Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Transkriptio

1 Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä voidaan pitää johdettuna sääntönä. Kun Γ on kaavajoukko ja B kaava, käytämme merkintää (Γ, B) viittaamaan merkkijonoon, joka on määritelmämme mukainen kaavan B deduktio joukosta Γ. Koska jonossa (Γ, B) saa kaavojen lisäksi esiintyä myös (ali)deduktioita, määritelmä on rekursiivinen. Deduktion aste on 0, jos siinä ei ole alideduktioita. Jos deduktio sisältää yhden tai useamman alideduktion, niin sen aste on yhtä suurempi kuin sen korkeinta astetta olevan alideduktion aste.

2 Kaavajono (B 1,..., B m ) on 0-asteinen kaavan B deduktio joukosta Γ, jos B m = B ja jonon jokainen alkio B l toteuttaa jonkin seuraavista ehdoista: (1) B l Γ. (2) B l on kaava, jota ennen jonossa esiintyy kaava B i, josta B l on pääteltävissä päättelysäännön ( E), ( E) tai ( T ) avulla. (3) B l on kaava, jota ennen jonossa esiintyy kaavat B i ja B j, joista B l on pääteltävissä päättelysäännön ( T ), ( E), ( E) tai ( T ) avulla.

3 Esimerkki. Aikaisemman esimerkin deduktio A ( B C) A (B C) voidaan esittää merkkijonona ( A ( B C), B C, B, B, C, B C, A, A (B C) ). Tässä 1. kaava A ( B C) on oletus, 2. kaava B C on johdettu siitä säännön E avulla, 3. kaava B 2. kaavasta säännön E avulla, 4. kaava B siitä säännön E avulla, 5. kaava C 2. kaavasta säännön E avulla, 6. kaava B C 4. ja 5. kaavoista säännön T avulla, 7. kaava A 1. kaavasta säännön E avulla ja viimeinen kaava 6. ja 7. kaavoista säännön T avulla.

4 Olkoon k 1. Oletamme määritellyksi korkeintaan astetta k 1 olevat deduktiot. Käytämme symboleja β 1,..., β m viittaamaan sekä lauselogiikan kaavoihin että deduktioihin. Merkkijono (β 1,... β m ) on korkeintaan k-asteinen kaavan B deduktio kaavajoukosta Γ, jos β m = B ja jonon jokainen alkio β l toteuttaa jonkin seuraavista ehdoista:

5 (0) β l on korkeintaan astetta k 1 oleva deduktio. (1) β l Γ. (2) β l on kaava, jota ennen jonossa on kaava β i, josta β l on pääteltävissä säännöllä ( E), ( E) tai ( T ). (3) β l on kaava, jota ennen jonossa on kaavat β i ja β j, joista β l on pääteltävissä säännöllä ( T ), ( E), ( E) tai ( T ). (4) β l on kaava, jota ennen jonossa esiintyy kaava C D ja korkeintaan astetta k 1 olevat alideduktiot (Γ {C}, β l ) ja (Γ {D}, β l ). (5) β l on implikaatio C D, jota ennen jonossa esiintyy korkeintaan astetta k 1 oleva alideduktio (Γ {C}, D). (6) β l on negaatio C, jota ennen jonossa esiintyy korkeintaan astetta k 1 oleva alideduktio (Γ {C}, D D).

6 Nyt siis Γ B tarkoittaa sitä, että on olemassa k-asteinen deduktio (Γ, B) jollakin k N. Esimerkki. Esitetään aiemmassa esimerkissä ollut deduktio A A B merkkijonona: ( A, ( A, ( B, A, A, A A ), B, B ), A B ). Tässä α = ( B, A, A, A A ) on astetta 0 oleva deduktio, joka osoittaa, että { A, A} { B} A A. Merkkijono β = ( A, α, B, B ) on astetta 1 oleva deduktio, joka osoittaa, että { A} {A} B. Koko merkkijono ( A, β, A B) on täten astetta 2 oleva deduktio, joka osoittaa, että A A B.

7 Todistamme induktiolla deduktion asteen k suhteen, että jos Γ on kaavajoukko, B kaava, M joukon Γ malli ja (β 1, β 2,..., β m ) on deduktio (Γ, B), niin M B. Tapauksessa k = 0 deduktio (β 1, β 2,..., β m ) ei sisällä ollenkaan alideduktioita, joten jonon kaikki jäsenet ovat kaavoja. Todistamme induktiolla jonon pituuden suhteen, että M β l jokaisella l {1,..., m}.

8 Tarkastelemme jonon jäsentä β l ja teemme induktio-oletuksen, että M β i, kun i < l. Jos β l Γ, niin triviaalisti M β l (kun l = 1, tämä on ainoa mahdollinen tapaus). Tarkastelemme seuraavaksi tapausta,että β l / Γ. Koska oletuksemme mukaan M β i, kun i < l, ja päättelysäännöt ( E), ( E), ( T ), ( T ), ( E), ( E) ja ( T ) säilyttävät totuuden mallissa, niin M β l. Yllä olevan perusteella M β l, kun l m ja koska β m = B, niin erityisesti siis M B. Olemme näin todistaneet väitteemme tapauksessa, että deduktion aste on 0.

9 Teemme induktio-oletuksen, että kun k 1 ja kun deduktion (Γ, B ) aste on korkeintaan k 1, niin väite pitää paikkansa, ja tarkastelemme k-asteista deduktiota (Γ, B) = (β 1, β 2,..., β m ). Olkoon l 1. Teemme induktio-oletuksen: M β i aina, kun i < l ja β i on kaava. Jos β l Γ tai β l on kaava, joka on päätelty jonkin säännöistä ( E), ( E), ( T ), ( T ), ( E), ( E) ja ( T ) avulla, niin saamme kuten 0-asteisten deduktioiden tapauksessa, että M β l. Tarkastelemme seuraavaksi tapauksia, joissa kaava β l on päätelty säännön ( E), ( T ) tai ( T ) avulla.

10 Olkoon kaava β l päätelty säännön ( E) avulla kaavasta C D ja alideduktioista 1 = (Γ {C}, β l ) ja 2 = (Γ {D}, β l ). Koska kaava C D esiintyy deduktiossa ennen kaavaa β l, niin oletuksemme mukaan M C D. Siis M C tai M D. Koska M on joukon Γ malli, niin M on myös joukon Γ {C} tai Γ {D} malli ja koska deduktioiden 1 ja 2 aste on korkeintaan k 1, niin induktio-oletuksemme mukaan M β l.

11 Olkoon kaava β l = A C päätelty säännön ( T ) avulla alideduktiosta (Γ {A}, C). Jos M A, niin M A C. Jos M A, niin M on joukon Γ {A} malli. Koska alideduktion (Γ {A}, C) aste on korkeintaan k 1, niin induktio-oletuksen mukaan tällöin M C. Tässäkin tapauksessa siis M A C.

12 Viimeisenä tapauksena tarkastelemme sitä, että kaava β l = C on päätelty säännön ( T ) avulla alideduktiosta 1 = (Γ {C}, D D). Teemme nyt vastaoletuksen, että M C. Tällöin M C, joten M on joukon Γ {C} malli ja koska deduktion 1 aste on korkeintaan k 1, niin induktio-oletuksemme perusteella M D D. Tämä on kuitenkin mahdotonta, joten M C.

13 Edellä esitetyn perusteella k-asteisille deduktioille (Γ, B) pätee, että M B, kun M on joukon Γ malli. Induktioperiaatteen mukaisesti olemme näin todistaneet, että jos M on joukon Γ malli ja Γ B, niin M B. Täten olemme todistaneet luonnollisen päättelyn systeemin luotettavuuden: Luotettavuuslause. Jos Γ B, niin Γ B.

14 Ristiriitaisuus Kun käytettävissä on deduktion käsite, niin voidaan määritellä täsmällisesti, mitä tarkoitetaan ristiriitaisuudella: Kaavajoukko S on ristiriitainen, jos ja vain jos on olemassa sellainen kaava A, että joukosta S voidaan johtaa sekä kaava A että A. Ristiriitaisuus voidaan määritellä muullakin tavalla. Voidaan nimittäin todistaa, että lause- ja predikaattilogiikan päättelysysteemeissä seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) on olemassa sellainen kaava A, että S A ja S A, (2) on olemassa sellainen kaava A, että S A A, (3) kaavajoukosta S voidaan johtaa mikä tahansa kaava.

15 Osoitamme nyt ehdot (1), (2) ja (3) yhtäpitäviksi. Ensinnäkin ehdosta (3) seuraa triviaalisti ehto (1). Oletetaan sitten, että S A ja S A. Tällöin konjunktion tuonnilla saadaan S A A. Siis ehdosta (1) seuraa ehto (2). Deduktio (1) A A (2) B vastaoletus (3) A A 1, R (4) B 2 3, T (5) B 4, E osoittaa, että kaavasta A A voidaan johtaa mielivaltainen kaava B. Ehdosta (2) seuraa siis ehto (3).

16 Yhden kaavan muodostama joukko { A} on ristiriitainen, jos ja vain jos A. Yleisemmin jos kaavajoukko Ω { A} on ristiriitainen, niin sääntöjen T ja E avulla voidaan kaavajoukosta Ω johtaa kaava A. Kontrapositiona tästä saamme Lause 4.1. Jos Ω A, niin kaavajoukko Ω { A} on ristiriidaton. Todistamme vielä neljännenkin luonnehdinnan ristiriitaisuudelle: Lause 4.2. Kaavajoukko Ω on ristiriitainen, jos ja vain jos on olemassa sellainen äärellinen kaavajoukko {A 1,..., A n } Ω, että (A 1 A n ).

17 Todistus. Oletetaan ensin, että Ω on ristiriitainen. Tällöin on olemassa kaava A, jolla Ω A A. Koska deduktiot ovat aina äärellisiä, on olemassa A 1,..., A n Ω siten, että A 1 A n A A. Deduktioteoreeman nojalla tästä seuraa, että A 1 A n A A. Soveltamalla negaation tuontia, saadaan edelleen (A 1 A 2 A n ). Oletetaan kääntäen, että on olemassa sellaiset kaavat A 1,..., A n Ω, että A, missä A = (A 1 A 2 A n ). Tällöin triviaalisti myös Ω A. Koska A 1,..., A n A, niin Ω A, joten ja Ω on ristiriitainen.

18 Määrittelemme, että kaavajoukko Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, jos se on ristiriidaton, mutta sen jokainen aito laajennus on ristiriitainen. Ristiriidattomaan kaavajoukkoon voi kuulua korkeintaan toinen kaavoista A ja A. Toisaalta maksimaalisesti ristiriidattomaan kaavajoukkoon kuuluu ainakin toinen näistä kaavoista: Lause. Kaavajoukko Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, jos ja vain jos se on ristiriidaton ja jokaisella kaavalla A joko A Ω tai A Ω.

19 Todistus. Jos Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, niin se on määritelmän nojalla ristiriidaton. Olkoon A kaava. Jos A / Ω ja A / Ω, niin maksimaalisuuden perusteella sekä Ω {A} että Ω { A} ovat ristiriitaisia. Tällöin Ω A ja Ω A, mikä on mahdotonta, koska Ω on ristiriidaton. Oletetaan sitten, että Ω on ristiriidaton ja jokaisella kaavalla A joko A Ω tai A Ω. Nyt jos B / Ω, niin B Ω, jolloin Ω {B} on selvästi ristiriitainen. Siis joukolla Ω ei ole olemassa ristiriidatonta aitoa laajennusta.

20 Esimerkki. Olkoon M malli (koko kielelle). Osoitetaan, että joukko on maksimaalisesti ristiriidaton. Ω = {A kaava M A} Osoitetaan ensin, että Ω on ristiriidaton. Teemme vastaoletuksen, että on olemassa sellainen kaava B, että Ω B ja Ω B. Luotettavuuden perusteella tällöin Ω B ja Ω B. Koska M on triviaalisti kaavajoukon Ω malli, niin tällöin M B ja M B, joka on mahdotonta. Siis Ω on ristiriidaton. Koska jokaisella kaavalla B pätee M B tai M B, joukon Ω maksimaalinen ristiriidattomuus seuraa edellisestä lauseesta.

21 Täydellisyys Todistamme luonnollisen päättelyn täydellisyyden seuraavasti: (1) Osoitamme ensin, että jokaisella maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla on malli hyödyntäen maksimaalisesti ristiriidattoman kaavajoukon ominaisuuksia. (2) Todistamme sitten Lindenbaumin lemman, jonka mukaan jokainen ristiriidaton kaavajoukko on laajennettavissa maksimaalisesti ristiriidattomaksi kaavajoukoksi. (3) Olemme todenneet edellä, että jos Ω A, niin kaavajoukko Ω { A} on ristiriidaton. Tällöin kohtien (1) ja (2) perusteella kaavajoukolla Ω { A} on malli ja tästä seuraa, että Ω A. Tämä todistaa täydellisyystuloksen Ω A Ω A.

22 Johdamme ensin eräitä maksimaalisesti ristiriidattomien kaavajoukkojen ominaisuuksia Lause 4.4 Olkoon Γ maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin on voimassa (1) A Γ, jos ja vain jos A / Γ, (2) A B Γ, jos ja vain jos A Γ ja B Γ, (3) A Γ, jos ja vain jos Γ A. Todistus. Kohta (1): Jos A Γ, niin joukon Γ ristiriidattomuuden perusteella A / Γ. Jos A / Γ, niin joukon Γ maksimaalisuuden perusteella A Γ. Siis A Γ, jos ja vain jos A / Γ.

23 Kohta (2): Oletamme ensin, että A B Γ. Jos A / Γ, niin kohdan (1) perusteella A Γ. Tällöin Γ A ja koska A B A, niin myös Γ A. Joukko Γ olisi tällöin vastoin oletusta ristiriitainen. Täten A Γ. Vastaavasti saamme, että B Γ. Oletamme kääntäen, että A Γ ja B Γ. Koska A, B A B ja Γ on ristiriidaton, niin (A B) / Γ. Kohdan (1) perusteella tällöin A B Γ. Kohta (2) on näin todistettu. Kohta (3): Jos A Γ, niin triviaalisti Γ A. Oletetaan kääntäen, että Γ A. Koska Γ on ristiriidaton, niin tällöin A / Γ. Kohdan (1) perusteella saamme, että A Γ.

24 Jos käytettävässä kielessä L on mukana konnektiivit, ja, niin kielen L maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla Γ voidaan todistaa olevan myös seuraavat ominaisuudet (HT): (4) A B Γ, jos ja vain jos A Γ tai B Γ, (5) A B Γ, jos ja vain jos A / Γ tai B Γ, (6) A B Γ, jos ja vain jos joko A Γ ja B Γ tai A / Γ ja B / Γ. Voidaan myös todistaa (HT), että jos A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja kaavoja ja Γ maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko, niin A Γ, jos ja vain jos B Γ.

25 Maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla on aina malli: Lause 4.5. Jos kaavajoukko Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, niin olemassa sellainen malli M, että M Ω. Todistus. Olkoon M = (P, T ) malli, jolla T = {p P p Ω}. Todistamme induktiolla kaavan A pituuden suhteen, että tällöin M A A Ω.

26 Väite on voimassa oletuksen mukaan lausemuuttujille. Teemme induktio-oletuksen, että M B B Ω ja M C C Ω. Induktio-oletuksen perusteella M B M B IO B / Ω ja koska Ω on maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko, niin jälkimmäinen ehto on yhtäpitävä sen kanssa, että B Ω. Vastaavasti induktio-oletuksen ja Lauseen 4.4 toisen kohdan perusteella saadaan, että M B C M B ja M C IO B Ω ja C Ω B C Ω.

27 Todistamme seuraavaksi, että jokainen ristiriidaton kaavajoukko voidaan laajentaa maksimaalisesti ristiriidattomaksi kaavajoukoksi. Lause 4.6. (Lindenbaumin lemma) Olkoon kaavajoukko Ω ristiriidaton. Tällöin on olemassa sellainen maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko Γ, että Ω Γ. Todistus. Koska tarkastelemamme kielet ovat numeroituvia, voimme muodostaa luettelon A 0, A 1, A 2,..., jossa jokainen kielemme kaava esiintyy. Tämä kaavojen numerointi voidaan luonnollisesti tehdä äärettömän monella eri tavalla; oletamme tässä kiinnitetyksi jonkin numerointitavan.

28 Muodostamme kaavajoukot Γ 0 Γ 1 Γ 2 seuraavasti: Γ 0 = Ω ja { Γi {A i }, jos Γ i {A i } on ristiriidaton, Γ i+1 = muulloin. Γ i Todistamme ensin induktiolla, että Γ i on ristiriidaton jokaisella i. Koska Γ 0 = Ω, niin Γ 0 on ristiriidaton. Oletetaan, että Γ i on ristiriidaton. Jos Γ i {A i } on ristiriidaton, on määritelmän mukaan Γ i+1 = Γ i {A i }, ja siten Γ i+1 on ristiriidaton. Muussa tapauksessa Γ i+1 = Γ i, joka on ristiriidaton induktio-oletuksen perusteella.

29 Todistamme nyt, että Γ = i=0 Γ i on joukon Ω maksimaalisesti ristiriidaton laajennus. Ensinnäkin Γ on joukon Ω laajennus, sillä Ω = Γ 0 Γ. Osoitamme seuraavaksi, että Γ on ristiriidaton. Teemme vastaoletuksen: Γ on ristiriitainen. Tällöin on siis olemassa sellaiset kaavat B 1,..., B m Γ, että (B 1 B m ). Koska B 1,..., B m Γ, niin kullakin i {1,..., m} on olemassa j i, jolla B i Γ ji. Olkoon n = max{j 1,..., j m }. Tällöin {B 1,..., B m } Γ n ja myös Γ n olisi ristiriitainen, joten vastaoletus on väärä.

30 Maksimaalisuuden toteamiseksi oletetaan, että A on kaava, ja osoitetaan, että joko A Γ tai A Γ. On olemassa i, j 0, joilla A = A i ja A = A j. Jos A / Γ, niin A / Γ i+1, joten Γ i {A} on ristiriitainen. Tästä seuraa edelleen, että Γ i A. Samoin nähdään, että jos A / Γ, niin Γ j A. Siispä on oltava A Γ tai A Γ, sillä muuten olisi Γ A ja Γ A, mikä on mahdotonta, koska Γ on ristiriidaton. Olemme näin osoittaneet, että Γ on joukon Ω maksimaalisesti ristiriidaton laajennus.

31 Koska jokaisella maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla on malli, niin saamme Lindenbaumin lemmalle seurauksen: Lause 4.7. Jokaisella ristiriidattomalla kaavajoukolla on malli. Edellä olevien tulosten avulla voimme todistaa luonnollisen päättelyn systeemin täydellisyyden: Lause 4.8. Olkoon Γ {A} kaavajoukko. Jos Γ A, niin Γ A. Todistus. Todistamme väitteen kontraposition. Oletamme, että Γ A. Tällöin kaavajoukko Γ { A} on ristiriidaton ja tällä kaavajoukolla on malli M. Koska malli M on myös joukon Γ malli ja M A, niin Γ A.

32 Seuraavaksi osoitamme, että kaikkien maksimaalisesti ristiriidattomien kaavajoukkojen leikkaus on teoreemojen joukko: Lause 4.9. Olkoon M kaikkien maksimaalisesti ristiriidattomien kaavajoukkojen joukko. Tällöin Γ M Γ = {A kaava A} Todistus. Oletetaan, että A. Jos Γ on maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko, niin A Γ. Täten siis A Γ M Γ. Oletetaan sitten, että A. Tällöin kaavan A negaation muodostama joukko { A} on ristiriidaton ja täydennettävissä maksimaalisesti ristiriidattomaksi kaavajoukoksi Γ. Koska A / Γ, niin A / Γ M Γ.

33 Jos kaavajoukolla Γ on malli, niin triviaalisti sen jokaisella äärellisellä osajoukolla on malli. Todistamme lopuksi käänteisen väitteen eli lauselogiikan kompaktisuuden: Lause Olkoon Γ kaavajoukko, jonka jokaisella äärellisellä osajoukolla on malli. Tällöin myös kaavajoukolla Γ on malli. Todistus. Teemme vastaoletuksen, että joukolla Γ ei ole mallia. Tällöin siis joukko Γ on ristiriitainen, joten Γ A A. Päättelyiden äärellisyydestä seuraa, että on olemassa sellainen äärellinen osajoukko Γ Γ, että Γ A A. Mutta tällöin joukon Γ äärellisellä osajoukolla Γ ei voi olla mallia, joka on ristiriidassa oletusten kanssa.

34 Semanttiset puut Esimerkki. Tarkastellaan kysymystä, onko kaava A toteutuva: A = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )). Tutkitaan tätä päättelemällä semanttisesti seuraavaan tapaan: (1) Olkoon M malli. Tällöin M = A, jos ja vain jos M = p 0 p 1 ja M = (p 1 p 2 ). Tilanne voidaan esittää seuraavalla kuvalla: A p 0 p 1 (p 1 p 2 ) Merkki viittaa siihen, että kaavaa A ei enää tarvitse käsitellä jatkossa, vaan riittää tarkastella sen alla olevia kaavoja.

35 (2) Edelleen disjunktion totuusmääritelmän perusteella M = p 0 p 1 jos ja vain jos M = p 0 tai M = p 1. Tarkastelu voidaan siis jakaa kahteen eri tapaukseen seuraavan kuvan mukaisesti: A p 0 p 1 (p 1 p 2 ) p 0 p 1

36 (3) Vastaavasti disjunktion ja negaation totuusmääritelmistäa seuraa, että M = (p 1 p 2 ) jos ja vain jos M = p 1 ja M = p 2. Edelläolevaa puuta voidaan siis jatkaa seuraavasti: A p 0 p 1 (p 1 p 2 ) p 0 p 1 p 1 p 1 p 2 p 2 O X

37 (4) Yhdistämällä kohdat (1)-(3) nähdään, että M = A jos ja vain jos mallissa M on totta kaikki ylläolevan puun joko vasemmanpuoleisella tai oikeanpuoleisella oksalla olevat kaavat. Jälkimmäinen ei ole mahdollista, koska oikeanpuoleisella oksalla on keskenään ristiriitaiset kaavat p 1 ja p 1 ; oksan päähän on lisätty X merkiksi ristiriitaisuudesta. Sen sijaan vasemmanpuoleisella oksalla olevat merkitsemättömät kaavat p 0, p 1 ja p 2 ovat tosia missä hyvänsä mallissa M = (P, T ), jolla p 0, p 1, p 2 T. Olemme siis löytäneet kaavalle M mallin, joten se on toteutuva. Vasemmanpuoleisen oksan perään on myös lisätty merkki O, koska sillä olevia kaavoja ei voi enää palauttaa yksinkertaisemmiksi, eikä se sisällä ristiriitaa.

38 Edellisessä esimerkissä muodostettua puuta sanotaan kaavan A semanttiseksi puuksi. Semanttisen puun avulla voidaan siis osoittaa, että tarkasteltava kaava on toteutuva. Semanttisella puulla voidaan myös todistaa, että annettu kaava ei ole toteutuva muodostamalla sille semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia. Esimerkki. Osoitetaan, että kaava A = (((p 0 p 1 ) p 2 ) (p 0 p 2 )) ei ole toteutuva. Koska A on implikaation negaatio, saadaan aluksi seuraava puu: A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 )

39 Käsitellään seuraavaksi alimmainen kaava, joka on myös implikaation negaatio: A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2

40 Tämän jälkeen käsitellään A:n alapuolella oleva implikaatio. Se on tosi, jos ja vain jos joko sen vasen puoli on epätosi tai sen oikea puoli on tosi; puu haarautuu siis kahteen oksaan: A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2 (p 0 p 1 ) p 2 Oikeanpuoleinen oksa todetaan heti ristiriitaiseksi ( p 2 ja p 2 ). Käsitellään vielä vasemmalla oksalla oleva disjunktion negaatio:

41 A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2 (p 0 p 1 ) p 2 p 0 X p 1 X Nyt huomataan, että myös vasemmanpuoleinen oksa on ristiriitainen (p 0 ja p 0 ).

42 Semanttisten puiden muodostamisessa käytetään sääntöjä, jotka perustuvat siis konnektiivien totuusmääritelmiin. Listaamme seuraavaksi kaikki nämä säännöt. Kullakin kaksipaikkaisella konnektiivilla on kaksi sääntöä, joista toista sovelletaan negaation kanssa. Negaatio on siis mukana kaikkien muiden konnektiivien säännöissä, ja lisäksi sillä on yksi oma sääntönsä. Konjunktio: A B (A B) A A B B

43 Disjunktio: A B (A B) A B A B Implikaatio: A B (A B) A B A B

44 Ekvivalenssi: A B (A B) A A A A B B B B Negaatio: A A

45 Sääntöjä tulkitaan niin, että niiden tuottamat uudet kaavat on lisättävä jokaisen sellaisen oksan päähän, jolla säännön lähtökohtana oleva kaavan esiintymä on. Esimerkiksi kun sovelletaan implikaation negaation sääntöä tilanteessa. C. (A B).. D

46 päädytään puuhun. (A B)... C D A A B B

47 Poikkeuksen tästä sovellusohjeesta muodostavat ristiriitaiset oksat, eli oksat, joilla on sekä jokin kaava B että sen negaatio B. Tällaista oksaa ei tarvitse enää jatkaa, ja merkiksi ristiriitaisuudesta oksan loppuun voidaan lisätä merkki X. Semanttisen puun oksaa sanotaan lopulliseksi, jos se on ristiriitainen tai kaikki sillä olevat käsittelemättömät (eli symbolilla merkitsemättömät) kaavat ovat literaaleja (eli lausemuuttujia tai lausemuuttujan negaatioita). Lopullinen oksa on avoin, jos se ei ole ristiriitainen; tällaisen oksan voi merkitä lisäämällä sen perään symbolin O. Semanttinen puu on lopullinen, jos sen kaikki oksat ovat lopullisia.

48 Koska literaalien totuus määräytyy suoraan tarkasteltavasta mallista M, niiden totuutta ei voi enää palauttaa yksinkertaisempien kaavojen totuuteen. Siksi kaavan lopullisesta semanttisesta puusta voidaan suoraan nähdä, onko kaava toteutuva vai ei: jos puun kaikki oksat ovat ristiriitaisia, niin kaava ei ole toteutuva, jos taas puussa on yksikin avoin oksa, niin kaavalla on malli. Semanttisen puun avulla voidaan myös todistaa, että annettu kaava A on validi: Jos nimittäin kaavalla A on semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia, niin A ei ole toteutuva, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että A on validi.

49 Edelläsanotun mukaisesti määrittelemme, että kaavan A semanttinen todistus on sellainen A:n semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia. Esimerkki. Annetaan semanttinen todistus kaavalle D = ( A B) (A B). Ensimmäinen vaihe: D A B ( A B) (A B) (A B)

50 Käsitellään seuraavaksi konjunktio ja kaksoisnegaatio vasemmalla sekä disjunktion negaatio oikealla: D A B ( A B) (A B) (A B) A A B B A B

51 Lopuksi käsitellään disjunktio vasemmalla ja konjunktion negaatio oikealla: D A B ( A B) (A B) (A B) A A B B A B A B A B X X X X Nyt huomataan, että kaikki saadun puun oksat ovat ristiriitaisia, joten semanttinen todistus kaavalle D on valmis.

52 Semanttisen puun avulla voidaan myös tutkia kysymystä, onko annettu kaava B kaavojen A 1,..., A n looginen seuraus: A 1,... A n = B, jos ja vain jos A 1... A n B on validi. Riittää siis tutkia tämän implikaation negaation semanttista puuta. Esimerkki. Olkoon A = (p 0 p 1 ) ja B = p 0 p 1. Osoitetaan semanttisten puiden avulla, että A = B, mutta B = A. Ensimmäistäa väitettä varten muodostetaan kaavan (A B) semanttinen puu (seuraavalla sivulla vasemmalla) ja toista varten kaavan (B A) semanttinen puu (oikealla). Vasemmanpuoleisen puun kaikki oksat ovat ristiriitaisia, joten kaava A B on validi. Sen sijaan kaavan (B A) lopullisessa semanttisessa puussa on kaksi avointa oksaa, joten A ei ole kaavan B looginen seuraus. Avoimilta oksilta nähdään, että (B A) on tosi sellaisissa malleissa M, joilla M = p 0 ja M = p 1.

53 (A B) (B A) A B B A p 0 p 0 p 1 p 1 p 0 p 1 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 X X X p 1 X p 1 O O