Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b)."

Transkriptio

1 Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei aivan, naivia : joukkojen muodostamisaksioomeja en käsittele juuri lainkaan, vaan oletan esimerkiksi seuraavat periaatteet tunnetuiksi: jos x on joukko ja φ(s) joukko-opin kaava, niin {s x : φ(s)} on joukko ja jos θ(s, t) on sellainen joukko-opin kaava, joka määrittelee kuvauksen joukolla x (eli y x!z θ(y, z)), niin {z : y x θ(y, z)} on joukko. Samoin oletan esimerkiksi, että on voimassa x y z(z y z x) (tämä potenssijoukkoaksiooma liittää joukkoon x sen potenssijoukon P(x) = {z : z x}). Olkoon X joukko ja < (tiukka) järjestysrelaatio joukolla X; merkitsemme symbolilla vastaavaa ( väljää ) järjestysrelaatiota id X <. Sanomme, että < on joukon X hyvinjärjestys ja että pari (X, <) on hyvinjärjestetty joukko, mikäli seuraava ehto toteutuu: A X(A a A b A a b). Ehdon toteuttava alkio a on joukon A pienin alkio (järjestyksen < suhteen) ja voimme siis lausua hyvinjärjestyksen ehdon seuraavasti: jokaisessa X:n epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Intuitiivisesti on selvää, että X:n järjestys < on hyvinjärjestys joss ei ole olemassa sellaista X:n alkioiden jonoa (x 0, x 1,...), että x n+1 < x n jokaisella n. Tyyppiesimerkki hyvinjärjestetystä joukosta on (N, <), missä < on luonnollisten lukujen joukon N tavallinen suuruusjärjestys. Pannaan merkille, että aina kun (X, <) on hyvinjärjestetty joukko ja Y X, niin järjestyksen < rajoittuma joukkoon Y (eli Y :n relaatio < Y 2 ) on Y :n hyvinjärjestys; seuraavassa merkitsemme järjestyksen < rajoittumaa usein samalla symbolilla <. Järjestetyn joukon (X, <) (aito) alkusegmentti on sellainen joukon X (aito) osajoukko S, että kaikilla x, y X, jos x < y ja y S, niin x S. 1 Lemma Olkoon S hyvinjärjestetyn joukon (X, <) aito alkusegmentti. Tällöin on olemassa sellainen y X, että S = {z X : z < y}. Todistus. Olkoon y X:n epätyhjän osajoukon X S pienin alkio. Tällöin {z X : z < y} S. Toisaalta S {z X : z < y}, sillä muussa tapauksessa jollain s S olisi voimassa y s ja tällöin alkusegmentin määritelmän nojalla pätisi y S, joka on ristiriidassa sen kanssa, että y X S. 1

2 Edellinen tulos ei päde kaikille järjestetyille joukoille: joukko L = {q Q : q < 2} on rationaalilukujen järjestetyn joukon (Q, <) aito alkusegmentti, mutta millään r Q ei ole voimassa L = {q Q : q < r}. Mainitsin yllä, että pari (N, <) on tyypillinen esimerkki hyvinjärjestetystä joukosta. Nyt määriteltävät ordinaalit ovat vielä tyypillisempiä esimerkkejä ja itse asiassa jokainen hyvinjärjestetty joukko voidaan esittää ordinaalina (seuraavassa emme kuitenkaan konstruoi tällaista esitystä muille hyvinjärjestetyille joukoille kuin (N, <):lle). Määritelmä Joukko α on ordinaali jos seuraavat kaksi ehtoa toteutuvat: x α x α; relaatio on joukon α hyvinjärjestys. Tässä määritelmässä pyrimme suurimpaan mahdolliseen ekonomisuuteen käyttämällä valmiiksi määriteltyä kuulumisrelaatiota hyvinjärjestyksen esittämiseen. Kun seuraavassa puhumme ordinaalista hyvinjärjestettynä joukkona, tarkoitamme aina relaatiolla varustettua joukkoa, vaikka jätämmekin tämän relaation yleensä merkitsemättä. Valitettavasti ordinaalien tapauksessa maksimaalinen ekonomisuus ei johda kovin luonnolliseen esitykseen. Kuten seuraavassa näemme, ordinaaleille ero joukkojen, alkioiden ja osajoukkojen välillä on hyvin häilyvä ja tästä johtuen määritelmän ordinaaleista on vaikea saada intuitiivista kuvaa. Tämä ei kuitenkaan ole tärkeää: ordinaalit ovat vain käteviä koodeja hyvinjärjestetyille joukoille. Luettelemme nyt eräitä ordinaalien alkeisominaisuuksia. Ensimmäinen tuloksemme osoittaa, että ordinaaleja voidaan karakterisoida sellaisina hyvinjärjestettyinä joukkoina, joissa aidot alkusegmentit yhtyvät alkioihin. 2 Lemma Joukko S on ordinaalin α aito alkusegmentti joss S = β jollain β α. Todistus. Välttämättömyys. Oletamme, että S on aito alkusegmentti. Lemman 1 nojalla on olemassa sellainen β α, että S = {γ α : γ β}. Koska α on ordinaali ja β α, jokaisella γ β on voimassa γ α. Täten S = {γ : γ β} = β. Riittävyys. Olkoon β α:n alkio. Tällöin β α; tämä sisältyminen on aito, koska muuten olisi voimassa α = β α, mikä olisi ristiriidassa sen kanssa, että on tiukka järjestys joukossa α. Osajoukko β on alkusegmentti, sillä jos δ γ β, niin γ α ja edelleen δ α; joukon α järjestyksen transitiivisuuden nojalla on nyt voimassa δ β. 3 Lemma Ordinaalin jokainen alkio on ordinaali. 2

3 Todistus. Olkoon α ordinaali ja β α. Tällöin β α, joten relaatio joukossa β saadaan rajoittamalla sama relaatio joukosta α; näinollen (β, ) on hyvinjärjestetty joukko. Lisäksi jokaisella γ β on voimassa γ β, sillä ν γ α ν α ja joukon α alkioille ν, γ, β pätee ν γ β ν β, koska on joukon α järjestys. 4 Lemma Ordinaaleille α ja β toteutuu täsmälleen yksi ehdoista α β, β α tai α = β. Todistus. Merkitään γ = α β. Tällöin on voimassa γ = {δ α : δ β} ja tästä seuraa, että γ on α:n alkusegmentti. Samoin γ on β:n alkusegmentti. Lemman 2 nojalla on voimassa γ = α tai γ α ja γ = β tai γ β. Pannaan merkille, ettei voi olla voimassa sekä γ α että γ β, koska tällöin olisi voimassa γ α β eli γ γ, mikä on mahdotonta, koska γ α ja on joukon α tiukka järjestys. Toisaalta näemme helposti, että jos jompikumpi ehdoista γ = α tai γ = β toteutuu, niin tällöin joku ehdoista α β, β α tai α = β toteutuu. Pannaan lopuksi merkille, että lemman kolme ehtoa ovat keskenään toisensa poissulkevia. Jos α = β, niin kumpikaan ehdoista α β tai β α ei voi toteutua, koska tällöin olisi voimassa α α, mikä on mahdotonta kuten juuri todettiin. Toisaalta ei voi olla voimassa sekä α β että β α, sillä tällöin olisi α β α ja tässä tilanteessa olisi voimassa β α, jolloin saisimme taas johtopäätöksen α α. Edellinen lemma sekä ordinaalin määritelmä osoittavat, että relaatio määrittelee järjestyksen ordinaalien välille. Merkitsemme tätä järjestystä tavallisella tiukan järjestyksen symbolilla <. Siis ordinaaleille α ja β pätee: α < β α β. Pannaan merkille, että vastaava väljä järjestys voidaan esittää sisältymisrelaation avulla: α β α β. Seuraavaksi näytämme miten luonnolliset luvut voidaan (epäluonnollisesti!) esittää ordinaaleina. Tyhjä joukko toteuttaa ordinaalin määritelmän triviaalisti ja täten on ordinaali. Jokaiselle ordinaalille α on voimassa α eli α. Täten tyhjä joukko on pienin ordinaali ja sitä merkitään tavallisesti symbolilla 0. Seuraavan tuloksen avulla voimme muodostaa uusia ordinaaleja. 5 Lemma Olkoon α ordinaali. Tällöin joukko α {α} on ordinaali. Jos β on ordinaali ja α < β, niin α {α} β. Todistus. Jos β α {α}, niin joko β α tai β = α; molemmissa tapauksissa β α α {α}. Koska relaatio on joukon α tiukka järjestys, se on myös joukon α {α} 3

4 tiukka järjestys: tässä järjestyksessä on α suurimpana alkiona. Näemme myös suoraan, että koska on joukon α hyvinjärjestys, se on myös joukon α {α} hyvinjärjestys. Olkoon ordinaalille β voimassa α < β eli α β. Tällöin α β ja täten on voimassa α {α} β eli α {α} β. Ordinaalia α {α} kutsutaan ordinaalin α seuraajaksi ja sitä merkitään α + 1:llä. Nyt saamme samaistuksen luonnollisten lukujen ja tiettyjen ordinaalien välille merkitsemällä tavalliseen tapaan = 1, = 2, = 3 jne. Saamme siis esitykset 0 =, 1 = { }, 2 = {, { }}, 3 = {, { }, {, { }}} jne. Selvästikin ordinaalien välinen järjestys antaa näille luonnollisille luvuille niiden tavallisen suuruusjärjestyksen. Merkitsemme On = {x : x on ordinaali}; kyseessä on luokka, muttei joukko. 6 Lemma On ei ole joukko. Todistus. Helposti nähdään, että jos On olisi joukko, niin se olisi ordinaali, jolloin On On, mikä ei voi päteä ordinaalille. 7 Lemma Olkoon A On epätyhjä joukko. Tällöin A on joukon A pienin alkio ja A = sup A. Todistus. Koska B = {α + 1 : α A} on joukko, edellisen lemman tuloksesta seuraa, että on olemassa sellainen ordinaali γ, että γ / B. Jokaisella α A on voimassa γ / α+1 ja täten Lemman 4 nojalla pätee, että α γ. Siis A γ. Tästä seuraa, että joukossa A on pienin alkio δ. Jokaisella α A on voimassa δ α eli δ α; täten δ A. Koska δ A, on voimassa A δ. Näin ollen on voimassa δ = A. Koska A on ordinaalin γ osajoukko, on voimassa A γ. Helposti näemme, että A on γ:n alkusegmentti; täten A on Lemman 2 nojalla ordinaali. Jokaisella α A on voimassa α A eli α A; täten A on A:n yläraja. Jos σ on jokin muu yläraja, niin jokaisella α A on voimassa α σ eli α σ ja tästä seuraa, että on voimassa A σ eli A σ; näin ollen A on pienin yläraja. Seuraava tuloksen antama todistusmenetelmä tunnetaan transfiniittisen induktion periaatteena ja sillä on keskeinen merkitys joukko-opissa ja joukko-opin sovelluksissa. Lause Olkoon P sellainen ordinaaleja koskeva väite, että jokaisella α On on voimassa Tällöin P(α) pätee jokaisella α On. (( β < α)p(β)) P(α). 4

5 Todistus. Tehdään vastaväite: luokka A = {α On : P(α)} on epätyhjä. Olkoon γ A. Joukossa A = {α A : α γ} on pienin alkio δ. Nyt on voimassa P(β) jokaisella β < δ ja tästä seuraa lauseen oletuksen nojalla, että on voimassa P(δ), mutta tämä on ristiriidassa sen kanssa, että δ A A. Transfiniittista induktiota käytetään usein heikommassa muodossa, joka saadaan edellisestä kun oletetaan, että väite P(α) on määritelty ordinaaleille α < α 0 ja ehdon α On kaksi esiintymää on korvattu ehdolla α < α 0. Transfiniittisen induktion avulla voimme todistaa seuraavan tuloksen, jonka antama menetelmä joukkojen määrittelemiseksi tunnetaan transfiniittisena rekursiona. Merkitsemme V:llä kaikkien joukkojen luokkaa {x : x = x}; Lemman 6 tuloksesta seuraa, että V ei ole joukko. Lause Jokaisella F : V V on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G : On V, että jokaiselle α On on voimassa G(α) = F(G α). Todistus. Yksikäsitteisyys. Oletamme, että G, H : On V toteuttavat ehdot G(α) = F(G α) ja H(α) = F(H α) jokaisella α On. Jos nyt α on sellainen ordinaali, että G(β) = H(β) jokaisella β < α, niin tällöin pätee, että G α = H α ja edelleen, että G(α) = H(α). Edellisestä seuraa transfiniittisella induktiolla, että G = H. Olemassaolo. Merkitsemme A = {α On : on olemassa sellainen g : α V, että g(β) = F(g β) jokaisella β < α}. Osoitamme, että A = On. Tehdään vastaväite: A On. Tällöin A on luokan On aito alkusegmentti ja täten on olemassa sellainen ordinaali α, että A = α. Kuten yllä yksikäsitteisyystodistuksessa, näemme että jokaisella β A on olemassa täsmälleen yksi sellainen g β : β V, että g β (γ) = F(g β γ) jokaisella γ < β. Kun asetamme g = β<α g β, niin g osoittaa, että α A. Siis α α, mikä on mahdotonta. Olemme osoittaneet, että A = On ja voimme nyt asettaa G = α On g α. Transfiniittisen rekursion avulla voimme helposti osoittaa, että jokainen joukko voidaan hyvinjärjestää esittämällä se jonkun ordinaalin bijektiivisenä kuvana. Rekursion lisäksi tarvitsemme kuitenkin erästä joukkojen olemassaoloaksioomaa, joka poikkeaa muista joukko-opin aksiomeista niin paljon, että sen käyttöön kiinnitetään erityistä huomiota. Seuraavassa käytämme kuitenkin tätä aksioomaa ja sen seurauksia ilman eri mainintaa. 5

6 Valinta-aksiooma: Jos a on joukko keskenään erillisiä epätyhjiä joukkoja, niin on olemassa sellainen joukko d, että joukossa x d on täsmälleen yksi alkio jokaisella x a. Ekvivalentti muotoilu valinta-aksioomalle: Jos a on epätyhjien joukkojen muodostama joukko, niin on olemassa sellainen kuvaus f : a a, että f(x) x jokaisella x a. Hyvinjärjestyslause: Olkoon x joukko. Tällöin on olemassa α On ja bijektio α x. Todistus. Merkitsemme y = {z : z x ja z }. Valinta-aksiooman nojalla on olemassa sellainen kuvaus ϕ : y x, että ϕ(z) z jokaisella z y; asetamme lisäksi ϕ( ) = θ, missä θ / x. Määrittelemme transfiniittisella rekursiolla kuvauksen G : On x {θ} asettamalla G(α) = ϕ(x {G(β) : β < α}). Nyt on olemassa pienin sellainen α On, että G(α) = θ (muutoin G olisi injektio On x ja G 1 olisi surjektio u On jollain u x, josta seuraisi ristiriita, että On on joukko). Kuvaus g = G α on bijektio α x. Hyvinjärjestyslauseen nojalla voimme määritellä koon käsitteen mielivaltaiselle joukolle. Joukon x mahtavuus, x, on pienin sellainen ordinaali α, jolla on olemassa bijektio α x. Sanomme, että ordinaali α on kardinaali, mikäli α = α. Jotta mahtavuus olisi järkevä koon mitta, sillä täytyy ainakin olla se ominaisuus, ettei osajoukon mahtavuus koskaan ylitä joukon mahtavuutta. Tämän osoittamiseksi tarvitsemme seuraavaa tulosta. 8 Lemma Olkoon δ ordinaali ja x δ. Tällöin on olemassa ordinaali α δ ja bijektio α x. Todistus. Koska x δ, voimme määritellä (ilman valinta-aksioomaa) hyvinjärjestyslauseen todistuksessa käytetyn kuvauksen ϕ : y x ottamalla aina ϕ(z):ksi joukon z pienimmän alkion. Tällöin saatava bijektio g : α x on aidosti kasvava (eli γ < β < α g(γ) < g(β)). Transfiniittinen induktio osoittaa, että aidosti kasvavalle kuvaukselle g on voimassa g(β) β jokaisella β < α; täten β < δ jokaisella β < α ja näin ollen α δ. Luettelemme nyt eräitä joukkojen mahtavuuksia koskevia perustuloksia; ensimmäinen seuraa suoraan määritelmista, toinen Lemmasta 8, kolmas helposti toisen avulla ja neljäs seuraa kolmannesta valinta-aksiooman avulla. Joukon mahtavuus on kardinaali. Joukon mahtavuus on suurempi tai yhtäsuuri kuin osajoukon mahtavuus. x y joss on olemassa injektio x y. x y joss on olemassa surjektio x y. 6

7 Tarkastelemme vielä edellisten tulosten ja käsitteiden valossa luonnollisten lukujen esitystä ordinaaleina. Jotta voisimme tarkastella kaikkien luonnollisten lukujen joukkoa, tarvitsemme eksplisiittisen ehdon sille, että ordinaali on luonnollinen luku ja lisäksi tarvitsemme aksiooman, joka takaa luonnollisten lukujen joukon olemassaolon. Määritelmä Ordinaali α on äärellinen, jos jokaisessa epätyhjässä joukossa A α on suurin alkio. Ordinaali 0 on triviaalisti äärellinen. Olkoon α äärellinen ordinaali, α 0. Tällöin epätyhjässä joukossa α on suurin ordinaali β; tälle pätee, että β α, mutta β + 1 / α ja täten β + 1 = α; näin muodoin voimme merkitä β = α 1; ordinaali α 1 on ordinaalin α välitön edeltäjä. 9 Lemma Olkoon α äärellinen ordinaali. Tällöin jokainen injektio α α on surjektio. Todistus. Selvyyden vuoksi merkitsemme tässä kuvauksen ψ määritysjoukon alkion x kuva-alkiota ψ(x):llä ja ψ:n määritysjoukon osajoukon x kuvajoukkoa ψ[x]:llä. Vastaväitteestä seuraa, että on olemassa pienin äärellinen ordinaali α, jolla on olemassa sellainen injektio ϕ : α α, joka ei ole surjektio. On voimassa α 0 ja voimme määritellä injektion ϕ : α 1 α 1 asettamalla ϕ (γ) = ϕ(γ), mikäli ϕ(γ) α 1 ja ϕ (γ) = ϕ(α 1), mikäli ϕ(γ) = α 1. Olkoon β α \ ϕ[α]. Kuvaukselle ϕ pätee, että β / ϕ [α 1] ja lisäksi on voimassa ϕ(α 1) / ϕ [α 1] mikäli β = α 1. Täten ϕ ei ole surjektio, mikä on ristiriidassa α:n minimaalisuusominaisuuden kanssa. Korollaari Jokainen äärellinen ordinaali on kardinaali. Jos ordinaali α on äärellinen, niin jokainen ordinaali β < α on äärellinen ja myös ordinaali α + 1 on äärellinen. Täten ei ole olemassa suurinta äärellistä ordinaalia. Äärettömyysaksiooma: {α On : α on äärellinen} on joukko. Kyseistä joukkoa merkitään usein N:llä. Pannaan kuitenkin merkille, että tämä joukko on ordinaali; tästä syystä sille käytetään yleisesti vaihtoehtoista merkintää ω. Koska ω / ω, ordinaali ω ei ole äärellinen, vaan kyseessä on pienin ääretön ordinaali. Koska jokainen α < ω on äärellinen, ordinaali ω on kardinaali (pienin ääretön kardinaali, jota merkitään tässä ominaisuudessa usein symbolilla ℵ 0 ). 7

8 Olemme edellä nähneet, että kaikki ordinaalit α ω ovat kardinaaleja. Sen sijaan esimerkiksi ordinaali ω+1 ei ole kardinaali, sillä voimme määritellä bijektion ϕ : ω+1 ω asettamalla ϕ(ω) = 0 ja ϕ(α) = α + 1 jokaisella α ω. Sanomme, että joukko x on äärellinen, jos x < ω ja x on numeroituva, jos x ω. 10 Lemma Äärellisessä epätyhjässä joukossa E On on suurin ordinaali. Todistus. Olkoon E = δ. Merkitsemme κ α = {β E : β α} jokaisella α E ja panemme merkille, että κ α δ. Edellisen nojalla epätyhjälle joukolle x = {κ α : α E} on voimassa x δ + 1 ja tästä seuraa, koska δ + 1 on äärellinen, että joukossa x on suurin alkio γ. Olkoon alkiolle α E voimassa {β E : β α} = γ. Nyt α on E:n suurin alkio, sillä jos olisi α < ν ja ν E, niin tällöin {β E : β α} {β E : β ν} ja {β E : β α} = γ = {β E : β ν}, mistä seuraisi, että joukko γ voitaisiin kuvata bijektiivisesti aidolle osajoukolleen; tämä on Lemman 9 nojalla mahdotonta. Jos joukko ei ole numeroituva, sanomme sen olevan ylinumeroituva. Ylinumeroituvan joukon olemassaolo seuraa helposti tarkastelemalla potenssijoukkoja. 11 Lemma Jokaiselle joukolle x on voimassa x < P(x). Todistus. Tämä seuraa siitä, ettei ole olemassa surjektiota x P(x) (jokaiselle ϕ : x P(x) on voimassa {z x : z / ϕ(z)} / ϕ(x)). Täten esimerkiksi P(ω) on ylinumeroituva joukko. Näin näemme, että {α On : α on numeroituva} on luokan On aito alkusegmentti; täten se on ordinaali, pienin ylinumeroituva ordinaali, ja sitä merkitään ω 1 :llä (kyseessä on myös kardinaali, pienin ylinumeroituva kardinaali, jota merkitään usein vaihtoehtoisella symbolilla ℵ 1 ). Luokan On alku näyttää nyt seuraavalta: 0, 1, 2, 3,... ω, ω + 1, ω + 2,... ω + ω, ω + ω + 1,... ω 1,... ω 1 + ω,... ω 1 + ω 1,... Binääridesimaaliesitysten avulla näemme helposti, että on voimassa P(ω) = R. Ylinumeroituvaa kardinaalia R merkitään yleisesti c:llä. On voimassa ω 1 c, mutta väite, että c = ω 1, tunnetaan kontinuumihypoteesina ja sitä ei voida todistaa sen paremmin oikeaksi kuin vääräksikään joukko-opin tavallisten aksioomien nojalla. 8

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia.

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia. Reaaliluvut: keksitty vai löydetty käsite? Filosofisesti tuettu reaalilukujen johdatus klassisen joukko-opin aksioomista. Vadi m Kulikov Ressun lukio Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka

Lisätiedot

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut...

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut... Heikki Junnila VERKOT. LUKU I SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto..... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys.... 11 4. Kulku suhteikossa.... 18 5. Hamiltonin kulut....... 26 Harjoitustehtäviä......35 LUKU

Lisätiedot

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010 ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen 2010 c Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen Esipuhe Tämä kirja on syntynyt toisen tekijän(t.m.) Turun yliopistossa

Lisätiedot

Cantorin joukko. Heikki Valve. Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Cantorin joukko. Heikki Valve. Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Cantorin joukko Heikki Valve Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto

Lisätiedot

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Joukko-opin rooli suomalaisessa koulumatematiikassa

Joukko-opin rooli suomalaisessa koulumatematiikassa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Eero Seppä Joukko-opin rooli suomalaisessa koulumatematiikassa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 1 Joukon käsite JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 Joukon voisi yrittää määritellä kokoelmaksi olioita, mutta tämä edellyttää, että ymmärretään mitä olioilla ja kokoelmalla tarkoitetaan.

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä

MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä Antti Valmari & Antero Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Matematiikan laitos 20. elokuuta 2013 Merkkien selityksiä Tähän

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Toitteko minulle ihmisen, joka ei osaa laskea sormiaan? Kuolleiden kirja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Alkusanat Tämä tiivistelmä on allekirjoittaneen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

KUUSI LUONNEHDINTAA STURMIN SANOILLE

KUUSI LUONNEHDINTAA STURMIN SANOILLE KUUSI LUONNEHDINTAA STURMIN SANOILLE Jarkko Peltomäki Pro gradu -tutkielma Marraskuu 2011 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Sanat...............................

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

Alkusanat korjattuun 2. painokseen

Alkusanat korjattuun 2. painokseen Alkusanat Kirja on suunniteltu käytettäväksi oppimateriaalina Helsingin ja Turun yliopistojen kursseilla Analyysi I ja II. Se soveltuu materiaaliksi myös muiden yliopistojen ensimmäisen vuoden matemaattisen

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Muita vaativuusluokkia

Muita vaativuusluokkia Muita vaativuusluokkia Käydään lyhyesti läpi tärkeimpiä vaativuusluokkiin liittyviä tuloksia. Monet tunnetuista tuloksista ovat vaikeita todistaa, ja monet kysymykset ovat vielä auki. Lause (Ladner 1975):

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN. Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787

HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN. Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787 HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787 1 2 TUOMAS SAHLSTEN Sisällysluettelo Johdanto....................................................... 2 1. Huokoiset joukot.............................................

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Luovat joukot ja Myhillin isomorfialause

Luovat joukot ja Myhillin isomorfialause Teknillinen korkeakoulu Informaatio- ja luonnontieteiden tiedekunta Luovat joukot ja Myhillin isomorfialause Mika Göös Ohjaajana prof. Pekka Orponen Espoossa 26.4.2009 Tiivistelmä Laskettavuusteoria

Lisätiedot

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo ALGEBRA I 1 2 ALGEBRA I Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 1.3. Ekvivalenssirelaatio 9 2. Lukuteoriaa 11 2.1. Jaollisuusrelaatio 11 2.2. Suurin

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Saatteeksi. Lassi Kurittu

Saatteeksi. Lassi Kurittu Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Yleiskatsaus.............................. 1 1.2 Esimerkkikieli............................. 3 1.2.1 Syntaksi............................ 4 1.2.2 Semantiikka..........................

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA 1.1. Karteesinen tulo. 1. Relaatio ja funktio Sellaista kahden alkion a, b joukkoa, jossa alkioiden järjestys on määrätty sanotaan järjestetyksi pariksi.

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä. .. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

Todennäköisyysteoria. Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Tommi Sottinen

Todennäköisyysteoria. Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Tommi Sottinen Todennäköisyysteoria Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta A. Kolmogorov P. Lévy Tommi Sottinen tommi.sottinen@helsinki.fi mathstat.helsinki.fi/ tsottine 1. joulukuuta

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot