Fourier-analyysia ryhmillä
|
|
- Minna Laakso
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Fourier-analyysia ryhmillä Pekka Salmi Kevät 2010
2 1 Topologian pikakurssi Avoimet, suljetut, kompaktit joukot Olkoon X ei-tyhjä joukko ja P(X) = { A; A X } joukon X osajoukkojen muodostama joukko. Kokoelma U P(X) on topologia X:llä jos (a), X U (b) {U α } α I U = α I U α U (c) U 1, U 2,..., U n U = U 1 U 2... U n U. Paria (X, U) kutsutaan topologiseksi avaruudeksi. Joukon U alkioita kutsutaan avaruuden (X, U) avoimiksi joukoiksi. Joukko F X on suljettu jos sen komplementti on avoin eli X \ F U. Esimerkki. (a) Olkoon X ei-tyhjä joukko ja U = P(X). Avaruutta (X, U) kutsutaan diskreetiksi avaruudeksi. Diskreetin avaruuden jokainen joukko on avoin. (b) X = R, U = {R:n avoimet joukot} (ks. Analyysi 1). (c) X = R n, U = {R n :n avoimet joukot} (ks. Analyysi 2). (d) Olkoon (X, d) metrinen avaruus (kuten R, R n ) ja U = { U X; x U ɛ > 0 : B(x, ɛ) U } missä B(x, ɛ) = { y X; d(x, y) < ɛ } (ks. Analyysi 3). Olkoon (X, U) topologinen avaruus. Joukko B U on topologian U kanta jos jokainen U U voidaan esittää muodossa U = α I U α missä U α B. Samalla topologialla on useita kantoja. Esimerkki. (a) Joukko B = { {x} } x X on diskreetin avaruuden X kanta. (b) Joukko B = { (a, b); a < b } on R:n kanta. (c) Joukko B = { B(x, ɛ); x X, ɛ > 0 } on metrisen avaruuden (X, d) kanta. Voidaan myös vaatia että ɛ > 0 on tässä rationaalinen. Topologinen avaruus (X, U) on Hausdorn avaruus jos kaikilla X:n pisteillä x y on olemassa sellaiset avoimet joukot U ja V että x U, y V ja U V =. Lähes kaikki järkevät topologiset avaruudet ovat Hausdorn avaruuksia. Topologisen avaruuden (X, U) osajoukko K X on kompakti jos K:n jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen alipeite, toisin sanoen jos K 2
3 α I U α, U α U, niin on olemassa sellaiset α 1, α 2,..., α n I että K U α1 U α2... U αn. Jokainen kompaktin joukon suljettu osajoukko on myös kompakti. Hausdorn avaruuden kompaktit joukot ovat aina suljettuja. (a) Jokainen topologisen avaruuden äärellinen osajoukko on kom- Esimerkki. pakti. (b) HeineBorelin lause: Joukko K R n on kompakti jos ja vain jos K on suljettu ja rajoitettu (ks. Analyysi 1 ja 2). Olkoon (X, U) topologinen avaruus. Joukko N X on pisteen x X ympäristö jos on olemassa sellainen avoin joukko U U että x U N. Huomaa että N ei välttämättä ole avoin. Kokoelma N x P(X) on pisteen x X ympäristökanta jos jokainen N N x on pisteen x ympäristö ja kaikilla x:n ympäristöillä N on olemassa sellainen N N x että N N. Topologinen avaruus (X, U) on lokaalisti kompakti jos jokaisella pisteellä x X on olemassa ympäristökanta joka koostuu kompakteista joukoista. Esimerkki. (a) Diskreetti avaruus on lokaalisti kompakti: { {x} } on pisteen x ympäristökanta. (b) R on lokaalisti kompakti: { [a, b]; a < x < b } on pisteen x ympäristökanta. (c) Q ei ole lokaalisti kompakti. Kompaktin joukon suljetut osajoukot ovat kompakteja, joten jos Q on lokaalisti kompakti, niin löytyy sellaiset irrationaalipisteet s < t, että joukko A = { x Q; s < x < t } = [s, t] Q on kompakti. Valitaan rationaalipisteistä koostuvat jonot (s n ) ja (t n ) siten että s < s n < t n < t ja s n s ja t n t. Tällöin {(s n, t n )} n=1 on joukon A avoin peite jolla ei ole äärellistä alipeitettä. Verkot Joukko Λ on suunnattu relaation suhteen jos (a) λ λ kaikilla λ Λ (b) jos λ 1 λ 2 ja λ 2 λ 3, niin λ 1 λ 3 (c) kaikilla λ 1, λ 2 Λ on olemassa sellainen λ 3 Λ että λ 1 λ 3 ja λ 2 λ 3. 3
4 Verkko topologisessa avaruudessa X on kuvaus f : Λ X missä Λ on jokin suunnattu joukko. Yleensä kirjoitetaan (x λ ) λ Λ kun λ x λ on verkko. Olkoon (x λ ) λ Λ verkko avaruudessa X. Verkko (x λ ) suppenee pisteeseen x X (kirjoitetaan x λ x), jos kaikilla x:n ympäristöillä N on olemassa sellainen λ 0 Λ että x λ N kaikilla λ λ 0. Piste x on verkon (x λ ) kasautumispiste jos kaikilla x:n ymparistöillä N on olemassa sellainen λ 0 Λ että x λ0 N. Esimerkki. (a) Jonot, jonojen suppeneminen metrisissä avaruuksissa kuten R n :ssä. (b) Olkoon X topologinen avaruus. Olkoon x X ja olkoon N x jokin x:n ympäristö kanta. Osoitetaan että N x on suunnattu joukko sisältyvyysrelaation suhteen. Ensinnäkin N N kaikilla N N x ja jos N 1 N 2 ja N 2 N 3 niin N 1 N 3. Olkoot nyt N 1, N 2 N x. Tällöin N 1 N 2 on x:n ympäristö joten on olemassa sellainen N 3 N x että N 3 N 1 N 2. Toisin sanoen N 1 N 3 ja N 2 N 3. Muodostetaan verkko (x N ) N Nx valitsemalla (mielivaltaisesti) x N N kaikilla N N x. Osoitetaan että x N x. Jos N on x:n ympäristö, niin on olemassa sellainen N 0 N x että N 0 N. Tällöin kaikilla N N x joille pätee N 0 N, x N N N 0 N. Verkko (y α ) α A on verkon (x λ ) λ Λ osaverkko jos on olemassa sellainen kuvaus ϕ: A Λ että (a) ϕ(α) ϕ(β) jos α β A:ssa (b) kaikilla λ Λ on olemassa sellainen α A että λ ϕ(α) (c) y α = x ϕ(α). Yleensä kirjoitetaan (x λα ) α A osaverkon (y α ) α A sijaan. Esimerkki. Osajonot. Jos x on verkon (x λ ) kasautumispiste, niin on olemassa verkon (x λ ) osaverkko joka suppenee pisteeseen x. Joukko K X on kompakti jos ja vain jos jokaisella verkolla (x λ ) K on suppeneva osaverkko. 4
5 Jatkuvat funktiot Olkoon (X, U) ja (Y, V) topologisia avaruuksia. Funktio f : X Y on jatkuva pisteessä x X jos kaikilla f(x):n ympäristöillä V on olemassa sellainen x:n ympäristö U että U f 1 (V ) = { z X; f(z) V }. Funktio f on jatkuva jos se on jatkuva jokaisessa X:n pisteessä. Voidaan osoittaa että seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä f on jatkuva f 1 (V ) on avoin X:ssä aina kun V on avoin Y :ssä f 1 (F ) on suljettu X:ssä aina kun F on suljettu Y :ssä f(x λ ) f(x) aina kun (x λ ) on verkko X:ssä ja x λ x. Jos f : X Y on jatkuva funktio ja K X on kompakti, niin f(k) on kompakti. Jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio on myös jatkuva. Jos f : X Y on jatkuva bijektio ja myös f 1 : Y X on jatkuva, niin sanotaan että f on homeomorsmi. Tällöin avaruudet X ja Y ovat homeomorset. Homeomorset avaruudet ovat topologisilta ominaisuuksiltaan identtiset; U X on avoin jos ja vain jos f(u) Y on avoin. Sulkeuma, tiheä joukko Olkoon X topologinen avaruus. Joukon A X sulkeuma A on pienin suljettu joukko joka sisältää A:n. Toisin sanoen A = { F X; F suljettu, A F }. Voidaan osoittaa että seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä x A N A kaikilla x:n ympäristöillä N on olemassa sellainen verkko (x λ ) A että x λ x. Joukko A on tiheä avaruudessa X jos A = X. Esimerkiksi Q on tiheä R:ssä. 5
6 Aliavaruus, tuloavaruus Olkoot (X, U) ja (Y, V) topologisia avaruuksia. Jos Z X, niin Z on topologinen avaruus aliavaruustopologian U Z = { U Z; U U } suhteen. Tulo X Y on topologinen avaruus tulotopologian, jonka kanta on { U V ; U U, V V }, suhteen. Verkko (x λ, y λ ) (x, y) avaruudessa X Y jos ja vain jos x λ x X:ssä ja y λ y Y :ssä. Koordinaattifunktiot f : X Y X, f(x, y) = x ja g : X Y Y, g(x, y) = y ovat selvästi jatkuvia. Esimerkki. (a) Z R on diskreetti: {n} (n 1/2, n + 1/2) = {n}. (b) Q R (ei ole diskreetti). (c) Avaruuden R 2 :n topologia saadaan R:n topologiasta tulotopologian avulla, koska joukot (a, b) (c, d) muodostavat R 2 :n kannan. Lisää kompakteista joukoista ja lokaalisti kompakteista avaruuksista Lause 1. Olkoon (X, U) topologinen avaruus. Jos K X on kompakti ja F X on suljettu, niin K F on kompakti. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 2. Olkoon X Hausdor avaruus. Jos K X on kompakti ja x X \ K, niin on olemassa sellaiset avoimet joukot U ja V, että K U, x V ja U V =. Todistus. Koska X on Hausdorn avaruus, kaikilla y K on olemassa sellaiset avoimet joukot U y ja V y että y U y, x V y ja U y V y =. Nyt K y K U y, joten K:n kompaktisuuden nojalla K U y1 U y2... U yn joillain y 1, y 2,..., y n. Joukot U = U y1 U y2... U yn ja V = V y1 V y2... V yn toteuttavat lauseen ehdot. Seuraus 3. Hausdorn avaruuden kompaktit joukot ovat suljettuja. 6
7 Lause 4. Olkoon X Hausdorn avaruus. Olkoon F kokoelma X:n suljettuja osajoukkoja joista yksi on kompakti. Jos K 1 K 2... K n aina kun K 1, K 2,..., K n F, niin F. Todistus. Asetetaan U = { K ; K F }. Tehdään vastaoletus: F =. Tällöin ( U = K = K) = X K F De Morganin lain ja vastaoletuksen nojalla. Täten U on avoin peite kompaktille joukolle K 0 F (oletuksen mukaan jokin F:n joukoista on kompakti), joten K 0 K 1 K 2... K n = (K 1 K 2... K n ) joillain K 1, K 2,..., K n F. Nyt K 0 K 1 K 2... K n =, mikä on ristiriidassa oletusten kanssa. Lause 5. Olkoon X Hausdorn avaruus jossa jokaisella pisteellä on kompakti ympäristö. Oletetaan että K X on kompakti, U X on avoin ja K U. Tällöin on olemassa sellainen avoin joukko V X että sen sulkeuma V on kompakti ja K V V U. Todistus. Oletuksesta seuraa Lauseen 1 avulla, että jokaisella pisteellä x K on olemassa sellainen avoin ympäristö V x että V x on kompakti. Koska K on kompakti, niin K V x1 V x2... V xn joillain x 1, x 2,... x n K. Asetetaan V = V x1 V x2... V xn, jolloin K F V V x1 V x2... V xn ja jälkimmäinen joukko on kompakti. Jos siis U = X, niin voidaan valita V = V ja lauseen ehdot toteutuvat. Jos taas U X, niin valitaan jokaisella y U sellainen avoin joukko W y että K W y ja y / W y (Lause 2). Nyt y U U W y V =. Koska joukot U W y V ovat kompakteja (sillä V on kompakti), niin Lauseen 4 nojalla löydetään sellaiset y 1, y 2,... y m että (1) U V W y1 W y2... W ym =. Asetetaan V = V W y1 W y2... W ym. 7
8 Selvästi V on avoin ja K V. Toisaalta, yhtälön (1) nojalla, V V W y1 W y2... W ym U, joten V on kompakti ja sisältyy joukkoon U. Seuraus 6. Jos X on Hausdorn avaruus jossa jokaisella pisteellä on kompakti ympäristö, niin X on lokaalisti kompakti. Todistus. Olkoon x X mielivaltainen, ja olkoon N kaikkien x:n kompaktien ympäristöjen joukko. Riittää siis osoittaa että N on pisteen x ympäristökanta. Olkoon N on mielivaltainen x:n ympäristö. Käyttämällä edellistä lausetta (kun K = {x} ja U on avoin joukko joka sisältää x:n ja sisältyy joukkoon N), löydetään sellainen avoin joukko V että x V V N ja V on kompakti. Nyt V N, joten N on x:n ympäristökanta. Hausdorn avaruuksien tapauksessa ei siis tarvitse osoittaa että jokaisella pisteellä on kompaktien joukkojen muodostama ympäristökanta, vaan riittää osoittaa että jokaisella pisteellä on kompakti ympäristö. 8
9 2 Topologiset ryhmät Topologinen ryhmä on Hausdorn avaruus G joka on myös ryhmä, jonka tulo-operaatio (x, y) xy : G G G ja käänteiskuvaus x x 1 : G G ovat jatkuvia. Lokaalisti kompakti ryhmä on topologinen ryhmä, jonka topologia on lokaalisti kompakti; lokaalisti kompakti abelin ryhmä on lokaalisti kompakti ryhmä, jonka operaatio on kommutatiivinen ( xy = yx). Esimerkki. (a) Jokainen ryhmä on (lokaalisti kompakti) topologinen ryhmä, jos se varustetaan diskreetillä topologialla. Ryhmän (Z, +) (R, +) luonnollinen aliavaruustopologia on diskreetti topologia. (b) (R, +), ja yleisemmin (R n, +), on lokaalisti kompakti Abelin ryhmä. (c) (R \ {0}, ), ja yleisemmin (C \ {0}, ), on lokaalisti kompakti Abelin ryhmä. (d) T = { z C; z = 1 } on kompakti Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. (e) (Q, +) on topologinen ryhmä, joka ei ole lokaalisti kompakti. (f) Matriisiryhmät: Olkoon M(n, R) reaalikertoimisten, n n-matriisien muodostama joukko. Samaistamalla M(n, R) avaruuden R n2 kanssa, M(n, R) on lokaalisti kompakti avaruus. Kääntyvien matriisien muodostama joukko GL(n, R) = { A M(n, R); det A 0 } on ryhmä matriisitulon suhteen. Itse asiassa GL(n, R) on lokaalisti kompakti ryhmä, joka ei ole Abelin ryhmä (kun n 2). Kaikki GL(n, R):n suljetut aliryhmät kuten ja SL(n, R) = { A M(n, R); det A = 1 }, O(n, R) = { A M(n, R); A T A = I } SO(n, R) = O(n, R) SL(n, R) ovat myös lokaalisti kompakteja ryhmiä, samoin kuin kompleksikertoimiset matriisiryhmät GL(n, C), SL(n, C), ja SU(n, C). U(n, C) = { A M(n, R); A A = I } 9
10 (g) p-adiset luvut: Olkoon p kiinnitetty alkuluku. Jokaisella r Q on yksikäsitteinen esitys muodossa r = p m q missä m Z ja q Q on supistettua muotoa ja q:n osoittaja ja nimittäjä ovat jaottomia p:llä. Asettamalla tällöin r p = p m ja lisäksi 0 p = 0 saadaan niin kutsuttu p-adinen normi Q:lle. Kuten normeilla yleensäkin, d p (r 1, r 2 ) = r 1 r 2 p antaa metriikan. Täydentämällä metrinen avaruus (Q, d p ) saadaan täydellinen metrinen avaruus (Q p, d p ). (Täydentämisessä avaruuteen lisätään pisteitä jotta Cauchyn jonot saadaan suppenemaan. Esimerkiksi reaaliluvut voidaan määritellä rationaaliluvuista täydennysoperaation avulla; p-adinen täydennys on täysin vastaava operaatio.) Avaruuden Q p alkioita kutsutaan p-adisiksi luvuiksi. Kerto- ja yhteenlaskuoperaatiot voidaan jatkaa täydennykseen jolloin (Q p, +) ja (Q p \ {0}, ) ovat lokaalisti kompakteja Abelin ryhmiä (jotka eivät ole Lien ryhmiä). Olkoon G topologinen ryhmä. Merkitään e = ykkösalkio xa = { xy; y A } Ax = { yx; y A } A 1 = { x 1 ; x A } AB = { xy; x A, y B } missä x G, A, B G. Lisäksi merkitään A 2 = AA, A 3 = AAA,... (Huomaa että A 2 { x 2 ; x A }.) Sanotaan että A on symmetrinen jos A = A 1. Lause 7. Olkoon G topologinen ryhmä. (a) Jos U G on avoin, niin myös joukot xu, Ux, AU, UA ja U 1 ovat avoimia kaikilla x G ja A G. (b) Jos N on ykkösalkion e ympäristökanta ja x G, niin { xn; N N } on pisteen x ympäristökanta (vastaavasti { Nx; N N }). (c) Jos U on ykkösalkion e ympäristö, niin on olemassa sellainen e:n symmetrinen ympäristö että V 2 U. (d) Jos H on G:n avoin aliryhmä, niin H on myös suljettu. (e) Jos K 1 ja K 2 ovat G:n kompakteja osajoukkoja, niin myös K 1 K 2 on kompakti. 10
11 Jos G on topologinen ryhmä ja H on G:n aliryhmä, niin myös H on topologinen ryhmä aliavaruustopologian suhteen. Jos G on lokaalisti kompakti ryhmä, niin sen suljetut aliryhmät ovat myös lokaalisti kompakteja (Q R ei ole suljettu eikä lokaalisti kompakti). Lause 8. Olkoon H topologisen ryhmän G suljettu, normaali aliryhmä. Tällöin G/H on topologinen ryhmä (topologia määritellään kohta). Jos G on lokaalisti kompakti, niin myös G/H on. Tekijäryhmän topologia koostuu joukoista q(u) missä q : G G/H, x xh on tekijäkuvaus ja U käy läpi G:n avoimet joukot. Olkoot G ja H topologisia ryhmiä. Jos on olemassa kuvaus ϕ: G H joka on sekä isomorsmi että homeomorsmi, niin sanotaan että G ja H ovat topologisina ryhminä isomorset ja kirjoitetaan G = H. Esimerkki. (a) T = R/Z. Kuvaus ϕ: R/Z T, ϕ(x + Z) = e 2πix on vaadittu isomorsmi. (b) T = SO(2, R). Kuvaus ϕ: T SO(2, R), ( ) cos θ sin θ ϕ(e iθ ) = sin θ cos θ on vaadittu isomorsmi. 11
12 3 Funktioista Olkoon X lokaalisti kompakti topologinen avaruus. Merkitään rajoitettujen funktioiden f : X C muodostamaa joukkoa F(X):llä, ja asetetaan f = sup f(x) x X (f F(X)). Tällöin F(X) on Banach-avaruus yllä olevan normin ja pisteittäisten operaatioiden suhteen: (f + g)(x) = f(x) + g(x) f, g F(X) (cf)(x) = cf(x) x X, c C. Funktion f : X C kantaja on joukko supp f = { x X; f(x) 0 } (siis X \ supp f on suurin avoin joukko jossa f 0). Merkitään C c (X) = { f : X C; f jatkuva, supp f kompakti } ja C + c (X) = { f C c (X); f 0, f 0 }. Huomaa että C c (X) F(X) on lineaarinen aliavaruus (supp(f + g) (supp f) (supp g)). Olkoon G lokaalisti kompakti ryhmä. Määritellään kaikilla f : G C L x f(y) = f(xy) ja R x f(y) = f(yx) (x, y G). Sanotaan että funktio f F(G) on vasemmalta tasaisesti jatkuva jos x L x f : G F(G) on jatkuva kuvaus (toisin sanoen jos kaikilla x G ja kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen x:n ympäristö N että L x f L y f < ɛ aina kun y N). Oikealta tasaisesti jatkuvuus määritellään vastaavasti (x R x f). Funktio on tasaisesti jatkuva jos se on sekä vasemmalta että oikealta tasaisesti jatkuva. Lause 9. Jokainen f C c (G) on tasaisesti jatkuva. 12
13 4 Haarin mitta Olkoon X lokaalisti kompakti topologinen avaruus. Positiivinen Borelin mitta X:llä on mitta µ: Σ [0, ] missä Σ on σ-algebra, joka sisältää X:n avoimet joukot. Avointen joukkojen virittämän σ-algebran alkioita kutsutaan Borelin joukoiksi. Olkoon µ sellainen positiivinen Borelin mitta X:llä että µ(k) < kaikilla kompakteilla joukoilla K X. Tällöin jokainen f C c (X) on integroituva koska f(x) dµ(x) f 1 supp f (x) dµ(x) = f µ(supp f) <. Täten X X I µ : f X f(x) dµ(x): C c (X) C on lineaarinen kuvaus, joka on positiivinen siinä mielessä että I µ (f) 0 aina kun f 0. Käänteinen tulos on Rieszin esityslause. Tulosta varten tarvitaan (hieman epästandardi) määritelmä: positiivinen Borelin mitta µ avaruudella X on säännöllinen jos (a) µ(k) < kaikilla kompakteilla K X (b) µ(e) = inf{ µ(u); E U, U avoin } aina kun E X on Borelin joukko (c) µ(e) = sup{ µ(k); K E, K kompakti } aina kun E X on Borelin joukko jolle µ(e) < tai E X on avoin. Kutsutaan jatkossa positiivisia säännöllisiä Borelin mittoja Radonin mitoiksi. Lause 10 (Riesz). Olkoon X lokaalisti kompakti avaruus. Jos I : C c (X) C on positiivinen lineaarikuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen Radonin mitta µ avaruudella X jolle pätee I(f) = f(x) dµ(x) (f C c (X)). X Olkoon G nyt lokaalisti kompakti ryhmä. Vasen Haarin mitta G:llä on ei-triviaali (eli λ(g) > 0) Radonin mitta λ jolle pätee λ(xe) = λ(e) (x G, E G Borelin joukko. (Jos G on Abelin ryhmä puhutaan vain Haarin mitasta.) 13
14 Lause 11. Olkoon λ Radonin mitta G:llä. Tällöin λ on vasen Haarin mitta jos ja vain jos f(yx) dλ(x) = f(x) dλ(x) kaikilla f C + c (G) ja y G. G Lause 12. Jokaisella lokaalisti kompaktilla ryhmällä G on vasen Haarin mitta λ. Lause 13. Olkoon λ vasen Haarin mitta G:llä. Tällöin λ(u) > 0 aina kun U G on ei-tyhjä avoin joukko ja f dλ > 0 aina kun f C + c (G). Lause 14. Jos λ ja µ ovat vasempia Haarin mittoja G:llä, niin on olemassa sellainen vakio c > 0 että λ(e) = cµ(e) kaikilla Borelin joukoilla E G. G (a) (R n, +):n Haarin mitta on Lebesguen mitta (ks. Analyy- Esimerkki. si 3). (b) (R \ {0}, ):n Haarin mitta on 1 x dx. (c) Diskreetin ryhmän G (erityisesti Z) Haarin mitta on lukumäärämitta: λ({x}) = 1. Erityisesti G f(x) dλ(x) = x G f(x). (d) T:n Haarin mitta on 1-ulotteinen Lebesguen mitta: T f(z) dλ(z) = 1 2π f(e iθ ) dθ. 2π 0 (e) ax + b -ryhmä koostuu kuvauksista x ax + b: R R missä a > 0 ja b R. Siis topologisena avaruutena ax + b -ryhmä on { (a, b); a > 0, b R } R 2. Ryhmäoperaatio on kuvausten yhdistäminen. Koska (c, d)(a, b)x = (c, d)(ax + b) = cax + cb + d = (ca, cb + d)x niin (c, d)(a, b) = (ca, cb + d). ax + b -ryhmä on lokaalisti kompakti ryhmä, joka ei ole kommutatiivinen. Sen vasen Haarin mitta on 1 a 2 da db. 14
15 5 Konvoluutio Olkoon G lokaalisti kompakti ryhmä. Tästä lähtien oletetaan, että G:n vasen Haarin mitta on kiinnitetty ja se jätetään integraaleissa merkitsemättä: esimerkiksi kirjoitetaan f(x) dx. Tarvittaessa vasenta Haarin mittaa merkitään λ:lla. Mitallisten funktioiden f, g : G C konvoluutio määritellään kaavalla f g(x) = f(y)g(y 1 x) dy (x G), G jos integraali suppenee (absoluuttisesti). Jos f g(x) on määritelty, niin f g(x) = f(xy)g(y 1 ) dy (x G), G koska vasen Haarin mitta on invariantti vasemman translaation suhteen. Olkoot f ja g nyt mitallisia, rajoitettuja, kompaktikantajaisia funktioita (supp f ja supp g kompakteja); esimerkiksi f, g C c (G). Nyt kuvaus on mitallinen ja y f(y)g(y 1 x) f(y)g(y 1 x) = 0 jos y / supp f. Täten f g(x) on määritelty kaikilla x G. Jos x / (supp f)(supp g), niin y 1 x / supp g aina kun y supp f ja täten f g(x) = 0. Siis supp(f g) (supp f)(supp g). Itseasiassa f g C c (G) (osoitetaan myöhemmin). Esimerkki. Olkoot G = R ja f = g = 1 [0,1]. Nyt f g(x) = = = 1 [0,1] (y)1 [0,1] ( y + x) dy 1 [0,1] (y)1 [x 1,x] (y) dy 1 [0,1] [x 1,x] (y) dy 0 x 0 x 0 x 1 = 2 x 1 x 2 0 x 2. 15
16 Konvoluutio on määritelty yleisemminkin, minkä toteamiseen käytetään Fubinin lausetta. Lause 15 (Fubini). Olkoon µ ja ν Radonin mittoja lokaalisti kompakteilla avaruuksilla X ja Y. Asetetaan kaikilla Borelin joukoilla A X ja B Y µ ν(a B) = µ(a)ν(b). Nyt µ ν voidaan jatkaa yksikäsitteisesti Radonin mitaksi avaruudelle X Y siten, että (a) jos f : X Y C on µ ν-integroituva, niin f(x, y) d(µ ν)(x, y) = f(x, y) dµ(x) dν(y) X Y Y X (2) = f(x, y) dν(y) dµ(x) (b) jos f : X Y C on mitallinen, { (x, y); f(x, y) 0 } on σ-äärellinen 1 ja joko f(x, y) dµ(x) dν(y) < tai Y X X Y X f(x, y) dν(y) dµ(x) <, niin f on µ ν-integroituva ja (2) pätee. Olkoon G lokaalisti kompakti ryhmä. Asetetaan kaikilla 1 p < L p (G) = { f : G C mitallinen ja f(x) p dx < } missä funktiot jotka eroavat vain 0-mitallisessa joukossa samaistetaan. Yhtälö ( ) 1/p f p = f(x) p dx G määrää normin, jonka suhteen L p (G) on Banach-avaruus. Käyttämällä vasemman Haarin mitan invarianttisuutta (vasemman translaation suhteen), nähdään helposti että L x f p = f p kaikilla x G. Lemma 16. Jos f L 1 (G) niin supp f on σ-kompakti (eli supp f = n=1 K n missä jokainen K n on kompakti ). 1 Joukko A on σ-äärellinen mitan µ suhteen jos A = n=1 A n missä µ(a n ) <. 16 Y G
17 Todistus. Olkoon V kompakti, symmetrinen e:n ympäristö. Tällöin H = n=1 V n on G:n avoin, σ-kompakti aliryhmä (H on aliryhmä sillä V n V m = V n+m ja (V n ) 1 = V n ; H on σ-kompakti sillä jokainen V n on kompakti; H on avoin sillä xv H jokaisella x H). Olkoot A = { x G; f(x) 0 } ja A n = { x G; f(x) > 1/n } kaikilla n = 1, 2,... Nyt λ(a n ) < sillä f dλ λ(an )/n. Koska λ on Radonin mitta, niin on olemassa avoin U, jolle A n U ja λ(u) <. Kirjoitetaan G = t T th missä t 1H t 2 H = kaikilla t 1 t 2. Nyt U th on avoin, joten λ(u th) > 0 aina kun U th (Lause 13). Tästä seuraa että U th vain numeroituvalla määrällä indeksejä, koska λ(u) < ja joukot U th erillisiä. 2 Täten A n t T n th, missä T n on numeroituva. Siis A n=1 t T n th =: B, missä B on σ- kompakti sillä yhdiste on numeroituva. Myös supp f = A B koska B on suljettu. Lause 17. Olkoot f, g, h L 1 (G) ja c C. Tällöin (a) f g(x) on määritelty melkein kaikilla x G ja f g L 1 (G) (b) f (g h) = (f g) h (c) f (g + h) = (f g) + (f h), (f + g) h = (f h) + (g h) (d) (cf) g = c(f g) = f (cg) (e) f g 1 f 1 g 1. Täten L 1 (G) on niin sanottu Banach-algebra. Lause 18. Olkoon f L p (G). Kuvaukset ovat jatkuvia. x L x f : G L p (G) x R x f : G L p (G) Lause 19. Olkoot f L 1 (G) ja g : G C mitallinen ja rajoitettu. Tällöin f g : G C on vasemmalta tasaisesti jatkuva. Banach-algebra L 1 (G) on ykkösellinen 3 täsmälleen silloin kun G on diskreetti (L 1 (G):n ykkösalkio on tällöin { 1, x = e δ e (x) = 0, x e 2 Olkoon α I ɛ α summa aidosti positiivisia reaalilukuja ɛ α. Asetetaan I n = { α I; ɛ α > 1/n }, jolloin I n < tai α I ɛ α =. Jos siis α I ɛ α <, niin I = n=1 I n on numeroituva. 3 Algebra A on ykkösellinen jos on olemassa sellainen alkio 1 A että a1 = a ja 1a = a. 17
18 missä e on G:n ykkösalkio). Banach-algebralla L 1 (G) on kuitenkin aina niin sanottu rajoitettu ykkösen approksimaatio: seuraavan lauseen verkko (ϕ U ) U U. Lause 20. Kaikilla f L 1 (G) ja ɛ > 0 on olemassa sellainen symmetrinen kompakti ykkösalkion e ympäristö U että f f ϕ U 1 < ɛ f ϕ U f 1 < ɛ missä ϕ U = 1 U λ(u). Jos U on tällaisten ympäristöjen muodostama e:n ympäristökanta ja (ϕ U ) U U on vastaava verkko L 1 (G):ssä, niin f ϕ U f ja ϕ U f f avaruudessa L 1 (G). 18
19 6 Duaaliryhmä Olkoon G lokaalisti kompakti Abelin ryhmä (jatkossa käytetään lyhennettä LKA-ryhmä). Karakteeri on homomorsmi γ : G T. Merkitään jatkuvien karakteerien joukkoa Ĝ:llä. Siis Ĝ = { γ : G T; γ jatkuva, γ(xy) = γ(x)γ(y) x, y G }. Joukko Ĝ muodostaa Abelin ryhmän pisteittäisen operaation suhten: (γη)(x) = γ(x)η(x) (γ, η Ĝ, x G). Ykkösalkio on vakiofunktio 1(x) = 1, ja alkion γ Ĝ käänteisalkio on γ 1 (x) = γ(x) 1 = γ(x) (γ Ĝ, x G) (missä yläviiva tarkoittaa kompleksikonjugointia). Esimerkki. (a) Kaikki R:n jatkuvat karakteerit ovat muotoa γ s (x) = e isx (x R) missä s R. Lisäksi pätee ryhmäisomora R = R. (b) Kaikki T:n jatkuvat karakteerit ovat muotoa γ n (z) = z n (z T) missä n Z. Lisäksi pätee ryhmäisomora T = Z. (c) Kaikki Z:n jatkuvat karakteerit ovat muotoa γ z (n) = z n (n Z) missä z T. Lisäksi pätee ryhmäisomora Ẑ = T. Olkoon G LKA-ryhmä. Kaikilla K G kompakti ja U C avoin, asetetaan L(K, U) = { γ Ĝ; γ(k) U }. Äärelliset leikkaukset n L(K k, U k ) k=1 muodostavat Ĝ:n topologian kannan (n.k. kompaktiavoin-topologia). Joukot N(K, ɛ) := L(K, B(1, ɛ)) = { γ Ĝ; γ(x) 1 ɛ x K } 19
20 muodostavat ykkösalkion 1 Ĝ ympäristökannan. Vastaavasti joukot γn(k, ɛ) = { η Ĝ; η(x) γ(x) ɛ x K } muodostavat pisteen γ Ĝ ympäristökannan. Lause 21. Ĝ on LKA-ryhmä. Esimerkki. (a) R:n kompaktiavoin-topologia on R:n Euklidinen topologia. Täten R = R topologisina ryhminä. (b) T = Z (c) Ẑ = T Lause 22. Jos G on kompakti, niin Ĝ on diskreetti. Jos G on diskreetti, niin Ĝ on kompakti. Olkoon G LKA-ryhmä. Kaikilla x G, x(γ) = γ(x) (γ Ĝ) määrittelee Ĝ:n jatkuvan karakteerin. Siis x Ĝ. Itseasiassa kaikki Ĝ:n alkiot ovat tätä muotoa: Lause 23 (Pontryagin). Kuvaus x x: G Ĝ on isomorsmi topologisten ryhmien G ja Ĝ välillä. Siis G = Ĝ. Esimerkki. (a) R = R = R (b) T = Ẑ = T (c) Ẑ = T = Z 20
21 7 Fourier-muunnos Olkoon G LKA-ryhmä. Funktion f L 1 (G) Fourier-muunnos on funktio f : Ĝ C, f(γ) = f(x)γ(x) dx. Esimerkki. (a) R: Kun f L 1 (R), f : R C, f(s) = G f(x)γ s (x) dx = Tämä yhtyy klassiseen Fourier-muunnokseen. Esimerkiksi, jos f = 1 [0,1], niin f(s) = 1 (b) T = R/Z: Kun f L 1 (T), f : Z C, 0 e isx dx = 1 e is. is f(n) = 1 2π f(e iϕ )e inϕ dϕ. 2π 0 (c) Z: Kun f L 1 (Z) = l 1 (Z), f : T C, f(e iϕ ) = n= f(n)e inϕ. f(x)e isx dx. Sanotaan että f : G C häviää äärettömyydestä jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen kompakti K G että Olkoon f(x) < ɛ kaikilla x G \ K. C 0 (G) = {f : G C jatkuva ja häviää äärettömyydessä}. Voidaan osoittaa että C 0 (G) on C c (G):n sulkeuma avaruudessa (F(G), ). C 0 (G) on Banach-algebra (C*-algebra) pisteittäisen tulon suhteen: (fg)(x) = f(x)g(x) (x G, f, g C 0 (G)). 21
22 Lause 24. Olkoot f, g L 1 (G) ja α C. (a) f C 0 (Ĝ) ja f f 1 (b) (αf + g) = α f + ĝ (c) (f g) = fĝ (d) f = f missä f(x) = f(x 1 ) melkein kaikilla x G (e) (ηf) (γ) = f(η 1 γ) kaikilla η, γ Ĝ (f) (L x f) (γ) = γ(x) f(γ) kaikilla x G, γ Ĝ Lause 25 (Kääntei-Fourier-muunnos). Jos f L 1 (G) ja f 1 L (Ĝ), niin (3) f(x) = f(x 1 ) = f(γ)γ(x) dγ melkein kaikilla x G. Jos f on lisäksi jatkuva, niin (3) pätee kaikilla x G. bg Huomautus. (a) Kaavassa (3) käytetään Pontryaginin dualiteettilausetta: f(x 1 ) = f(γ) x 1 (γ) dγ f(γ)γ(x) dγ bg bg kun x 1 samaistetaan karakteerin x 1 Ĝ kanssa. (b) Jotta kaava (3) pätee, Ĝ:n Haarin mitta täytyy olla normalisoitu G:n Haarin mitan kanssa sopivaksi. Esimerkki. (a) R: Jos f L 1 (R), niin Jos myös f L 1 (R), niin f(s) = f(x)e isx dx. f(s) = 1 2π f(s)e ixs ds, missä vakio 1 2π on vaadittava Haarin mitan normitus. 22
23 (b) Z: Jos a = (a n ) n Z l 1 (Z) = L 1 (Z), niin â(e iϕ ) = a n e inϕ C(T) L 1 (T) n= ja a n = 1 2π â(e iϕ )e inϕ dϕ. 2π 0 (c) T: Jos f L 1 (T), niin f(n) = 1 2π f(e iϕ )e inϕ dϕ. 2π 0 Jos ( f(n)) n Z l 1 (Z) (eli f L 1 (Z)), niin f(z) = n= f(n)z n. Funktio f on siis esitettävissä Fourier-sarjana. Lause 26. Fourier-muunnos F : f f : L 1 (G) C 0 (G) on injektiivinen ja F ( L 1 (G) ) on tiheä C 0 (G):ssä. Esimerkki. Funktion (n N) Fourier-muunnos on f n (x) = 2 sin x sin nx πx 2 x + n + 1, n 1 x n + 1 2, n + 1 x n 1 g n (x) = x + n + 1, n 1 x n + 1 0, muulloin. Avoimen kuvauksen lause implikoi että F : L 1 (R) C 0 (R) ei ole surjektio sillä f n = g n = 2 vaikka f n 1 kun n. Esimerkki. Funktion f s (x) = e sx2 Fourier-muunnos on π f s (u) = e sx2 e iux dx = /4s s e u2. 23
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotU β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)
1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
LisätiedotTOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa
Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotMetrisoituvuuden yleistämisestä. Joonas Ilmavirta
Metrisoituvuuden yleistämisestä Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2011 Sisältö 1. Johdanto 1 2. Järjestys ja metriikka 2 2.1. Järjestys 2 2.2. Ordinaaleista
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotMetristyvät topologiset avaruudet
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotJohdatus topologiaan (4 op)
180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle
LisätiedotREAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015
REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and
LisätiedotYleistettyjen jonojen käyttö topologiassa
Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA
TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotJohdanto Lassi Kurittu
Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2017 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotTopologian demotehtäviä
Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä
LisätiedotTasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista
Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Pro gradu -tutkielma Toni Vesikko 243023 Itä-Suomen yliopisto 7. heinäkuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet ja merkintöjä 2 3 Funktionaalianalyysin
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 7 1 Metriset avaruudet 9 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotRyhmä SO(3) ja sen lineaariset redusoitumattomat esitykset
Ryhmä SO(3) ja sen lineaariset redusoitumattomat esitykset Ilari Korhonen Matematiikan Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä: Korhonen
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedot