Säännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki

Transkriptio

1 Säännöllisstä luskkst dtrministisksi tilkonksi: simrkki Hikki Turiinn Yksinkrtistn säännöllistn luskkidn muuttminn dtrministisiksi tilkoniksi onnistuu usin plkästään lusktt tutkimll. Jos luskkn rknn on monimutkinn, stt kuitnkin toisinn oll vik vrmistu siitä, hyväksyykö luskkst suorn muodostttu dtrministinn tilkon täsmällissti luskkn määrittlmän kiln. Tässä sittään, kuink mikä thns säännöllinn lusk voidn systmttissti muunt dtrministisksi tilkonksi noudttmll tittyjä muodostussääntöjä. Esimrkkinä käyttään kkoston Σ = {, } yli määritltyä säännöllistä lusktt ( ) () Säännöllinn lusk voidn muunt dtrministisksi tilkonksi muodostmll luskkst nsin pädtrministinn tilkon, jok muunntn sittn dtrministisksi. Epädtrministinn tilkon sdn lähtmällä liikkll luskkn pinimmistä liluskkist j yhdistlmällä niistä muodostttuj yksinkrtisi tilkonit suurmmiksi tilkoniksi muunnossääntöjn vull, kunns sdn nnttu säännöllistä lusktt vstv pädtrministinn tilkon. Esimrkkitpuksss voidn siis nsin muodost tilkont kkoston mrkill j : Tilkonidn liittäminn präkkäin (konktntio): Esimrkkilusk sisältää liluskkinn mm. luskkt j, joist kumpikin riksn koostuu kolmst präkkäin liittystä pinmmästä säännöllisstä luskkst. Ylissti kht säännöllistä lusktt L 1 j L 2 vstvt tilkont M 1 j M 2 voidn liittää präkkäin lusktt L 1 L 2 vstvksi tilkonksi survsti: 1

2 Tilkonidn M 1 j M 2 konktntio 1. Lisää tilkonn M 1 kikist lopputiloist tyhjä -siirtymä tilkonn M 2 lkutiln. 2. Ast uudn tilkonn lkutilksi M 1 :n lkutil. 3. Ast uudn tilkonn (inoiksi) lopputiloiksi kikki M 2 :n lopputilt. Voidn jtll, ttä M käyttäytyy nsin kutn tilkon M 1 j trkist, ttä sill nntun syötsnn w lkuos kuuluu kiln L 1. Jos näin on, tilkon lk sn jälkn toimi tilkonn M 2 tvoin j trkist, ttä syötsnn loppuos kuuluu kiln L 2. Jos myös tämä trkistus onnistuu, tilkon hyväksyy syöttn w. Formlisti muunnos voidn sittää survsti: jos M 1 = (K 1, Σ, 1, s 1, F 1 ) j M 2 = (K 2, Σ, 2, s 2, F 2 ) ovt kksi tilkontt, niidn konktntio on tilkon M = (K, Σ,, s, F ), missä K = K 1 K 2 (M sisältää kikki M 1 :n j M 2 :n tilt) s = s 1 (M:n lkutil on sm kuin M 1 :n lkutil) F = F 2 (M:n lopputiloj ovt kikki M 2 :n lopputilt) = 1 2 (F 1 {} {s 2 }) (M sisältää kikki M 1 :n j M 2 :n tilsiirtymät skä lisäksi -siirtymät M 1 :n lopputiloist M 2 :n lkutiln) Esimrkkinä nntun säännöllisn luskkn ( ) () liluskkit j vstvt tilkont sdn liittämällä luskkit j vstvi tilkonit präkkäin sopivss järjstyksssä. Kun nsin liittään kksi lusktt vstv tilkontt toisiins präkkäin, sdn lusktt vstv tilkon 1 Kun tähän tilkonsn liittään vilä lusktt vstv tilkon, sdn luskkll tilkon Vstvsti luskktt vstv tilkon on 1 Sovllttss muunnoksi systmttissti stt tilkonisiin syntyä trpttomi -siirtymiä. Tässä sityksssä niitä i ol riksn poistttu välimuodoist; its siss kikki -siirtymät poistuvt lopult tilkonn dtrminisoinnin yhtydssä. 2

3 Tilkonidn yhdist (unioni): Luskkit j vstvt tilkont voitiin muodost liittämällä tilkonit toisiins präkkäin. Esimrkkiluskkn os ( ) vrtn trvitn kuitnkin uusi muunnossääntö, jonk vull kht säännöllistä lusktt L 1 j L 2 vstvist tilkonist M 1 j M 2 voidn muodost säännöllistä lusktt (L 1 L 2 ) vstv tilkon M. Tilkonidn M 1 j M 2 yhdist 1. Ot käyttöön uusi til j lisää siitä -siirtymät M 1 :n j M 2 :n lkutiloihin. Ast tämä uusi til tilkonidn yhdistn lkutilksi. 2. Ast uudn tilkonn lopputiloiksi kikki M 1 :n j M 2 :n lopputilt. M voidn tässä tpuksss jtll tilkonksi, jok nsin vlits pädtrministissti, käyttäytyykö s M 1 :n vi M 2 :n tvoin, minkä jälkn s toimii vlinnn mukissti. Epädtrministisyydn nsiost tilkon hyväksyy syötsnn w, jos j vin, jos vähintään toinn lkupräisistä tilkonist M 1 ti M 2 hyväksyisi sn. Formlisti sitttynä khdn tilkonn M 1 = (K 1, Σ, 1, s 1, F 1 ) j M 2 = (K 2, Σ, 2, s 2, F 2 ) yhdist M = (K, Σ,, s, F ) on K = K 1 K 2 {s} (M sisältää kikki M 1 :n j M 2 :n tilt skä lisäksi yhdn ylimääräisn tiln s, jok on smll M:n lkutil) F = F 1 F 2 (M:n lopputiloj ovt kikki M 1 :n j M 2 :n lopputilt) = 1 2 {(s,, s 1 ), (s,, s 2 )} (M sisältää kikki M 1 :n j M 2 :n tilsiirtymät skä lisäksi -siirtymät uudst lkutilst s M 1 :n j M 2 :n lkutiloihin) Muunnoksn vull sdn säännöllisiä luskkit j vstvist tilkonist muodostttu tilkon luskkll ( ). (Kikiss surviss kuviss tilkonidn muuttunt skä tilkonisiin lisätyt tilt j tilsiirtymät on korostttu.) 3

4 Klnn tähti -oprtio: Säännöllisill luskkill määritllyistä oprtioist jäljllä on vilä Klnn tähti -oprtio, jot simrkkiluskkss sovlltn sim. liluskksn ( ). Myös tämä oprtio voidn sittää tilkonmuunnoksn, jonk vull mitä thns säännöllistä lusktt L vstvst tilkonst M voidn muodost lusktt L vstv tilkon M. Klnn tähti -oprtio tilkonll M 1. Lisää tilkonsn M -siirtymät kikist sn lopputiloist tkisin sn lkutiln. 2. Lisää tilkonsn uusi til j yhdistä s -siirtymän vull konn lkutiln. Vihd konsn lisätty til konn lkutilksi. 3. Ast konn lopputiloiksi konn uusi lkutil skä kikki M:n lopputilt. Konn M (lkupräisistä) lopputiloist lähtvät uudt -siirtymät mhdollistvt sn, ttä kon voi luk smn mrkkijonon mont krt präkkäin, mikä vst Klnn tähti -oprtioon liittyvää luskkn toisto. Konn uudn hyväksyvän lkutiln nsiost kon hyväksyy myös tyhjän mrkkijonon (jok täytyy hyväksyä, kosk tyhjä mrkkijono kuuluu in Klnn tähti -oprtion määrittlmään kiln). 2 Anntust tilkonst M = (K, Σ,, s, F ) muunnoksn vull stvn tilkonn M = (K, Σ,, s, F ) formli määritlmä on surv: K = K {s } F = F {s } = (F {} {s}) (M sisältää kikki M:n tilt skä lisäksi yhdn ylimääräisn tiln s, jok on smll M :n lkutil) (M :n lopputiloj ovt kikki M:n lopputilt skä uusi lkutil s ) (M sisältää kikki M:n tilsiirtymät skä lisäksi -siirtymät kikist lopputiloistn M:n lkupräisn lkutiln s) 2 Huom, ttä muunnoksss lisätään tilkonll uusi hyväksyvä lkutil, sillä tyhjän mrkkijonon hyväksymistä i ylissti voi totutt vin sttmll konn lkupräinn lkutil lopputilksi! Esimrkiksi jos tilkonll, jok hyväksyy kiln (), yrittään thdä Klnn tähti -muunnos lisäämällä -siirtymä tilkonn lopputilst sn lkutiln j muuttmll lkutil hyväksyväksi, sdn tilkon, jok hyväksyy sim. mrkkijonon, jok i kuitnkn kuulu kiln (() ). Ylissti Klnn tähti -oprtio siis vtii uudn lkutiln luomist tilkonll; tässä tpuksss oik muunnos siis tuott tilkonn. 4

5 Edllä muodostttiin tilkon säännöllisll luskkll ( ). Kun tätä lusktt vstvll tilkonll suorittn Klnn tähti -oprtio, sdn tilkon luskkll ( ) : Esimrkki jtkuu: Nyt voidn muodost tilkon koko luskkll ( ) (). Liittämällä luskkit ( ) j vstvt tilkont präkkäin sdn luskkll ( ) tilkon Luskkn () tilkon sdn liittämällä nsin präkkäin luskkidn j tilkont j suorittmll muodosttull tilkonll Klnn tähti -oprtio: Liittään nyt luskkidn ( ) j () tilkont toisiins: 5

6 Kun tähän tilkonsn liittään vilä luskkn tilkon, sdn lopult lusktt ( ) () vstvksi tilkonksi Epädtrministisn tilkonn dtrminisointi: Dtrminisointi vrtn numroidn tilkonn tilt: Tilkontt dtrminisoitss käsitllään tiljoukkoj, joihin krätään kikki mhdollist tilt, joihin pädtrministinn tilkon voi päätyä, kun s luk yhdn mrkin syötttä krrlln lähtin jostkin tilst (ti tiloist) liikkll. Nämä tiljoukot tulkitn lopuksi dtrministisn tilkonn tiloiksi. Dtrministisn tilkonn lkutil muodostuu kikist niistä pädtrministisn tilkonn tiloist, joiss pädtrministinn tilkon voi oll nnn, kuin s luk yhtään syötmrkkiä. Slvästi til 1 kuuluu tähän tiljoukkoon, kosk s on pädtrministisn tilkonn lkutil. Epädtrministisn tilkonn -siirtymin vuoksi kon voi kuitnkin siirtyä lkutilstn muihin tiloihin ilmn, ttä s luk yhtään syötttä. Esimrkkitilkon voi siirtyä lkutilstn -siirtymin vull tiloihin 2 j 15, j tilst 2 on dlln -siirtymät tiloihin 3 j 4. Sur siis, ttä pädtrministinn tilkon voi oll missä thns tiloist 1, 2, 3, 4 ti 15 nnn, kuin s on vilä luknut yhtään mrkkiä syöttstä. Tutkitn sittn, mihin kikkiin tiloihin tilkon voi päätyä nsimmäisn syötmrkin lukmisn jälkn. Kosk tilkon voi oll yhdssä usst mhdollisst tilst nnn mrkin lukmist, voi kon myös päätyä usihin ri 6

7 tiloihin mrkin luttun. Sdn siis joukko mhdollisi tiloj, joiss tilkon voi oll luttun yhdn mrkin syötttä. Kosk tilst 1 on inostn -siirtymiä muihin tiloihin, kon i voi siirtyä tästä tilst mihinkään muuhun tiln millään kkoston mrkillä. Sm pät tiln 2. Olttn, ttä nsimmäinn syötmrkki on. Tiloist 3, 4 j 15 nähdään, ttä tilkon voi :n lukmll siirtyä johonkin tiloist 5, 6 ti 16 riippun siitä, missä tilss s oli nnn :n lukmist. Nämä ivät kuitnkn ol inot mhdollist tilt, joihin kon voi päästä :n luttun, sillä kon voi mrkin lukmisn jälkn thdä -siirtymiä ilmn, ttä s luk lisää syötttä. Nähdään, ttä tilkon voi siirtyä -siirtymin vull dlln tilst 5 tiln 7, tilst 6 tiln 8, tilst 16 tiln 17 j dlln tilst 17 jompnkumpn tiloist 18 ti 22. Jos siis nsimmäinn tilkonn lukm mrkki on, tilkon voi mrkin luttun oll missä thns tiloist 5, 6, 7, 8, 16, 17, 18 ti 22. Jos ts olttn, ttä nsimmäinn syötmrkki onkin, nähdään, tti mistään tilst 1, 2, 3, 4 ti 15 lähd yhtään -kirjimll nimttyä siirtymää johonkin toisn tiln. Sitn niidn tilojn joukko, johon tilkon voi päätyä, kun nsimmäinn syötmrkki on, on tyhjä ( ). Kirjoittn dllä olvn trkstlun tulokst tulukkoon: lähtötilojn joukko kohdtilojn joukko, kohdtilojn joukko, kun lutn kun lutn Tutkitn nyt smll tvll, mihin tiloihin tilkon voi päätyä khdn syötmrkin lukmisn jälkn. Tässä vihss tidtään, ttä jos nsimmäinn luttu mrkki on ollut, tilkon on mrkin lukmisn jälkn josskin tiloist 5, 6, 7, 8, 16, 17, 18 ti 22. Olttn, ttä myös toinn luttu mrkki on j määrittään n tilt, joihin tilkon voi päätyä, kun s läht liikkll jostkin dllä lutllust tilst j suoritt :n lukmisn jälkn mhdollissti vilä -siirtymiä. Huomtn, tti tiloist 5, 6, 8, 16, 17, 18 j 22 lähd yhtään :ll nimttyä siirtymää. Aino :ll nimtty siirtymä läht tilst 7 tiln 9, j tilst 9 pääs -siirtymän kutt dlln tiln 11. Jos siis toinnkin luttu mrkki on, tilkon päätyy johonkin tiloist {9, 11}. Sm trkstlu toisttn tiloist 5, 6, 7, 8, 16, 17, 18 j 22 liikkll lähtin myös syötmrkill, jolloin tulukko voidn täydntää survsti: lähtötilojn joukko kohdtilojn joukko, kun lutn kohdtilojn joukko, kun lutn 7

8 Entä, jos nsimmäinn syötmrkki onkin ollut? Tulukost nähdään, ttä pädtrministinn tilkon i tällöin voi oll missään tilss. Tällöin survn syötmrkin lukminn (olip mrkki mikä thns) i voi vidä pädtrminististä tilkontt dllnkään mihinkään tiln, mikä mrkitään tulukkoon survsti: lähtötilojn joukko kohdtilojn joukko, kun lutn kohdtilojn joukko, kun lutn Tulukkoon on nyt stu tito siitä, missä tiloiss pädtrministinn tilkon voi oll khdn mrkin lukmisn jälkn. Sm trkstlu suorittn nyt kolmnnll syötmrkill lähtin riksn liikkll tiljoukoist {9, 11} j {10, 12, 19, 20, 23}, jolloin tulukko täydntyy muotoon lähtötilojn joukko kohdtilojn joukko, kun lutn kohdtilojn joukko, kun lutn {9, 11} {2, 3, 4, 13, 15} {10, 12, 19, 20, 23} {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22} Sm trkstlu täytyy toist dlln tiljoukoill {2, 3, 4, 13, 15} j {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22}, jotk ivät ol ikismmin siintynt tulukoss. Nyt sdn lähtötilojn joukko kohdtilojn joukko, kun lutn kohdtilojn joukko, kun lutn {9, 11} {2, 3, 4, 13, 15} {10, 12, 19, 20, 23} {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22} {2, 3, 4, 13, 15} {5, 6, 7, 8, 16, 17, 18, 22} {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22} {5, 6, 7, 8, 16, 17, 18, 22} {19, 20, 23} Tulukkoon syntyy jälln uusi tiljoukko {19, 20, 23}, joll trkstlu täytyy toist: 8

9 lähtötilojn joukko kohdtilojn joukko, kun lutn kohdtilojn joukko, kun lutn {9, 11} {2, 3, 4, 13, 15} {10, 12, 19, 20, 23} {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22} {2, 3, 4, 13, 15} {5, 6, 7, 8, 16, 17, 18, 22} {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22} {5, 6, 7, 8, 16, 17, 18, 22} {19, 20, 23} {19, 20, 23} {18, 21, 22} Toisttn trkstlu vilä tiljoukoll {18, 21, 22}: lähtötilojn joukko kohdtilojn joukko, kun lutn kohdtilojn joukko, kun lutn {9, 11} {2, 3, 4, 13, 15} {10, 12, 19, 20, 23} {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22} {2, 3, 4, 13, 15} {5, 6, 7, 8, 16, 17, 18, 22} {2, 3, 4, 14, 15, 18, 21, 22} {5, 6, 7, 8, 16, 17, 18, 22} {19, 20, 23} {19, 20, 23} {18, 21, 22} {18, 21, 22} {19, 20, 23} Trkstlu on nyt thty kikill tulukoss siintyvill tiljoukoill. Tulkitn nyt tulukoss siintyvät tiljoukot dtrministisn tilkonn yksittäisiksi tiloiksi j lutn tulukost tilojn välist siirtymät ri kkoston mrkillä: {1,2,3,4,15} {5,6,7,8,16,17,18,22} {2,3,4,13,15} {9,11} {10,12,19,20,23} {2,3,4,14,15,18,21,22}, {19,20,23} {18,21,22} (Tilkon on dtrministinn, kosk sn jokisst tilst läht täsmälln yksi millä thns kkoston mrkillä nimtty siirtymä johonkin toisn tiln, ikä tilkon myöskään sisällä -siirtymiä.) 9

10 Vlitn lopuksi dtrministisn tilkonn lopputilt. Lopputiloiksi mrkitään kikki n tilt, jotk vstvt jotkin pädtrministisn tilkonn tilojn joukko, joss on vähintään yksi pädtrministisn tilkonn lopputil. (Kosk tiljoukot krtovt n tilt, joiss pädtrministinn tilkon voi oll luttun sill nntun syöttn, yhdnkin lopputiln kuuluminn tiljoukkoon trkoitt, ttä jokin pädtrministisn tilkonn lkutilst lähtvä polku päätyy tähän lopputiln, jolloin tilkon hyväksyy syöttn.) Kosk simrkkitpuksss pädtrministisn tilkonn ino lopputil on til 23, lopputiloiksi mrkitään tiljoukkoj {10, 12, 19, 20, 23} j {19, 20, 23} vstvt tilt (nämä ovt inot tiljoukot, jotk sisältävät tiln 23). Säännöllistä lusktt ( ) () vstv dtrministinn tilkon on siis {1,2,3,4,15} {5,6,7,8,16,17,18,22} {2,3,4,13,15} {9,11} {10,12,19,20,23} {2,3,4,14,15,18,21,22}, {19,20,23} {18,21,22} Epädtrministisn tilkonn dtrminisointi 1. Määritä nsin n tilt, joiss pädtrministinn tilkon voi oll nnn, kuin s luk yhtään syötttä. Näihin tiloihin kuuluu pädtrministisn tilkonn lkutil skä kikki n tilt, joihin tilkon voi päästä lkutilstn -siirtymin vull. 2. Toist niin kun, kun jäljllä on käsittlmättömiä tiljoukkoj: Vlits jokin käsittlmätön tiljoukko Q. Muodost sittn kkoston Σ jokisll mrkill Σ riksn uusi tiljoukko, jok sisältää kikki n tilt, joihin pädtrministinn tilkon voi päästä, kun s läht jostkin tiljoukon Q tilst, luk syöttstä mrkin j suoritt sn jälkn mhdollissti vilä -siirtymiä. 3. Muodost dtrministinn tilkon tulkitsmll tiljoukot dtrministisn tilkonn tiloiksi. 4. Mrkits dtrministisn tilkonn lopputiloiksi kikki n tilt, joit vst pädtrministisn tilkonn tilojn joukko, jok sisältää vähintään yhdn pädtrministisn konn lopputiln. 10