Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Transkriptio

1 Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a) A B, A C ja B C; (b) A B, A C ja B C; (c) A ja A ; (d) A\B, B \A, A\C ja C \B. Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). A B = {1,2,3,4,7,9}, A C = {1,2,3,4,5,7}, B C = {2,3,5,7,9}. b) Kahden joukon leikkauksessa on tasan ne alkiot jotka esiintyvät molemmissa joukoissa. A B = {3}, A C =, B C = {2,7}. Huomaa, että A:llä ja C:llä ei ole yhtäkään yhteistä alkiota, joten niiden leikkaus on tyhjä joukko. c) A = A, tämä pätee itse asiassa mielivaltaiselle joukolle A. Todistetaan tämä väite. Olkoon x A. Yhdisteen määritelmän nojalla silloin joko x A tai x. Vaihtoehto x on kuitenkin mahdoton, sillä tyhjässä joukossa ei ole alkioita. Näin ollen x A. Kääntäen jos x A niin selvästi x A, sillä tämä yhdiste sisältää kaikki A:n alkiot määritelmänsä nojalla. Näin ollen A = A. A on taas tyhjä joukko mielivaltaiselle A. Tämä nähdään seuraavasti. Jos x A niin leikkauksen määritelmän nojalla x A ja x. Erityisesti x. Tämä on kuitenkin

2 2 mahdotonta. Näin ollen joukko A ei sisältää yhtään alkiota, joten A =. d) Erotus X\Y koostuu tasan niistä X:n alkiosta, jotka eivät ole Y:ssä. Näin ollen A\B = {1,4}, B \A = {2,7,9}, A\C = {1,3,4} = A, C \B = {5}. 2. (a) Olkoon A = {3,7,12}. Määritä potenssijoukko P(A). (b) Olkoon B = {1,2,{3},4}. Määritä potenssijoukko P(B). (c) Jos joukossa X on n alkiota, niin montako alkiota on joukossa P(X)? Ratkaisu: a) A = {3, 7, 12}. Käydään läpi osajoukot alkioiden lukumäärän mukaan. Nollan alkion osajoukko on vain yksi, se on tyhjä joukko. Yhden alkiot osajoukot ovat {3}, {7} ja {12}. Kahden alkion osajoukotovat{3,7},{3,12}ja{7,12}.kolmenalkionosajoukkoja on vain yksi, se on A itse. Näin ollen P(A) = {,{3},{7},{12},{3,7},{3,12},{7,12},{3,7,12}}. b) Käydään vaikkapa samalla tavalla kaikki osajoukot läpi, saadaan P(B) = {,{1},{2},{{3}},{4}{1,2},{1,{3}},{1,4},{2,{3}},{2,4},{{3},4},{1,2,{3}}, {1,2,4},{1,{3},4},{2,{3},4},{1,2,{3},4}}. c) Olkoon A joukon X osajoukko. Tällöin jokainen X:n alkio joko kuuluu A:han tai ei kuuluu eikä A:ssä voi olla mitään X:n ulkopuoleella olevia alkioita. Näin ollen kun muodostamme X:n osajoukon niin tavallaan suoritamme jokaisen X:n alkion kohdalla valinta kahdesta vaihtoehdoista - kuuluu A:han tai ei kuuluu A:han. Kun X:ssä on n alkiota tehdään tämä valinta siis n kertaa. Tästä seuraa, että eri mahdollisuuksia on 2 n. Näin ollen P(X):ssä on tasan 2 n alkiota. 3. Olkoot A = {(x,y) R 2 : x 0,y 0}, B = {(x,y) R 2 : x 0,y 0} ja C = {(x,y) R 2 : y 0}. Määritä A B, A B, C \A ja C \(A B). Havainnollista vastauksia mallikuvioilla. Ratkaisu: A B = {(x,y) R 2 : y 0}.

3 Todistus: Olkoon z = (x,y) A B. Tällöin z A tai z B. Kummassakin tapauksessa joukkojen A, B määritelmästä seuraa, että y 0. Näin ollen (x,y) {(x,y) R 2 : y 0}. Kääntäen olkoon (x,y) {(x,y) R 2 : y 0}. Nyt x on joka tapauksessa reaaliluku ja jokainen reaaliluku on joko suurempi kuin nolla, nolla, tai pienempi kuin nolla. Toisin sanoen joko x 0 tai x 0. Jos x 0, niin (x,y) A. Jos taas x 0 pätee (x,y) B. Joka tapauksessa (x,y) A B. 3 A B = {(x,y) R 2 : x = 0,y 0} = {(0,y) R 2 : y 0}. Todistus: Olkoon z = (x,y) A B. Tällöin z A ja z B. A:n määritemästä seuraa, että silloin x 0 ja y 0, B:n määritelmästä taas seuraa, että x 0 ja y 0. Erityisesti y 0 ja x:lle saadaan ehdot x 0 ja x 0. Näistä seuraa, että x = 0. Näin ollen z {(x,y) R 2 : x = 0,y 0}. Kääntäenoletetaan,ettäy 0.Tällöinselvästipätee(0,y) A ja (0,y) B, toisin sanoen (0,y) A B. C \A = {(x,y) R 2 : x < 0,y 0}. Todistus: Olkoon z = (x,y) C \ A. Tällöin z C ja z / A. Koska z C, saadaan y 0. Toisaalta pätee x < 0, sillä muuten olisi x 0, josta saadaan z A, ristiriita. Näin ollen (x,y) {(x,y) R 2 : x < 0,y 0}. Kääntäen olkoon z = (x,y) {(x,y) R 2 : x < 0,y 0}. Tällöin y 0, joten z C. Toisaalta z / A, sillä x < 0 ja A:n alkioille pätee x 0. Näin ollen z C \A. C \(A B) = {(x,y) R 2 : x 0,y 0}. Todistus: Yllä on jo laskettu, että A B = {(x,y) R 2 : x = 0,y 0}. Oletetaan, että z = (x,y) C \(A B). Tällöin z C, joten y 0. Toisaalta x 0, sillä jos olisi x = 0 niin pätisi z A B. Näin ollen z {(x,y) R 2 : x 0,y 0}. Kääntäen oletetaan z = (x,y) {(x,y) R 2 : x 0,y 0}. Tällöin erityisesti y 0, joten z C. Lisäksi z / A B, sillä x 0. Näin ollen z C \(A B). 4. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2,5,7}.

4 4 (a) Määritä tulojoukot A B ja B A. (b) Määritä tulojoukko (A B) C. (c) Määritä tulojoukko C. (d) Jos joukossa X on n alkiota ja joukossa Y on m alkiota, niin montako alkiota on tulojoukossa X Y? Ratkaisu: a) A B = {(1,2),(1,3),(1,7),(1,9),(3,2),(3,3),(3,7),(3,9),(4,2),(4,3),(4,7),(4,9)}, B A = {(2,1),(3,1),(7,1),(9,1),(2,3),(3,3),(7,3),(9,3),(2,4),(3,4),(7,4),(9,4)}. Huomaa, että B A:n alkiot saadaan helposti A B:n alkioista vaihtamalla koordinaattien järjestystä. b) (A B) C = {((1,2),2),((1,3),2),((1,7),2),((1,9),2),((3,2),2),((3,3),2),((3,7),2), ((3,9),2),((4,2),2),((4,3),2),((4,7),2),((4,9),2),((1,2),5),((1,3),5),((1,7),5),((1,9),5), ((3,2),5),((3,3),5),((3,7),5),((3,9),5),((4,2),5),((4,3),5),((4,7),5),((4,9),5),((1,2),7), ((1,3),7),((1,7),7),((1,9),7),((3,2),7),((3,3),7),((3,7),7),((3,9),7),((4,2),7),((4,3),7), ((4,7),7),((4,9),7)}. c)mielivaltaiselle joukolle C pätee itse asiassa C =. Todistetaan tämä. Olkoon z C. Tällöin tulojoukon määritelmän nojalla z on muotoa (x,y), missä x ja y C. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä ei ole olemassa x jolle x. Näin ollen pätee C =. d) Tulojoukon X Y alkiot ovat muotoa (x,y), missä x X ja y Y ja toisaalta kaikki tätä muotoa olevat alkiot ovat tulojoukon X Y alkioita. Ensimmäinen koordinaatti x X voidaan valita n eri tavalla ja toinen koordinaatti y Y voidaan valita m eri tavalla x:stä riippumaatta. Tästä seuraa, että on olemassa nm eri tapa konstruoida X Y:n alkio, joten X Y sisältää tasan nm alkiota. Tämän voi todeta myös seuraavasti - kiinnitetään x X, tällöin saadaan tasan m eri pareja (x,y), kun y käy läpi kaikki Y:n alkiot läpi. Merkitään näiden parien muodostama joukkoa A x :llä, A x sisältää siis tasan m alkiota. Nyt X Y on yhdiste joukoista A x, x X, joita on tasan n kappaletta. Mikään alkio ei kuuluu kahteen eri joukon A x ja A x, missä x x. Toisin sanoen X Y on erillinen yhdiste n:stä joukoista, joista jokainen sisältää tasan m alkiota. Tästä seuraa, että X Y sisältää tasan nm alkiota.

5 5. Anna esimerkki ainakin yhden alkion sisältävästä joukosta A, joka toteuttaa ehdon x A {x} A. Ratkaisu: Yritetään konstruoida tällainen esimerkki. Joukon täytyy olla epätyhjä, joten sen on sisältävä joku alkio, olkoon se vaikka alkio 0. Ehdon mukaan A:n on sisältävä alkio{0}. Saman ehdon mukaan A on sisältävä alkio{{0}} ja niin edelleen. Tästä nähdään, että A:n on sisältävä ainakin kaikki muotoa olevat alkiot. Merkitään Huomataan, että Tästä seuraa, että joukko toteuttaa vaaditun ehdon. {{...{ 0 }}...} }{{}}{{} n kpl sulkuja n kpl sulkuja x n = {{...{ 0 }}...}. }{{}}{{} n kpl sulkuja n kpl sulkuja {x n } = x n+1. A = {x n : n N} 5 6. Olkoot A k = ] 0, k[ 1. Määritä (a) n A k; (b) n A k; (c) A k; (d) A k. Ratkaisu: a) Helposti huomataan, että jos k l, niin A l =]0,1/l[ A k =]0,1/k[. Tästä seuraa, että n A k = A 1 =]0,1[. Tämä nähdään siis seuraavasti. Jos x n A k, niin x A k jollakin k {1,...,n}. Koska k 1 edellisestä seuraa, että A k A 1, joten x A 1. Kääntäen jos x A 1 niin selvästi n x A k.

6 6 b) n A k = A n. Oletetaan, että x n A k. Tällöin x A k kaikilla k {1,...,n}, joten erityisesti x A n. Kääntäen jos x A n, niin x A k kaikilla k n, sillä A n A k. Siis x n A k. c) A k = A 1 =]0,1[. Tämämeneesamallatavallakuina)-kohdassa.Josx A k, niin x A k jollakin k N. Koska k 1 pätee, että A k A 1, joten x A 1. Kääntäen jos x A 1 niin selvästi x A k. d) A k =. Oletetaan, että x A k. Tällöin x A k kaikilla k N eli kaikilla k N pätee 0 < x < 1/k. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä jos x > 0, niin x > 1/k jollakin k N (valitaanvaanniinsuuri kokonaisluku k jollek > 1/x). Tämä ristiriitä osoittaa, että A k on tyhjä joukko.