Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
|
|
- Kaija Saaristo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei aivan, naivia : joukkojen muodostamisaksioomeja en käsittele juuri lainkaan, vaan oletan esimerkiksi seuraavat periaatteet tunnetuiksi: jos x on joukko ja φ(s) joukko-opin kaava, niin {s x : φ(s)} on joukko ja jos θ(s, t) on sellainen joukko-opin kaava, joka määrittelee kuvauksen joukolla x (eli y x!z θ(y, z)), niin {z : y x θ(y, z)} on joukko. Samoin oletan esimerkiksi, että on voimassa x y z(z y z x) (tämä potenssijoukkoaksiooma liittää joukkoon x sen potenssijoukon P(x) = {z : z x}). Olkoon X joukko ja < (tiukka) järjestysrelaatio joukolla X; merkitsemme symbolilla vastaavaa ( väljää ) järjestysrelaatiota id X <. Sanomme, että < on joukon X hyvinjärjestys ja että pari (X, <) on hyvinjärjestetty joukko, mikäli seuraava ehto toteutuu: A X(A a A b A a b). Ehdon toteuttava alkio a on joukon A pienin alkio (järjestyksen < suhteen) ja voimme siis lausua hyvinjärjestyksen ehdon seuraavasti: jokaisessa X:n epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Intuitiivisesti on selvää, että X:n järjestys < on hyvinjärjestys joss ei ole olemassa sellaista X:n alkioiden jonoa (x 0, x 1,...), että x n+1 < x n jokaisella n. Tyyppiesimerkki hyvinjärjestetystä joukosta on (N, <), missä < on luonnollisten lukujen joukon N tavallinen suuruusjärjestys. Pannaan merkille, että aina kun (X, <) on hyvinjärjestetty joukko ja Y X, niin järjestyksen < rajoittuma joukkoon Y (eli Y :n relaatio < Y 2 ) on Y :n hyvinjärjestys; seuraavassa merkitsemme järjestyksen < rajoittumaa usein samalla symbolilla <. Järjestetyn joukon (X, <) (aito) alkusegmentti on sellainen joukon X (aito) osajoukko S, että kaikilla x, y X, jos x < y ja y S, niin x S. 1 Lemma Olkoon S hyvinjärjestetyn joukon (X, <) aito alkusegmentti. Tällöin on olemassa sellainen y X, että S = {z X : z < y}. Todistus. Olkoon y X:n epätyhjän osajoukon X S pienin alkio. Tällöin {z X : z < y} S. Toisaalta S {z X : z < y}, sillä muussa tapauksessa jollain s S olisi voimassa y s ja tällöin alkusegmentin määritelmän nojalla pätisi y S, joka on ristiriidassa sen kanssa, että y X S. 1
2 Edellinen tulos ei päde kaikille järjestetyille joukoille: joukko L = {q Q : q < 2} on rationaalilukujen järjestetyn joukon (Q, <) aito alkusegmentti, mutta millään r Q ei ole voimassa L = {q Q : q < r}. Mainitsin yllä, että pari (N, <) on tyypillinen esimerkki hyvinjärjestetystä joukosta. Nyt määriteltävät ordinaalit ovat vielä tyypillisempiä esimerkkejä ja itse asiassa jokainen hyvinjärjestetty joukko voidaan esittää ordinaalina (seuraavassa emme kuitenkaan konstruoi tällaista esitystä muille hyvinjärjestetyille joukoille kuin (N, <):lle). Määritelmä Joukko α on ordinaali jos seuraavat kaksi ehtoa toteutuvat: x α x α; relaatio on joukon α hyvinjärjestys. Tässä määritelmässä pyrimme suurimpaan mahdolliseen ekonomisuuteen käyttämällä valmiiksi määriteltyä kuulumisrelaatiota hyvinjärjestyksen esittämiseen. Kun seuraavassa puhumme ordinaalista hyvinjärjestettynä joukkona, tarkoitamme aina relaatiolla varustettua joukkoa, vaikka jätämmekin tämän relaation yleensä merkitsemättä. Valitettavasti ordinaalien tapauksessa maksimaalinen ekonomisuus ei johda kovin luonnolliseen esitykseen. Kuten seuraavassa näemme, ordinaaleille ero joukkojen, alkioiden ja osajoukkojen välillä on hyvin häilyvä ja tästä johtuen määritelmän ordinaaleista on vaikea saada intuitiivista kuvaa. Tämä ei kuitenkaan ole tärkeää: ordinaalit ovat vain käteviä koodeja hyvinjärjestetyille joukoille. Luettelemme nyt eräitä ordinaalien alkeisominaisuuksia. Ensimmäinen tuloksemme osoittaa, että ordinaaleja voidaan karakterisoida sellaisina hyvinjärjestettyinä joukkoina, joissa aidot alkusegmentit yhtyvät alkioihin. 2 Lemma Joukko S on ordinaalin α aito alkusegmentti joss S = β jollain β α. Todistus. Välttämättömyys. Oletamme, että S on aito alkusegmentti. Lemman 1 nojalla on olemassa sellainen β α, että S = {γ α : γ β}. Koska α on ordinaali ja β α, jokaisella γ β on voimassa γ α. Täten S = {γ : γ β} = β. Riittävyys. Olkoon β α:n alkio. Tällöin β α; tämä sisältyminen on aito, koska muuten olisi voimassa α = β α, mikä olisi ristiriidassa sen kanssa, että on tiukka järjestys joukossa α. Osajoukko β on alkusegmentti, sillä jos δ γ β, niin γ α ja edelleen δ α; joukon α järjestyksen transitiivisuuden nojalla on nyt voimassa δ β. 3 Lemma Ordinaalin jokainen alkio on ordinaali. 2
3 Todistus. Olkoon α ordinaali ja β α. Tällöin β α, joten relaatio joukossa β saadaan rajoittamalla sama relaatio joukosta α; näinollen (β, ) on hyvinjärjestetty joukko. Lisäksi jokaisella γ β on voimassa γ β, sillä ν γ α ν α ja joukon α alkioille ν, γ, β pätee ν γ β ν β, koska on joukon α järjestys. 4 Lemma Ordinaaleille α ja β toteutuu täsmälleen yksi ehdoista α β, β α tai α = β. Todistus. Merkitään γ = α β. Tällöin on voimassa γ = {δ α : δ β} ja tästä seuraa, että γ on α:n alkusegmentti. Samoin γ on β:n alkusegmentti. Lemman 2 nojalla on voimassa γ = α tai γ α ja γ = β tai γ β. Pannaan merkille, ettei voi olla voimassa sekä γ α että γ β, koska tällöin olisi voimassa γ α β eli γ γ, mikä on mahdotonta, koska γ α ja on joukon α tiukka järjestys. Toisaalta näemme helposti, että jos jompikumpi ehdoista γ = α tai γ = β toteutuu, niin tällöin joku ehdoista α β, β α tai α = β toteutuu. Pannaan lopuksi merkille, että lemman kolme ehtoa ovat keskenään toisensa poissulkevia. Jos α = β, niin kumpikaan ehdoista α β tai β α ei voi toteutua, koska tällöin olisi voimassa α α, mikä on mahdotonta kuten juuri todettiin. Toisaalta ei voi olla voimassa sekä α β että β α, sillä tällöin olisi α β α ja tässä tilanteessa olisi voimassa β α, jolloin saisimme taas johtopäätöksen α α. Edellinen lemma sekä ordinaalin määritelmä osoittavat, että relaatio määrittelee järjestyksen ordinaalien välille. Merkitsemme tätä järjestystä tavallisella tiukan järjestyksen symbolilla <. Siis ordinaaleille α ja β pätee: α < β α β. Pannaan merkille, että vastaava väljä järjestys voidaan esittää sisältymisrelaation avulla: α β α β. Seuraavaksi näytämme miten luonnolliset luvut voidaan (epäluonnollisesti!) esittää ordinaaleina. Tyhjä joukko toteuttaa ordinaalin määritelmän triviaalisti ja täten on ordinaali. Jokaiselle ordinaalille α on voimassa α eli α. Täten tyhjä joukko on pienin ordinaali ja sitä merkitään tavallisesti symbolilla 0. Seuraavan tuloksen avulla voimme muodostaa uusia ordinaaleja. 5 Lemma Olkoon α ordinaali. Tällöin joukko α {α} on ordinaali. Jos β on ordinaali ja α < β, niin α {α} β. Todistus. Jos β α {α}, niin joko β α tai β = α; molemmissa tapauksissa β α α {α}. Koska relaatio on joukon α tiukka järjestys, se on myös joukon α {α} 3
4 tiukka järjestys: tässä järjestyksessä on α suurimpana alkiona. Näemme myös suoraan, että koska on joukon α hyvinjärjestys, se on myös joukon α {α} hyvinjärjestys. Olkoon ordinaalille β voimassa α < β eli α β. Tällöin α β ja täten on voimassa α {α} β eli α {α} β. Ordinaalia α {α} kutsutaan ordinaalin α seuraajaksi ja sitä merkitään α + 1:llä. Nyt saamme samaistuksen luonnollisten lukujen ja tiettyjen ordinaalien välille merkitsemällä tavalliseen tapaan = 1, = 2, = 3 jne. Saamme siis esitykset 0 =, 1 = { }, 2 = {, { }}, 3 = {, { }, {, { }}} jne. Selvästikin ordinaalien välinen järjestys antaa näille luonnollisille luvuille niiden tavallisen suuruusjärjestyksen. Merkitsemme On = {x : x on ordinaali}; kyseessä on luokka, muttei joukko. 6 Lemma On ei ole joukko. Todistus. Helposti nähdään, että jos On olisi joukko, niin se olisi ordinaali, jolloin On On, mikä ei voi päteä ordinaalille. 7 Lemma Olkoon A On epätyhjä joukko. Tällöin A on joukon A pienin alkio ja A = sup A. Todistus. Koska B = {α + 1 : α A} on joukko, edellisen lemman tuloksesta seuraa, että on olemassa sellainen ordinaali γ, että γ / B. Jokaisella α A on voimassa γ / α+1 ja täten Lemman 4 nojalla pätee, että α γ. Siis A γ. Tästä seuraa, että joukossa A on pienin alkio δ. Jokaisella α A on voimassa δ α eli δ α; täten δ A. Koska δ A, on voimassa A δ. Näin ollen on voimassa δ = A. Koska A on ordinaalin γ osajoukko, on voimassa A γ. Helposti näemme, että A on γ:n alkusegmentti; täten A on Lemman 2 nojalla ordinaali. Jokaisella α A on voimassa α A eli α A; täten A on A:n yläraja. Jos σ on jokin muu yläraja, niin jokaisella α A on voimassa α σ eli α σ ja tästä seuraa, että on voimassa A σ eli A σ; näin ollen A on pienin yläraja. Seuraava tuloksen antama todistusmenetelmä tunnetaan transfiniittisen induktion periaatteena ja sillä on keskeinen merkitys joukko-opissa ja joukko-opin sovelluksissa. Lause Olkoon P sellainen ordinaaleja koskeva väite, että jokaisella α On on voimassa Tällöin P(α) pätee jokaisella α On. (( β < α)p(β)) P(α). 4
5 Todistus. Tehdään vastaväite: luokka A = {α On : P(α)} on epätyhjä. Olkoon γ A. Joukossa A = {α A : α γ} on pienin alkio δ. Nyt on voimassa P(β) jokaisella β < δ ja tästä seuraa lauseen oletuksen nojalla, että on voimassa P(δ), mutta tämä on ristiriidassa sen kanssa, että δ A A. Transfiniittista induktiota käytetään usein heikommassa muodossa, joka saadaan edellisestä kun oletetaan, että väite P(α) on määritelty ordinaaleille α < α 0 ja ehdon α On kaksi esiintymää on korvattu ehdolla α < α 0. Transfiniittisen induktion avulla voimme todistaa seuraavan tuloksen, jonka antama menetelmä joukkojen määrittelemiseksi tunnetaan transfiniittisena rekursiona. Merkitsemme V:llä kaikkien joukkojen luokkaa {x : x = x}; Lemman 6 tuloksesta seuraa, että V ei ole joukko. Lause Jokaisella F : V V on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G : On V, että jokaiselle α On on voimassa G(α) = F(G α). Todistus. Yksikäsitteisyys. Oletamme, että G, H : On V toteuttavat ehdot G(α) = F(G α) ja H(α) = F(H α) jokaisella α On. Jos nyt α on sellainen ordinaali, että G(β) = H(β) jokaisella β < α, niin tällöin pätee, että G α = H α ja edelleen, että G(α) = H(α). Edellisestä seuraa transfiniittisella induktiolla, että G = H. Olemassaolo. Merkitsemme A = {α On : on olemassa sellainen g : α V, että g(β) = F(g β) jokaisella β < α}. Osoitamme, että A = On. Tehdään vastaväite: A On. Tällöin A on luokan On aito alkusegmentti ja täten on olemassa sellainen ordinaali α, että A = α. Kuten yllä yksikäsitteisyystodistuksessa, näemme että jokaisella β A on olemassa täsmälleen yksi sellainen g β : β V, että g β (γ) = F(g β γ) jokaisella γ < β. Kun asetamme g = β<α g β, niin g osoittaa, että α A. Siis α α, mikä on mahdotonta. Olemme osoittaneet, että A = On ja voimme nyt asettaa G = α On g α. Transfiniittisen rekursion avulla voimme helposti osoittaa, että jokainen joukko voidaan hyvinjärjestää esittämällä se jonkun ordinaalin bijektiivisenä kuvana. Rekursion lisäksi tarvitsemme kuitenkin erästä joukkojen olemassaoloaksioomaa, joka poikkeaa muista joukko-opin aksiomeista niin paljon, että sen käyttöön kiinnitetään erityistä huomiota. Seuraavassa käytämme kuitenkin tätä aksioomaa ja sen seurauksia ilman eri mainintaa. 5
6 Valinta-aksiooma: Jos a on joukko keskenään erillisiä epätyhjiä joukkoja, niin on olemassa sellainen joukko d, että joukossa x d on täsmälleen yksi alkio jokaisella x a. Ekvivalentti muotoilu valinta-aksioomalle: Jos a on epätyhjien joukkojen muodostama joukko, niin on olemassa sellainen kuvaus f : a a, että f(x) x jokaisella x a. Hyvinjärjestyslause: Olkoon x joukko. Tällöin on olemassa α On ja bijektio α x. Todistus. Merkitsemme y = {z : z x ja z }. Valinta-aksiooman nojalla on olemassa sellainen kuvaus ϕ : y x, että ϕ(z) z jokaisella z y; asetamme lisäksi ϕ( ) = θ, missä θ / x. Määrittelemme transfiniittisella rekursiolla kuvauksen G : On x {θ} asettamalla G(α) = ϕ(x {G(β) : β < α}). Nyt on olemassa pienin sellainen α On, että G(α) = θ (muutoin G olisi injektio On x ja G 1 olisi surjektio u On jollain u x, josta seuraisi ristiriita, että On on joukko). Kuvaus g = G α on bijektio α x. Hyvinjärjestyslauseen nojalla voimme määritellä koon käsitteen mielivaltaiselle joukolle. Joukon x mahtavuus, x, on pienin sellainen ordinaali α, jolla on olemassa bijektio α x. Sanomme, että ordinaali α on kardinaali, mikäli α = α. Jotta mahtavuus olisi järkevä koon mitta, sillä täytyy ainakin olla se ominaisuus, ettei osajoukon mahtavuus koskaan ylitä joukon mahtavuutta. Tämän osoittamiseksi tarvitsemme seuraavaa tulosta. 8 Lemma Olkoon δ ordinaali ja x δ. Tällöin on olemassa ordinaali α δ ja bijektio α x. Todistus. Koska x δ, voimme määritellä (ilman valinta-aksioomaa) hyvinjärjestyslauseen todistuksessa käytetyn kuvauksen ϕ : y x ottamalla aina ϕ(z):ksi joukon z pienimmän alkion. Tällöin saatava bijektio g : α x on aidosti kasvava (eli γ < β < α g(γ) < g(β)). Transfiniittinen induktio osoittaa, että aidosti kasvavalle kuvaukselle g on voimassa g(β) β jokaisella β < α; täten β < δ jokaisella β < α ja näin ollen α δ. Luettelemme nyt eräitä joukkojen mahtavuuksia koskevia perustuloksia; ensimmäinen seuraa suoraan määritelmista, toinen Lemmasta 8, kolmas helposti toisen avulla ja neljäs seuraa kolmannesta valinta-aksiooman avulla. Joukon mahtavuus on kardinaali. Joukon mahtavuus on suurempi tai yhtäsuuri kuin osajoukon mahtavuus. x y joss on olemassa injektio x y. x y joss on olemassa surjektio x y. 6
7 Tarkastelemme vielä edellisten tulosten ja käsitteiden valossa luonnollisten lukujen esitystä ordinaaleina. Jotta voisimme tarkastella kaikkien luonnollisten lukujen joukkoa, tarvitsemme eksplisiittisen ehdon sille, että ordinaali on luonnollinen luku ja lisäksi tarvitsemme aksiooman, joka takaa luonnollisten lukujen joukon olemassaolon. Määritelmä Ordinaali α on äärellinen, jos jokaisessa epätyhjässä joukossa A α on suurin alkio. Ordinaali 0 on triviaalisti äärellinen. Olkoon α äärellinen ordinaali, α 0. Tällöin epätyhjässä joukossa α on suurin ordinaali β; tälle pätee, että β α, mutta β + 1 / α ja täten β + 1 = α; näin muodoin voimme merkitä β = α 1; ordinaali α 1 on ordinaalin α välitön edeltäjä. 9 Lemma Olkoon α äärellinen ordinaali. Tällöin jokainen injektio α α on surjektio. Todistus. Selvyyden vuoksi merkitsemme tässä kuvauksen ψ määritysjoukon alkion x kuva-alkiota ψ(x):llä ja ψ:n määritysjoukon osajoukon x kuvajoukkoa ψ[x]:llä. Vastaväitteestä seuraa, että on olemassa pienin äärellinen ordinaali α, jolla on olemassa sellainen injektio ϕ : α α, joka ei ole surjektio. On voimassa α 0 ja voimme määritellä injektion ϕ : α 1 α 1 asettamalla ϕ (γ) = ϕ(γ), mikäli ϕ(γ) α 1 ja ϕ (γ) = ϕ(α 1), mikäli ϕ(γ) = α 1. Olkoon β α \ ϕ[α]. Kuvaukselle ϕ pätee, että β / ϕ [α 1] ja lisäksi on voimassa ϕ(α 1) / ϕ [α 1] mikäli β = α 1. Täten ϕ ei ole surjektio, mikä on ristiriidassa α:n minimaalisuusominaisuuden kanssa. Korollaari Jokainen äärellinen ordinaali on kardinaali. Jos ordinaali α on äärellinen, niin jokainen ordinaali β < α on äärellinen ja myös ordinaali α + 1 on äärellinen. Täten ei ole olemassa suurinta äärellistä ordinaalia. Äärettömyysaksiooma: {α On : α on äärellinen} on joukko. Kyseistä joukkoa merkitään usein N:llä. Pannaan kuitenkin merkille, että tämä joukko on ordinaali; tästä syystä sille käytetään yleisesti vaihtoehtoista merkintää ω. Koska ω / ω, ordinaali ω ei ole äärellinen, vaan kyseessä on pienin ääretön ordinaali. Koska jokainen α < ω on äärellinen, ordinaali ω on kardinaali (pienin ääretön kardinaali, jota merkitään tässä ominaisuudessa usein symbolilla ℵ 0 ). 7
8 Olemme edellä nähneet, että kaikki ordinaalit α ω ovat kardinaaleja. Sen sijaan esimerkiksi ordinaali ω+1 ei ole kardinaali, sillä voimme määritellä bijektion ϕ : ω+1 ω asettamalla ϕ(ω) = 0 ja ϕ(α) = α + 1 jokaisella α ω. Sanomme, että joukko x on äärellinen, jos x < ω ja x on numeroituva, jos x ω. 10 Lemma Äärellisessä epätyhjässä joukossa E On on suurin ordinaali. Todistus. Olkoon E = δ. Merkitsemme κ α = {β E : β α} jokaisella α E ja panemme merkille, että κ α δ. Edellisen nojalla epätyhjälle joukolle x = {κ α : α E} on voimassa x δ + 1 ja tästä seuraa, koska δ + 1 on äärellinen, että joukossa x on suurin alkio γ. Olkoon alkiolle α E voimassa {β E : β α} = γ. Nyt α on E:n suurin alkio, sillä jos olisi α < ν ja ν E, niin tällöin {β E : β α} {β E : β ν} ja {β E : β α} = γ = {β E : β ν}, mistä seuraisi, että joukko γ voitaisiin kuvata bijektiivisesti aidolle osajoukolleen; tämä on Lemman 9 nojalla mahdotonta. Jos joukko ei ole numeroituva, sanomme sen olevan ylinumeroituva. Ylinumeroituvan joukon olemassaolo seuraa helposti tarkastelemalla potenssijoukkoja. 11 Lemma Jokaiselle joukolle x on voimassa x < P(x). Todistus. Tämä seuraa siitä, ettei ole olemassa surjektiota x P(x) (jokaiselle ϕ : x P(x) on voimassa {z x : z / ϕ(z)} / ϕ(x)). Täten esimerkiksi P(ω) on ylinumeroituva joukko. Näin näemme, että {α On : α on numeroituva} on luokan On aito alkusegmentti; täten se on ordinaali, pienin ylinumeroituva ordinaali, ja sitä merkitään ω 1 :llä (kyseessä on myös kardinaali, pienin ylinumeroituva kardinaali, jota merkitään usein vaihtoehtoisella symbolilla ℵ 1 ). Luokan On alku näyttää nyt seuraavalta: 0, 1, 2, 3,... ω, ω + 1, ω + 2,... ω + ω, ω + ω + 1,... ω 1,... ω 1 + ω,... ω 1 + ω 1,... Binääridesimaaliesitysten avulla näemme helposti, että on voimassa P(ω) = R. Ylinumeroituvaa kardinaalia R merkitään yleisesti c:llä. On voimassa ω 1 c, mutta väite, että c = ω 1, tunnetaan kontinuumihypoteesina ja sitä ei voida todistaa sen paremmin oikeaksi kuin vääräksikään joukko-opin tavallisten aksioomien nojalla. 8
Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotLuonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta
Solmu 1/2019 19 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Tuomas Korppi Johdanto Kuten lukija varmaan tietääkin, luonnollisille luvuille voidaan tehdä induktiotodistuksia. Tämä mahdollisuus on ominainen
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotDISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.
Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotTehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotJOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN
JOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN SISÄLLYSLUETTELO LUKU I JOUKOT 1. Joukon määritelmä. Osajoukko, tyhjä joukko, potenssijoukko...1. Yhdistys, leikkaus ja erotus..... 6 3. Perusjoukko ja komplementti....
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotJarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat
Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotLuonnollisten lukujen suurista osajoukoista
Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista Pro gradu -tutkielma Minna Turunen 234482 Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos Kevät 2016 Sisältö Johdanto 3 1 Luonnollinen tiheys 7 1.1 Esimerkki
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
Lisätiedot1 Joukkojen mahtavuuksista
1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
LisätiedotU β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)
1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Lisätiedot