ψ poikkeaa siitä vai luvu ɛ > 0 verra. Kolmitermie Taylori kehitelmä ataa ψ(ξ) = ψ(0) + ξψ (0) ξ2 ψ (0) ξ3 ψ (0) + o(ξ 3 ), ξ 0. Tästä päätellää, että (5.9) ψ (ξ) 1 6 µ 3 (iξ) 3 < ɛσ 3 ξ 3, ku ξ < δ. Valitaa yt riittävä piei luku δ, että ψ (ξ) < 1 4 σ2 ξ 2, 1 6 µ 3 (iξ) σ2 ξ 2 ku ξ < δ. Ku luku δ valitaa tällä tavalla, saadaa arvio (5.8) avulla yläraja itegradille (5.7) ja tällöi 28

30 (5.10) ( ( )) e 1 ξ 2 ξ2 exp ψ σ 1 µ ( ) 3 6σ 3 (iξ)3 ɛ < ξ 3 + µ ξ6 e 1 4 ξ2. Ku luku ɛ o mieivaltaie, tällöi N = o(1/ ) ja (5.4) o tosi. Edellise lausee väite johtaa korkeampiasteisii kehitelmii. Ogelmaksi muodustuu kuiteki se, että äide termie yksikertaie ilmaisu eksplisiittisellä kaavalla ei ole mahdollista. Ku polyomit ovat mukaa, äytetää tämä esi epätarkassa muodossa. Lause 5.2. Oletetaa, että mometit µ 3,..., µ r ovat olemassa sekä fuktio ϕ v o itegroituva jollaki luvulla v 1. Tällöi fuktio f o olemassa ku v. Ku, o (5.11) f (x) (x) (x) tasaisesti aluessa x. r k=3 ) 1 2 k+1 P k (x) = o ( 1 2 r+1 Tässä reaaliarvoie polyomi P k riippuu vai mometeista µ 1,..., µ k eikä arvoista ja r tai muute jakaumasta F. Kaksi esimmäistä polyomi P k arvoa o P 3 = µ 3 6σ H 3, P 3 4 = µ2 3 72σ H µ 4 3σ 4 H 24σ 4 4, missä H k o Hermite' polyomi. Yhtälöä (5.11) kutsutaa Edgeworthi kehitelmäksi tiheydelle f. Todistus. Pidetää kiii muodosta (5.6). Jos polyomilla p o reaaliarvoiset kertoimet p 1, p 2,..., tällöi fuktiolla o Fourier' ormi f u (x) (x) p k H k (5.12) N = 1 ( ( )) e 1 ξ 2 ξ2 exp ψ 2π σ 1 p (iξ) dξ. Lause saadaa todistettua, ku käytetää sopivia polyomeja p. Polyomie riippuvuutta luvusta ei kuitekaa paioteta otaatio yksikertaistamiseksi. Aloitetaa arvioimalla itegradia (5.12). Meetellää kute edellise 29

31 lausee todistuksessa, mutta fuktiolle ψ käytetää r-asteista Taylori kehitelmää. Käytetää tästä kehitelmästä merkitää ξ 2 ψ r (ξ). Vaikka polyomi ψ r asteluku o r 2 ja arvo ψ r (0) = 0, ii se määräytyy yksikäsitteisesti omiaisuudesta Olkoo yt ψ (ξ) ξ 2 ψ r (ξ) = o ( ξ r ) ξ 0. (5.13) p(ξ) = r 2 k=1 [ 1 k! ( )] k ξ ξ 2 ψ r σ. Nyt polyomilla p(iξ) o reaaliarvoiset kertoimet, jotka riippuvat luvusta. Toisaalta kiiteällä parametrilla ξ, p o polyomi alueessa 1/, joka kertoimet voidaa laskea eksplisiittisesti momettie µ 1, µ 2,..., µ r polyomia. Kute edellisessä todistuksessa, o selvää, että kiiteälle luvulle δ > 0 itervalli ξ > δσ vaikutus itegraalii (5.12) saa se suppeemaa kohti lukua 0 opeammi kui mikää luvu 1/ potessi. Tällöi olemme kiiostueita itegradi käyttäytymisestä ku itervalli o ξ < δσ. Arviomisee käytetää (5.8) asemesta epäyhtälöä eα 1 r 2 k=1 β k k! e α e β + eβ 1 r 2 k=1 β k k! eγ ( α β + ) 1 (r 1)! β r 1, joka o voimassa ku α < γ ja β < γ. Epäyhtälö (5.9) aalogialla määrätää sellaie luku δ, että kaikille ξ < δ ψ(ξ) ξ 2 ψ r (ξ) ɛσ r ξ r. Polyomi ψ r parametri ξ kertoime ollessa i 3 µ 3 /6, voidaa olettaa kaikille luvuille ξ < δ myös ψ r (ξ) < a ξ < 1 4 σ2 valitulle luvulle a > 1 + µ 3. Lopuksi vaaditaa vielä, että luvulle ξ < δ ψ(ξ) < 1 4 σ2 ξ 2. Ku ξ < δσ, itegradille yhtälössä (5.12) pätee 30

32 ( ( )) e 1 ξ 2 ξ2 exp ψ σ ( 1 p (iξ) < 1 ɛ ξ r e 4 ξ2 + ar 1 ξ 3(r 1) 1 2 r 1 (r 1)! (σ ) r 1 Ku luku ɛ o mielivaltaie pätee tällöi N = o( 1 2 r+1 ). Nyt o löydetty sellaiset reaaliarvoiset kertoimet p k, jotka riippuvat luvusta, että f u (x) (x) ) p k H k = o ( 1 2 r+1 tasaisesti alueessa x. Kiiteälle parametrille ξ vase puoli edellisessä yhtälössä o polyomi alueessa 1/. Uudellee järjestämällä se luvu 1/ ousevia potesseia saadaa ilmaisu lauseessa vaaditusta muodosta, mutta summaus laajeee yli luvu r. Termit, jotka koskevat sellaisia luvu 1/ k potesseja, joille k > 1 r 1 voidaa uohtaa ja saadaa haluttu kehitelmä 2 (5.11). ). Huomautus 5.1. Polyomie P k tarkka määritelmä o seuraava. Astelukua r 2 oleva polyomi ψ r määräytyy yksikäsitteisesti Taylori kavastasta log ϕ (ξ) = ξ [ 2 1 ] 2 σ2 + ψ r (ξ) + o( ξ r ) origo ympäristössä. Järjestetää (5.13) uudelle luvu 1/ potessie mukaa. Merkitää luvu 1 2 k+1 kertoimia symbolilla q k (iξ). Tällöi polyomi P k o sellaie, että tiheydellä P k (x)(x) o Fourier' kääteismuuos e 1 2 ξ2 q k (iξ). 5.3 Fuktio sileydestä Jokaisesta kehitelmästä tiheydelle f päästää itegroiilla aalogisee kehitelmää jakaumalle F. Tätä yksikertaista toimepidettä ei kuitekaa voida soveltaa, jos itegroituvuusehto (5.3) ei ole voimassa. Tämä ogelma voidaa kuiteki kiertää. Jakaumie F ja N (x) eroavaisuutta F N (x) tai joki samakaltaise fuktio eroavaisuutta arvioitaessa tarvitaa edellise osio Fourier' muuoksia. Arviodaa epäsuorasti fuktio T fuktioksi ja sytyvää virhettä T suori metodeihi. Tarkastellaa mikälaisia perusoperaatioita epäsuoraa arvioitii pohjautuvaa lähestymistapaa tarvitaa. Olkoo V T todeäköisyysjakauma, jolla o tiheysfuktio v T (x) = 1 π 1 cos T x T x 2 31

33 ja karakteristie fuktio ϖ T. Jokaiselle ξ T pätee ϖ T (ξ) = 1 ξ T, mutta tämä tarkasti määrätty muoto ei ole tärkeä. Oleellista o se, että karakteristie fuktio ϖ T (ξ) katoaa ku ξ T, mutta tässä tilateessa ei puhuta suppeemisesta. Olemme kiiostueita rajoista eroavuudelle F N (x), mutta yleisemmi fuktioille, jotka ovat muotoa = F G. Tätä muotoa olevie fuktioide arvioimisee käytetää iide kovoluutiota jakauma V T kassa. Merkitää kovoluutiota T = V T. Toisi saoe mielivaltaiselle fuktiolle määritellää (5.14) T (t) = (t x)v T (x) dx. Jos fuktio o rajoitettu ja jatkuva, ii tällöi T ku T. Tärkei ogelma o arvioida fuktio maksimia fuktio T maksimi suhtee. Lemma 5.1. Oletetaa, että F o todeäköisyysjakauma ja fuktio G toteuttaa ehdot G() = 0, G( ) = 1 ja G (x) m <. Olkoo (x) = F (x) G(x) ja Tällöi η = sup (x), x η T = sup T (x). x (5.15) η T η 2 12m πt. Todistus. Fuktio katoaa äärettömyydessä sekä toispuoleiset raja-arvot (x+) ja (x ) ovat kaikkialla olemassa ja tällöi jossai pisteessä x 0 o pakko olla (x 0 +) = η tai (x 0 ) = η Voidaa olettaa, että (x 0 ) = η. Koska jakauma F ei ole väheevä ja fuktio G kasvua rajoittaa oletettu raja m <, saadaa (x 0 + s) η ms, s > 0. 32

34 Asetetaa h = η 2m, t = x 0 + h, x = h s. Sijoittamalla ämä edellisee epäyhtälöö, se saa muodo (5.16) (t x) η 2 + mx x h. Arvioidaa yt kovoluutioitegraalia yhtälössä (5.14) käyttämällä epäyhtälöä (5.16) sekä rajaa (t x) η ku x > h. Lieaarie termi häviää symmetria takia. Koska tiheys v T määrittelee muuttujalle x > h massa M 4/πT h, saadaa η T T (x 0 ) η [ 1 4 ] η 4 2 πt h πt h = η 2 6η πt h = η 2 12m πt. Tutkielmassa käytettävissä sovelluksissa fuktiolla G o derivaattafuktio g, joka o ormaalijakautuut tai joki edellise osio äärellie kehitelmä. Kuiteki fuktiolla g o sellaie kahdesti jatkuvasti derivoituva Fourier' muuos γ, että γ(0) = 1 ja γ (0) = 0. Tällöi kovoluutiolla T g = V T g o Fourier' muuos γϖ T. Vastaavasti lausee (4.12) ojalla tulofuktio ϕϖ T o kovoluutio V T F tiheyde T f Fourier' muuos. Toisi saoe pätee T f(x) T g(x) = 1 T e iξx [ϕ(ξ) γ(ξ)] ϖ T (ξ) dξ. 2π T Itegroimalla muuttuja x suhtee saadaa (5.17) T (x) = 1 T iξx ϕ(ξ) γ(ξ) e ϖ T (ξ) dξ. 2π T iξ Itegroimisvakiota ei syy, koska edellise yhtälö molemmat puolet suppeevat lukuu 0 ku x. Vase puoli suppeee, koska F (x) G(x) 0 ja oikea puoli lemma 4.8 ojalla. Koska ϕ(0) = γ(0) = 1 ja ϕ (0) = γ (0) = 0 täte itegradi o jatkuva fuktio, joka katoaa origossa eikä suppeemisee liittyviä ogelmia siis syy. Yhtälöstä (5.17) saadaa yläraja fuktiolle η T, imittäi sup T (x) 1 T = x 2π T ϕ(ξ) γ(ξ) e iξx ϖ T (ξ) iξ dξ 1 2π 33 T T ϕ(ξ) γ(ξ) ξ dξ.

35 Tämä yhdistettyä yhtälöö (5.15) saadaa yläraja fuktiolle η. Koska tällöi η T η 2 12m πt η 2η T + 24m πt, (5.18) F (x) G(x) 1 π T T ϕ(ξ) γ(ξ) ξ dξ + 24m πt. Koska tämä epäyhtälö tulee olemaa kaikkie arvioide kivijalkaa seuraavassa kahdessa osiossa, kootaa se voimmassaolo ehdot lemma muodossa. Lemma 5.2. Olkoo F todeäköisyysjakauma, jolla o katoava odotusarvo ja karakteristiefuktio ϕ. Oletetaa, että lim x ± (F (x) G(x)) = 0 sekä fuktiolla G o sellaie derivaattafuktio g, että g m. Oletetaa lisäksi, että fuktiolla g o sellaie jatkuvsti ja dieretioituva Fourier' muuos γ, että γ (0) = 1 ja γ (0) = 0. Tällöi epäyhtälö (5.18) pätee kaikille muuttujille x ja luvulle T > 0. Sovelletaa epäyhtälöä (5.18) kahdessa toisistaa riippumattomssaa tapauksessa. Esi johdetaa tiheyksiä koskeva kehitelmä myös jakaumille ja lopuksi Berry-Essee -raja erovaisuudelle F N (x). 5.4 Kehitelmiä jakaumalle Tarkastellaa seuraavaksi mite keskeie raja-arvolause vaikuttaa lattiisijakaumii. Oletetaa yt, että satuaismuuttujat X rajoittuvat arvoihi, jotka ovat muotoa a, a ± λ, a ± 2λ. Oletetaa, että λ virittää jakauma F. Aetaa jakauma F määrätä todeäköisyysmassa p pisteelle a + kλ, missä p 0 ja p = 1. Karakteristie fuktio o tällöi muotoa (5.19) ϕ(ξ) = Oletetaa lisäksi, että λ > 0. p e i(a+kλ)ξ. Lause 5.3. Jos karakteristie fuktio ϕ o muotoa (5.19), ii (5.20) p r = λ π/λ ϕ(ξ)e i(a+rλ)ξ dξ. 2π π/λ 34

36 Todistus. Itegradi o sarja p e i(a+kλ)ξ e i(a+rλ)ξ = p e i(k r)λξ, jossa todeäköisyysmassa p tekijä o e i(k r)λξ. Itegraali puolestaa saa arvot 0 tai 2π/λ, riippue oko k r vai k = r. Nyt p r muodostaa todeäköisyysjakauma Fourier' kääteismuuokse ja väite o totta. Aetaa yt jakauma S / määrätä todeäköisyysmassat p lattiisijakauma F pisteille x. Pisteet ovat tällöi muotoa x = (a + kλ)/, missä k = 0, ±1, ±2,. Näi määritetylle pisteelle x asetetaa [ ] S p (x) = P = x, ja jätetää p (x) määrittelemättä muulaisille pisteille x. Lause 5.4. Jos lattiisijakauma F virittäjää o alkio λ ja, tällöi (5.21) tasaisesti alueessa x. λ p (x) (x) 0 Todistus. Karakteristisella fuktiolla ϕ o jakso h = 2π/λ, eikä se tällöi ole itegroituva. Lausee 4.5 aalogiaa voidaa kuiteki soveltaa, itegroituvuusehdosta huolimatta. Edellisestä sekä yhtälöstä (5.20) saadaa λ p (x) = 1 π/λ ( ) ξ ϕ e iξx dξ. 2π π/λ Fourier' muoskaavaa (4.12) soveltamalla ormaalitiheytee (x) saadaa π/λ ( ) λ p (x) (x) < ξ ϕ e 1 2 ξ2 dξ + e 1 2 ξ2 dξ. π/λ ξ > π/λ Lausee 4.5 todistuksessa ähdää, että esimmäie itegraali meee kohti lukua 0, ja karakteristise fuktio omiaisuudesta johtue toieki itegraali suppeee kohti arvoa 0. Kehitelmästä (5.4) tiheyksille saadaa itegroiilla (5.22) F (x) N (x) µ ( ) 3 1 6σ 3 (1 x2 )(x) = o. 35

37 Ylläoleva kehitelmä voimassaolo ei kuitekaa edellytä jakauma F tiheysfuktio olemassaoloa. Todistetaa, että kehitelmä (5.22) pätee mielivaltaisille jakaumille, paitsi lattiisijakaumille. Lattiisijakauma muuoskaava (5.21) osoittaa, että suuri hyppy, joka jakauma F voi tehdä o suurudeltaa korkeitaa 1/. Tällöi kehitelmä (5.22) ei päde yhdellekää lattiisijakaumalle. O kuiteki mahdollista, että kehitelmä pätee myös lattiisijakaumille, mutta se vaatii pieiä lisäyksiä. Nämä tapaukset käsitellää eriksee. Lause 5.5. Jos F ei ole lattiisijakauma ja kolmas mometti µ 3 o olemassa, tällöi kehitelmä (5.22) pätee kaikilla x R. Todistus. Olkoo (5.23) G(x) = N (x) µ 3 6σ 3 (1 x2 )(x). Tällöi jakauma G toteuttaa lemma 5.2 ehdot ja [ γ(ξ) = e 1 2 ξ2 1 + µ ] 3 6σ 3 (iξ)3. Käytetää epäyhtälössä (5.18) arvoa T = a. Valitaa vakio a riittävä suureksi, että 24 G (x) < ɛa kaikille muuttujille x. Tällöi (5.24) F (x) G(x) a a ( ϕ ξ σ ) γ(ξ) ξ dξ + ɛ. Koska itegroitialue o äärellie, ii voidaa käyttää osio 5.2 tietoja, vaikka itegroituvuusehto (5.3) ei olisikaa voimassa. Jaetaa itervalli kahtee osaa. Koska F ei ole lattiisijakauma, ii fuktio ϕ(ξ) maksimi muuttujalle δ ξ aσ o aidosti pieempää kui 1. Kute kehitelmissä tiheydelle väite seuraa itrevalli ξ > δσ valiasta. Tämä meee kohti arvoa 0 opeammi kui mikää luvu 1/ potessi. Toisaalta arvio (5.10) ojalla muuttujalle ξ δσ itegradi epäyhtälössä (5.24) o ( ) < e 1 ɛ 4 ξ2 ξ 2 + µ ξ 5 ja tällöi riittävä suurelle luvulle epäyhtälö (5.24) oikea puoli o < 1000ɛ/. Koska luku ɛ o mielivaltaie, tämä todistaa väitee. 36

38 Tämä väite ei päde kuitekaa lattiisijakaumille, koska iide karakteristiset fuktiot ovat jaksollisia. Tällöi itervalli ξ > δσ valita ei saa itegraalia suppeemaa kohti lukua 0. Muotoillaa edellie lause yt uudellee, että se pätee myös lattiisijakaumille. Tällöi todeäköisyysjakauma F ymmärretää porrasfuktioksi, mutta sitä arvioidaa jatkuvalla todeäköisyysjakaumalla F L, jolla o polygoaalie kuvaaja. Määritelmä 5.2. Olkoo jakauma F keskittyyt lattiisi pisteille, jotka ovat muotoa a ± λ. Oletetaa, että jakauma F ei ole keskittyyt millekää alilattiisi pisteille, eli tällöi arvo λ o jakauma F virittäjä. Arvio F L jakaumalle F o todeäköisyysjakauma, jolla o polygoaalie kuvaaja, joka lakipisteiä ovat keskipisteet a ± ( + 1/2)λ jakauma F kuvaajalla. Tällöi ( F L (x) = F (x), jos x = a ± + 1 ) λ 2 F L (x) = 1 [F (x) + F (x )] 2, jos x = a ± λ Nyt F o lattiisijakauma, joka virittää λ = λ σ, o erittäi lähellä ja- ja tällöi suurilla arvoilla polygoaalie arvio F L kaumaa F. Lause 5.6. Lattiisijakaumille kehitelmä (5.22) pätee, jos jakauma F korvataa se polygoaalisella arviolla F L. Erityisesti kehitelmä (5.22) o totta kaikille lattiisi F keskipisteille, jos h virittää jakauma F. Lattiisi pisteissä (5.22) pätee, jos jakauma pisteet F (x) korvataa 1 [F (x) + F (x )] 2 Todistus. Arvio F L ähdää oleva idettie jakauma F ja tasajakauma 1/2λ < x < 1/2λ välise kovoluutio kassa. Vastaavasti arvio F L o idettie jakauma F ja tasajakauma 1/2λ < x < 1/2λ välise kovoluutio kassa. Merkitää jakauma G ja tasajakauma 1/2λ < x < 1/2λ väistä kovoluutiota symbolilla G L. Tällöi λ/2 G L = λ 1 G(x y) dy. λ /2 37