Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Transkriptio

1 Määrätty integraali Markus Helén

2 Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden alojen summa.

3 Pinta-ala Joissakin tapauksissa monikulmio voidaan jakaa suorakulmioiksi.

4 Pinta-ala Yleisen tasoalueen pinta-alalle saadaan likiarvo eli approksimaatio korvaamalla alue sellaisella monikulmiolla, joka yhtyy siihen riittävän tarkasti. Tasoalueen tarkka pinta-ala on sellaisten monikulmioiden alojen raja-arvo, jotka yhtyvät yhä tarkemmin tähän alueeseen.

5 Esimerkki. Olkoon f(x) = x 2. Tarkastellaan aluetta, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli sekä suorat x = 0 ja x = 2.

6 Esimerkki. Olkoon f(x) = x 2. Tarkastellaan aluetta, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli sekä suorat x = 0 ja x = 2. Lasketaan alueen pinta-alalle A likiarvo käyttämällä välisummaa. Jaetaan väli [0, 2] neljään samanpituiseen osaväliin, jolloin kunkin pituus x = 2 4 = 1 2. Piirretään kullekin osavälille suorakulmio, jonka korkeudeksi valitaan funktion arvo osavälin keskipisteessä x k eli f(x k ).

7 Esimerkki. Olkoon f(x) = x 2. Tarkastellaan aluetta, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli sekä suorat x = 0 ja x = 2. x 1 = 1 4, x 2 = 3 4, x 3 = 5 4 = 11 4, x 4 = 7 4 = 13 4 ja f(x 1 ) = 1 16, f(x 2) = 9 16, f(x 3) = , f(x 4) =

8 Esimerkki. Olkoon f(x) = x 2. Tarkastellaan aluetta, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli sekä suorat x = 0 ja x = 2. Suorakulmioiden alojen f(x k ) x, k = 1, 2, 3, 4, summa eli funktion f välisumma yli välin [0, 2] antaa likiarvon A f(x 1 ) x + f(x 2 ) x + f(x 3 ) x + f(x 4 ) x = = 2,

9 Välisumma Olkoon f välillä [a, b] määritelty funktio. Jaetaan väli [a, b] n yhtä suureen osaan, jolloin yhden osavälin pituus x = b a n. Tähän jakoon liittyvä välisumma eli Riemannin summa on S f (x 1, x 2,..., x n ) = f(x 1 ) x + f(x 2 ) x + + f(x n ) x missä x 1 on valittu ensimmäiseltä osaväliltä, x 2 toiselta,..., x n viimeiseltä. Pisteiden x i ei tarvitse olla osavälien keskikohtia.

10 Välisumma S f (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = f(x 1 ) x + f(x 2 ) x + f(x 3 ) x + f(x 4 ) x

11 Ala- ja yläsumma Olkoon f välillä [a, b] määritelty jatkuva funktio. Jaetaan tämä väli n yhtä suureen osaan, jolloin yhden osavälin pituus x = b a n. Olkoot m 1, m 2,..., m n funktion f pienimmät ja M 1, M 2,..., M n suurimmat arvot osaväleillä. Tällöin jakoon liittyvä alasumma on ja yläsumma s n = m 1 x + m 2 x + + m n x S n = M 1 x + M 2 x + + M n x.

12 Alasumma s 4 = m 1 x + m 2 x + m 3 x + m 4 x

13 Yläsumma S 4 = M 1 x + M 2 x + M 3 x + M 4 x

14 Määrätyn integraalin määritelmä Olkoon funktio f määritelty suljetulla välillä [a, b]. Jos välisumman raja-arvo lim S f (x 1, x 2,..., x n ) = lim n n n f(x i ) x on olemassa, valittiinpa välisummat S f (x 1, x 2,..., x n ) miten tahansa, niin funktio f on (Riemann-)integroituva välillä [a, b]. Välisumman raja-arvo on funktion f määrätty integraali kohdasta a kohtaan b. Sitä merkitään b a i=1 f(x) dx := lim n S f (x 1, x 2,..., x n ).

15 Esimerkki. Olkoon f(x) = x. Laske integraalin määritelmän avulla. Ratkaisu. on tällöin 1 0 f(x) dx määrätyn Jaetaan väli [0, 1] n yhtä suureen osaan. Osavälin pituus Lasketaan alasumman raja-arvo: x = 1 0 n = 1 n. s n = m 1 x + m 2 x + + m n x = (m 1 + m m n ) x ( = n + 2 n + + n 1 ) n (n 1) 1 = n n 1 + (n 1) = (n 1) 2 1 n osoittajassa aritmeettinen summa 1 n 2 = n 1 2n = n n 1 2.

16 Esimerkki. Olkoon f(x) = x. Laske integraalin määritelmän avulla. Ratkaisu. on tällöin 1 0 f(x) dx määrätyn Jaetaan väli [0, 1] n yhtä suureen osaan. Osavälin pituus Lasketaan yläsumman raja-arvo: x = 1 0 n = 1 n. S n = M 1 x + M 2 x + + M n x = (M 1 + M M n ) x ( 1 = n + 2 n + + n ) 1 n n = n 1 n n 1 + n = n 2 1 n 2 = n + 1 2n = n osoittajassa aritmeettinen summa n 1 2.

17 Esimerkki. Olkoon f(x) = x. Laske integraalin määritelmän avulla. Ratkaisu. 1 0 f(x) dx määrätyn Siis sekä ala- että yläsumman raja-arvo on 1, kun n. Näin 2 ollen kaikille välisummille pätee lim n S f (x 1, x 2,..., x n ) = 1 2, joten 1 0 f(x) dx = 1 0 x dx = 1 2.

18 Pinta-ala ja määrätty integraali f positiivinen Olkoon f : [a, b] R jatkuva ja positiivinen. Sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli ja suorat x = a ja x = b, on b A = f(x) dx. a

19 Pinta-ala ja määrätty integraali f negatiivinen Olkoon f : [a, b] R jatkuva ja negatiivinen. Sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli ja suorat x = a ja x = b, on A = b a f(x) dx.