****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

Transkriptio

1 . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää kksi ehto: ) b > 0 j ) b O Olkoo prito, positiivie kokoisluku. Luvu :s juuri trkoitt sellist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Negtiivise luvu prittom potessi merkkisääöstä johtue mitää rjoituksi ei juurrettvlle setet. Määritelmässä esiityvä kirji o imeltää juure ideksi, j luku sot juurrettvksi. Negtiivisell luvull ei ole olemss prillist juurt, mutt prito juuri löytyy kikille luvuille, j se o juurrettv kss i smmerkkie. Kute oli eliöjuurteki tpuksess, s. korkemmt juuret ovt hrvoi rtiolilukuj. Prillise juure tpuksess o kiiitettävä erityistä huomiot juure merkkii. Jos yt o prillie j joudut sievetämää lusekett, ii ktluku s oll egtiivieki! Esim., sillä > 0 j. Esim. ei ole olemssk relise. Esim., mutt ( ) ei ole, v o seki ts. Esimerkissä esii tullut s oli kierrettävissä, mutt kuik usei väitetääkää, että eteki silloi, ku ktluvu (lusekkee) egtiivisuus ei ole iv ilmeie. Yhteeveto voidki todet, että o i olemss j

2 , ku, ku prito prillie 6 6 Esim. ( ). Tulo j osmäärä korkemmille juurille o olemss eliöjuuri vstvt sieveyskvt: **************************************************************** Luse : b b. Lisärjoitus: > 0 j b > 0, ku prillie.. Lisärjoitus: > 0 j b > 0, ku prillie. b b Esim ) b b. b) c) d) 6x y z 6 x y 6 z 6 e) , 0 Esim. 6 Piirrä sm koorditistoo fuktioide y x j y x kuvjt, ku x > 0. Ku lsket joiti pisteitä fuktio y x kuvj piirtämiseksi, ii tätä tulukko void hyödytää myös juurifuktio kuvj kss. Siiä yhteydessä huomt, että o kyseessä toistes s. kääteisfuktiot. Jos potessifuktio kuv x: y:ksi, ii juurifuktio kuv y: x:ksi. x 0 ½ ½ x x 0 x 5 6 6

3 Jos siis piste, o 6 potessifuktio kuvj piste, ii, o juurifuktio 6 kuvj piste. Tähä meessä potessi o määritelty iki ekspoeti olless kokoisluku. Mikä merkitys o sitte lusekkeell? Oko potessi rvo lskettviss silloiki, ku ekspoetti o rtioliluku? Kute ei voitu jtell sellist lskutoimitust, että luku olisi kerrottu itsellää kert, missä oli egtiivie, ei void jtell sitäkää, että kerrottisii itsellää 5½ kert. m ********************************************************** MÄÄRITELMÄ 5. MURTOPOTENSSI Olkoot mielivltie, positiivie reliluku, mielivltie positiivie kokoisluku j m mielivltie kokoisluku. Tällöi m Huom, että edellä olev sisältää juure esitystv rtiolise ekspoeti vull (m ). m Void todist, että äi määritellylle rtiolise ekspoeti sisältävälle potessille ovt voimss kikki kokoislukuekspoeti yhteydessä esitellyt potessisääöt. Tähä teori koht liittyvissä hrjoitustehtävissä esiityy potessisäätöje soveltmist rtiolisille ekspoeteille. Sieveystehtävie lähtökoht o usei juurimuoto, jok useimmite o syytä heti muutt potessimuotoo, suoritt lskut potessisäätöje ojll j plt sitte ilmoittm vstus juurimuodoss ti potessimuodoss, hiem tpuksest riippue.

4 Esimerkeissä o luoollisesti ekspoettie ti ktlukuje suhtee oudtettu hiem keiotekoise tutuisi vlitoj; käytäö sovellutuksiss ehkä yhtä yksikertisi luvui ei selvitä. Esim. 7 ) b) ½. ½ 5 c) ½ ( ) 00 ( ) ½ ( ) ½ ½ d), e) 6 ei sievee mitekää. Potessisäätöje käyttö edellyttää, että joko ktluku o sm ti ekspoetti o sm. Vi sieveisikö sitteki, jos ekspoetit lvetisi ii, että kummki imittäjä olisi? Eräissä tpuksiss joutuu lskem murtopotessie likirvoj lskimell. Tällisiss tpuksiss s lskime potessiikorotustoimito käyttää ilm tuotuski, koe kyllä tottelee rtiolisi, jop irrtiolisi ekspoettej, eikä siis trvitse missää juurimuodoiss käydä välillä ollek. Erityisesti o huomttv, ettei lskime tm likirvo riitä silloi, ku kysytää joki umerolusekkee trkk rvo. Edellä olevst stt oll pääteltävissä se, että ekspoetti voi oll myös irrtioliluku. Mitä siis trkoitt esimerkiksi, jot ei voi lske määritelmä 5 mukisesti. Luku ei imittäi void esittää rtioliluku, kosk sillä ei ole päättyvää ti päättymätötä, jksollist desimlikehitelmää.

5 ********************************************************** MÄÄRITELMÄ 6. Irrtiolie ekspoetti Irrtiolisell potessill trkoitet sitä rj-rvo, jot potessi rvo lähee, ku ekspoetti korvt yhtä trkemmill j trkemmill rtiolisill likirvoill. Esim. o sellie luku, jok suhtee ovt voimss epäyhtälöt: Kerätää oheisee tulukkoo : l- j ylälikirvoj ekspoeti sdess yhä trkempi j trkempi rtiolisi likirvoj. Ekspoeti llikirv Ekspoeti ylälikirv llikirvo ylälikirvo

6 Huomt, että toisess j eljäessä srkkeess o yhä eemmä j eemmä yhteisiä desimlej, ku ekspoeti likirvo trkeet. Huomt lisäksi, että llikirvo ksv j ylälikirvo väheee koko j, j ämä kksi likirvo myös lähestyvät toisi. Ku potessi käsitettä ljeet sllimll ekspoetille muitki rvoj kui kokoislukuj, tämä tphtuu ii, että ii sotut potessikvt ovt voimss, vikk ekspoetti olisi rtiolie, vieläpä irrtiolie luku. Edellisessä luvuss oki käsitelty murtolukuekspoetill vrustettuj potessej j vielä johdteltu siihe, mitä trkoitet potessill, joss ekspoetti o irrtioliluku. Aikisemmss potessiopi käsittelyssä, trkemmi sottu ekspoeti olless kokoisluku si ktluku oll mikä ths reliluku (poikkeukse 0 ), mutt yt o ktluku oletettv positiiviseksi. O imittäi helppo osoitt, että sllittess ktluvulle myös egtiivisi rvoj, joudut helposti ristiriit tuloste yksikäsitteisyyde kss. Tähä plt kurssi eljäessä luvuss trkemmi. Jok tpuksess seurvss o yksi esimerkki siitä, mite ekspoeti ljeus joht ktluvu suhtee eriäisii rjoitusvtimuksii. Esim. 9 ( ) ( ) 7, jot ei ole olemss. Toislt 6 ( ) ( ) [( ) ] 9 ( ) 6 7!!