Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luonnollisen päättelyn luotettavuus"

Transkriptio

1 Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä voidaan pitää johdettuna sääntönä. Kun Γ on kaavajoukko ja B kaava, käytämme merkintää (Γ, B) viittaamaan merkkijonoon, joka on määritelmämme mukainen kaavan B deduktio joukosta Γ. Koska jonossa (Γ, B) saa kaavojen lisäksi esiintyä myös (ali)deduktioita, määritelmä on rekursiivinen. Deduktion aste on 0, jos siinä ei ole alideduktioita. Jos deduktio sisältää yhden tai useamman alideduktion, niin sen aste on yhtä suurempi kuin sen korkeinta astetta olevan alideduktion aste.

2 Kaavajono (B 1,..., B m ) on 0-asteinen kaavan B deduktio joukosta Γ, jos B m = B ja jonon jokainen alkio B l toteuttaa jonkin seuraavista ehdoista: (1) B l Γ. (2) B l on kaava, jota ennen jonossa esiintyy kaava B i, josta B l on pääteltävissä päättelysäännön ( E), ( E) tai ( T ) avulla. (3) B l on kaava, jota ennen jonossa esiintyy kaavat B i ja B j, joista B l on pääteltävissä päättelysäännön ( T ), ( E), ( E) tai ( T ) avulla.

3 Esimerkki. Aikaisemman esimerkin deduktio A ( B C) A (B C) voidaan esittää merkkijonona ( A ( B C), B C, B, B, C, B C, A, A (B C) ). Tässä 1. kaava A ( B C) on oletus, 2. kaava B C on johdettu siitä säännön E avulla, 3. kaava B 2. kaavasta säännön E avulla, 4. kaava B siitä säännön E avulla, 5. kaava C 2. kaavasta säännön E avulla, 6. kaava B C 4. ja 5. kaavoista säännön T avulla, 7. kaava A 1. kaavasta säännön E avulla ja viimeinen kaava 6. ja 7. kaavoista säännön T avulla.

4 Olkoon k 1. Oletamme määritellyksi korkeintaan astetta k 1 olevat deduktiot. Käytämme symboleja β 1,..., β m viittaamaan sekä lauselogiikan kaavoihin että deduktioihin. Merkkijono (β 1,... β m ) on korkeintaan k-asteinen kaavan B deduktio kaavajoukosta Γ, jos β m = B ja jonon jokainen alkio β l toteuttaa jonkin seuraavista ehdoista:

5 (0) β l on korkeintaan astetta k 1 oleva deduktio. (1) β l Γ. (2) β l on kaava, jota ennen jonossa on kaava β i, josta β l on pääteltävissä säännöllä ( E), ( E) tai ( T ). (3) β l on kaava, jota ennen jonossa on kaavat β i ja β j, joista β l on pääteltävissä säännöllä ( T ), ( E), ( E) tai ( T ). (4) β l on kaava, jota ennen jonossa esiintyy kaava C D ja korkeintaan astetta k 1 olevat alideduktiot (Γ {C}, β l ) ja (Γ {D}, β l ). (5) β l on implikaatio C D, jota ennen jonossa esiintyy korkeintaan astetta k 1 oleva alideduktio (Γ {C}, D). (6) β l on negaatio C, jota ennen jonossa esiintyy korkeintaan astetta k 1 oleva alideduktio (Γ {C}, D D).

6 Nyt siis Γ B tarkoittaa sitä, että on olemassa k-asteinen deduktio (Γ, B) jollakin k N. Esimerkki. Esitetään aiemmassa esimerkissä ollut deduktio A A B merkkijonona: ( A, ( A, ( B, A, A, A A ), B, B ), A B ). Tässä α = ( B, A, A, A A ) on astetta 0 oleva deduktio, joka osoittaa, että { A, A} { B} A A. Merkkijono β = ( A, α, B, B ) on astetta 1 oleva deduktio, joka osoittaa, että { A} {A} B. Koko merkkijono ( A, β, A B) on täten astetta 2 oleva deduktio, joka osoittaa, että A A B.

7 Todistamme induktiolla deduktion asteen k suhteen, että jos Γ on kaavajoukko, B kaava, M joukon Γ malli ja (β 1, β 2,..., β m ) on deduktio (Γ, B), niin M B. Tapauksessa k = 0 deduktio (β 1, β 2,..., β m ) ei sisällä ollenkaan alideduktioita, joten jonon kaikki jäsenet ovat kaavoja. Todistamme induktiolla jonon pituuden suhteen, että M β l jokaisella l {1,..., m}.

8 Tarkastelemme jonon jäsentä β l ja teemme induktio-oletuksen, että M β i, kun i < l. Jos β l Γ, niin triviaalisti M β l (kun l = 1, tämä on ainoa mahdollinen tapaus). Tarkastelemme seuraavaksi tapausta,että β l / Γ. Koska oletuksemme mukaan M β i, kun i < l, ja päättelysäännöt ( E), ( E), ( T ), ( T ), ( E), ( E) ja ( T ) säilyttävät totuuden mallissa, niin M β l. Yllä olevan perusteella M β l, kun l m ja koska β m = B, niin erityisesti siis M B. Olemme näin todistaneet väitteemme tapauksessa, että deduktion aste on 0.

9 Teemme induktio-oletuksen, että kun k 1 ja kun deduktion (Γ, B ) aste on korkeintaan k 1, niin väite pitää paikkansa, ja tarkastelemme k-asteista deduktiota (Γ, B) = (β 1, β 2,..., β m ). Olkoon l 1. Teemme induktio-oletuksen: M β i aina, kun i < l ja β i on kaava. Jos β l Γ tai β l on kaava, joka on päätelty jonkin säännöistä ( E), ( E), ( T ), ( T ), ( E), ( E) ja ( T ) avulla, niin saamme kuten 0-asteisten deduktioiden tapauksessa, että M β l. Tarkastelemme seuraavaksi tapauksia, joissa kaava β l on päätelty säännön ( E), ( T ) tai ( T ) avulla.

10 Olkoon kaava β l päätelty säännön ( E) avulla kaavasta C D ja alideduktioista 1 = (Γ {C}, β l ) ja 2 = (Γ {D}, β l ). Koska kaava C D esiintyy deduktiossa ennen kaavaa β l, niin oletuksemme mukaan M C D. Siis M C tai M D. Koska M on joukon Γ malli, niin M on myös joukon Γ {C} tai Γ {D} malli ja koska deduktioiden 1 ja 2 aste on korkeintaan k 1, niin induktio-oletuksemme mukaan M β l.

11 Olkoon kaava β l = A C päätelty säännön ( T ) avulla alideduktiosta (Γ {A}, C). Jos M A, niin M A C. Jos M A, niin M on joukon Γ {A} malli. Koska alideduktion (Γ {A}, C) aste on korkeintaan k 1, niin induktio-oletuksen mukaan tällöin M C. Tässäkin tapauksessa siis M A C.

12 Viimeisenä tapauksena tarkastelemme sitä, että kaava β l = C on päätelty säännön ( T ) avulla alideduktiosta 1 = (Γ {C}, D D). Teemme nyt vastaoletuksen, että M C. Tällöin M C, joten M on joukon Γ {C} malli ja koska deduktion 1 aste on korkeintaan k 1, niin induktio-oletuksemme perusteella M D D. Tämä on kuitenkin mahdotonta, joten M C.

13 Edellä esitetyn perusteella k-asteisille deduktioille (Γ, B) pätee, että M B, kun M on joukon Γ malli. Induktioperiaatteen mukaisesti olemme näin todistaneet, että jos M on joukon Γ malli ja Γ B, niin M B. Täten olemme todistaneet luonnollisen päättelyn systeemin luotettavuuden: Luotettavuuslause. Jos Γ B, niin Γ B.

14 Ristiriitaisuus Kun käytettävissä on deduktion käsite, niin voidaan määritellä täsmällisesti, mitä tarkoitetaan ristiriitaisuudella: Kaavajoukko S on ristiriitainen, jos ja vain jos on olemassa sellainen kaava A, että joukosta S voidaan johtaa sekä kaava A että A. Ristiriitaisuus voidaan määritellä muullakin tavalla. Voidaan nimittäin todistaa, että lause- ja predikaattilogiikan päättelysysteemeissä seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) on olemassa sellainen kaava A, että S A ja S A, (2) on olemassa sellainen kaava A, että S A A, (3) kaavajoukosta S voidaan johtaa mikä tahansa kaava.

15 Osoitamme nyt ehdot (1), (2) ja (3) yhtäpitäviksi. Ensinnäkin ehdosta (3) seuraa triviaalisti ehto (1). Oletetaan sitten, että S A ja S A. Tällöin konjunktion tuonnilla saadaan S A A. Siis ehdosta (1) seuraa ehto (2). Deduktio (1) A A (2) B vastaoletus (3) A A 1, R (4) B 2 3, T (5) B 4, E osoittaa, että kaavasta A A voidaan johtaa mielivaltainen kaava B. Ehdosta (2) seuraa siis ehto (3).

16 Yhden kaavan muodostama joukko { A} on ristiriitainen, jos ja vain jos A. Yleisemmin jos kaavajoukko Ω { A} on ristiriitainen, niin sääntöjen T ja E avulla voidaan kaavajoukosta Ω johtaa kaava A. Kontrapositiona tästä saamme Lause 4.1. Jos Ω A, niin kaavajoukko Ω { A} on ristiriidaton. Todistamme vielä neljännenkin luonnehdinnan ristiriitaisuudelle: Lause 4.2. Kaavajoukko Ω on ristiriitainen, jos ja vain jos on olemassa sellainen äärellinen kaavajoukko {A 1,..., A n } Ω, että (A 1 A n ).

17 Todistus. Oletetaan ensin, että Ω on ristiriitainen. Tällöin on olemassa kaava A, jolla Ω A A. Koska deduktiot ovat aina äärellisiä, on olemassa A 1,..., A n Ω siten, että A 1 A n A A. Deduktioteoreeman nojalla tästä seuraa, että A 1 A n A A. Soveltamalla negaation tuontia, saadaan edelleen (A 1 A 2 A n ). Oletetaan kääntäen, että on olemassa sellaiset kaavat A 1,..., A n Ω, että A, missä A = (A 1 A 2 A n ). Tällöin triviaalisti myös Ω A. Koska A 1,..., A n A, niin Ω A, joten ja Ω on ristiriitainen.

18 Määrittelemme, että kaavajoukko Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, jos se on ristiriidaton, mutta sen jokainen aito laajennus on ristiriitainen. Ristiriidattomaan kaavajoukkoon voi kuulua korkeintaan toinen kaavoista A ja A. Toisaalta maksimaalisesti ristiriidattomaan kaavajoukkoon kuuluu ainakin toinen näistä kaavoista: Lause. Kaavajoukko Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, jos ja vain jos se on ristiriidaton ja jokaisella kaavalla A joko A Ω tai A Ω.

19 Todistus. Jos Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, niin se on määritelmän nojalla ristiriidaton. Olkoon A kaava. Jos A / Ω ja A / Ω, niin maksimaalisuuden perusteella sekä Ω {A} että Ω { A} ovat ristiriitaisia. Tällöin Ω A ja Ω A, mikä on mahdotonta, koska Ω on ristiriidaton. Oletetaan sitten, että Ω on ristiriidaton ja jokaisella kaavalla A joko A Ω tai A Ω. Nyt jos B / Ω, niin B Ω, jolloin Ω {B} on selvästi ristiriitainen. Siis joukolla Ω ei ole olemassa ristiriidatonta aitoa laajennusta.

20 Esimerkki. Olkoon M malli (koko kielelle). Osoitetaan, että joukko on maksimaalisesti ristiriidaton. Ω = {A kaava M A} Osoitetaan ensin, että Ω on ristiriidaton. Teemme vastaoletuksen, että on olemassa sellainen kaava B, että Ω B ja Ω B. Luotettavuuden perusteella tällöin Ω B ja Ω B. Koska M on triviaalisti kaavajoukon Ω malli, niin tällöin M B ja M B, joka on mahdotonta. Siis Ω on ristiriidaton. Koska jokaisella kaavalla B pätee M B tai M B, joukon Ω maksimaalinen ristiriidattomuus seuraa edellisestä lauseesta.

21 Täydellisyys Todistamme luonnollisen päättelyn täydellisyyden seuraavasti: (1) Osoitamme ensin, että jokaisella maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla on malli hyödyntäen maksimaalisesti ristiriidattoman kaavajoukon ominaisuuksia. (2) Todistamme sitten Lindenbaumin lemman, jonka mukaan jokainen ristiriidaton kaavajoukko on laajennettavissa maksimaalisesti ristiriidattomaksi kaavajoukoksi. (3) Olemme todenneet edellä, että jos Ω A, niin kaavajoukko Ω { A} on ristiriidaton. Tällöin kohtien (1) ja (2) perusteella kaavajoukolla Ω { A} on malli ja tästä seuraa, että Ω A. Tämä todistaa täydellisyystuloksen Ω A Ω A.

22 Johdamme ensin eräitä maksimaalisesti ristiriidattomien kaavajoukkojen ominaisuuksia Lause 4.4 Olkoon Γ maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin on voimassa (1) A Γ, jos ja vain jos A / Γ, (2) A B Γ, jos ja vain jos A Γ ja B Γ, (3) A Γ, jos ja vain jos Γ A. Todistus. Kohta (1): Jos A Γ, niin joukon Γ ristiriidattomuuden perusteella A / Γ. Jos A / Γ, niin joukon Γ maksimaalisuuden perusteella A Γ. Siis A Γ, jos ja vain jos A / Γ.

23 Kohta (2): Oletamme ensin, että A B Γ. Jos A / Γ, niin kohdan (1) perusteella A Γ. Tällöin Γ A ja koska A B A, niin myös Γ A. Joukko Γ olisi tällöin vastoin oletusta ristiriitainen. Täten A Γ. Vastaavasti saamme, että B Γ. Oletamme kääntäen, että A Γ ja B Γ. Koska A, B A B ja Γ on ristiriidaton, niin (A B) / Γ. Kohdan (1) perusteella tällöin A B Γ. Kohta (2) on näin todistettu. Kohta (3): Jos A Γ, niin triviaalisti Γ A. Oletetaan kääntäen, että Γ A. Koska Γ on ristiriidaton, niin tällöin A / Γ. Kohdan (1) perusteella saamme, että A Γ.

24 Jos käytettävässä kielessä L on mukana konnektiivit, ja, niin kielen L maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla Γ voidaan todistaa olevan myös seuraavat ominaisuudet (HT): (4) A B Γ, jos ja vain jos A Γ tai B Γ, (5) A B Γ, jos ja vain jos A / Γ tai B Γ, (6) A B Γ, jos ja vain jos joko A Γ ja B Γ tai A / Γ ja B / Γ. Voidaan myös todistaa (HT), että jos A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja kaavoja ja Γ maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko, niin A Γ, jos ja vain jos B Γ.

25 Maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla on aina malli: Lause 4.5. Jos kaavajoukko Ω on maksimaalisesti ristiriidaton, niin olemassa sellainen malli M, että M Ω. Todistus. Olkoon M = (P, T ) malli, jolla T = {p P p Ω}. Todistamme induktiolla kaavan A pituuden suhteen, että tällöin M A A Ω.

26 Väite on voimassa oletuksen mukaan lausemuuttujille. Teemme induktio-oletuksen, että M B B Ω ja M C C Ω. Induktio-oletuksen perusteella M B M B IO B / Ω ja koska Ω on maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko, niin jälkimmäinen ehto on yhtäpitävä sen kanssa, että B Ω. Vastaavasti induktio-oletuksen ja Lauseen 4.4 toisen kohdan perusteella saadaan, että M B C M B ja M C IO B Ω ja C Ω B C Ω.

27 Todistamme seuraavaksi, että jokainen ristiriidaton kaavajoukko voidaan laajentaa maksimaalisesti ristiriidattomaksi kaavajoukoksi. Lause 4.6. (Lindenbaumin lemma) Olkoon kaavajoukko Ω ristiriidaton. Tällöin on olemassa sellainen maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko Γ, että Ω Γ. Todistus. Koska tarkastelemamme kielet ovat numeroituvia, voimme muodostaa luettelon A 0, A 1, A 2,..., jossa jokainen kielemme kaava esiintyy. Tämä kaavojen numerointi voidaan luonnollisesti tehdä äärettömän monella eri tavalla; oletamme tässä kiinnitetyksi jonkin numerointitavan.

28 Muodostamme kaavajoukot Γ 0 Γ 1 Γ 2 seuraavasti: Γ 0 = Ω ja { Γi {A i }, jos Γ i {A i } on ristiriidaton, Γ i+1 = muulloin. Γ i Todistamme ensin induktiolla, että Γ i on ristiriidaton jokaisella i. Koska Γ 0 = Ω, niin Γ 0 on ristiriidaton. Oletetaan, että Γ i on ristiriidaton. Jos Γ i {A i } on ristiriidaton, on määritelmän mukaan Γ i+1 = Γ i {A i }, ja siten Γ i+1 on ristiriidaton. Muussa tapauksessa Γ i+1 = Γ i, joka on ristiriidaton induktio-oletuksen perusteella.

29 Todistamme nyt, että Γ = i=0 Γ i on joukon Ω maksimaalisesti ristiriidaton laajennus. Ensinnäkin Γ on joukon Ω laajennus, sillä Ω = Γ 0 Γ. Osoitamme seuraavaksi, että Γ on ristiriidaton. Teemme vastaoletuksen: Γ on ristiriitainen. Tällöin on siis olemassa sellaiset kaavat B 1,..., B m Γ, että (B 1 B m ). Koska B 1,..., B m Γ, niin kullakin i {1,..., m} on olemassa j i, jolla B i Γ ji. Olkoon n = max{j 1,..., j m }. Tällöin {B 1,..., B m } Γ n ja myös Γ n olisi ristiriitainen, joten vastaoletus on väärä.

30 Maksimaalisuuden toteamiseksi oletetaan, että A on kaava, ja osoitetaan, että joko A Γ tai A Γ. On olemassa i, j 0, joilla A = A i ja A = A j. Jos A / Γ, niin A / Γ i+1, joten Γ i {A} on ristiriitainen. Tästä seuraa edelleen, että Γ i A. Samoin nähdään, että jos A / Γ, niin Γ j A. Siispä on oltava A Γ tai A Γ, sillä muuten olisi Γ A ja Γ A, mikä on mahdotonta, koska Γ on ristiriidaton. Olemme näin osoittaneet, että Γ on joukon Ω maksimaalisesti ristiriidaton laajennus.

31 Koska jokaisella maksimaalisesti ristiriidattomalla kaavajoukolla on malli, niin saamme Lindenbaumin lemmalle seurauksen: Lause 4.7. Jokaisella ristiriidattomalla kaavajoukolla on malli. Edellä olevien tulosten avulla voimme todistaa luonnollisen päättelyn systeemin täydellisyyden: Lause 4.8. Olkoon Γ {A} kaavajoukko. Jos Γ A, niin Γ A. Todistus. Todistamme väitteen kontraposition. Oletamme, että Γ A. Tällöin kaavajoukko Γ { A} on ristiriidaton ja tällä kaavajoukolla on malli M. Koska malli M on myös joukon Γ malli ja M A, niin Γ A.

32 Seuraavaksi osoitamme, että kaikkien maksimaalisesti ristiriidattomien kaavajoukkojen leikkaus on teoreemojen joukko: Lause 4.9. Olkoon M kaikkien maksimaalisesti ristiriidattomien kaavajoukkojen joukko. Tällöin Γ M Γ = {A kaava A} Todistus. Oletetaan, että A. Jos Γ on maksimaalisesti ristiriidaton kaavajoukko, niin A Γ. Täten siis A Γ M Γ. Oletetaan sitten, että A. Tällöin kaavan A negaation muodostama joukko { A} on ristiriidaton ja täydennettävissä maksimaalisesti ristiriidattomaksi kaavajoukoksi Γ. Koska A / Γ, niin A / Γ M Γ.

33 Jos kaavajoukolla Γ on malli, niin triviaalisti sen jokaisella äärellisellä osajoukolla on malli. Todistamme lopuksi käänteisen väitteen eli lauselogiikan kompaktisuuden: Lause Olkoon Γ kaavajoukko, jonka jokaisella äärellisellä osajoukolla on malli. Tällöin myös kaavajoukolla Γ on malli. Todistus. Teemme vastaoletuksen, että joukolla Γ ei ole mallia. Tällöin siis joukko Γ on ristiriitainen, joten Γ A A. Päättelyiden äärellisyydestä seuraa, että on olemassa sellainen äärellinen osajoukko Γ Γ, että Γ A A. Mutta tällöin joukon Γ äärellisellä osajoukolla Γ ei voi olla mallia, joka on ristiriidassa oletusten kanssa.

34 Semanttiset puut Esimerkki. Tarkastellaan kysymystä, onko kaava A toteutuva: A = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )). Tutkitaan tätä päättelemällä semanttisesti seuraavaan tapaan: (1) Olkoon M malli. Tällöin M = A, jos ja vain jos M = p 0 p 1 ja M = (p 1 p 2 ). Tilanne voidaan esittää seuraavalla kuvalla: A p 0 p 1 (p 1 p 2 ) Merkki viittaa siihen, että kaavaa A ei enää tarvitse käsitellä jatkossa, vaan riittää tarkastella sen alla olevia kaavoja.

35 (2) Edelleen disjunktion totuusmääritelmän perusteella M = p 0 p 1 jos ja vain jos M = p 0 tai M = p 1. Tarkastelu voidaan siis jakaa kahteen eri tapaukseen seuraavan kuvan mukaisesti: A p 0 p 1 (p 1 p 2 ) p 0 p 1

36 (3) Vastaavasti disjunktion ja negaation totuusmääritelmistäa seuraa, että M = (p 1 p 2 ) jos ja vain jos M = p 1 ja M = p 2. Edelläolevaa puuta voidaan siis jatkaa seuraavasti: A p 0 p 1 (p 1 p 2 ) p 0 p 1 p 1 p 1 p 2 p 2 O X

37 (4) Yhdistämällä kohdat (1)-(3) nähdään, että M = A jos ja vain jos mallissa M on totta kaikki ylläolevan puun joko vasemmanpuoleisella tai oikeanpuoleisella oksalla olevat kaavat. Jälkimmäinen ei ole mahdollista, koska oikeanpuoleisella oksalla on keskenään ristiriitaiset kaavat p 1 ja p 1 ; oksan päähän on lisätty X merkiksi ristiriitaisuudesta. Sen sijaan vasemmanpuoleisella oksalla olevat merkitsemättömät kaavat p 0, p 1 ja p 2 ovat tosia missä hyvänsä mallissa M = (P, T ), jolla p 0, p 1, p 2 T. Olemme siis löytäneet kaavalle M mallin, joten se on toteutuva. Vasemmanpuoleisen oksan perään on myös lisätty merkki O, koska sillä olevia kaavoja ei voi enää palauttaa yksinkertaisemmiksi, eikä se sisällä ristiriitaa.

38 Edellisessä esimerkissä muodostettua puuta sanotaan kaavan A semanttiseksi puuksi. Semanttisen puun avulla voidaan siis osoittaa, että tarkasteltava kaava on toteutuva. Semanttisella puulla voidaan myös todistaa, että annettu kaava ei ole toteutuva muodostamalla sille semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia. Esimerkki. Osoitetaan, että kaava A = (((p 0 p 1 ) p 2 ) (p 0 p 2 )) ei ole toteutuva. Koska A on implikaation negaatio, saadaan aluksi seuraava puu: A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 )

39 Käsitellään seuraavaksi alimmainen kaava, joka on myös implikaation negaatio: A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2

40 Tämän jälkeen käsitellään A:n alapuolella oleva implikaatio. Se on tosi, jos ja vain jos joko sen vasen puoli on epätosi tai sen oikea puoli on tosi; puu haarautuu siis kahteen oksaan: A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2 (p 0 p 1 ) p 2 Oikeanpuoleinen oksa todetaan heti ristiriitaiseksi ( p 2 ja p 2 ). Käsitellään vielä vasemmalla oksalla oleva disjunktion negaatio:

41 A (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2 (p 0 p 1 ) p 2 p 0 X p 1 X Nyt huomataan, että myös vasemmanpuoleinen oksa on ristiriitainen (p 0 ja p 0 ).

42 Semanttisten puiden muodostamisessa käytetään sääntöjä, jotka perustuvat siis konnektiivien totuusmääritelmiin. Listaamme seuraavaksi kaikki nämä säännöt. Kullakin kaksipaikkaisella konnektiivilla on kaksi sääntöä, joista toista sovelletaan negaation kanssa. Negaatio on siis mukana kaikkien muiden konnektiivien säännöissä, ja lisäksi sillä on yksi oma sääntönsä. Konjunktio: A B (A B) A A B B

43 Disjunktio: A B (A B) A B A B Implikaatio: A B (A B) A B A B

44 Ekvivalenssi: A B (A B) A A A A B B B B Negaatio: A A

45 Sääntöjä tulkitaan niin, että niiden tuottamat uudet kaavat on lisättävä jokaisen sellaisen oksan päähän, jolla säännön lähtökohtana oleva kaavan esiintymä on. Esimerkiksi kun sovelletaan implikaation negaation sääntöä tilanteessa. C. (A B).. D

46 päädytään puuhun. (A B)... C D A A B B

47 Poikkeuksen tästä sovellusohjeesta muodostavat ristiriitaiset oksat, eli oksat, joilla on sekä jokin kaava B että sen negaatio B. Tällaista oksaa ei tarvitse enää jatkaa, ja merkiksi ristiriitaisuudesta oksan loppuun voidaan lisätä merkki X. Semanttisen puun oksaa sanotaan lopulliseksi, jos se on ristiriitainen tai kaikki sillä olevat käsittelemättömät (eli symbolilla merkitsemättömät) kaavat ovat literaaleja (eli lausemuuttujia tai lausemuuttujan negaatioita). Lopullinen oksa on avoin, jos se ei ole ristiriitainen; tällaisen oksan voi merkitä lisäämällä sen perään symbolin O. Semanttinen puu on lopullinen, jos sen kaikki oksat ovat lopullisia.

48 Koska literaalien totuus määräytyy suoraan tarkasteltavasta mallista M, niiden totuutta ei voi enää palauttaa yksinkertaisempien kaavojen totuuteen. Siksi kaavan lopullisesta semanttisesta puusta voidaan suoraan nähdä, onko kaava toteutuva vai ei: jos puun kaikki oksat ovat ristiriitaisia, niin kaava ei ole toteutuva, jos taas puussa on yksikin avoin oksa, niin kaavalla on malli. Semanttisen puun avulla voidaan myös todistaa, että annettu kaava A on validi: Jos nimittäin kaavalla A on semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia, niin A ei ole toteutuva, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että A on validi.

49 Edelläsanotun mukaisesti määrittelemme, että kaavan A semanttinen todistus on sellainen A:n semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia. Esimerkki. Annetaan semanttinen todistus kaavalle D = ( A B) (A B). Ensimmäinen vaihe: D A B ( A B) (A B) (A B)

50 Käsitellään seuraavaksi konjunktio ja kaksoisnegaatio vasemmalla sekä disjunktion negaatio oikealla: D A B ( A B) (A B) (A B) A A B B A B

51 Lopuksi käsitellään disjunktio vasemmalla ja konjunktion negaatio oikealla: D A B ( A B) (A B) (A B) A A B B A B A B A B X X X X Nyt huomataan, että kaikki saadun puun oksat ovat ristiriitaisia, joten semanttinen todistus kaavalle D on valmis.

52 Semanttisen puun avulla voidaan myös tutkia kysymystä, onko annettu kaava B kaavojen A 1,..., A n looginen seuraus: A 1,... A n = B, jos ja vain jos A 1... A n B on validi. Riittää siis tutkia tämän implikaation negaation semanttista puuta. Esimerkki. Olkoon A = (p 0 p 1 ) ja B = p 0 p 1. Osoitetaan semanttisten puiden avulla, että A = B, mutta B = A. Ensimmäistäa väitettä varten muodostetaan kaavan (A B) semanttinen puu (seuraavalla sivulla vasemmalla) ja toista varten kaavan (B A) semanttinen puu (oikealla). Vasemmanpuoleisen puun kaikki oksat ovat ristiriitaisia, joten kaava A B on validi. Sen sijaan kaavan (B A) lopullisessa semanttisessa puussa on kaksi avointa oksaa, joten A ei ole kaavan B looginen seuraus. Avoimilta oksilta nähdään, että (B A) on tosi sellaisissa malleissa M, joilla M = p 0 ja M = p 1.

53 (A B) (B A) A B B A p 0 p 0 p 1 p 1 p 0 p 1 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 X X X p 1 X p 1 O O

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan

Lisätiedot

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

Seuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ.

Seuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ. Luku 4 Täydellisyyslause Ristiriidattomuus ja toteutuvuus Määritelmä 4.1Olkoon Φ L S kaavajoukko. (a) Φ on ristiriidaton eli konsistentti, Con(Φ), jos ei ole olemassa kaavaa ϕ, jolla Φ ϕ ja Φ ϕ. (b) Φ

Lisätiedot

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa. Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen

Lisätiedot

Modaalilogiikan täydellisyyslauseesta

Modaalilogiikan täydellisyyslauseesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Pitkänen Modaalilogiikan täydellisyyslauseesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Peruskäsitteistö ja semantiikka

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Induktio kaavan pituuden suhteen

Induktio kaavan pituuden suhteen Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3 Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan 1

Johdatus logiikkaan 1 Johdatus logiikkaan 1 28. elokuuta 2014 Tämän tekstin lähtökohtana on ollut moniste Veikko Rantala - Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi, joka on saatavilla netistä http://www.sis.uta.fi/matematiikka/ modaalilogiikka/logpk2003.pdf.

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Taulumenetelmä modaalilogiikalle K

Taulumenetelmä modaalilogiikalle K / Kevät 2004 ML-6 1 Taulumenetelmä modaalilogiikalle On vaikeaa löytää Hilbert-tyylisiä todistuksia: Käytössä Modus Ponens -sääntö: jotta voidaan johtaa Q, täytyy johtaa P ja P Q. Mutta mikä on sopiva

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus

Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sanna Kari Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 2002 Sisältö 1 Johdanto

Lisätiedot

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tia Suurhasko. Hybridilogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tia Suurhasko. Hybridilogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tia Suurhasko Hybridilogiikkaa Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Kesäkuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lauselogiikka Tautologia

Lauselogiikka Tautologia Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien

Lisätiedot

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Johdatus modaalilogiikkaan. Veikko Rantala Ari Virtanen

Johdatus modaalilogiikkaan. Veikko Rantala Ari Virtanen Johdatus modaalilogiikkaan Veikko Rantala Ari Virtanen 1 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Modaalioperaattoreita............................. 4 1.2 Mahdollisen maailman käsitteestä....................... 6 1.3

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot