Kertaustehtävien ratkaisut

Transkriptio

1 Rtisist Nämä Intgrlilsnt -rssin rtsthtävin j -srjojn rtist prstvt oppiirjn titoihin j mntlmiin Kstin thtävästä on sä vin si rtis, miä i itnn troit sitä, ttä rtis olisi ino ti s prs mhollinn Vlitt rtistp on toivottvsti itnin mhollisimmn sorviivinn j mmärrttävä Rtist ovt mllirtisj Niissä rtisn tnminn on sittt niin trsti j prstl in hvässä rtisss pitää thä Hvään rtisn l rtisss ättn mntlmän j mrintöjn snllinn slittäminn Monn tämän rssin thtävän rtisn hhmottmisss trvitn vio, sä hn ti smmn fntion vj Kvjt on hlppo piirtää grfisll lsimll, jotn vio nntt piirtää, vi sitä i ivn välttämättä vittisin Kviot voi mös monsti ättää pn thtävän vstsn tristmisss Rtisn l mös vstsn ilmoittminn Milimmin nntt irjoitt rillinn vsts, vi ohisiss rtisiss i ti säästämissi ol näin thtään Rtist on itnin litt sitn, ttä vsts on rtisn lopss Ysä thtävin rtisiss trvitn sä snllisi prstlj vtivi välivihit ttä mnisi lsj, tn intgrointi j htälöin rtismist Ohisiss rtisiss on snllist prstlt sittt vähintäänin riittävällä trll Mös rtisihin liittvät viot on sä piirrtt Intgrointin väliviht on tvllissti sittt trsti, mtt määrättjn intgrlin sijoitstn ii välivihit i in ol irjtt Lisäsi simrisi toisn stn htälön rtis rtisvn vll i ol irjoittt näviin, vi tämä tällisn rtisn lin Opislijn pitää itnin omiss rtisissn ättää riittävästi välivihit, os tämä prhitn t virhttömän lopptlosn J Kngsho j Wrnr Sörström Oshtiö

2 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät Krtsthtävin rtist 7 f D g Kos f g iill, fntio f on fntion g intgrlifntio Fntio F on fntion F intgrlifntio b F D F D 9 D cos sin cos sin cos sin, jotn fntio cos sin on fntion sin intgrlifntio b D cos b sin c cos cos sin b sin b cos c sin sin b cos b c sin Drivttfntio on sin, n, b j b c Siis, b j c b c b-ohn nojll fntion sin ii intgrlifntiot ovt moto F cos sin cos C Fntion F vj l pistn, tt, n F F C, jotn C C Siis F cos sin cos

3 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät F C F : C C C Fntio on Tngntin lmrroin on fntion rivtt Siis f, jotn f on fntion intgrlifntio: f C Fntion f vj l pistn, tt, n f f C C C C jotn Siis f, jotn ärä on Kos f, niin f on fntion intgrlifntio: f C f C C, jotn C C Siis f Nolloht j sn toisn stn htälön rtisvll C C b C C

4 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät C C Fntion f, > intgrlifntiot ovt moto F C Fntion F rivtn f nolloht: ti Nollohist välillä ], [ on nolloht Klvio: F F f < f > Klvion prstll intgrlifntio F s pinimmän rvon ohss Pinin rvo on, jotn F Toislt C F C, jotn C Intgrlifntio on F

5 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät C b sin cos sin cos sin cos cos sin C 7 Intgrlifntio on moto F 7 7 C C Kvj l origon tt, n F C C 9 Intgrlifntio on 9 C C b cos sin7 D sin sin 7 sin C sin C 7

6 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 9 g f C C b g f C C c f g ** C C C f F C C F C, C C F 9 Kos, F on C, jotn C Kos, F on C, jotn

7 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 9 b cos t sin t t cos t t sin t t cos cos sin sin cos sin cos sin t t t t b

8 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät b c 9, n li n j, n < b, n j, n 9

9 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 7 C F : F C C Siis F 7 F f Nolloht: 9 Mritään noptt jn t ltt vt Tällöin vt t, missä on vio Ehost v sn, Kljtt mt on vt t,t t 7 m b vt t, missä on vio Ehost v sn,7 Kljtt mt on vt t,7t t 9 m

10 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 7 Prblin 9 j -slin lisoht: 9 9 ti Pint-l on A Pint-l on A sin cos cos cos 7 Al on -slin lpolll, jotn pint-l on intgrlin vstl: A, 7 Fntion f vjn j -slin lisoht: ti ti Välill [, ] rjtv ln os A on -slin läpolll j välill [, ] rjtv os A on -slin lpolll A A Pint-l: A A A 7

11 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 7 Prbli oill j s li -slin ohiss j Pint-l on A 7 Intgroin :n shtn Kos, niin, jotn Pint-l on A, 7 Sijoittn oorintisto niin, ttä poiilisprblin hipp on -slill pistssä ;, j prbli li -slin pistissä,; j,; Prblin htälö on moto c Sijoittmll sn c, Sijoittmll, sn,,,,,7 Poiilisn pint-l on, A,7,, m Mistomrin tilvs on V Ah,,,9 m Mistomri pin, g,,,

12 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 77 Aln pint-l on A Pint-l A, n 7 >

13 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 7 Prblin j sorn lisoht: Rtisvll ti Ylöspäin v prbli on lisohtin välissä sorn lpolll Aln pint-l: A 79 Al sn poistmll sorn j prblin rjmst lst A prblin j -slin j rjm l A Intgroimisrjt: A : : A A A A ti ti

14 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät Kärin j lisoht: Välillä [, ] on, jotn ln pint-l on A, Fntion f cos vjn j sorn cos lisoht: n ti n n ti n Yhn ln pint-l on cos sin sin sin, 9

15 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät Kärän j sorn lisoht: Välillä [, ] on, jotn ln pint-l on A Sorn li j prblin li lisoht: ti Vsmmll v prbli on lisohtin välissä sorn oill positiivisll polll Aln pint-l: A 7

16 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät Sorn j prblin ti lisoht: Kn >, niin rjtvn ln pint-l on Kn <, niin pint-l on Pint-l on, n li n ti li sm Drivoin fntio f : Tngntin lmrroin on f f Tngntin htälö on li Tngntti li -slin ohss Aln pint-l sn vähntämällä tngntin, -slin j sorn moostmst olmiost ärän j -slin välillä [, ] rjmn ln pint-l: A

17 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät Tilvs on V A,,,, m,,, 7 Pohjn sä r Mritään pohjn sipiststä täisll piirrtn poiilisnliön sivn pittt Pthgorn lsn mn r r Poiilisl on A r Smmtrin vosi tilvs on V A r r Poiilisolmion hpotns vstn piirrtt ors ohss on Hpotnsn pits on Kolmion pint-l on A Tilvs on V A m 9 m 9

18 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 9 Pörähsppl moost prblin nollohtin j väliin Tilvs on, V 9 Pörähsppl moost välill [, 9] Kpp tilvs on, V 9 Pörähspp poiilismprän sä ohss on r Kos, n, ppl moost välill ], [ Kpp tilvs:, r A V r

19 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 9 Kärä li sorn ohss Moostvn pp tilvs sn vähntämällä ärän välillä [, ] moostmn pörähspp tilvs sorn moostmn pörähspp liriön tilvst: 7,7 V b Intgroin :n shtn Rtistn htälöstä : Tilvs on, V 9 Intgroin :n shtn Rtistn htälöstä : Fntio on iosti svv, jotn ppl rjt -slin välill [, ] [, ] Moostvn pp tilvs:, V

20 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Krtsthtävät 9 Sijoittn rn moostv prbli oorintistoon sitn, ttä sn hipp on origoss j sli on -slin sntinn Prblin htälö on moto Prbli l pistn, tt, jotn R moost, n prblin välillä olv os, pörähtää -slin mpäri Rn tilvs on 9 cm,9 l,9 l Knttilä pl,9 h h 9 Intgroin :n shtn Rtistn htälöstä : Kppl rjt välill [, ] Kpp tilvs on V,

21 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Srj A b Fntion f intgrlifntiot ovt moto F C Fntion F rivtn f nolloht j sn toisn stn htälön rtisvll Klvio: Klvion prstll intgrlifntion F minimioht on Minimirvo on, jotn F Toislt C F, jotn C C Intgrlifntio on F F

22 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Fntion sin vj li -slin, n sin, li n n li n, missä n on oonisl Kvj on välillä [, ] -slin läpolll j välillä [, ] lpolll -slin läpolll olvn osn pint-l on cos cos cos sin -slin lpolll olvn osn pint-l on intgrlin cos cos cos sin vstl Koo pint-l on Voin oltt, ttä Tällöin pörähspp poiilismprän sä on r Pörähspp tilvs on V Tilvs s pinimmän rvons prblin hippohss li rivtn nollohss

23 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Sijoittn hlilisprbli oorintistoon sitn, ttä sn hipp on origoss j sli on -slin sntinn Prblin htälö on moto Jos oorintiston siö on simtri, prbli l pistn, tt, jolloin Pn sisäos moost, n prblin välillä olv os, pörähtää -slin mpäri Kn vnpint on orll h, vn tilvs on h h Tilvs on l m, n h h h h h,9 m h m Vnpint on m,9 m, m cm son lpolll Kärin j lisoht: ti Lisohtin välissä ärä on lmpänä Yhtälö tott, n j, jotn ärä on siömprän -slin läpolll olv polimprä Siis pint-l sn, n nljännsmprän lst vähnntään ärän j -slin välillä rjmn ln pint-l Pint-l on,

24 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Srj B Fntion f intgrlifntiot ovt moto F C F : C F : C Vähntämällä nsimmäisstä htälöstä jälimmäinn sn 9 Sijoittn nsimmäisn htälöön: C C Intgrlifntio on F Altt rj läpollt sor j lpollt prbli Lispistin -oorintit: ti Pint-l on 7 Mnti on b m m g g

25 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt 7 Pörähtävän ärän htälö on, missä Tilvs on V Tilvs on, n li n Kärin lisoht: cos cos n ti n n ti n, missä n on oonisl Välillä [, ] ärät livt mttjn rvon ohll Kn on cos < cos j n on cos > cos Siis ärä cos on lmpänä välillä [, ] j ärä cos on lmpänä välillä [, ] Pint l on cos cos cos cos,9 9 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin

26 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Sijoittn poiilisprbli oorintistoon vn osoittmll tvll, jolloin prblin htälö on moto c Prbli l pistin, j, tt Sijoittmll sn c j Siis prblin htälö on Poiilisn pint-l on Kmmnin ohtisorn livn osn tilvs on Yhtisn osn vsort poiilist ovt nliöitä Nliön sivn polis mtrin orll on htälön rtis Siis htisn osn tilvs on Koo rnnsn tilvs on m

27 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Srj C Fntio b on fntion intgrlifntio, jos fntion b rivttfntio on D b b b, jotn on oltv b joisll Yhtälö tott, n j b Siis j b cos sin cos cos sin sin Siis: cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin sin 9

28 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Pohjn sä r Mritään pohjn sipiststä täisll piirrtn poiilispolimprän hlisijn pittt Pthgorn lsn mn: r r r Poiilisl on A r Smmtrin vosi tilvs on V r A, Kärä on smmtrinn molmpin oorinttislin shtn, sillä lvn itsisrvo on htä sri in sn vstlvn itsisrvo Koorintiston nsimmäisssä nljännsssä olvn ärän osn htälö on, jost sn li, missä Koo ln pint-l on

29 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Fntion f rivttfntio on toisn stn poomifntio Kos rivtll on tsn si nolloht, rivtt on moto f Siis: f D j f C Kos f '', on Kos f C C C, on C Siis f, jotn f

30 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Srj D t t t t t t f Nolloht: ti ti Altt rj läpollt lspäin v prbli 9 j lpollt sor Kärin lispistin -oorintit: 7 9 ti Pint-l on Jott olisi määritlt, tl oll > Yhtälö tott, n li n

31 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Sor li li j ärän, n li n ti Lispistin välissä sor on lmpänä Al on smmtrinn -slin shtn Positiivisn -slin polll olvn osn tilvs sn, n mpräliriön tilvst h r V vähnntään ärän pörähtässä moostvn pp tilvs V Siis tilvs on, V V V Mritään f Tällöin f Pistsn, piirrtn tngntin lm- rroin on f j htälö Tngntin j -slin lisoht: Pint-l: A Pint-l i riip lvst iä sitn piststä, johon tngntti on piirrtt,

32 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt D sin cos cos cos sin sin Siis fntio sin cos on fntion sin intgrlifntio Fntion f sin nolloht ovt fntion sin nolloht n, missä n on oonisl Siis välin [n, n ] päätpistt ovt fntion f prääist nolloht, jotn pint-l ti intgrlin vstl n n jotn: n n n A n on joo intgrli n sin f sin cos n n n cos n n cos n, n n f sin n n cos n sin n n cos n f n n n n n, n n on prillinn j n n f n n n, n n on priton Siis A n n iill n Aln pint-l on ritmttinn smm: A A A

33 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Srj E Fntion f intgrlifntiot ovt moto F C Fntioin vjt ovt löspäin vi prblj, join hipn -oorintti on fntion F f nolloht Intgrlifntiot svt pinimmän rvon ohss 9 Pinin rvo on F C C Pinin rvo on, n 9 C 9 C Intgrlifntio on 9 b Väli [, ] on prblin F hipn oill polll, jotn F on iosti svv välillä [, ] Siis fntion pinin rvo on F C C Pinin rvo on, n C C Intgrlifntio on, f cos cos sin sin cos sin sin sin sin g Kos f g iill, fntio f on fntion g intgrlifntio

34 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Kärä li -slin, n nliöönorotshto: Korottn nliöön; ti Pörähspp tilvs on, Tngntti on vsor ohss, joss fntion rivtt on noll Fntion f rivttfntio: D f Drivtn nolloht ovt tijän nolloht j, jotn nsimmäisn nljännsn piirrtn vsorn tngntin sivmispistn -oorintti on Sivmispistn -oorintti on, f jotn tngntin htälö on Aln pint-l on,

35 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt 7 Aln pint-l on A Drivoin: A Drivtn nolloht: :,9 Klvio: Klvion prstll pint-l on srin, n Srin pint-l on A A A A,, > A,97 <

36 Intgrlilsnt Krtsthtävin rtist Thtäväsrjt Kärä li -slin, n li n ti Kos fntion vj on lspäin v prbli, ärä on määritlt nollohtin välissä Kn ärä pörähtää -slin mpäri, moostvn pp tilvs on V b Rtistn ärän htälöstä Kärä on määritlt prblin j välissä nollohtin Kn ärä pörähtää -slin mpäri, moostvn pp tilvs on V Tilvt V j V ovt htä srt, n ti Kos on positiivinn, on