Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b)."

Transkriptio

1 Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei aivan, naivia : joukkojen muodostamisaksioomeja en käsittele juuri lainkaan, vaan oletan esimerkiksi seuraavat periaatteet tunnetuiksi: jos x on joukko ja φ(s) joukko-opin kaava, niin {s x : φ(s)} on joukko ja jos θ(s, t) on sellainen joukko-opin kaava, joka määrittelee kuvauksen joukolla x (eli y x!z θ(y, z)), niin {z : y x θ(y, z)} on joukko. Samoin oletan esimerkiksi, että on voimassa x y z(z y z x) (tämä potenssijoukkoaksiooma liittää joukkoon x sen potenssijoukon P(x) = {z : z x}). Olkoon X joukko ja < (tiukka) järjestysrelaatio joukolla X; merkitsemme symbolilla vastaavaa ( väljää ) järjestysrelaatiota id X <. Sanomme, että < on joukon X hyvinjärjestys ja että pari (X, <) on hyvinjärjestetty joukko, mikäli seuraava ehto toteutuu: A X(A a A b A a b). Ehdon toteuttava alkio a on joukon A pienin alkio (järjestyksen < suhteen) ja voimme siis lausua hyvinjärjestyksen ehdon seuraavasti: jokaisessa X:n epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Intuitiivisesti on selvää, että X:n järjestys < on hyvinjärjestys joss ei ole olemassa sellaista X:n alkioiden jonoa (x 0, x 1,...), että x n+1 < x n jokaisella n. Tyyppiesimerkki hyvinjärjestetystä joukosta on (N, <), missä < on luonnollisten lukujen joukon N tavallinen suuruusjärjestys. Pannaan merkille, että aina kun (X, <) on hyvinjärjestetty joukko ja Y X, niin järjestyksen < rajoittuma joukkoon Y (eli Y :n relaatio < Y 2 ) on Y :n hyvinjärjestys; seuraavassa merkitsemme järjestyksen < rajoittumaa usein samalla symbolilla <. Järjestetyn joukon (X, <) (aito) alkusegmentti on sellainen joukon X (aito) osajoukko S, että kaikilla x, y X, jos x < y ja y S, niin x S. 1 Lemma Olkoon S hyvinjärjestetyn joukon (X, <) aito alkusegmentti. Tällöin on olemassa sellainen y X, että S = {z X : z < y}. Todistus. Olkoon y X:n epätyhjän osajoukon X S pienin alkio. Tällöin {z X : z < y} S. Toisaalta S {z X : z < y}, sillä muussa tapauksessa jollain s S olisi voimassa y s ja tällöin alkusegmentin määritelmän nojalla pätisi y S, joka on ristiriidassa sen kanssa, että y X S. 1

2 Edellinen tulos ei päde kaikille järjestetyille joukoille: joukko L = {q Q : q < 2} on rationaalilukujen järjestetyn joukon (Q, <) aito alkusegmentti, mutta millään r Q ei ole voimassa L = {q Q : q < r}. Mainitsin yllä, että pari (N, <) on tyypillinen esimerkki hyvinjärjestetystä joukosta. Nyt määriteltävät ordinaalit ovat vielä tyypillisempiä esimerkkejä ja itse asiassa jokainen hyvinjärjestetty joukko voidaan esittää ordinaalina (seuraavassa emme kuitenkaan konstruoi tällaista esitystä muille hyvinjärjestetyille joukoille kuin (N, <):lle). Määritelmä Joukko α on ordinaali jos seuraavat kaksi ehtoa toteutuvat: x α x α; relaatio on joukon α hyvinjärjestys. Tässä määritelmässä pyrimme suurimpaan mahdolliseen ekonomisuuteen käyttämällä valmiiksi määriteltyä kuulumisrelaatiota hyvinjärjestyksen esittämiseen. Kun seuraavassa puhumme ordinaalista hyvinjärjestettynä joukkona, tarkoitamme aina relaatiolla varustettua joukkoa, vaikka jätämmekin tämän relaation yleensä merkitsemättä. Valitettavasti ordinaalien tapauksessa maksimaalinen ekonomisuus ei johda kovin luonnolliseen esitykseen. Kuten seuraavassa näemme, ordinaaleille ero joukkojen, alkioiden ja osajoukkojen välillä on hyvin häilyvä ja tästä johtuen määritelmän ordinaaleista on vaikea saada intuitiivista kuvaa. Tämä ei kuitenkaan ole tärkeää: ordinaalit ovat vain käteviä koodeja hyvinjärjestetyille joukoille. Luettelemme nyt eräitä ordinaalien alkeisominaisuuksia. Ensimmäinen tuloksemme osoittaa, että ordinaaleja voidaan karakterisoida sellaisina hyvinjärjestettyinä joukkoina, joissa aidot alkusegmentit yhtyvät alkioihin. 2 Lemma Joukko S on ordinaalin α aito alkusegmentti joss S = β jollain β α. Todistus. Välttämättömyys. Oletamme, että S on aito alkusegmentti. Lemman 1 nojalla on olemassa sellainen β α, että S = {γ α : γ β}. Koska α on ordinaali ja β α, jokaisella γ β on voimassa γ α. Täten S = {γ : γ β} = β. Riittävyys. Olkoon β α:n alkio. Tällöin β α; tämä sisältyminen on aito, koska muuten olisi voimassa α = β α, mikä olisi ristiriidassa sen kanssa, että on tiukka järjestys joukossa α. Osajoukko β on alkusegmentti, sillä jos δ γ β, niin γ α ja edelleen δ α; joukon α järjestyksen transitiivisuuden nojalla on nyt voimassa δ β. 3 Lemma Ordinaalin jokainen alkio on ordinaali. 2

3 Todistus. Olkoon α ordinaali ja β α. Tällöin β α, joten relaatio joukossa β saadaan rajoittamalla sama relaatio joukosta α; näinollen (β, ) on hyvinjärjestetty joukko. Lisäksi jokaisella γ β on voimassa γ β, sillä ν γ α ν α ja joukon α alkioille ν, γ, β pätee ν γ β ν β, koska on joukon α järjestys. 4 Lemma Ordinaaleille α ja β toteutuu täsmälleen yksi ehdoista α β, β α tai α = β. Todistus. Merkitään γ = α β. Tällöin on voimassa γ = {δ α : δ β} ja tästä seuraa, että γ on α:n alkusegmentti. Samoin γ on β:n alkusegmentti. Lemman 2 nojalla on voimassa γ = α tai γ α ja γ = β tai γ β. Pannaan merkille, ettei voi olla voimassa sekä γ α että γ β, koska tällöin olisi voimassa γ α β eli γ γ, mikä on mahdotonta, koska γ α ja on joukon α tiukka järjestys. Toisaalta näemme helposti, että jos jompikumpi ehdoista γ = α tai γ = β toteutuu, niin tällöin joku ehdoista α β, β α tai α = β toteutuu. Pannaan lopuksi merkille, että lemman kolme ehtoa ovat keskenään toisensa poissulkevia. Jos α = β, niin kumpikaan ehdoista α β tai β α ei voi toteutua, koska tällöin olisi voimassa α α, mikä on mahdotonta kuten juuri todettiin. Toisaalta ei voi olla voimassa sekä α β että β α, sillä tällöin olisi α β α ja tässä tilanteessa olisi voimassa β α, jolloin saisimme taas johtopäätöksen α α. Edellinen lemma sekä ordinaalin määritelmä osoittavat, että relaatio määrittelee järjestyksen ordinaalien välille. Merkitsemme tätä järjestystä tavallisella tiukan järjestyksen symbolilla <. Siis ordinaaleille α ja β pätee: α < β α β. Pannaan merkille, että vastaava väljä järjestys voidaan esittää sisältymisrelaation avulla: α β α β. Seuraavaksi näytämme miten luonnolliset luvut voidaan (epäluonnollisesti!) esittää ordinaaleina. Tyhjä joukko toteuttaa ordinaalin määritelmän triviaalisti ja täten on ordinaali. Jokaiselle ordinaalille α on voimassa α eli α. Täten tyhjä joukko on pienin ordinaali ja sitä merkitään tavallisesti symbolilla 0. Seuraavan tuloksen avulla voimme muodostaa uusia ordinaaleja. 5 Lemma Olkoon α ordinaali. Tällöin joukko α {α} on ordinaali. Jos β on ordinaali ja α < β, niin α {α} β. Todistus. Jos β α {α}, niin joko β α tai β = α; molemmissa tapauksissa β α α {α}. Koska relaatio on joukon α tiukka järjestys, se on myös joukon α {α} 3

4 tiukka järjestys: tässä järjestyksessä on α suurimpana alkiona. Näemme myös suoraan, että koska on joukon α hyvinjärjestys, se on myös joukon α {α} hyvinjärjestys. Olkoon ordinaalille β voimassa α < β eli α β. Tällöin α β ja täten on voimassa α {α} β eli α {α} β. Ordinaalia α {α} kutsutaan ordinaalin α seuraajaksi ja sitä merkitään α + 1:llä. Nyt saamme samaistuksen luonnollisten lukujen ja tiettyjen ordinaalien välille merkitsemällä tavalliseen tapaan = 1, = 2, = 3 jne. Saamme siis esitykset 0 =, 1 = { }, 2 = {, { }}, 3 = {, { }, {, { }}} jne. Selvästikin ordinaalien välinen järjestys antaa näille luonnollisille luvuille niiden tavallisen suuruusjärjestyksen. Merkitsemme On = {x : x on ordinaali}; kyseessä on luokka, muttei joukko. 6 Lemma On ei ole joukko. Todistus. Helposti nähdään, että jos On olisi joukko, niin se olisi ordinaali, jolloin On On, mikä ei voi päteä ordinaalille. 7 Lemma Olkoon A On epätyhjä joukko. Tällöin A on joukon A pienin alkio ja A = sup A. Todistus. Koska B = {α + 1 : α A} on joukko, edellisen lemman tuloksesta seuraa, että on olemassa sellainen ordinaali γ, että γ / B. Jokaisella α A on voimassa γ / α+1 ja täten Lemman 4 nojalla pätee, että α γ. Siis A γ. Tästä seuraa, että joukossa A on pienin alkio δ. Jokaisella α A on voimassa δ α eli δ α; täten δ A. Koska δ A, on voimassa A δ. Näin ollen on voimassa δ = A. Koska A on ordinaalin γ osajoukko, on voimassa A γ. Helposti näemme, että A on γ:n alkusegmentti; täten A on Lemman 2 nojalla ordinaali. Jokaisella α A on voimassa α A eli α A; täten A on A:n yläraja. Jos σ on jokin muu yläraja, niin jokaisella α A on voimassa α σ eli α σ ja tästä seuraa, että on voimassa A σ eli A σ; näin ollen A on pienin yläraja. Seuraava tuloksen antama todistusmenetelmä tunnetaan transfiniittisen induktion periaatteena ja sillä on keskeinen merkitys joukko-opissa ja joukko-opin sovelluksissa. Lause Olkoon P sellainen ordinaaleja koskeva väite, että jokaisella α On on voimassa Tällöin P(α) pätee jokaisella α On. (( β < α)p(β)) P(α). 4

5 Todistus. Tehdään vastaväite: luokka A = {α On : P(α)} on epätyhjä. Olkoon γ A. Joukossa A = {α A : α γ} on pienin alkio δ. Nyt on voimassa P(β) jokaisella β < δ ja tästä seuraa lauseen oletuksen nojalla, että on voimassa P(δ), mutta tämä on ristiriidassa sen kanssa, että δ A A. Transfiniittista induktiota käytetään usein heikommassa muodossa, joka saadaan edellisestä kun oletetaan, että väite P(α) on määritelty ordinaaleille α < α 0 ja ehdon α On kaksi esiintymää on korvattu ehdolla α < α 0. Transfiniittisen induktion avulla voimme todistaa seuraavan tuloksen, jonka antama menetelmä joukkojen määrittelemiseksi tunnetaan transfiniittisena rekursiona. Merkitsemme V:llä kaikkien joukkojen luokkaa {x : x = x}; Lemman 6 tuloksesta seuraa, että V ei ole joukko. Lause Jokaisella F : V V on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G : On V, että jokaiselle α On on voimassa G(α) = F(G α). Todistus. Yksikäsitteisyys. Oletamme, että G, H : On V toteuttavat ehdot G(α) = F(G α) ja H(α) = F(H α) jokaisella α On. Jos nyt α on sellainen ordinaali, että G(β) = H(β) jokaisella β < α, niin tällöin pätee, että G α = H α ja edelleen, että G(α) = H(α). Edellisestä seuraa transfiniittisella induktiolla, että G = H. Olemassaolo. Merkitsemme A = {α On : on olemassa sellainen g : α V, että g(β) = F(g β) jokaisella β < α}. Osoitamme, että A = On. Tehdään vastaväite: A On. Tällöin A on luokan On aito alkusegmentti ja täten on olemassa sellainen ordinaali α, että A = α. Kuten yllä yksikäsitteisyystodistuksessa, näemme että jokaisella β A on olemassa täsmälleen yksi sellainen g β : β V, että g β (γ) = F(g β γ) jokaisella γ < β. Kun asetamme g = β<α g β, niin g osoittaa, että α A. Siis α α, mikä on mahdotonta. Olemme osoittaneet, että A = On ja voimme nyt asettaa G = α On g α. Transfiniittisen rekursion avulla voimme helposti osoittaa, että jokainen joukko voidaan hyvinjärjestää esittämällä se jonkun ordinaalin bijektiivisenä kuvana. Rekursion lisäksi tarvitsemme kuitenkin erästä joukkojen olemassaoloaksioomaa, joka poikkeaa muista joukko-opin aksiomeista niin paljon, että sen käyttöön kiinnitetään erityistä huomiota. Seuraavassa käytämme kuitenkin tätä aksioomaa ja sen seurauksia ilman eri mainintaa. 5

6 Valinta-aksiooma: Jos a on joukko keskenään erillisiä epätyhjiä joukkoja, niin on olemassa sellainen joukko d, että joukossa x d on täsmälleen yksi alkio jokaisella x a. Ekvivalentti muotoilu valinta-aksioomalle: Jos a on epätyhjien joukkojen muodostama joukko, niin on olemassa sellainen kuvaus f : a a, että f(x) x jokaisella x a. Hyvinjärjestyslause: Olkoon x joukko. Tällöin on olemassa α On ja bijektio α x. Todistus. Merkitsemme y = {z : z x ja z }. Valinta-aksiooman nojalla on olemassa sellainen kuvaus ϕ : y x, että ϕ(z) z jokaisella z y; asetamme lisäksi ϕ( ) = θ, missä θ / x. Määrittelemme transfiniittisella rekursiolla kuvauksen G : On x {θ} asettamalla G(α) = ϕ(x {G(β) : β < α}). Nyt on olemassa pienin sellainen α On, että G(α) = θ (muutoin G olisi injektio On x ja G 1 olisi surjektio u On jollain u x, josta seuraisi ristiriita, että On on joukko). Kuvaus g = G α on bijektio α x. Hyvinjärjestyslauseen nojalla voimme määritellä koon käsitteen mielivaltaiselle joukolle. Joukon x mahtavuus, x, on pienin sellainen ordinaali α, jolla on olemassa bijektio α x. Sanomme, että ordinaali α on kardinaali, mikäli α = α. Jotta mahtavuus olisi järkevä koon mitta, sillä täytyy ainakin olla se ominaisuus, ettei osajoukon mahtavuus koskaan ylitä joukon mahtavuutta. Tämän osoittamiseksi tarvitsemme seuraavaa tulosta. 8 Lemma Olkoon δ ordinaali ja x δ. Tällöin on olemassa ordinaali α δ ja bijektio α x. Todistus. Koska x δ, voimme määritellä (ilman valinta-aksioomaa) hyvinjärjestyslauseen todistuksessa käytetyn kuvauksen ϕ : y x ottamalla aina ϕ(z):ksi joukon z pienimmän alkion. Tällöin saatava bijektio g : α x on aidosti kasvava (eli γ < β < α g(γ) < g(β)). Transfiniittinen induktio osoittaa, että aidosti kasvavalle kuvaukselle g on voimassa g(β) β jokaisella β < α; täten β < δ jokaisella β < α ja näin ollen α δ. Luettelemme nyt eräitä joukkojen mahtavuuksia koskevia perustuloksia; ensimmäinen seuraa suoraan määritelmista, toinen Lemmasta 8, kolmas helposti toisen avulla ja neljäs seuraa kolmannesta valinta-aksiooman avulla. Joukon mahtavuus on kardinaali. Joukon mahtavuus on suurempi tai yhtäsuuri kuin osajoukon mahtavuus. x y joss on olemassa injektio x y. x y joss on olemassa surjektio x y. 6

7 Tarkastelemme vielä edellisten tulosten ja käsitteiden valossa luonnollisten lukujen esitystä ordinaaleina. Jotta voisimme tarkastella kaikkien luonnollisten lukujen joukkoa, tarvitsemme eksplisiittisen ehdon sille, että ordinaali on luonnollinen luku ja lisäksi tarvitsemme aksiooman, joka takaa luonnollisten lukujen joukon olemassaolon. Määritelmä Ordinaali α on äärellinen, jos jokaisessa epätyhjässä joukossa A α on suurin alkio. Ordinaali 0 on triviaalisti äärellinen. Olkoon α äärellinen ordinaali, α 0. Tällöin epätyhjässä joukossa α on suurin ordinaali β; tälle pätee, että β α, mutta β + 1 / α ja täten β + 1 = α; näin muodoin voimme merkitä β = α 1; ordinaali α 1 on ordinaalin α välitön edeltäjä. 9 Lemma Olkoon α äärellinen ordinaali. Tällöin jokainen injektio α α on surjektio. Todistus. Selvyyden vuoksi merkitsemme tässä kuvauksen ψ määritysjoukon alkion x kuva-alkiota ψ(x):llä ja ψ:n määritysjoukon osajoukon x kuvajoukkoa ψ[x]:llä. Vastaväitteestä seuraa, että on olemassa pienin äärellinen ordinaali α, jolla on olemassa sellainen injektio ϕ : α α, joka ei ole surjektio. On voimassa α 0 ja voimme määritellä injektion ϕ : α 1 α 1 asettamalla ϕ (γ) = ϕ(γ), mikäli ϕ(γ) α 1 ja ϕ (γ) = ϕ(α 1), mikäli ϕ(γ) = α 1. Olkoon β α \ ϕ[α]. Kuvaukselle ϕ pätee, että β / ϕ [α 1] ja lisäksi on voimassa ϕ(α 1) / ϕ [α 1] mikäli β = α 1. Täten ϕ ei ole surjektio, mikä on ristiriidassa α:n minimaalisuusominaisuuden kanssa. Korollaari Jokainen äärellinen ordinaali on kardinaali. Jos ordinaali α on äärellinen, niin jokainen ordinaali β < α on äärellinen ja myös ordinaali α + 1 on äärellinen. Täten ei ole olemassa suurinta äärellistä ordinaalia. Äärettömyysaksiooma: {α On : α on äärellinen} on joukko. Kyseistä joukkoa merkitään usein N:llä. Pannaan kuitenkin merkille, että tämä joukko on ordinaali; tästä syystä sille käytetään yleisesti vaihtoehtoista merkintää ω. Koska ω / ω, ordinaali ω ei ole äärellinen, vaan kyseessä on pienin ääretön ordinaali. Koska jokainen α < ω on äärellinen, ordinaali ω on kardinaali (pienin ääretön kardinaali, jota merkitään tässä ominaisuudessa usein symbolilla ℵ 0 ). 7

8 Olemme edellä nähneet, että kaikki ordinaalit α ω ovat kardinaaleja. Sen sijaan esimerkiksi ordinaali ω+1 ei ole kardinaali, sillä voimme määritellä bijektion ϕ : ω+1 ω asettamalla ϕ(ω) = 0 ja ϕ(α) = α + 1 jokaisella α ω. Sanomme, että joukko x on äärellinen, jos x < ω ja x on numeroituva, jos x ω. 10 Lemma Äärellisessä epätyhjässä joukossa E On on suurin ordinaali. Todistus. Olkoon E = δ. Merkitsemme κ α = {β E : β α} jokaisella α E ja panemme merkille, että κ α δ. Edellisen nojalla epätyhjälle joukolle x = {κ α : α E} on voimassa x δ + 1 ja tästä seuraa, koska δ + 1 on äärellinen, että joukossa x on suurin alkio γ. Olkoon alkiolle α E voimassa {β E : β α} = γ. Nyt α on E:n suurin alkio, sillä jos olisi α < ν ja ν E, niin tällöin {β E : β α} {β E : β ν} ja {β E : β α} = γ = {β E : β ν}, mistä seuraisi, että joukko γ voitaisiin kuvata bijektiivisesti aidolle osajoukolleen; tämä on Lemman 9 nojalla mahdotonta. Jos joukko ei ole numeroituva, sanomme sen olevan ylinumeroituva. Ylinumeroituvan joukon olemassaolo seuraa helposti tarkastelemalla potenssijoukkoja. 11 Lemma Jokaiselle joukolle x on voimassa x < P(x). Todistus. Tämä seuraa siitä, ettei ole olemassa surjektiota x P(x) (jokaiselle ϕ : x P(x) on voimassa {z x : z / ϕ(z)} / ϕ(x)). Täten esimerkiksi P(ω) on ylinumeroituva joukko. Näin näemme, että {α On : α on numeroituva} on luokan On aito alkusegmentti; täten se on ordinaali, pienin ylinumeroituva ordinaali, ja sitä merkitään ω 1 :llä (kyseessä on myös kardinaali, pienin ylinumeroituva kardinaali, jota merkitään usein vaihtoehtoisella symbolilla ℵ 1 ). Luokan On alku näyttää nyt seuraavalta: 0, 1, 2, 3,... ω, ω + 1, ω + 2,... ω + ω, ω + ω + 1,... ω 1,... ω 1 + ω,... ω 1 + ω 1,... Binääridesimaaliesitysten avulla näemme helposti, että on voimassa P(ω) = R. Ylinumeroituvaa kardinaalia R merkitään yleisesti c:llä. On voimassa ω 1 c, mutta väite, että c = ω 1, tunnetaan kontinuumihypoteesina ja sitä ei voida todistaa sen paremmin oikeaksi kuin vääräksikään joukko-opin tavallisten aksioomien nojalla. 8

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Determinoiruvuuden aksiooma

Determinoiruvuuden aksiooma Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

JOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN JOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN SISÄLLYSLUETTELO LUKU I JOUKOT 1. Joukon määritelmä. Osajoukko, tyhjä joukko, potenssijoukko...1. Yhdistys, leikkaus ja erotus..... 6 3. Perusjoukko ja komplementti....

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista

Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista Pro gradu -tutkielma Minna Turunen 234482 Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos Kevät 2016 Sisältö Johdanto 3 1 Luonnollinen tiheys 7 1.1 Esimerkki

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot