3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

Transkriptio

1 . Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli, se ukemissuu j ollkohtie perusteell. Tämä kurssi sisällöissä o esitelty myös prbeli huipu koordittie määrittämie derivt vull. Ku esisteise polyomifuktio yhtälö o stu esii s. rtkistuss muodoss y = k + b, ii ost yleesä ilm pitkiä miettimisikoj ilmoitt ko. fuktio kuvj olev ousev suor, jos k > 0, lskev suor, jos k < 0. Vielä käsittelemätö kulmkertoime rvo k = 0 tiedott suor olev -kseli suutise. Toise stee polyomifuktioss y = + b + c kertoime etumerki merkitys hllit yleesä hyvi iki ukemissuu suhtee. Lisäksi o hyvä oppi tuistm, että itseisrvolt suuri kertoo kuvj olev kpe j ts prbeli olev sitä leveämpi, mikä lähempää oll o. Ku ryhdytää käsittelemää korkemp stett olevi polyomifuktioit, o hyvä muist, että vstv yhtälö juurie lukumäärä voi oll eitää yhtälö steluku, mikä puolest ilmoitt kuvj j -kseli leikkuspisteide lukumäärä j sijii, jos yhtälö o osttu rtkist. Pelkkä ollkohtie tietämie (joit välttämättä ei edes ole yhtää) ei vielä pljo ut tilteess, joss kuvj tulisi hhmotell. O esiksiki syytä oppi sisäistämää se yleie tosisi, että polyomifuktioss korkeimm stee termi etumerkillä o vhv vikutus kuvj muotoo oi pääpiirteissää. Jos tähä tietoo vielä pystytää yhdistämää derivt merki yhteys fuktio itoo ksvmisee/väheemisee, sekä ymmärtämää, että derivt merki vihtuess myös fuktio ksvusuut vihtuu, jolloi void määrittää fuktio s. piklliset äärirvot, ii kuvj piirtämisee vdittv tietämys o ksss. Selvitetää esi, mikä merkitys o polyomifuktio korkeit stett olev termi kertoime etumerkillä. Oletet siis, että fuktio määrittelyjoukko o koko relilukuje joukko R j että fuktio o määritelty vi yhdellä lusekkeell, jolloi ilm muut tiedetää fuktio olev derivoituv j jtkuv. Suljet iki tässä viheess trkstelu ulkopuolelle s. ploitti määritellyt fuktiot.

2 ****************************************************************** LAUSE 8 Tod. Olkoo P koko R:ssä määritelty polyomifuktio, joss >. Fuktioll P: P () = ei ole suurit eikä pieitä rvo, jos o prito ei ole suurit rvo, mutt o bsoluuttie miimirvo, jos o prillie j positiivie ei ole pieitä rvo, mutt o bsoluuttie mksimirvo, jos o prillie, mutt egtiivie. Olkoo prito: lim P() = lim P() = lim lim ( ( ) + = 0 ). = Rj-rvo äärettömyydessä o itseisrvolt ääretö ti miiusääretö, mutt smmerkkie kui kerroi. Smoi o rj-rvo miius-äärettömyydessä itseisrvolt ääretö, mutt vstkkismerkkie kui kerroi. Toisess päässä relikseli fuktio rvot ksvvt yli kikkie rjoje j toisess päässä e väheevät. Mitää yksikäsitteistä suurit ti pieitä rvo ei ole. Olkoo prillie j positiivie lim P() = lim ( lim P() = lim ( ) = 0 ) = = = Ku muodostet fuktio P derivtt, tämä steluku o prito. Hyvi pieillä : rvoill P o egtiivie j P idosti väheevä. Hyvi suurill : rvoill P o positiivie j P idosti ksvv. (lusee esimmäie koht) Stt oll, että derivtt P viht

3 merkkiää useitki kertoj, mutt kosk P o jtkuv suljetull välillä, jok lkupiste o derivt piei j loppupiste derivt suuri ollkoht, ii fuktio P s tällä välillä suurimm j pieimmä rvos. Näistä pieimmistä rvoist yksi o fuktio bsoluuttie miimirvo. Fuktio P ei site voi sd rvo. Olkoo prillie j egtiivie lim P() = lim P() = lim lim ( ( ) = 0 ) = = = Fuktio P ei yt voi svutt rvo +, mikä todistet vstvsti kui tpus, missä o prillie j positiivie. ****************************************************************** Esim. Fuktio P steluvu j korkeit stett olev termi kertoime etumerki muk void pääpiirtei hhmotell iv tuistettvsti polyomifuktioide kuvji: < 0 > 0 Esim. Kolme stee polyomifuktio

4 < 0 > 0 Esim. Neljäe stee polyomifuktio Esim. Viidee stee polyomifuktio. Oko < 0 vi > 0? Plutet mielii fuktio pikllise j bsoluuttise rvo määritelmä:

5 ****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 9 Fuktio f svutt jollki välillä (voi oll voi ti suljettu, mhdollisesti koko R) (globlise) bsoluuttise mksimirvo pisteessä 0, jos väli jokisess pisteessä f( 0 ) > f(). Jos yhtäsuuruus suljet pois, puhut idost mksimirvost. Tällisest : rvost käytetää imitystä mksimipiste ti mksimikoht. Sot edellee, että fuktioll o pisteessä 0 pikllie mksimirvo, jos o olemss joki pistee 0 ympäristö, jok jokisess pisteessä f( 0 ) > f(). Käätämällä sopimuksiss esiityvät epäsuuruusmerkit toisi päi tull määritelleeksi bsoluuttie miimirvo j pikllie miimirvo. ****************************************************************** Edellä käsiteltyje sioide ojll o ilmeistä, että piklliste äärirvoje määrittämie o kiiteässä yhteydessä derivtt. Oh selvitetty, että jos fuktioll o pikllie äärirvo pisteessä c j fuktio o derivoituv tässä pisteessä, ii f (c) = 0. Ei kuitek ole täysi selvää, oko fuktioll tällisess pisteessä pikllie mksimi viko miimi j oko derivt ollkohdss sitte i äärirvo? Lieee kuiteki ymmärrettävissä, että jos fuktio josski pisteessä muuttuu ksvvst väheeväksi j o tässä pisteessä jtkuv, ii kyseisessä pisteessä fuktioll o pikllie mksimirvo. Vstvsti fuktio muuttuess väheevästä ksvvksi, fuktioll o tällisess pisteessä miimirvo, kuh fuktio vi o jtkuv. Tulokset void koot luseeksi: ****************************************************************** LAUSE 9 Olkoo f jtkuv fuktio välillä I. Tällöi väli I pisteessä c fuktioll f o pikllie mksimirvo f(c), jos o olemss pistee c ympäristö, joss f () > 0, ku < c f () < 0, ku > c.

6 Fuktioll f o pisteessä c pikllie miimirvo f(c), jos o olemss pistee c ympäristö, joss f () < 0, ku < c f () > 0, ku > c. Tod. : Jälkimmäie tpus: < c, fuktio f idosti väheevä c > c, fuktio f idosti ksvv. Pisteessä = c fuktio muuttuu idosti väheevästä idosti ksvvksi, jote f(c) o pikllie miimirvo (voi oll bsoluuttieki miimi). Huom, että pisteessä = c fuktio ei trvitse oll derivoituv, mutt pistee c ympäristössä derivoituvuus oletet. Kuiteki, jos f o derivoituv myös pisteessä c, ii f (c) = 0. Huom myös, että ellei derivtt vihd merkkiää pisteessä = c, ii f(c) ei ole äärirvo. ****************************************************************** Esim. Piirrä pääpiirtei fuktio P: P() = kuvj. P() o polyomifuktio kikkill R:ssä derivoituv j site jtkuv. Edellee P () = + 6 = ( + ). Merkitsemällä derivtt ollksi joudut kolme stee yhtälöö, mikä voi oll vike si. Kurssiss MAA o tutustuttu siihe, että jos korkemm stee ormlimuotoisell yhtälöllä o juuri, ii vsemp puole olev polyomi o jollie tutemttom j juure erotuksell. Yhtälöstä P () = 0 ( + ) = 0 + = 0

7 ähdää heti, että = o yksi juuri. Triomi + tulee tällöi oll ts jollie biomill. Ku jko suoritet, sd osmääräksi + + j derivtt o esitettävissä tulo P () = ( )( + + ), missä jälkimmäisellä tekijällä ei ole ollek ollkohti, sillä yhtälö + + = 0 diskrimitti D = = 8 = < 0. Derivt merki määrää tällöi tekijä yksi. Ldit kuiteki derivt merkkikvio: ( ) = P () + P() väheee idosti ksv idosti P() = = j tämä o pikllie miimi j smll io äärirvo myös bsoluuttie miimi. Piirtämistä vrte lsket vielä joiti irtopisteitä tulukkoo: 0 ½ ½ P() Huom, että seurv sivu kuvj ei ole prbeli, vikk joki verr selliselt äyttää. Kuv o otettu vi hyvi kpelt -kseli väliltä, sillä fuktio rvot ksvvt hyvi jyrkästi, ku ksv (ti meee egtiivise -kseli suut).

8 ,5,5 Kuv Esim.

9 TÄSTÄ KOHTAA PUUTTUU PÄTKÄ TEKSTIÄ Yhtälölle y () = = 0 löydetää yksi juuri väliltä [0, ], sillä y(0) = < 0 j y() = 9 > 0. Ke thtoo, voi hrukoimll etsiä tämä juure likirvo mite trksti vi hlu, j void lisäksi todist, ettei tämä juuri ole rtiolie. Tässä esimerkissä ei kyetä ollek rtkisem yhtälöä y () = 0, mutt toise derivt vull kyetää osoittm, että derivtll y () o täsmällee yksi ollkoht, missä se viht merkkisä egtiivisest positiiviseksi. Tämä ts kertoo se, että fuktioll y o täsmällee yksi pikllie äärirvo, jok smll o bsoluuttie miimi. Se suuruutt ei määritetty, mutt se likirvo voi etsiä hlutull trkkuudell, ke thtoo. Pe työkluvrstoosi i trvittess käsille otettvksi keio, derivtt (y ) voi tutki derivt derivt (y ) vull. Tällä keioll pääsee moesti rtkisuu differetililske vikeimmiss, teori syvällisempää ymmärtämistä vtiviss tehtävissä. Esim. Osoit, että yhtälöllä = o täsmällee kolme rtkisu. Huom, että tehtävässä ei käsketä rtkist yhtälöä, ei keties voik, v o osoitettv kolme juure olemssolo. Tärkeä ekvivlessi: yhtälöllä = 0 o juuri fuktioll P() = o ollkoht. Siirrytää tutkim koko R:ssä derivoituv j site jtkuv fuktiot P(), jolle P () = + 9 = ( + ) P () = 0 + = 0 = ti =. P () = ( ) = 6( ) P () = 6( ) < 0, jote P() = o pikllie mksimi. P () = 6( ) > 0, jote P() = o pikllie miimi.

10 Ku lähtee ksvm :stä, ii fuktio P idosti ksv i : rvoo = skk. Alueess < ei voi oll kui yksi ollkoht. Kosk heti ähdää, että P(0) =, ii yksi ollkoht vrmsti o välillä 0 < <. Fuktio o idosti väheevä välillä < < j ku P() =, ii ko. välillä myös o täsmällee yksi ollkoht. Ku >, ii P o idosti ksvv. Kosk P() = 95 > 0, ii täsmällee yksi ollkoht löytyy vielä väliltä < <. Usempi ollkohti ei voi oll, mikä void sitovsti t tiedoksi jo yhtälö steluvu perusteell. Fuktioll P() = o kolme ollkoht, mikä o yhtäpitävää se kss, että yhtälöllä = 0 o kolme rtkisu. Huom, että derivtst o pu. Jos imittäi tiedettäisii, että jtkuvll fuktioll o jollki suljetull välillä erimerkkiset päätepistervot, ii tästä voi päätellä ilm tieto derivt merkistä vi se, että tällä välillä o vähitää yksi ollkoht. Toislt jolli fuktioll voivt joki väli päätepistervot oll smmerkkiset j fuktioll silti oll ollkoht tällisell välillä. Tätä voi oll vike hvit, jos väli o kovi kpe. All srjkuvi: Esim. 5 Määritä vkio site, että yhtälöllä + = 0 o täsmällee kksi rtkisu.

11 Yhtälöllä + = 0 o täsmällee kksi rtkisu Polyomifuktioll P() = + = 0 o täsmällee kksi ollkoht. P o derivoituv j site jtkuv koko R:ssä. Derivtt P () = s rvo oll, ku = ti =. Derivt merkkikvio P () + + P() ks väheee ks mukisesti P( ) = + o pikllie mksimirvo j P() = o pikllie miimirvo. Jott fuktioll olisi täsmällee kksi ollkoht, o joko pikllise mksimi- ti pikllise miimirvo oltv ts oll. Täte sd vkio määrittämiseksi kksi yhtälöä. = 0 ti + = 0, joist rtkisut = tikk =. Pääpiirteiset kuvjt.

12 Huom, että jos olisi edellytetty etulle yhtälölle vi yhtä rtkisu, tulisi piklliste äärirvoje kumpiseki oll smmerkkiset. Kolme juure tpuksess piklliste äärirvoje tulisi oll erimerkkiset. Yksi rtkisu kolme rtkisu