Trigonometriset funktiot
|
|
|
- Jalmari Ahonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia 1 / 42
2 Peruskäsitteet Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Kertaa kulman käsite ja radiaanit. Kertaa trigonometristen funktioiden sin x, cos x ja tan x määritelmät. Yksikköympyrä on symmetrinen peilattaessa sitä kumman tahansa akselin suhteen sekä peilattaessa sitä origon suhteen. Seuraavaksi katsotaan, mitä nämä symmetriat kertovat sinin ja kosinin arvoista. 2 / 42
3 Y-peilaus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia ( x, y) α π α α (x, y) sin α = sin(π α) (= y) cos α = cos(π α) (= x) 3 / 42
4 X-peilaus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia α α (x, y) (x, y) sin α = sin( α) (= y) cos α = cos( α) (= x) 4 / 42
5 Pistepeilaus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia ( x, y) π + α α (x, y) sin α = sin(π + α) (= y) cos α = cos(π + α) (= x) 5 / 42
6 Muistikulmat Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia π/2 = 90 π = 180 3π/2 = 270 2π = 360 π/6 = 30 π/4 = 45 π/3 = 60 2π/3 = / 42
7 Muistikolmio 1 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia 1 π/4 1 2 π/4 sin π 4 = 1 2, cos π 4 = / 42
8 Muistikolmio 2 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia π/ π/6 sin π 6 = 1 2 = cos π 3 sin π 3 = 3 2 = cos π 6 8 / 42
9 Jaksollisuus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia α α + 2π (x, y) sin α = sin(α + 2π) (= y) cos α = cos(α + 2π) (= x) 9 / 42
10 Esimerkki 5.A Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Tehtävä: Laske sin 315 ja cos 5π/6. Ratkaisu: 315 = = 2π π 4, joten sin 315 = sin( π/4) = sin(π/4) = 1/ 2, missä ensimmäinen yhtäsuuruus seurasi jaksollisuudesta, toinen x-symmetriasta ja kolmas muistikolmiosta. Samoin 5π 6 = π π 6, joten cos(5π/6) = cos(π π/6) = cos(π/6) = 3/2. Tässä toinen yhtäsuuruus seurasi y-symmetriasta ja viimeinen muistikolmiosta. 10 / 42
11 Esimerkki 5.B1 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Tiedetään, että Maan etäisyys Auringosta on 150 milj.km. Maasta katsottuna Merkuriuksen ja Auringon välinen kulma on enimmillään α = 22,7 astetta. Arvioi Merkuriuksen ja Auringon välistä etäisyyttä. Ratkaisu: Kulma on suurimmillaan, kun Maa-Aurinko-Merkurius kolmion Merkuriuksessa oleva kulma on suora. Jos kysytty etäisyys on x, niin oheisen kuvan perusteella sin α = x 150 = x = 150 sin 22,7 58, joten vastaukseksi tulee 58 miljoonaa kilometriä. 11 / 42
12 Esimerkki 5.B2 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia α x 12 / 42
13 Esimerkki 5C.1 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Lennät pienkoneella (O) kilometrin vakiokorkeudella. Suoraan edessä näkyy ympyrän muotoinen järvi, jonka kauempi ranta (K) on 5 astetta horisontin alapuolella, ja lähempänä oleva ranta (L) 6 astetta horisontin alapuolella. Arvioi järven halkaisijaa. Ratkaisu: O 5 6 B A L K 13 / 42
14 Esimerkki 5C.2 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Tässä ja OA = AK = OA 11,43 km, tan 5 OB = BL = OB 9,51 km, tan 6 Järven halkaisija on näin ollen noin KL = AB = OA OB 1, 92 km. 14 / 42
15 (1/2) Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Johdetaan kaava cos(α + β):lle. Valitaan kuvassa OR = 1. Tällöin OQ = OR cos β ja OP = OQ cos α = cos α cos β. O β α S T R Q P 15 / 42
16 (2/2) Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Samoin RQ = sin β OR = sin β. Suorat OP ja SQ ovat molemmat vaakasuoria, joten samankohtaisina kulmina OQS = QOP = α. Suorakulmaisesta kolmiosta RSQ saadaan sitten QRS = π/2 (π/2 α) = α. Näin ollen SQ = sin α RQ = sin α sin β. Lopuksi päättelemme (suorakaide), että TP = SQ = sin α sin β, ja näin ollen cos(α + β) = OT = OP PT = cos α cos β sin α sin β. 16 / 42
17 Muunnelmia Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Monisteessa on johdettu summan kosinin kaavan seurauksena lukuisa joukko muita trigonometristen funktioiden identiteettejä. Mainitaan nämä luennolla: Summan sini ja tangentti Kaksinkertaisen ja puolen kulman sini, kosini ja tangentti Tulot summiksi -kaavat Summat tuloiksi -kaavat Näitä tarvitaan mm. aalto-opissa (sen voi tosin tehdä usein helpommin kompleksilukujen avulla) sekä trigonometrisia funktioita integroitaessa (sama huomautus koskee sitäkin). 17 / 42
18 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja 18 / 42
19 Kosiniaalloista Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Sini- ja kosiniaallot ovat periaatteessa kaikki "samanmuotoisia". Ne kuitenkin eroavat toisistaan seuraavien parametrien suhteen: amplitudi (=aallon korkeus) vaihe (=aallon harjojen sijainti) jakso/aallonpituus (= aallonharjojen välimatka, taajuus on tälle käänteinen suure). Tarkastellaan näihin liittyviä laskuja trigonometristen identiteettiemme sovelluksena. 19 / 42
20 Amplitudi Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Aallon korkeutta voidaan helposti säätää kertomalla se vakiolla. Oheisessa kuvassa on tavallisen kosiniaallon y = cos x lisäksi skaalattu versio y = 1,5 cos x. 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 20 / 42
21 Vaihe Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Aallon harjoja voidaan siirtää vaakasuunnassa tekemällä ns. vaihesiirto. Oheisessa kuvassa on tavallisen kosiniaallon y = cos x lisäksi vaihesiirretty versio y = cos(x φ). 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 φ 21 / 42
22 Jakso/Taajuus Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Aallon jakso kertoo huippujen etäisyyden. Normaalisti se on 2π, mutta funktiolla cos kx on jaksona 2π/k. Oheisessa kuvassa on tavallisen kosiniaallon y = cos x lisäksi versio y = cos 3x, jolla aallonharjoja on kolminkertainen määrä samalla matkalla. 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 22 / 42
23 Aaltojen summa Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Luonnossa esiintyy aaltojen summia. Katsomme lähemmin samajaksoisten aaltojen yhteenlaskua. Ohessa aaltojen y = sin x ja y = 0,7 cos x summa-aalto y = 0,7 cos x + sin x. 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 23 / 42
24 Metodi Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Tehtävä: Laske yhteen muotoa f i (x) = A i cos(x φ i ) olevia aaltoja. A i, φ i vakioita, i = 1, 2,..., n. f i (x) voidaan kirjoittaa muodossa C i cos x + S i sin x A i cos(x φ i ) = A i cos φ i cos x + A i sin φ i sin x, missä siis C i = A i cos φ i ja S i = A i sin φ i. Ne yhteen laskemalla summa-aalto saa muodon C cos x + S sin x. Määrätään vakiot A ja φ siten, että C = A cos φ ja S = A sin φ: A = C 2 + S 2 ja φ ratkaistaan käänteisfunktioiden avulla (neljännes erikseen). Vastaus: C cos x+s sin x = A cos φ cos x+a sin φ sin x = A cos(x φ). 24 / 42
25 Esimerkki 5.D Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Tehtävä: Kirjoita 0,7 cos x + sin x muodossa, josta aallon amplitudi ja vaihe on luettavissa. Ratkaisu: Nyt C = 0,7 ja S = 1. Tilanne on oheisen kuvan kaltainen, ja saamme A = C 2 + S 2 1,22, φ 0,96 = 55. A S = A sin φ φ C = A cos φ Vastaus: y = 1,22 cos(x 0,96). Sopii yhteen kuvan kanssa! 25 / 42
26 Esimerkki 5.E1 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Kolmivaihevirrassa samasta jännitteestä on kolme erivaiheista versiota U 1 (t) = U cos ωt, U 2 (t) = U cos(ωt + 2π 3 ), U 3 (t) = U cos(ωt 2π 3 ) (tässä U on jokin vakio). Näillä kaikilla on jakso T = 1/f = 2π/ω. Laske erotuksen U 1 (t) U 2 (t) amplitudi ja vaihe. Suomessa ω = 2πf, f = 50 Hz, U = 220 V. U T 2T U 26 / 42
27 Esimerkki 5.E2 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Kosinin summakaavan nojalla U 2 (t) = U (cos 2π 3 cos ωt sin 2π ) 3 sin ωt. Tässä cos(2π/3) = 1/2 ja sin(2π/3) = 3/2, joten U 1 (t) U 2 (t) = U [ 3 2 cos ωt + Nyt siis C = 3/2 ja S = 3/2, joten A = C 2 + S 2 = 3 2 sin ωt = 3. ]. 27 / 42
28 Esimerkki 5.E3 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja A φ (C, S) Kuvan avulla φ = π/6, ja siitä saadaan vastaukseksi: U 1 (t) U 2 (t) = 3U cos(ωt π 6 ) = 3U cos(ω[t T 12 ]). 28 / 42
29 Esimerkki 5.E4 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Funktion y = U [cos ωt cos(ωt + 2π 3 ) ] kuvaajasta näkyvät amplitudi A = 3U ja vaihe-ero t = T/12 ainakin summittaisesti. A U t U T 2T 29 / 42
30 Esimerkki 5.E5 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Voidaan myös edetän summat tuloksi kaavan cos x cos y = 2 sin x + y 2 avulla (x = ωt, y = ωt + 2π/3) sin x y 2 cos ωt cos(ωt + 2π/3) = 2 sin(ωt + π/3) sin( π/3) = 3 sin(ωt + π/3) = 3 cos(ωt π/6), missä käytettiin kaavaa cos x = sin(x + π/2). Tästä saadaan sama vastaus kuin kalvolla 5.E3. 30 / 42
31 Kommentteja Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Kuvattu menetelmä toimii vain samajaksoisia (-taajuisia) aaltoja yhteenlaskettaessa. Menetelmä on helpommin (?) kuvattavissa kompleksilukujen avulla. Siitä myöhemmillä kursseilla. Erijaksoisia aaltoja yhdistelemällä saadaan mutkikkaampaa aaltoliikettä. Fourier-analyysi on tällöin tarvittava matemaattien työkalu. Alla kuvattu funktion f(x) = cos 8x + cos 9x kuvaaja. Näet, että aallonharjat välillä vahvistavat toisiaan, välillä vaimentavat / 42
32 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 32 / 42
33 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 Säännöllinen n-kulmio on monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä (=a), js jonka kaikki kärjet ovat kaikki samalla ympyrällä (säde = r). Kyseisen ympyrän keskipisteestä katsoen kärkien väliset kulmat ovat tällöin kaikki yhtäsuuria, α = 2π/n. Johdetaan kaava tällaisen monikulmion alalle. α α α α 33 / 42
34 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 Säännöllinen n-kulmio jakautuu n:ään yhtenevään kolmioon. Kuvan perusteella h = r cos(π/n) ja a = 2r sin(π/n). Yhden kolmion alaksi tulee näin A = 1 2 ah = r2 sin(π/n) cos(π/n) ja koko n-kulmion alaksi A = na = nr 2 sin(π/n) cos(π/n) = 1 2 nr2 sin(2π/n). r π/n h a 34 / 42
35 Esimerkki 5.F3 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 Ala voidaan lausua myös sivun pituuden a avulla. Kuvan perusteella h = a cot(π/n)/2. Yhden kolmion alaksi tulee näin A = 1 2 ah = a2 cot(π/n)/4 ja koko n-kulmion alaksi A = na = na2 cos π/n 4 sin π/n. π/n h a 35 / 42
36 Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre 36 / 42
37 Arkusfunktioista Näitä käytetään laskemaan kulma, jonka sini/kosini/tangentti tiedetään. Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre c b φ a φ = arcsin b c = arccos a c = arctan b a. 37 / 42
38 Arkussini- ja kosini Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre 2Π Π Π 2 2Π Π Π Π 2 Π 2 Π Π 2Π 2Π 38 / 42
39 Arkustangentti Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre y = arctan x x = tan y y x 39 / 42
40 Napakoordinaatit Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre Jos pisteestä P = (x, y) tiedetään sen etäisyys origosta r ja suuntakulma φ, niin kuvan perusteella nähdään, että x = r cos φ ja y = r sin φ. y P = (x, y) r φ x 40 / 42
41 Esimerkki 5.G Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre Tehtävä: Määrää pisteen P = ( 3, 1) napakoordinaatit. Ratkaisu: Kuvan suorakulmaisesta kolmiosta näemme, että α = arctan(1/3) 0, ,4. Täten φ = π α = 161,6. Pythagoraan lauseen nojalla r = = 10. P α φ 41 / 42
42 Moivre Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre Tehtävä: Esitä cos 4x luvun cos x polynomina. Ratkaisu: cos 4x + i sin 4x = (cos x + i sin x) 4 ( ) 4 4 = cos 4 j xi j sin j x j j=0 = cos 4 x + 4i cos 3 x sin x + 6i 2 cos 2 x sin 2 x + 4i 3 cos x sin 3 x + i 4 sin 4 x. Tässä termi on reaalinen, jos i:n potenssi on parillinen, joten cos 4x = cos 4 x 6 cos 2 x sin 2 x + sin 4 x = cos 4 x 6 cos 2 x(1 cos 2 x) + (1 cos 2 x) 2 = 8 cos 4 x 8 cos 2 x / 42
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Äärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Trigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Trigonometriset funk4ot
Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio sin() = a c cos() = b c hypotenuusa c tan() = sin() cos() = a b kulma b katee= a katee= a = c sin() b = c cos() cot() = cos() sin() = b a Trigonometriset funk4ot
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Trigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio
Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
Sini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2
Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα
Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.
Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Suorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48
Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180
Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Rautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011
Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja
Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa
Jaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
1.5. Trigonometriset perusyhtälöt
Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Sinin muotoinen signaali
Sinin muotoinen signaali Pekka Rantala.. Sini syntyy tasaisesta pyörimisestä Sini-signaali syntyy vakio-nopeudella pyörivän osoittimen y-suuntaisesta projektiosta. y u û α positiivinen pyörimissuunta x
1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat
Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Kartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
SINI- JA KOSINILAUSE. Laskentamenetelmät Geodeettinen laskenta - 1-1988-1999 M-Mies Oy
SINI- JA KOSINILAUSE SINILAUSE: Kolmiossa kulman sinien suhde on sama kuin kulman vastaisten sivujen suhde. Toisin sanoen samassa kolmiossa SIN Kulma / Sivu = Vakio (Jos > 100 gon: Kulma = 200 kulma).