9. MÄÄRÄTTYÄ INTEGRAALIA KOSKEVIA LAUSEITA

Transkriptio

1 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit 9. MÄÄRÄTTYÄ INTEGRAALIA KOSKEVIA LAUSEITA Luse 9. Suljetull välillä jtkuv fuktio o itegroituv. Lusett totuusrvo jätetää usko siksi. Sot o itegroituv käytettii jo itegrlifuktio käsittely yteydessä. Tällöi itegroitumie trkoitti itegrlifuktio olemssolo. Luseess 9 tämä sot trkoitt sitä, että suljetull välillä jtkuv fuktio lsummll, välisummll j yläsummll o (sm) rj-rvo, ku väli jko rjttomsti tieee. Luse trkoitt siis sitä, että I = f ()d o olemss. Koko toie si o se, oko tämä rj-rvo määritettävissä elposti ti vikesti, mutt void luott, että se o olemss. Luse 0. Jos fuktio f o jtkuv suljetull välillä [, ], ii C f ()d = Cf ()d, ts. vkiotekijä void siirtää itegrli etee ti edessä olev vkiotekijä void siirtää itegrli sisää. Tod.: Kirjoitet lusee kumpiki puoli välisumm vull: C f (tk )(k k ) = C f (tk )(k k ) k= k= Ku fuktio f o jtkuv, ii myös fuktio Cf o jtkuv j lusee 9 ojll itegroituv. Ku et itegroimisväli jo tietyä,, ii yllä olevss ytälössä vsemp puole olev väli- ()

2 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit summ läeee itegrli C f ()d, j oike puole olev välisumm puolest itegrli C f ()d. Luse. Jos fuktiot f j g ovt jtkuvi suljetull välillä [,], ii [ () + g() ] d = f ()d f + g()d, Tod.: Ku fuktiot f j g ovt jtkuv, ii myös iide summfuktio f + g o jtkuv j lusee 9 ojll itegroituv. Ku käsitellää fuktio f + g välisumm, ii sd [ f ( tk ) + g( tk )] ( ) = f ( ) d + ) + k k k k k k= k= k= f ( t )( g( ) d, ku. g( t k )( k k ) Tää skk o pidetty selvää, että itegroimisess ylärj o i ollut suurempi kui lrj. Poikkeus o kerr tety pit-lfuktio käsittely yteydessä ytäsuuruus sllie, mutt ei eää määräty itegrli teoreettisess käsittelyssä. Aet yt itegroimisrjoje vpsti ytyä j sovit (määritellää), mite meetellää tilteess, joss lrj o ylärj suurempi; Määritelmä 3. f ()d = 0 f ()d = f ()d, ku >. ()

3 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Tämä määritelmä (siis sopimus, suom. uom.) o erittäi käyttökelpoie j sitä sovellutuksiss vrsi usei käytetää. Trvettki ilmeee jo seurvss luseess. Luse. Jos fuktio f o jtkuv kikill kyseesee tulevill väleillä, ii c f ()d = f ()d + f ()d, c Tod.: Olkoo luksi < c <. Suoritet väli [, ] sellie (tsvälie) jko, missä c o yteä jkopisteeä. Jkopisteet lueteltui pieimmästä suurimp ovt tällöi = 0,,,3,,..., m = c, m+,...,,, =, j fuktio f välisumm yli väli [, ] void jk kdeksi. m f (tk ) (k k ) = f (tk )(k k ) + f (tk )(k k ) k= k= k= m+ Jo tietyessä oikepuole esimmäie summ läeee fuktio f määrättyä itegrli yli väli [, c] j jälkimmäie sm fuktio määrättyä itegrli yli väli [c, ], mistä tulos jo seurki tpuksess < c <. Olkoo sitte piste c väli [, ] ulkopuolell, vikkp c < <. Määritelmä 3 j lusee jo todistetu os vull sd: f ()d = f ()d + f ()d f ()d = f ()d f ()d c c c c c f ()d = f ()d + f ()d f ()d = f ()d + f ()d. c c c Tpus < < c o vstvlie ytälökäsittely. 3()

4 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Luse 3. Olkoo fuktio f o jtkuv j ei-egtiivie suljetull välillä [,]. Jos [,] f () = 0, ii f ()d = 0 ts. jos väli jokisess pisteessä fuktio s rvo oll, ii fuktio määrätty itegrli yli tällise väli äviää Jos [,] f () > 0, ii f ()d > 0 ts. jos väli jokisess pisteessä fuktio s positiivise rvo, ii fuktio määrätty itegrli yli tällise väli o myös positiivie. Tod.: Jos f() = 0 trksteltv väli jokisess pisteessä, ii missä ts välisummss jokie termi o oll j tälliste termie summ o oll, op iitä mite mot yväsä. Jos sitte oletet, että f s jokisess väli pisteessä positiivise rvo, ii fuktioll f jtkuv o tällä välillä piei rvo. Olkoo se m. Fuktiolle f muodostetuist välisummist kikkei piei o jkoo = liittyvä välisumm m( ) > 0. Fuktio f jtkuv o myöski itegroituv j itegrli rvo ilmoitt tällöi myös lsummie rj-rvo, ku itegroimisväli jko rjttomsti tieee. Ku jo tietyessä lsumm ei missää tpuksess ik pieee j se pieimmillääki o positiivie, ii silloi myös f ()d > 0. Todistetull luseell o välitö seurus: Seurusluse 3.. Olkoo fuktiot f j g jtkuvi suljetull välillä [, ] j olkoo väli jokisess pisteessä f() > g() sekä <. Tällöi f ()d g()d, ()

5 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Lusett 3 seuruksiee käytetää ekä eite joideki väitteide todistmisee, mutt joskus myös itegrli suuruusluok rvioitii tpuksiss, joiss itegrli ei sd eti suor lsketuksi. Seurvll luseell o iuk vstv merkitystä. Luse. Olkoo fuktio f jtkuv suljetull välillä [,], <. Olkoo edellee m j M fuktio f tällä välillä svuttmt piei j suuri rvo. Tällöi m ( ) f ()d M( ), missä ytäsuuruus tulee kyseesee vi silloi, ku f o vkiofuktio. Tod.: Vkiofuktio tpus o trivili. Oletet siis, ettei f ole vkio koko välillä. Väli [, ] jokisess pisteessä o voimss f() > m. Seuruslusee 3. ojll sd, jott f ()d md = m( ), missä ytäsuuruus tulisi kyseesee vi silloi, ku f olisi vkio. Kosk fuktio vkioisuus suljettii pois, ii m ( ) < f ()d. Vstvll tvll todistet väitteeä olev kksoisepäytälö oike puoleie epäytälö f ()d < M( ). Seurvksi todistettvll itegrlilske välirvoluseell o keskeie merkitys jodettess yleisteoreettisesti määräty itegrli määrittämismeetelmä. Siiä o pljo ytäläisyyttä pit-lfuktio yteydessä esiteltyy derivt kutt -meetelmää. Luse. Itegrlilske välirvoluse Jos fuktio f jtkuv suljetull välillä [,], <, ii vstvlt voimelt väliltä löytyy iki yksi sellie piste ξ, että f ()d = f ( ξ)( ), 5()

6 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Tod.: Jos f o vkiofuktio, ii pisteeksi ξ kelp mikä ts voime väli piste. Oletet siis, ettei f ole vkio koko välillä [, ]. Tällöi pitsi että se svutt suurimm j pieimmä rvos M j m, se svutt kikki äide rvoje väliset rvot iki ydessä pisteessä. Olkoot yt j selliset väli [, ] pisteet, että f () = m j f ( ) = M, <. Soveltmll luksi lusett sd luksi, jott m ( ) < f ()d < M( ) j edellee jkmll lusekkeell > 0 m < f ()d < M.. Viimeksi kirjoitetust käy ilmi, että itegrli rvo jettu itegroimisväli pituudell o i fuktio pieimmä j suurimm rvo välissä (vkiofuktio tpus poissuljettu). Väliltä < < löytyy, itse siss väliltä < < löytyy yt sellie piste ξ, että fuktio f tällä välillä svutt täsmällee se rvo, jok o itegrli rvo j väli pituude osmäärä, kosk jtkuv fuktio svutt jokise pieimmä j suurimm rvo välise rvo iki kerr. Site piste ξ toteutt edo f ()d = f ( ξ), jost imittäjä poistmll sd väite. Huom.! Todistuksess o pidetty ikää kui selvää, että <. Näi ei tietekää ole i eikä ik silloi, ku f o koko välillä idosti väeevä fuktio. Todistuksess tulisi tieteki käsitellä tämä tpus, jos tiukkpipoisi oltisii. Muodollisesti prosessi o kuiteki täysi smlie, käsitellää vi väliä < <. Lädetää äide pojustuste jälkee trkstelem fuktiot, joss muuttuj o määräty itegrli ylärj ts. fuktiot I = I() = f (t)dt, 6()

7 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit missä f o jtkuv välillä [,]. Tässä itegrliss siis trkstell väliä [,], missä muuttuj o väli loppupiste iv ii kui oli pit-lfuktiosski. Tässä o merkitty symolill t sitä muuttuj, jok juoksee väli :st :ää. Jos tämä itegrli välisummi kirjoiteltisii äkyvii, ii jkopisteet olisivt = t0, t, t,t3, t,..., t, t, t =. Luse 5. Fuktio I: I() = f (t)dt o välillä [,], < derivoituv j I () = f(). Tod.: Muokt fuktio I erotusosmäärää tukeutue määritelmää 3 sekä luseesee : + I( + ) I( ) = f ( t) dt f ( t) dt = f ( t) dt + + f ( t) dt f ( t) dt = + f ( t) dt. Sovellet itegrlilske välirvolusett. Se muk voimelt väliltä ], + [ löytyy iki yksi sellie piste ξ, että + f(ξ) = itegrli f (t)dt rvo jettu väli pituudell (ti + tämä vstluvull) eli että f ( ξ) = f (t)dt. Tällöi erotusosmäärälle stu rvo edellee muokte sd: + f (t)dt = f ( ξ) = f ( ξ). Ku et : läestyä rjttomsti oll, ii lukuje j + välissä vrmsti olev luku ξ läestyy rjttomsti :ää. Kosk f o jtkuv, ii I( + ) I() lim f ( ξ) = f () = lim = I (). ξ 0 ************************************************************** 7()

8 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Todistettu lusett void pitää sisällöltää vrsi yllättävää. Määrätty itegrli, eräs rj-rvo, oki yt sge läeistä suku itegrlifuktiolle. Tätä seikk tieteki pit-lfuktio käsittely jo vvsti ekoi. Määräty itegrli teoreettie käsittely loitettii luseell 9, jok muk suljetull välillä jtkuv fuktio o itegroituv j trkoitettii soll sitä, että määrätty itegrli esimerkiksi välisumm rj-rvo o olemss. Tässä yteydessä luse trkoitt sitä, että fuktio I: I() eli fuktio f määrätty itegrli yli väli [, ] o olemss. Juuri sdu mukie tulos I () = f() osoitt, että tällä fuktioll o vielä derivttki, mikä puolest tk fuktio I jtkuvuude. Luse 6. ANALYYSIN PERUSLAUSE f ()d = / F() = F() F() Tod.: Olkoo F joki f: itegrlifuktio. Ku lusee 5 muk myös fuktio I o joki fuktio f itegrlifuktio, ii I j F erovt toisist korkeit vkioll elikkä I() = F() + C Määritelmä 3. ojll tiedetää, että I() = 0, jote F() + C = 0, jost C = F(). Site o I() = f (t)dt = F() F(), j ku tää vielä sijoitet =, ii sd pitkää j rtsti pojustelle etsitty tulos I() = f (t)dt = F() F(). ************************************************************** Stu tulos o differetili- j itegrlilske ydisi, j sitä merkitää yleisesti j ksivälisesti 8()

9 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit f ()d = / Asi void suusllisestiki formuloid: F() = F() F() Määrättyä itegrli ei trvitse läteä lskem käyttäe mitää rj-rvo määrittämismeetelmiä, vikk määrätty itegrli se mielessä pidettäköö j moesti, iki vielä ydesti j sge pivsti miittkoo o eräs rjrvo. Itegrli rvo void siis lske täysi mekisesti: Otet joki fuktio f itegrlifuktio F, tvllisesti se, joss vkio C = 0. Lsket, mitä o F() j mitä o F(), j väeetää äi sdut luvut toisist. Ku määräty itegrli äi määrittää, ei trvitse koko käsitettä väääkää ymmärtää eikä edes jtuksiss käy, että jok kert o kyseessä erää rj-rvo määritys. Se sij o ivee vike ymmärtää sellist opettj, jok korost määrättyä itegrli pelkästää itegrlifuktio kde rvo erotukse. Sotull oudoll korostuksell o yvi loogisi seuruksi. Korkemmss mtemtiikss käsitellää pit- j tilvuusitegrlej. Ku yksiulotteisess vruudess lskettv määräty itegrli yteydessä juost eräs -kseli väli, ii itse itegrli lskemisess oleisi ovt vi väli päätepisteet. Ku otet itegrli joki pi yli, tällä pill o reuviiv. Jos ts trkstell tilvuusitegrli, ii tällie tilvuus määräytyy joki umpiise pi kutt. Eräitä tilvuusitegrlej void muutt tilvuutt rjoittv pi yli otetuksi pititegrliksi j päivstoi. Toiseksee sitte pititegrlej void muutt pit rjoittv reuviiv pitki otetuksi viivitegrliksi. Siis kksiulotteisess vruudess joki pi yli otettv itegrli void plutt pelkästää pit rjoittv reuviiv käsittelyy j kolmiulotteisess vruudess tilvuustilvuusitegrli void plutt rj-pi käsittelyksi (j päivstoi) Pit- j tilvuusitegrlej lskettess o luoollisesti suoritettv jokilisi derivoiti ti itegroitiopertioit, kute olet uomut trvittv myös yksiulotteisiss tpuksiss. Nämä sit svt yt kuiteki jäädä korkekoulu-opitoje puolelle. Ku itegrli lskemie o pelkkää lkeismtemtiikk, ei tetävä 9()

10 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Lske f ()d vikeusste välttämättä vielä päätä uim. Tosi poikkeuksi löytyy, sillä stt oll kl löytää f: itegrlifuktiot, ti f voi oll ploitti määritelty ti sisältää itseisrvoj. Koko toie si o sitte määräty itegrli soveltmie pit-loje ti tilvuuksie määrittämisee puumttk sovellutusmdollisuuksist fysiik puolell. Näissä soveltviss tetävissä o usei uomttv pio sillä, että stt itse joutu määrittämää itegroimisrjt j moesti myös se tvr, mitä itegrlimerki j d: välii työtää. Itse itegrli lskemie stt pistetuotolt oll korkeit puolet tetävä mksimipistemäärästä. Jos siis suoritettvsi olev tetävä smuoto o: lske f ()d, ii löydettyäsi fuktio F, jolle o voimss väli [, ] JOKAISESSA PISTEESSÄ eto F () = f(), loppu o pelkkää rutiii, ekä uolellisuutt vtiv, mutt ei juuri edellytä tvomisi peruslskutoimituksi kummempie sioide llit. Joissi tetävissä stt käydä kyllä iiki, että elposti löydetää fuktio F, jok täyttää edo F () = f() välillä [, ] vi ositti (ei siis väli jokisess pisteessä), eikä tätä pikku puutett uomt, ii pisteslis ei tdo suorituksest pljok krttu. π π Esim. 5. cos d = / si = 0 0 = π π π Esim. 6. cos d = / si = si si( ) = ( ) = + =. π π π 3 Esim. 7. ( + ) d = ( + + )d = ( + ) = / = + ( + ) = =. 0()

11 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Esim. 8. Lske 3 d , ku 3 0 eli = 3, ku 3 < 0 eli ku 3 ku > 3 Kosk itegroitvll fuktioll o erilie esitysmuoto itegroimisväli eri osväleillä, ii itegroid ploitti (luse ) 3 3 d = 0 0 y 3 3 d = / 3 + / 3 = ( 3 3) = ( 3 ) d + ( 3) = = 5 3 Huomutet, että jos ttoo suoritt pelkä sijoitukse ollst elosee, ii täytyy löytyä sellie itegrlifuktio F(), jolle F () = 3 väli [0,] jokisess pisteessä. Ku yt derivtt F o olemss, ii täytyy fuktio F() oll jtkuv. Kosk 3, ku 3 0 eli ku 3 3 =, ii 3, ku 3 < 0 eli ku > C, ku 0 3 F() = 3 + C, ku 3 < ()

12 MAA0 9. Määrättyä itegrli koskevi luseit Jtkuvuude klt kriittie kot o = 3, kosk F() muutoi o jtkuv kte ploitti määriteltyä polyomifuktio. lim F() = lim (3 + C) = C lim F() = lim ( 3 + C) = C = F(3) Jtkuvuus pisteessä = 3 toteutuu yt edost C + = C C = C + 9. Vlit yt C = 0, jolloi C = 9 j itegrli rvo void lske sijoitukse ollst elosee seurvsti: Eräs jtkuv itegrlifuktio 3, ku 0 3 F() = 3 + 9, ku 3 < j d = F() F(0) = = 5 0 Ost vrm itseki päätellä, kumpi meetelmä elpompi oli. ()