SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

Transkriptio

1 Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään, ettei piirilaskenta ole mielekästä jännitteen ja virran hetkellisarvoilla. Lisäksi määritellään tehollisarvo. 1

2 VAIHTOSÄHKÖ Yhteinen nimitys vaihtovirralle ja vaihtojännitteelle. VAIHTOVIRTA Sähkövirta, jonka suunta ja suuruus voivat vaihdella ajan funktiona. VAIHTOJÄNNITE Jännite, jonka napaisuus ja suuruus voivat vaihdella ajan funktiona. 2

3 VAIHTOSÄHKÖN TUOTTAMINEN 3

4 VAIHTOSÄHKÖGENERAATTORIN TOIMINTAPERIAATE B B B α I: α = 90 o II: α = 45 o III: α = 0 o 4

5 5

6 SINIMUOTOISET SUUREET Edellisen kuvan mukaiselle vaihtovirralle voidaan kirjoittaa: i( t) iˆsin ( ωt ϕ ) = +. Kerroin î on virran huippuarvo, eli max[i(t)] = î ja min[i(t)] = î. [A] ωt + ϕ kutsutaan sinin argumentiksi tai vaihekulmaksi. [rad, o ] Termiä ( ) Nollavaihekulma ϕ kertoo signaalin vaihesiirron. Positiivinen ϕ siirtää sinin nollakohtaa vasemmalle. Negatiivinen ϕ aiheuttaa vaihesiirron oikealle. [rad, o ] Kulmanopeus ω kertoo johdinsilmukan pyörimisnopeuden generaattorissa. [rad/s] f = ω 2π kertoo sinin jaksojen määrän yhdessä sekunnissa. [1/s = Hz] Taajuus ( ) Jaksonaika T = 1 f kertoo yhteen sinin jaksoon kuluvan ajan. [s] 2π π Asteet radiaaneiksi: 1 o = rad = rad o o Radiaanit asteiksi: 1 rad = 2π = π. Sinin jakso radiaaneissa on 2π, eli kun sinin argumentti muuttuu 2π :n verran, sini toistaa itseään. Yhteen jaksoon kuluva aika on T = 1 f = 2π ω. 6

7 TEHOLLISARVO Tehollisarvon käsite lienee helpoimmin ymmärrettävissä vaihtovirran tehollisarvon avulla: "Vaihtovirran tehollisarvo vastaa sellaista tasavirran arvoa, joka aiheuttaa vastuksessa saman tehon, kuin minkä kyseessä oleva vaihtovirta aiheuttaisi." Esimerkki: Laske tehollisarvo sinimuotoiselle vaihtovirralle, jonka huippuarvo on 2 A. Sinimuotoisen suureen tehollisarvo on aina huippuarvon ja 2 :n osamäärä. 7

8 8

9 VAIHTOSÄHKÖ & PASSIIVISET PIIRIKOMPONENTIT 9

10 Esimerkki: VAIHTOSÄHKÖ & PASSIIVISET PIIRIKOMPONENTIT Oheisessa kytkennässä u c (t) = 5sin(100πt) V. Laske i c (t), i L (t) ja u L (t). L = 100 mh ja C = 80 µf. i C u C i L ul i C, i L (A) t (s) 5 u C, u L (V) t (s) 10

11 NYTKÖ SITTEN ALETAAN ANALYSOIDA VAIHTOSÄHKÖPIIREJÄ...? Sinimuotoisten suureiden virta-jännite-riippuvuudet ovat nyt selvillä vastukselle, kondensaattorille ja käämille. Periaatteessa piirien analysointi voitaisiin siis aloittaa. Otetaan yksinkertainen esimerkki. Muodosta lauseke napojen a ja b väliselle jännitteelle u(t), kun i(t) = î sin(ωt + ϕ i ) A. ( ) = ˆsin( ω + ϕi ), u ( t L ) = ωliˆsin ( ωt + ϕ + π 2 i ) ( ) = ( ) + ( ) = ˆsin ( ω + ϕ ) + ω ˆsin( ω + ϕ + π 2) = ˆsin ( ω + ϕ + θ ) u t Ri t R u t u t u t Ri t Li t u t R L i i i Tarkoitus on siis saada lausuttua u(t) yksittäisenä sinilausekkeena, josta käy ilmi jännitteen huippuarvo û ja vaihe-ero θ virtaan i(t) verrattuna. cos( α ) sin ( α π 2) ûsin ωt + ϕ + θ = Riˆ sin ωt + ϕ + ωliˆ cos ωt + ϕ i i i sin α + β = sin α cos β + cos α sin β, nyt α = ωt + ϕ ja β = θ. i = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11

12 uˆ sin( ωt + ϕ + θ ) = uˆ sin ( ωt + ϕ ) cos( θ ) + uˆ cos( ωt + ϕ ) sin ( θ ) i i i Riˆ sin( ωt + ϕ ) + ωliˆ cos i ( ωt + ϕi ) = uˆ cos( θ ) sin( ωt + ϕi ) + uˆ sin( θ ) cos( ωt + ϕi ) 2 Riˆ = uˆ cos( θ ) ( ). Kun summataan yhtälöparin yhtälöt, saadaan: 2 ωliˆ = uˆ sin( θ ) ( ) ( ) 2 ( ) Riˆ + ωliˆ = uˆ cos ( θ ) + uˆ sin ( θ ) ( ) 2 ( ) Riˆ + ωliˆ = uˆ cos ( θ ) + sin ( θ ) ( ˆ) 2 ( ˆ) 2 2 Ri + ωli = uˆ û = ( Riˆ ) 2 + ( ωliˆ ) 2 Nyt on siis saatu selville jännitteen huippuarvo. Lasketaan vielä vaihekulma θ. ˆ Riˆ Riˆ Ri = uˆ cos( θ ) cos( θ ) = θ = arccos uˆ uˆ. Kysytty jännite voidaan nyt kirjoittaa yksittäisenä sinilausekkeena: 2 2 ˆ ( ) ˆ sin ( i ) ( ˆ) ( ˆ Ri u t = u ωt + ϕ + θ = Ri + ωli ) sin ωt + ϕ + arccos i Riˆ + ωliˆ ( ) ( )

13 IMPEDANSSI ja ADMITTANSSI Tasasähköpiireissä vastuksen jännitteen U ja virran I osamäärää kutsuttiin resistanssiksi R. Kyseessä on Ohmin laki: R = U I. Vaihtosähköpiirien vastuksille, kondensaattoreille ja käämeille olisi mukava löytää samantyyppinen jännitteen ja virran osamäärä. Vaihtosähköpiirien yhteydessä tätä jännitteen ja virran osamäärää kutsutaan impedanssiksi Z, jonka yksikkö on V/A eli Ω. R ( ) ˆ sin( ω R ) = = R Z = R R ( ) ( ˆR ) sin( ω ) ( ) ˆ sin( ω C ) 1 1 = = tan ( ωt) Z = C tan ( ω t ) ( ) ω ˆ cos C ( ω ) ω ωc ( ) ( ) ( ) = ω ˆ cos ω L 1 ωl ˆ sin( ω ) = tan( ω ) 1 Z = ωl L tan ( ωt) u t u t i t u R t R u t u t C i t Cu t C C u t Li t L i t i t t L L Tällä tavalla määriteltynä impedanssi ei ole erityisen käyttökelpoinen, sillä Z C ja Z L riippuvat ajasta. Impedanssin käänteislukua kutsutaan admittanssiksi Y: Y = 1 Z [1/Ω = S]. 13