Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1"

Transkriptio

1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1

2 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla. Regressioanalyysissa selitettävän muuttujan tilastolliselle riippuvuudelle selittävistä muuttujista pyritään rakentamaan tilastollinen malli, jota kutsutaan regressiomalliksi. Regressioanalyysin mahdollisia tavoitteita: (i) Selitettävän muuttujan ja selittävien muuttujien tilastollisen riippuvuuden luonteen kuvaaminen. (ii) Selitettävän muuttujan arvojen ennustaminen. Kuusinen/Heliövaara 2

3 Regressiomalli Regressiomallin yleisessä muodossa on seuraavat osat: y = f(x; β) + ε y f(x; β) ε = selitettävä muuttuja = mallin systemaattinen eli rakenneosa = mallin satunnainen osa Mallin systemaattinen osa f(x; β) kuvaa selitettävän muuttujan y riippuvuutta selittävästä muuttujasta x. Systemaattisen osan muoto riippuu parametrista β. Kuusinen/Heliövaara 3

4 Regressio-ongelma Regressioanalyysissä pyritään valitsemaan parametrin β arvo siten, että kaikkiin havaintoihin j, j = 1, 2,..., n, liittyvistä jäännöstermeistä ε j tulee samanaikaisesti mahdollisimman pieniä. Pyritään siis valitsemaan parametrin β arvo siten, että käyrä y = f(x; β) kulkisi jossakin mielessä mahdollisimman läheltä jokaista havaintopistettä (x j, y j ), j = 1, 2,..., n. Kuusinen/Heliövaara 4

5 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Kuusinen/Heliövaara 5

6 Malli ja sen osat Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli on muotoa y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n, jossa y j = Selitettävän muuttujan satunnainen havaittu arvo havaintoyksikössä j. x j = Selittävän muuttujan ei-satunnainen havaittu arvo havaintoyksikössä j. β 0 = Vakioselittäjän regressiokerroin, joka on tuntematon vakio. β 1 = Selittäjän x regressiokerroin, joka on tuntematon vakio. ε j = Satunnainen jäännöstermi havaintoyksikössä j. Kuusinen/Heliövaara 6

7 Standardioletukset jäännöstermeistä Regressiomallin jäännöstermit ε j ovat satunnaismuuttujia, joiden ns. standardioletukset ovat: (i) E(ε j ) = 0, j = 1, 2,..., n. (ii) Var(ε j ) = σ 2, j = 1, 2,..., n. (iii) Cor(ε j, ε l ) = 0, j l. Tavallisesti tehdään myös normaalisuusoletus (iv) ε j N(0, σ 2 ), j = 1, 2,..., n. Kuusinen/Heliövaara 7

8 Selitettävän muuttujan ominaisuudet Jos regressiomallin jäännöstermejä ε j koskevat standardioletukset (i)-(iii) pätevät, on selitettävän muuttujan y havaituilla arvoilla y j seuraavat stokastiset ominaisuudet: (i) E(y j ) = β 0 + β 1 x j, j = 1, 2,..., n. (ii) Var(y j ) = σ 2, j = 1, 2,..., n. (iii) Cor(y j, y l ) = 0, j l. Jos myös normaalisuusoletus (iv) pätee, niin (iv) y j N(β 0 + β 1 x j, σ 2 ), j = 1, 2,..., n. Kuusinen/Heliövaara 8

9 Mallin parametrit Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin parametreja ovat regressiokertoimet β 0 ja β 1 sekä jäännöstermien ε j yhteinen varianssi Var(ε j ) = σ 2, j = 1, 2..., n, jota kutsutaan jäännösvarianssiksi. Koska regressiokertoimet β 0 ja β 1 sekä jäännösvarianssi σ 2 ovat tavallisesti tuntemattomia, ne on estimoitavat muuttujien x ja y havaituista arvoista x j ja y j, j = 1, 2,..., n. Regressiokertoimien β 0 ja β 1 estimointiin on tarjolla useita erilaisia menetelmiä, joista tavallisesti käytetään pienimmän neliösumman menetelmää. Kuusinen/Heliövaara 9

10 Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmässä yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n, regressiokertoimien β 0 ja β 1 estimaattorit määrätään minimoimalla jäännöstermien ε j neliösummaa min β n j=1 ε 2 j min β n (y j β 0 β 1 x j ) 2 j=1 regressiokertoimien β 0 ja β 1 suhteen. Kuusinen/Heliövaara 10

11 Tunnuslukuja 1/2 Aritmeettiset keskiarvot: x = 1 n n x j, ȳ = 1 n n y j j=1 j=1 Otosvarianssit: s 2 x = 1 n 1 s 2 y = 1 n 1 n j=1 n j=1 (x j x) 2 = 1 n 1 (y j ȳ) 2 = 1 n 1 ( n ) x 2 j n x 2 j=1 ( n ) yj 2 nȳ 2 j=1 Kuusinen/Heliövaara 11

12 Tunnuslukuja 2/2 Otoskovarianssi s xy = 1 n 1 n j=1 (y j ȳ)(x j x) = 1 n 1 ( n j=1 ) y j x j nȳ x Otoskorrelaatiokerroin r xy = s xy s x s y Kuusinen/Heliövaara 12

13 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit ovat b 0 = ȳ b 1 x b 1 = s xy s 2 x = r xy s y s x Kuusinen/Heliövaara 13

14 Estimoitu regressiosuora Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit b 0 ja b 1 määrittävät suoran avaruudessa R 2 : y = b 0 + b 1 x = ȳ + r xy s y s x (x x) Yhtälöstä nähdään, että estimoitu regressiosuora kulkee havaintopisteiden (x j, y j ), j = 1, 2,..., n, painopisteen ( x, ȳ) kautta. Kuusinen/Heliövaara 14

15 Estimoidun regressiosuoran ominaisuudet Estimoidulla regressiosuoralla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos r xy > 0, suora on nouseva. (ii) Jos r xy < 0, suora on laskeva. (iii) Jos r xy = 0, suora on vaakasuorassa. (iv) Suora jyrkkenee (loivenee), jos: - korrelaation itseisarvo r xy kasvaa (pienenee). - keskihajonta s y kasvaa (pienenee). - keskihajonta s x pienenee (kasvaa). Kuusinen/Heliövaara 15

16 Sovitteet ja residuaalit Olkoot b 0 ja b 1 yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit. Estimoidun mallin sovite ŷ j = b 0 + b 1 x j, j = 1, 2,..., n on estimoidun regressiosuoran arvo havaintopisteessä x j. Estimoidun mallin residuaali e j = y j ŷ j = y j b 0 b 1 x j, j = 1, 2,..., n on selitettävän muuttujan y havaitun arvon y j ja sovitteen ŷ j arvon erotus. Kuusinen/Heliövaara 16

17 Neliösummia Kokonaisneliösumma: SST = n (y j ȳ) 2 j=1 Jäännösneliösumma: SSE = n e 2 j j=1 Mallineliösumma: SSM = n (ŷ j ȳ) 2 j=1 Näille neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSM + SSE Kuusinen/Heliövaara 17

18 Selitysaste Tunnuslukua R 2 = 1 SSE SST = SSM SST käytetään regressiomallin hyvyyden mittarina. Tunnuslukua R 2 kutsutaan selityasteeksi ja se mittaa regressiomallin selittämää osuutta selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen kokonaisvaihtelusta. Yhden selittäjän lineaarisessa regressiomallissa pätee: R 2 = r 2 xy Selitysasteelle pätee aina 0 R 2 1 Kuusinen/Heliövaara 18

19 Jäännösvarianssi Jos yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin jäännöstermejä ε j koskevat standardioletukset (i)-(iii) pätevät, jäännösvarianssin Var(ε j ) = σ 2 harhaton estimaattori on jossa e j s 2 = 1 n 2 n e 2 j, j=1 = y j ŷ j = y j b 0 b 1 x j, j = 1, 2,..., n n = estimoidun mallin residuaali = havaintojen lukumäärä Kuusinen/Heliövaara 19

20 Regressiokerrointen PNS-estimaattoreiden jakaumat Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattoreiden b 0 ja b 1 otosjakaumat ovat standardioletusten (i)-(iv) pätiessä missä ( b 1 N β 1, σ 2 nˆσ 2 x σ 2 = Var(ε j ) on jäännösvarianssi. ), b 0 N (β 0, σ2 n i=1 x2 i n 2ˆσ x 2 ˆσ 2 x = 1 n n j=1 (x j x) 2 on x:n harhainen otosvarianssi. ), Kuusinen/Heliövaara 20

21 Regressiokertoimia koskevat testit Ilkka Mellinin kaavakokoelmasta Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot löytyy tietoa regressiokertoimia koskevista testeistä. Kuusinen/Heliövaara 21

22 Yleinen lineaarinen malli Kuusinen/Heliövaara 22

23 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Usean selittäjän lineaarisessa regressiomallissa selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen vaihtelu halutaan selittää selittävien muuttujien x 1, x 2,..., x k havaittujen arvojen vaihtelun avulla. Usean selittäjän lineaarista regressiomallia kutsutaan tavallisesti yleiseksi lineaariseksi malliksi. Kuusinen/Heliövaara 23

24 Havainnot Selitettävää muuttujaa y ja selittäjiä x 1, x 2,..., x k koskevat havaintoarvot voidaan järjestää havaintoyksiköittäin seuraavasti: Havaintoyksikkö 1: x 11, x 12,..., x 1k, y 1 Havaintoyksikkö 2: x 21, x 22,..., x 2k, y 2. missä. Havaintoyksikkö n: x n1, x n2,..., x nk, y n, k = selittäjien x i lukumäärä. n = havaintojen lukumäärä. Kuusinen/Heliövaara 24

25 Yleinen lineaarinen malli 1/2 Yhtälö y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk + ε j, j = 1, 2,..., n määrittelee yleisen lineaarisen mallin, jossa: y j = selitettävän muuttujan y satunnainen ja havaittu arvo havaintoyksikössä j x ji = selittävän muuttujan x i ei-satunnainen ja havaittu arvo havaintoyksikössä j, i = 1, 2,..., k ε j = jäännöstermin ε satunnainen ja ei-havaittu arvo havaintoyksikössä j Kuusinen/Heliövaara 25

26 Yleinen lineaarinen malli 2/2 Yhtälö y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk + ε j, j = 1, 2,..., n määrittelee yleisen lineaarisen mallin, jossa on seuraavat kertoimet: β 0 = vakioselittäjän regressiokerroin, ei-satunnainen ja tuntematon vakio β i = selittäjän x i regressiokerroin, i = 1, 2,..., k, ei-satunnainen ja tuntematon vakio Kuusinen/Heliövaara 26

27 Standardioletukset Yleisen lineaarisen mallin standardioletukset ovat: (i) Selittäjien x i arvot x ji ovat ei-satunnaisia vakioita, j = 1, 2,..., n, i = 1, 2,..., k (ii) Selittäjien välillä ei ole lineaarisia riippuvuuksia. (iii) E(ε j ) = 0, j = 1, 2,..., n (iv) Var(ε j ) = σ 2, j = 1, 2,..., n (v) Cor(ε j, ε l ) = 0, j l (vi) ε j N(0, σ 2 ), j = 1, 2,..., n Standardioletusten voimassaolo takaa, että ns. tavanomaisia estimointi- ja testausmenetelmiä saa käyttää mallin analysoinnissa. Kuusinen/Heliövaara 27

28 Regressiotaso Standardioletusten pätiessä selitettävän muuttujan odotusarvo, jota kutsutaan mallin systemaattiseksi osaksi, on muotoa E(y j ) = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk, j = 1, 2,..., n Systemaattisen osan avaruudessa R k+1 määrittelemää tasoa y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k kutsutaan regressiotasoksi. Jäännöstermien ε j varianssi σ 2 kuvaa havaintopisteiden (x j1, x j2,..., x jk, y j ) R k+1, j = 1, 2,..., n vaihtelua regressiotason ympärillä. Kuusinen/Heliövaara 28

29 Yleisen lineaarisen mallin matriisiesitys 1/2 Olkoon y = [y 1 y 2 y n ] selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen muodostama n-vektori. Olkoon X = 1 x 11 x 12 x 1k 1 x 21 x 22 x 2k x n1 x n2 x nk selittävien muuuttujien x 1, x 2,..., x k havaittujen arvojen ja vakioselittäjää vastaavien ykkösten muodostama n (k + 1)-matriisi. Kuusinen/Heliövaara 29

30 Yleisen lineaarisen mallin matriisiesitys 2/2 Olkoon β = [β 0 β 1 β k ] regressiokertoimien β 0, β 1,..., β k muodostama (k + 1)-vektori. Olkoon ε = [ε 1 ε 2 ε n ] jäännöstermien ε 1, ε 2,..., ε n muodostama n-vektori. Yleinen lineaarinen malli voidaan esittää matriisein muodossa y = Xβ + ε Kuusinen/Heliövaara 30

31 Yleisen lineaarisen mallin parametrien estimointi Yleisen lineaarisen mallin y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimet β 0, β 1,..., β k estimoidaan tavallisesti pienimmän neliösumman menetelmällä. PNS-menetelmässä regressiokertoimien estimaattorit määrätään minimoimalla jäännöstermien ε j neliösummaa n j=1 ε 2 j = n (y j β 0 β 1 x j1 β 2 x j2 β k x jk ) 2 j=1 regressiokertoimien β 0, β 1,..., β k suhteen. Kuusinen/Heliövaara 31

32 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Olkoon y = Xβ + ε standardioletuksen (ii) r(x) = k + 1 toteuttava yleinen lineaarinen malli. Tällöin regressiokertoimien vektorin β PNS-estimaattori on b = (X X) 1 X y Kuusinen/Heliövaara 32

33 Estimoitu regressiotaso Regressiokertoimien β 0, β 1,..., β k PNS-estimaattorit b 0, b 1,..., b k määrittelevät tason y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b k x k avaruudessa R k+1. Tasoa kutsutaan estimoiduksi regressiotasoksi. Jäännösvarianssin σ 2 estimaattori s 2 kuvaa havaintopisteiden (x j1, x j2,..., x jk, y j ) R k+1, j = 1, 2,..., n vaihtelua estimoidun regressiotason ympärillä. Kuusinen/Heliövaara 33

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli

Yleinen lineaarinen malli MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä mallin sovittamisessa

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 2007 10. luento: Regressiomallin (selittäjien) valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen

Lisätiedot

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Kokeellisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on selvittää mitattavien muuttujien välisiä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista

2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..

Lisätiedot

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Harha mallin arvioinnissa

Harha mallin arvioinnissa Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Simuloinnin strategisia kysymyksiä

Simuloinnin strategisia kysymyksiä Simuloinnin strategisia kysymyksiä Timo Tiihonen Tietotekniikan laitos 2010 Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos

Lisätiedot

Simuloinnin strategisia kysymyksiä

Simuloinnin strategisia kysymyksiä Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos riippuu mallin syöttötiedoista. Miten tulos riippuu mallin rakenteellisista

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Suurimman uskottavuuden menetelmä >> Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä Tarkentuvuus Asymptoottinen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Lapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla

Lapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla Lapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla Tuomas Reiterä 013759335 Helsingin yliopisto Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastotiede Kandidaatintutkielma

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio β versio Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät

Tilastolliset menetelmät Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden soveltamisesta. Tämä on monisteen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

2. Tietokoneharjoitukset

2. Tietokoneharjoitukset 2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta

Lisätiedot

Lineaarinen malli. Pentti Saikkonen. Kevät Korjattu versio: Toukokuu 2011

Lineaarinen malli. Pentti Saikkonen. Kevät Korjattu versio: Toukokuu 2011 Lineaarinen malli Pentti Saikkonen Kevät 2007 Korjattu versio: Toukokuu 2011 Sisältö 1 Lineaarisen mallin määrittely 1 11 Yksinkertainen esimerkki 1 12 Yleinen lineaarinen malli 2 13 Lineaarisen mallin

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

Spatiaalisiin merkkeihin ja järjestyslukuihin perustuva moniulotteinen regressioanalyysi R-ohjelmistoa käyttäen

Spatiaalisiin merkkeihin ja järjestyslukuihin perustuva moniulotteinen regressioanalyysi R-ohjelmistoa käyttäen Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Spatiaalisiin merkkeihin ja järjestyslukuihin perustuva moniulotteinen regressioanalyysi R-ohjelmistoa käyttäen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Niina Matikainen Auton arvon aleneminen iän ja käytön myötä

Niina Matikainen Auton arvon aleneminen iän ja käytön myötä PRO GRADU -TUTKIELMA Niina Matikainen Auton arvon aleneminen iän ja käytön myötä TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden tiedekunta Tilastotiede Toukokuu 2017 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta

Lisätiedot

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Tekijä: Mikko Nordlund 49857B mikko.nordlund@hut.fi Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty: 11.12.2003 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO... 3 2. MALLIEN TUTKIMINEN...

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?

Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot