ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Transkriptio

1 ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

2 Luentoviikko 8 Sähkömagneettiset aallot (YF 32) Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Seisovat sähkömagneettiset aallot Aallot hyvässä johteessa Yhteenveto Lähde: 2 (33)

3 Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia miksi valoaallossa on sekä sähkö- että magneettikenttä miten valon nopeus liittyy sähkön ja magnetismin luonnonvakioihin miten kuvataan sinimuotoisen sähkömagneettisen aallon etenemistä mikä määrää sähkömagneettisen aallon kuljettaman tehon miten kuvataan seisovia sähkömagneettisia aaltoja 3 (33)

4 Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöt väliaineessa Jos avaruudessa on (mahdollisesti paikan mukana muuttuvaa) väliainetta ε, µ, yhtälöt saavat muodon (muista kätisyys- ja liikkumattomuusehdot!): ε E d A = Q encl free Gaussin laki B d A = 0 magnetismin Gaussin laki ( 1 B µ dl = i C,free + d [ ]) ε E d A Ampèren laki dt encl E d l = dφ B dt Faradayn laki Q encl free on vapaa varaus Gaussin pinnan sisällä (esim. johteen varauksenkuljettajat tai kappaleelle annettu nettovaraus; eristeen polarisoitumisessa syntyvä pintavaraus ei ole vapaata vaan sidottua varausta) i C,free on vapaa johtavuusvirta [integrointisilmukan läpi] (magnetoitumisessa esiintyvien magneettisten dipolien virta ei ole vapaata vaan sidottua virtaa) 4 (33)

5 Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöiden seurauksia Staattinen pistevaraus luo sähkökentän Tasaisesti (= vakiovauhdilla) liikkuva varaus luo sekä sähkö- että magneettikentän, mutta Ē( r); t = 4 jaksonaikaa kentät voi analysoida erikseen 0.5 Kiihtyvässä liikkeessä 1.5 oleva varaus lähettää sähkömagneettisia aaltoja eli sähkömagneettista säteilyä, joten sähkö- ja magneettikentät on analysoitava 0.45 yhdessä z/λ (Harmonisesti värähtelevän sähködipolin tuottama sähkökenttä eräällä hetkellä) (33)

6 Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettinen spektri Sähkömagneettinen spektri sisältää kaikentaajuiset (eli kaikenaallonpituuksiset) sähkömagneettiset aallot Aallon taajuus f, aallonpituus λ ja valonnopeus tyhjiössä yhdistyvät yhteyden c = λf kautta, c m/s m/s radioaallot λ 10 cm useita km mikro- ja millimetriaallot 1 mm 10 cm (terahertsiaallot 0.1 mm 1 mm) infrapuna (IR) 780 nm 1 mm kaukoinfrapuna 50 µm 1000 µm keski-infrapuna 3 µm 50 µm lähi-infrapuna 0.78 µm 3 µm näkyvä valo 390 nm 780 nm ultravioletti (UV) 10 nm 390 nm (3.2 ev 100 ev) röntgensäteet 100 ev 0.1 MeV gammasäteet 0.1 MeV 10 TeV 6 (33)

7 Sähkömagneettinen spektri Hieman epämääräinen havainnollistus

8 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Alkuasetelma Etsitään sähkömagneettisten aaltojen ja sähkömagnetismin lakien välinen yhteys Oletetaan, että x-akselia vastaan kohtisuora taso jakaa tyhjän avaruuden kahteen osaan siten, että kaikkialla tason takana (kuvassa vasemmalla) on tasainen y-suuntainen E-kenttä ja tasainen z-suuntainen B-kenttä kaikkialla tason edessä (oikealla) ei ole E- eikä B-kenttiä z y B E c x Toteutuvatko Maxwellin yhtälöt? Oletetaan, että jakava taso eli aaltorintama etenee +x-akselin suuntaan (toistaiseksi määrittelemättömällä) nopeudella c Kyseessä on tasoaalto (= kentät aaltorintaman takana ovat vakioita rintaman kanssa yhdensuuntaisilla tasoilla) 8 (33)

9 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Gaussin lakien toteutuminen Valitaan kuvan mukainen Gaussin pinta (päätyjen pinta-ala on A ja rintama osuu laatikkoon vektorien kohdalle) Tyhjä tila ei varauksia Kuvitellaan hetken, että E x, B x 0: Φ E = E d A = E x A = Q encl = 0 ε 0 z E x = 0; Φ B = B d A = B x A = 0 B x = 0 B y E A x Gaussin lait toteutuvat, jos E ja B ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden eli poikittaisia; valitaan E = ĵe y = ĵe 9 (33)

10 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Faradayn lain toteutuminen Kiinteä integrointipolku ja -suunta: ef gh Vain sivu gh vaikuttaa integraaliin (miksi?): y E E d l = Ea = dφ B dt ( B z 0) g B a f Ajassa dt aaltorintama liikkuu matkan c dt ja pyyhkäisee pinta-alan ac dt (ef gh:ssa) z h c dt e x Magneettivuon muutos ef gh-pinnan läpi ( B = kb z = kb) dφ B = B d A = Bac dt dφ B dt = Bac Ea = Bac E = cb Faradayn laki toteutuu, jos E = cb (tyhjiössä) (hetkinen: voisiko B:llä olla y-komponentti? [ei voi, koska E x = E z = 0]) 10 (33)

11 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Ampèren lain toteutuminen Kiinteä integrointipolku ja -suunta: ef gh y c dt Vain sivu gh vaikuttaa integraaliin (?): E B dl dφ E = Ba = µ 0 ε 0 ( E y 0) dt B g Ajassa dt aaltorintama liikkuu matkan c dt ja z pyyhkäisee pinta-alan ac dt (ef gh:ssa) h e Sähkövuon muutos ef gh-pinnan läpi x f a dφ E = E d A = Eac dt dφ E dt = Eac Ba = µ 0ε 0 Eac B = µ 0 ε 0 ce Ampèren laki toteutuu, jos B = µ 0 ε 0 ce (tyhjiössä) 11 (33)

12 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sähkömagneettisten aaltojen pääominaisuudet Faradayn ja Ampèren laki toteutuvat yhtäaikaa, kun 1 µ0 ε 0 = c c m s m s (tyhjiössä) Sähkömagneettisten (taso)aaltojen ominaisuudet: 1. Aalto on poikittainen: E B aallon etenemissuunta (= E B:n suunta) 2. E:n ja B:n amplitudit ovat suhteessa toisiinsa: E = cb 3. Aalto etenee tyhjiössä valonnopeudella c, joka on vakio 4. Sähkömagneettinen aalto ei tarvitse väliainetta edetäkseen Juuri käsiteltyjen askel- tai palikka-aaltojen superpositio toteuttaa Maxwellin yhtälöt, kun kaikki osa-aallot etenevät samalla nopeudella c myös sinimuotoinen tasoaalto toteuttaa yhtälöt 12 (33)

13 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sähkömagneettinen aaltoyhtälö Toistetaan Faradayn laki ja Ampèren laki -tarkastelut tasoilla x = x ja x = x + x poikittaisille kentille E y ja B z, jotka ovat x:n ja t:n funktioita Faradayn laki antaa E dl = E y (x, t)a + E y (x + x, t)a = dφ B dt = B z(x, t) a x t Ampèren laki antaa... E y(x, t) x = B z(x, t), kun x 0 t B dl dφ E = B z (x + x, t)a + B z (x, t)a = µ 0 ε 0 dt = µ E y (x, t) 0ε 0 a x t... B z(x, t) x E y (x, t) = µ 0 ε 0, kun x 0 t 13 (33)

14 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sähkömagneettinen aaltoyhtälö Jatkoa Otetaan Faradayn lain antamasta tuloksesta osittaisderivaatta x:n suhteen ja Ampèren lain antamasta tuloksesta osittaisderivaatta t:n suhteen ja eliminoidaan B z : 2 E y (x, t) x 2 = 2 B z (x, t) x t & 2 B z (x, t) x t = µ 0 ε 0 2 E y (x, t) t 2 2 E y (x, t) 2 E y (x, t) x 2 = µ 0 ε 0 t 2 Saatiin sähkömagneettinen aaltoyhtälö tyhjiössä; mekaniikan vastine nopeudella v (x-akselia pitkin) etenevälle poikkeamalle y(x, t) olisi 2 y(x, t) x 2 = 1 v 2 2 y(x, t) t 2, joten jälleen huomataan 1/v 2 = µ 0 ε 0 v = c = 1/ µ 0 ε 0 B z :lle voidaan kirjoittaa samanlainen yhtälö 14 (33)

15 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Värähtelevän sähködipolin kenttä z/λ Ē( r); t = 4 jaksonaikaa x/λ z/λ Ē( r); t = 4 jaksonaikaa x/λ Sinimuotoisesti värähtelevän sähködipolin synnyttämä kenttä värähtelee sinimuotoisesti ja muistuttaa tasoaaltoa paikallisesti (pienillä alueilla) kaukana säteilijästä: tasoaalto on hyvä radioaallon malli oikein käytettynä (33)

16 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Sinimuotoisen aallon kentät Aaltoyhtälön ratkaisuksi kävisi muotoa E y (x, t) = E + f (x ct) + E g(x + ct) (E +, E vakioita) oleva hyvinkäyttäytyvien funktioiden f, g lineaarikombinaatio (mitä eroa on funktioiden f ja g kuvaamilla aalloilla?) Kenttäratkaisupariksi käyvät sinimuotoiset (eli harmoniset) funktiot: E(x, t) = ĵe max cos(kx ωt), B(x, t) = kb max cos(kx ωt), missä E max = cb max Värähtelyn kulmataajuus ω = 2πf ([ω] = rad/s) Kun tutkitaan yhtälöä kx ωt = 0 (eli yhden aallonharjan etenemistä), huomataan, että aalto etenee +x-suuntaan nopeudella v = dx/dt = ω/k = c 16 (33)

17 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Sinimuotoisen aallon kentät Jatkoa Kenttäratkaisuparissa E(x, t) = ĵe max cos(kx ωt), B(x, t) = kb max cos(kx ωt), missä E max = cb max kentät ovat kohtisuorassa toisiaan ja etenemissuuntaa vastaan (ovat poikittaisia) E(x, t) ja B(x, t) ovat sähkö- ja magneettikentän hetkellisarvot E max ja B max ovat kenttien maksimiarvot eli amplitudit kahden aallonharjan välimatka (valitulla hetkellä) eli aallonpituus λ = 2π/k = c/f c = λf missä aaltoluku k = ω µ 0 ε 0 = ω/c ([k] = rad/m; huomaa ero k vs. k) 17 (33)

18 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Valitut E ja B riippuvat siis sinimuotoisesti ajasta ja paikasta Aalto on tasoaalto: valitulla hetkellä, valitulla etenemissuuntaa vastaan kohtisuoralla tasolla E ja B ovat vakiovektoreita (Kuvassa ovat edelliskalvon sinimuotoisen aallon kenttien hetkellisarvot x-akselilla, kun t = 0: E sininen, B punainen, etenemissuunta +x eli oikealle.) y z E x B Sähkömagneettisen aallon polarisaatio tutkitaan E-vektorista Esimerkkiaalto on lineaarisesti polarisoitunut y-suuntaan (sähkökenttävektorin kärki piirtää viivaa joka pisteessä, kun aika kuluu) Vastaavasti x-suuntaan etenevä aalto olisi E(x, t) = ĵe max cos(kx + ωt) B(x, t) = kb max cos(kx + ωt)

19 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisen aallon nopeus väliaineessa Aiempi tyhjiölle tehty analyysi pätee johtamattomassa eristeessäkin, kunhan Maxwellin yhtälöissä vaihdetaan ε 0 ε ja µ 0 µ ε = Kε 0 ja µ = K m µ 0, ja aallon nopeus eristeessä muuttuu c v: v = 1 εµ = 1 1 = KKm ε0 µ 0 c KKm Tyypillisesti (etenkin optisella alueella) K m 1 v = c/ K Koska K > 1, väliaineessa v < c Nopeuksien suhde on taitekerroin n = c v = KK m K m 1 K Edelleen k = ω µε = (ω/c) KK m = ω/v = 2π/λ v = λf Lisäksi E = vb = cb/n 19 (33)

20 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Yleisempi sinimuotoinen tasoaalto (Lisäys oppikirjan tekstiin) Harmonisen tasoaallon sähkökenttä pisteessä r = îx + ĵy + kz voidaan kirjoittaa E( r, t) = E 0 cos( k r ωt), missä k E 0 = 0 k on aaltovektori; tasot k r = vakio ovat aallon vakiovaihepintoja Voidaan kirjoittaa k = ûk, missä yksikkövektori û = k/k osoittaa aallon etenemissuuntaan ja k on aaltoluku Huomaa: k tarkoittaa edelleen yhtä karteesisen koordinaatiston yksikkövektoreista, ja vain silloin, kun aalto etenee +z-suuntaan, û = k Ampèren ja Faradayn laeista seuraa dispersioehto k k = k 2 = ω 2 µε Aallonpituus on λ, taajuus f = 1/T (T on jaksonaika) ja kulmataajuus ω = 2πf = 2π/T Häviöttömässä aineessa etenevän homogeenisen tasoaallon k = 2π/λ Yhtälö v = λf = ω/k pätee etenemissuunnasta riippumatta Esimerkiksi 100 MHz:n radiolähetyksen aallonpituus vapaassa tilassa λ = c/f 3 m (hyvä kiintopiste lukuarvoille) 20 (33)

21 Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Sähkömagneettisten aaltojen energiatiheys Sähkömagneettisiin aaltoihin liittyy energiaa: ajattele kesäisen auringonpaisteen lämmittävyyttä Aikaisemmin johdettiin E- ja B-kenttien energiatiheydet tyhjiössä: u = 1 2 ε 0E 2 = u E (sähkökentän energiatiheys tyhjiössä) u = 1 2µ 0 B 2 = u B (magneettikentän energiatiheys tyhjiössä) Yhdistämällä nämä saadaan aallon energiatiheys tyhjiössä: u = u E + u B = 1 2 ε 0E µ 0 B 2 Toisaalta B = E/c = ε 0 µ 0 E, joten aallon E- ja B-kentän energiatiheys on sama: u = 1 2 ε 0E µ 0 ( ε 0 µ 0 E) 2 = ε 0 E 2 21 (33)

22 Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Sähkömagneettisen aallon energiankuljetus Tasoaalto edetköön +x-suuntaan Ajassa dt aaltorintama etenee matkan c dt y E Energiaa siirtyy kiinteän pinta-alan A läpi määrä du = u dv = (ε 0 E 2 )(Ac dt) z Energiavirtaus S aika- ja pinta-alayksikköä kohden (tehotiheys) B A c dt S x S = 1 du A dt = ε 0cE 2 ε0 = E 2 = EB, [S] = J µ 0 µ 0 s m 2 = W m 2 (tyhjiössä) Huomaa: S on paikallinen ja hetkellinen suure 22 (33)

23 Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Poyntingin vektori Määritellään energiavirtauksen suuruuden ja kulkusuunnan ilmaiseva Poyntingin vektori: S = 1 µ 0 E B (Poyntingin vektori tyhjiössä) Kokonaisteho suljetun pinnan läpi P = S d A Jos kentät E ja B ovat sinimuotoisia aiemmin esitetyn mukaisesti, S(x, t) = î E maxb max 2µ 0 [1 + cos 2(kx ωt)] 23 (33)

24 Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Intensiteetti Usein sähkömageettisten aaltojen taajuus on niin suuri (esim. näkyvällä valolla Hz), ettei ole mieltä mitata aikariippuvaa Poyntingin vektoria vaan vektorin aikakeskiarvoa (nettoarvoa) Sinimuotoisen aallon Poyntingin vektorin aikakeskiarvon suuruus on S av = S(x, E max B max t) = [1 + cos 2(kx ωt)] = E maxb max, 2µ 0 2µ 0 koska kosinitermin aikakeskiarvo yhden jakson aikana on nolla Oppikirjassa (ja kurssilla) em. aikakeskiarvosta käytetään nimitystä intensiteetti (I), joka on kovin monella merkityksellä rasitettu sana varmistu aina, mitä intensiteetillä eri yhteyksissä tarkoitetaan. Sinimuotoisen aallon intensiteetti tyhjiössä (entä väliaineessa?) on I def = S av = E maxb max 2µ 0 = E2 max 2 µ 0 /ε 0 ( µ 0 /ε Ω) 24 (33)

25 Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Sähkömagneettisten aaltojen liikemäärä Sähkömagneettiset aallot kuljettavat energian lisäksi myös liikemäärää p (erityinen suhteellisuusteoria: energia 2 = (pc) 2 + (mc 2 ) 2 ; jos m = 0, kuten fotoneilla, energia = pc p = energia/c) dp Liikemäärätiheys dv = d(energia) = u dv c dv c dv = u c = EB µ 0 c 2 = S c 2 Liikemäärävirtaama pinta-alayksikköä kohden dp/dt A = S c = EB µ 0 c Liikemäärävirtaus aiheuttaa pinnoille säteilypaineen p rad [merkintä!] Jos aalto absorboituu täydellisesti pintaan, dp/dt p rad = = S av A c = I c Jos aalto heijastuu pinnasta, liikemäärän muutos on kaksinkertainen: p rad = 2S av = 2I c c (Pintojen valaisusta puhuttaessa intensiteettiä parempi termi olisi säteilytysvoimakkuus eli irradianssi.) 25 (33)

26 Seisovat sähkömagneettiset aallot Aallon heijastuminen johteen pinnalta Oletetaan, että tasoaalto osuu ideaalijohteen pintaan (esim. aiempi x-suuntaan entenevä esimerkkiaalto osuu johteeseen yz-tasolla) Tulevalla aallolla on nollasta poikkeava sähkökenttä, mutta johteen pinnalla kokonaissähkökentän pitää hävitä (miksi?) miten vaatimus toteutuu? Tulevan aallon sähkökenttä indusoi johteen pinnalle sellaisen värähtelevän virran, jonka sähkökenttä kumoaa tulevan aallon sähkökentän johteen pinnalla Värähtelevä virta lisäksi tuottaa heijastuneen aallon, joka etenee pinnasta poispäin (+x-suuntaan) Tulevan ja heijastuneen aallon superpositio on seisova aalto Kahden heijastavan pinnan muodostama rakenne on tärkeä esimerkiksi optiikan sovelluksissa ja lasereissa (optinen resonaattori, kuten Fabry Pérot-ontelo) 26 (33)

27 Seisovat sähkömagneettiset aallot Tuleva aalto + heijastunut aalto = seisova aalto y E t = ĵe max cos(kx + ωt) y E t + E h x y E h = ĵe max cos(kx ωt) ωt = 0 x x 27 (33)

28 Seisovat sähkömagneettiset aallot Tuleva aalto + heijastunut aalto = seisova aalto y E t = ĵe max cos(kx + ωt) y E t + E h x y E h = ĵe max cos(kx ωt) ωt = π 4 x x 27 (33)

29 Seisovat sähkömagneettiset aallot Tuleva aalto + heijastunut aalto = seisova aalto y E t = ĵe max cos(kx + ωt) y E t + E h x y E h = ĵe max cos(kx ωt) ωt = π 2 x x 27 (33)

30 Seisovat sähkömagneettiset aallot Kenttien superpositio Ideaalijohde olkoon tasolla x = 0, tuleva aalto edetköön x-suuntaan Superpositioaallot ovat (ensimmäinen termi on tuleva aalto, toinen heijastunut huomaa polarisaatiosuunnat) E y (x, t) = E max [cos(kx + ωt) cos(kx ωt)] B z (x, t) = B max [ cos(kx + ωt) cos(kx ωt)] Sovelletaan identiteettiä cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b, jolloin saadaan lopulta E y (x, t) = 2E max sin kx sin ωt B z (x, t) = 2B max cos kx cos ωt, Saadut lausekkeet ovat muotoa y(x, t) = (A SW sin kx) cos ωt, joka on tuttu Mekaniikasta 28 (33)

31 Seisovat sähkömagneettiset aallot Kenttien superpositio Jatkoa Kentällä on nollakohdat solmutasoilla: E y (x, t) = 0, kun x = nλ, n = 0, 1, 2,... 2 B z (x, t) = 0, kun (2n + 1)λ x =, n = 0, 1, 2,... 4 Solmutasojen puolivälissä kuputasoilla kentällä on maksimiarvo Tasolla x = 0 sähkökenttä häviää (kuten pitääkin) mutta magneettikentällä on maksimi Joka paikassa sähkö- ja magneettikenttä värähtelevät 90 :een vaihe-erossa ajan suhteen (toisin kuin etenevällä aallolla, jonka kentät ovat samanvaiheiset) Toteutuvatko Maxwellin yhtälöt? 29 (33)

32 Seisovat sähkömagneettiset aallot Seisovan aallon intensiteetti Etsitään ensin Poyntingin vektorin hetkellisarvo: S(x, t) = 1 µ 0 E(x, t) B(x, t) = 1 [ 2ĵEmax sin kx sin ωt ] [ ] 2 kb max cos kx cos ωt µ 0 = î E maxb max µ 0 sin 2kx sin 2ωt = îs x (x, t) Aallon intensiteetti I on Poyntingin vektorin aikakeskiarvon suuruus S av S av häviää, koska sin 2ωt:n aikakeskiarvo (yhden jakson yli) on nolla seisova aalto ei kuljeta nettoenergiaa, koska seisovassa aallossa on kaksi vastakkaisiin suuntiin yhtä paljon energiaa kuljettavaa osa-aaltoa 30 (33)

33 Seisovat sähkömagneettiset aallot Seisovat aallot ontelossa Kahden heijastavan, yhdensuuntaisen pinnan (etäisyys L) välissä on seisova aalto, jos sähkökenttä häviää molemmilla pinnoilla eli jos aallonpitudet ovat λ n = 2L n, n = 1, 2, 3,... Vastaavat aallon taajuudet ovat f n = c = n c, n = 1, 2, 3,... λ n 2L Ehtojen mukaiset seisovat aallot ovat rakenteen normaali- eli ominaismuotoja Mikroaaltouuni: tyypillinen magnetronin käyttötaajuus on 2.45 GHz Vesimolekyylit vastaanottavat energiaa tällä taajuudella ns. rotaatioabsorption takia Absorptio kuitenkin heikkoa, mikä on hyvä asia miksi? (Kotitalous)mikroaaltouunit ovat kokoluokkaa 30 cm 30 cm 30 cm ja seinämät ovat metallia miksi uunissa on pyörivä lautanen? 31 (33)

34 Aallot hyvässä johteessa (lisämateriaalia) Sinimuotoiset aallot hyvässä johteessa Luentodemonstraatio Sähkömagneettiset aallot etenevät johteen sisällä eri tavalla kuin eristeessä tai tyhjiössä. Jos johteen resistiivisyys on sopivan pieni (eli johde on riittävän hyvä), värähtelevä sähkökenttä synnyttää johteeseen värähtelevän johtavuusvirran, joka on paljon suurempi kuin siirrosvirta. Tässä tapauksessa johteessa +x-suuntaan etenevä sähkökenttä E(x, t) = ĵe y (x, t) toteuttaa [diffuusio]yhtälön missä µ on johteen permeabiliteetti ja ρ resistiivisyys. 2 E y (x, t) = µ E y (x, t), x 2 ρ t 1. Näytä, että yhtälö toteutuu yritteellä E y (x, t) = E 0 e k Cx cos(k C x ωt), kun k C valitaan sopivasti. 2. Ratkaisun mukaan aalto vaimenee edetessään johteessa. Miksi näin käy? 3. Etsi matka, jossa sähkökentän amplitudi pienentyy 1/e-osaan alkuperäisestään. Tämä matka on tunkeutumissyvyys δ. Laske δ taajuudella f = 2.45 GHz kuparille. Kuparin µ = µ 0 ja ρ = Ω m. 32 (33)

35 Yhteenveto luvusta 32 Keskeisiä käsitteitä Tasoaalto (askel- ja sinimuotoinen) Aaltorintama Aaltoyhtälö Tärkeitä kaavoja Askeltasoaalto tyhjiössä E = cb, c = 1 ε0 µ 0, E B c Aallonpituus λ, aaltoluku k, taajuus f Taitekerroin n Poyntingin vektori S ja intensiteetti I = S av Säteilypaine p rad Seisova aalto Sinimuotoinen tasoaalto: s. 17 Väliaineessa v = c/n = λ/f Poyntingin vektori ja intensiteetti S = 1 µ E B, Säteilypaine dp/dt p rad = A I = S av = E maxb max 2µ = I c tai 2I c