U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)"

Transkriptio

1 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T. (1) β J Jokaiselle β J pätee U β T eli leikkauksen määritelmän mukaan U β T α kaikille α I ja β J. Silloin {U β β J} T α kaikille α I. (4) Koska T α on topologia kaikille α I, niin ehdon (4) nojalla U β T α kaikille α I. β J Väite (1) seuraa tästä leikkauksen määritelmän mukaan. Ehtoa (2) varten olkoon J äärellinen (ja epätyhjä) sekä {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T. (2) β J Ehto (4) pätee kuten yllä, ja koska tässä J on äärellinen ja T α on topologia kaikille α I, niin ehdon (4) nojalla U β T α kaikille α I. β J Väite (2) seuraa tästä leikkauksen määritelmän mukaan. Määritelmän 1.1 ehdossa (3) pitää osoittaa, että Koska T α on topologia kaikille α I, niin {,X} T. (3) {,X} T α kaikille α I. Väite (3) seuraa tästä leikkauksen määritelmän mukaan. b) Joukkoperhe α I T α P(X) ei välttämättä ole topologia. Tästä esimerkkinä on vaikkapa kolmen (eri) alkion joukko X = {a,b,c} sekä I = {1,2} ja T 1 = {, {a},x}, T 2 = {, {b},x}. Tällöin T 1 ja T 2 ovat selvästi topologioita, mutta niiden yhdiste on T 1 T 2 = {, {a}, {b},x}, 1

2 joka ei ole topologia, sillä jos U = {a} T 1 T 2 ja V = {b} T 1 T 2, niin U V = {a,b} / T 1 T a) Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U α α I} T. Pitää osoittaa, että U α T. (1) α I Jos α I U α =, niin väite (1) seuraa suoraan T :n määritelmästä. Voidaan siis olettaa, että α I U α, jolloin yhdisteen määritelmän mukaan on ainakin yksi indeksi α 0 I siten, että U α0. Tällöin T :n määritelmän mukaan X \ U α0 on äärellinen tai tyhjä. (4) Joukon T määritelmän mukaan väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että X \ α I U α on äärellinen tai tyhjä. (5) Alkeisjoukko-opin nojalla X \ α I U α = α I(X \ U α ) X \ U α0. Väite (5) seuraa tästä ja ehdosta (4), sillä tyhjän tai äärellisen joukon osajoukko on tyhjä tai äärellinen. Ehtoa (2) varten olkoon {U α α I} T ja lisäksi I äärellinen. Pitää osoittaa, että U α T. (2) α I Jos U α0 = jollekin α 0, niin α I U α =, jolloin väite (2) seuraa suoraan T :n määritelmästä. Siten voidaan olettaa, että U α kaikille α I. Silloin T :n määritelmän mukaan X \ U α on äärellinen tai tyhjä kaikille α I. (6) Joukon T määritelmän mukaan väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että X \ α I U α on äärellinen tai tyhjä. (7) Alkeisjoukko-opin nojalla X \ α I U α = α I(X \ U α ). Väite (7) seuraa tästä esityksestä ja ehdosta (6) I:n äärellisyyden nojalla, sillä tyhjien tai äärellisten joukkojen äärellinen yhdiste on tyhjä tai äärellinen. 2

3 Määritelmän 1.1 ehdossa (3) pitää osoittaa, että {,X} T. (3) Tämä on selvää, sillä T suoraan määritelmän nojalla, ja myös X T, sillä X \ X =. b) Oletetaan, että T on joukon X kofiniitti topologia. b1) Oletetaan, ensin, että (X, T ) on Hausdoff-avaruus. Väitetään, että X on äärellinen. Todistus. Tehdään antiteesi: X on ääretön. Tällöin X:stä voidaan valita kaksi eri pistettä x ja y. Koska (X, T ) on Hausdoff, on olemassa avoimet U ja V siten, että x U, y V ja U V =. Nyt siis U,V T \ { }, joten joukot X \ U ja X \ V ovat äärellisiä. Lisäksi pätee (X \ U) (X \ V ) = X \ (U V ) = X \ = X, joten X on kahden äärellisen joukon yhdisteenä äärellinen. Tämä on vastoin antiteesia, joten antiteesi on väärä ja väite pätee. b2) Oletetaan sitten, että X on äärellinen. Väitetään, että (X, T ) on Hausdoffavaruus. Todistus. Olkoot x,y X, x y. (Huomaa, että yhden pisteen avaruus toteuttaa Haudorff-ehdon, ja on siten Hausdorff-avaruus.) Pitää löytää avoimet U ja V siten, että x U, y V ja U V =. Tällaisiksi joukoiksi voidaan valita U = {x} ja V = {y}, sillä nyt X:n äärellisyyden nojalla joukot X \ U ja X \ V ovat äärellisiä, ja siten U,V T. Huomaa, että tässä äärellisessä tapauksessa kofiniitti topologia on itse asiassa diskreetti topologia. 1.3 a) Tämä on lähestulkoon identtinen tehtävän 1.2 a) ratkaisun kanssa, mutta koska koneella on näitä helppo monistaa, niin kirjataan ratkaisu uudestaan pienillä muutoksilla tietenkin. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U α α I} T. Pitää osoittaa, että U α T. (1) α I Jos α I U α =, niin väite (1) seuraa suoraan T :n määritelmästä. Voidaan siis olettaa, että α I U α, jolloin yhdisteen määritelmän mukaan on ainakin yksi indeksi α 0 I siten, että U α0. Tällöin T :n määritelmän mukaan R \ U α0 on korkeintaan numeroituva. (4) 3

4 Joukon T määritelmän mukaan väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että R \ α I U α on korkeintaan numeroituva. (5) Alkeisjoukko-opin nojalla R \ α I U α = α I(R \ U α ) R \ U α0. Väite (5) seuraa tästä ja ehdosta (4), sillä korkeintaan numeroituvan joukon osajoukko on korkeintaan numeroituva. Ehtoa (2) varten olkoon {U α α I} T ja lisäksi I äärellinen. Pitää osoittaa, että U α T. (2) α I Jos U α0 = jollekin α 0, niin α I U α =, jolloin väite (2) seuraa suoraan T :n määritelmästä. Siten voidaan olettaa, että U α kaikille α I. Silloin T :n määritelmän mukaan R \ U α on korkeintaan numeroituva α I. (6) Joukon T määritelmän mukaan väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että R \ α I U α on korkeintaan numeroituva. (7) Alkeisjoukko-opin nojalla R \ α I U α = α I(R \ U α ). Väite (7) seuraa tästä esityksestä ja ehdosta (6) I:n äärellisyyden nojalla, sillä korkeintaan numeroituvien joukkojen äärellinen yhdiste on korkeintaan numeroituva. Määritelmän 1.1 ehdossa (3) pitää osoittaa, että {, R} T. (3) Tämä on selvää, sillä T suoraan määritelmän nojalla, ja myös R T, sillä R \ R =. 1.3 b) Osoitetaan ensin, että 0 ]0,1[. Itse asiassa on niin, että ]0,1[ = R, sillä jos x R on mielivaltainen ja U on x:n mielivaltainen ympäristö avaruudessa (R, T ), niin R\U on korkeintaan numeroituva. Koska väli ]0,1[ tunnetusti ylinumeroituva ja korkeintaan numeroituvan joukon osajoukko on aina korkeintaan numeroituva, niin ei voi olla ]0,1[ R \ U. Silloin on oltava U ]0,1[, joten x on välin ]0,1[ kosketuspiste eli x ]0,1[. 4

5 Osoitetaan sitten, että mikään välin ]0, 1[ jono ei suppene kohti pistettä 0. Tehdään antiteesi: on olemassa välin ]0,1[ jono (x n ) siten, että x n 0 avaruudessa (R, T ). (AT) Joukko {x n n N} on korkeintaan numeroituva ja {x n n N} = R \ (R \ {x n n N}), joten topologian T määritelmän mukaan joukko U := R \ {x n n N} on avoin. Koska 0 / ]0,1[, niin 0 x n kaikille n, ja siten 0 U. Silloin U on pisteen 0 ympäristö, joka ei sisällä yhtään jonon (x n ) pistettä ja näin x n 0. Tämä ristiriita osoittaa antiteesin (AT) vääräksi, joten väite pätee. Itse asiassa tämä sama todistus osoittaa, että joukon ]0, 1[ jonot eivät voi supeta mihinkään muuhunkaan tämän joukon ulkopuoliseen pisteeseen. 1.4 Ehto A A todistetaan yleisissä topologisissa avaruuksissa aivan samoin kuin tehtävässä MA 5.3. Käytettävät apulauseet täytyy tietysti vaihtaa. Sopivia tuloksia löytyy lauseista 1.12 ja Jos yhtälö A = A ei päde metrisissä avaruuksissa, niin eihän se tietenkään voi päteä yleisesti: ovathan metriset avaruudet myös topologisia avaruuksia ja reunan määritelmä on sama sekä metrisenä että topologisena määritelmänä. a) Oletetaan, että A on suljettu. Väitetään, että tällöin pätee A = A. Todistus. Ylläsanotun nojalla riittää osoittaa, että A A. Olkoon siis x A mielivaltainen. Tällöin x ei voi olla joukon A ulkopiste, joten riittää osoittaa, että se ei voi olla myöskään A:n sisäpiste. Tehdään antiteesi: x on A:n sisäpiste. Tällöin on olemassa x:n ympäristö U siten, että U A. Koska A on suljettu, pätee A A. Tällöin U A, joten x on A:n sisäpiste. Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska x A. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite pätee. b) Väite A = A A on suljettu ei päde edes metrisissä avaruuksissa. Tästä saadaan vaikkapa seuraavanlainen esimerkki: Olkoon X = R varustettuna tavallisella itseisarvometriikalla ja A = ]0, 1[, jolloin A ei ole suljettu. Toisaalta kuitenkin A = {0, 1} ja {0, 1} = {0, 1}, joten A = A. c) Väite A = A pätee kaikille joukoille A. Tämä seuraa kohdasta a), sillä A on aina suljettu. 1.5 Tässä oletetaan, että A,B X ovat avoimia ja A B =. Väitetään, että tällöin int(a) int(b) =. 5

6 Todistus. Tehdään antiteesi: on olemassa x int(a) int(b). Tällöin on olemassa x:n ympäristöt U ja V siten, että U A ja V B. Merkitään W = U V, jolloin myös W on x:n ympäristö ja W A B. (1) Koska lauseen 1.16 nojalla A = A A ja B = A B, niin alkeisjoukko-opin mukaan A B = (A A) (B B) = (A B) ( A B) (A B) ( A B). (2) Esityksessä (2) on oletuksen mukaan A B =. Huomataan, että siinä on myös A B =. Tämä johtuu siitä, että oletuksen mukaan B X \ A, jolloin int(b) int(x \ A) = ext(a). Koska B on avoin, pätee int(b) = B, joten B ext(a) = X \ A = X \ (inta A) X \ A ja näin B A =. Vastaavasti nähdään, että A B =. Tällöin esityksen (2) perusteella Ehtojen (1) ja (3) nojalla saadaan A B = A B. (3) W A B A. (4) Koska A on avoin, pätee int(a) = A, jolloin A A =. Tällöin ehdon (4) nojalla W A =. (5) Koska W on x:n ympäristö, niin ehdon (5) nojalla x on A:n ulkopiste. Tämä on kuitenkin vastoin ehtoa (4), jonka mukaan x W on A:n reunapiste. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite pätee. 1.6 Joukolla A B voi hyvin olla sisäpisteitä, vaikka A:lla ja B:llä ei niitä olisikaan. Esimerkkinä tästä on X = R varustettuna itseisarvotopologialla, A = Q ja B = R \ Q. Jos oletaan, että ainakin toinen joukoista A tai B on suljettu, niin tilanne muuttuu. Oletetaan siis, että int(a) = = int(b) ja että A on suljettu. Väitetään, että joukolla A B ei voi olla sisäpisteitä. Todistus. Tehdään antiteesi: on olemassa x int(a B). Tällöin on olemassa x:n ympäristö U siten, että U A B. Osoitetaan, että tällöin pätee U A. (1) Olkoon tätä varten y U mielivaltainen. Koska oletuksen mukaan inta =, pätee X = exta A. Tällöin siis y exta A, joten väitteen (1) todistamiseksi riittää osoittaa, että y / exta. (2) 6

7 Tehdään tässäkin antiteesi: y exta = int(x \ A). Tällöin on olemassa y:n ympäristö V siten, että V X \ A. Nyt myös U V on y:n ympäristö ja U V (A B) (X \ A) = B \ A B. Tämä merkitsee sitä, että y on B:n sisäpiste, mikä on vastoin oletusta. Tämä ristiriita osoittaa, että jälkimmäinen antiteesi on väärä, ja näin väite (2) ja siten myös väite (1) on todistettu. Ehdon (1) nojalla saadaan ehto U A = (X \ A). (3) Oletuksen mukaan A on suljettu, joten X\A on avoin. Tällöin int(x\a) = X\A ja siten (X \ A) (X \ A) =. (4) Ehtojen (3) ja (4) nojalla U (X \ A) =. (5) Koska U on x:n ympäristö, niin ehdon (5) nojalla x on joukon X \ A ulkopiste eli joukon A sisäpiste. Tämä on vastoin oletusta. Syntynyt ristiriita osoittaa ensimmäisenkin antiteesin vääräksi, joten väite pätee. 1.7 a) Olkoon A = ]0,1[. Huomataan ensin, että A int(a). (1) Tämä johtuu siitä, että kaikille x A pätee x [x,1[ A ja [x,1[ B T. Sitten huomataan, että {x R x < 0} ext(a). (2) Tämä johtuu siitä, että näille x pätee x [x,0[ R \ A ja [x,0[ B T. Seuraava havainto on, että {x R 1 x} ext(a). (3) Tämä johtuu siitä, että näille x pätee x [x,x+1[ R\A ja [x,x+1[ B T. Ehtojen (1), (2) ja (3) mukaan kaikki reaaliluvut on luokiteltu, paitsi piste x = 0. Se ei ole tietenkään sisäpiste, sillä x / A; toisaalta se ole myöskään ulkopiste. Tämä väite vaatii pienen perustelun: Tehdään antiteesi: x on ulkopiste. Tällöin on olemassa U T pa siten, että x U R \ A. Lauseen 2.5 nojalla on olemassa B B siten, että x B U. Kannan B määritelmän mukaan B on tyyppiä B = [a,b[, a < b. Koska pisteelle x = 0 pätee x B = [a,b[, niin on oltava a 0 < b. Tällöin välttämättä [a,b[ A ja siten [a,b[ R \ A, mikä on vastoin ehtoa B U R \ A. Tämä ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten x = 0 ei ole ulkopiste. Koska x = 0 ei siis ole sisäpistekään, sen täytyy olla reunapiste. 7

8 Näin kaikki reaaliluvut on luokiteltu: int(a) = A, ext(a) = ], 0[ [1, [ ja A = {0}. Näistä saadaan sommiteltua vastaus: A = {0} ja A = int(a) A = [0,1[. b) Olkoon A = ]0,1]. Koska kaikki pisteet x ] 1,1[ ovat a)-kohdan mukaan joukon ] 1,1[ sisäpisteitä, niin ne ovat myös A:n sisäpisteitä eli ]0, 1[ int(a). (4) Täsmälleen samoin perustein kuin a)-kohdassa nähdään, että {x R x < 0} {x R 1 < x} ext(a) ja (5) 0 A. (6) Käsittelemättä on vielä piste x = 1. Se ei voi olla ulkopiste, koska nyt x A. Se ei ole myöskään sisäpiste. Perustelu: Tehdään antiteesi: x = 1 on sisäpiste. Tällöin on olemassa U T siten, että x U A. Lauseen 2.5 nojalla on olemassa B B siten, että x B U. Kannan B määritelmän mukaan B on tyyppiä B = [a,b[, a < b. Koska pisteelle x = 1 pätee x B = [a,b[, niin on oltava a 1 < b. Tällöin välttämättä [a,b[ (R \ A) ja siten [a,b[ A, mikä on vastoin ehtoa B U A. Tämä ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten x = 1 ei ole sisäpiste. Koska x = 1 ei siis ole ulkopistekään, sen täytyy olla reunapiste. Näin kaikki ehtojen (4), (5) ja (6) mukaan kaikki reaaliluvut on luokiteltu: int(a) = ]0,1[, ext(a) = ],0[ ]1, [ ja A = {0,1}. Näistä saadaan sommiteltua vastaus A = {0,1} ja A = int(a) A = [0,1]. c) Olkoon A = [0,1[. Tällöin A B T, joten A on avoin ja siten int(a) = A. Pisteet x ],0[ [1, [ ovat ulkopisteitä, mikä nähdään samoin kuin kohdassa a). Muita pisteitä ei olekaan, joten int(a) = A, ext(a) = ],0[ [1, [ ja A =. Tällöin vastaus on A = ja A = inta A = inta = A = [0,1[. Huomautus. Koska c)-kohdassa kävi niin, että A = A, niin A on suljettu. Toisaalta A on topologian kannan alkiona avoin. Sama ilmiö tapahtuu kaikille kannan B alkioille. Tämä on mielenkiintoinen ominaispiirre tälle mielenkiintoiselle topologialle: kaikki kannan alkiot ovat suljettuja. Ei tämä topologia kuitenkaan diskreetti ole: on melko selvää, että yksiöt eivät ole avoimia, suljettujahan ne kyllä ovat. Tämä ei-diskreettisyys näkyy tietysti myös a)- ja b)-kohdista, joissa esiintyi ei-avoimia joukkoja. d) Olkoon A = [0,1]. Pisteet x [0,1[ ovat c)-kohdan mukaan välin [0,1[ sisäpisteitä, joten ne ovat myös A:n sisäpisteitä. 8

9 Pisteet x ],0[ ]1, [ ovat ulkopisteitä, mikä nähdään samoin kuin kohdassa a). Piste x = 1 on reunapiste, mikä nähdään kuten kohdassa b). Näin kaikki pisteet on luokiteltu ja saadaan tulos inta = [0,1[, exta = ], 0[ ]1, [ ja A = {1}. Tällöin vastaus on A = {1} ja A = inta A = [0,1] = A. 1.8 a) B on kantalauseen 2.8 mukaan (jonkin) topologian T kanta, jos se toteuttaa kantalauseen ehdot (1) ja (2). Ehto (1) eli R = B B B on selvä, sillä ilmeisesti jokainen reaaliluku kuuluu johonkin perheen B väliin [a,b]. Ehtoa (2) varten oletetaan, että B 1,B 2 B ja että x B 1 B 2. Pitää löytää B B siten, että x B B 1 B 2. (2) Perheen B määritelmän mukaan joukot B i ovat muotoa B i = [a i,b i ], a i Q, b i R\Q, a i < b i, i = 1,2. Merkitään a = max{a 1,a 2 } Q ja b = min{b 1,b 2 } R \ Q, jolloin a b. Koska x B 1 B 2, niin a x b, jolloin ehdon a b nojalla on a < b ja siten [a,b] B. Ilmeisesti nyt B 1 B 2 = [a,b], joten haetuksi joukoksi B B voidaan valita B = [a,b] B 1 B 2. b) Väite T T pätee. Perustelu. Käytetään lausetta Sen käyttöä varten huomataan ensin, että eräs tavallisen itseisarvotopologian kanta on B = {]a,b[ a,b R, a < b}. Tämä näkyy suoraan kannan määritelmästä, sillä jokainen R:n tavallisessa mielessä avoin joukko voidaan helposti esittää yhdisteenä avoimista väleistä. Tämä seuraa myös lauseesta MA 3.8. Vaihtoehtoisesti tässä voi perusteluna käyttää lausetta 2.5. Lauseen 2.11 mukaisesti olkoon x B B. Riittää löytää jokin B B siten, että x B B. (1) Kannan B määritelmän nojalla B on muotoa B = ]a,b[, missä a < x < b. Reaalilukujen ominaisuuksien nojalla avoimelta väliltä ]a, x[ voidaan valita rationaaliluku c ja vastaavasti avoimelta väliltä ]x,b[ voidaan valita irrationaaliluku d. Tällöin kannan B määritelmän mukaan [c,d] B ja koska x [c,d] ]a,b[, niin ehdossa (1) halutuksi joukoksi B voidaan valita B = [c,d]. c) Väite T T pa pätee. Perustelu. Käytetään taas lausetta Merkitään symbolilla B pa tehtävässä 1.7 määriteltyä topologian T pa kantaa. Lauseen 2.11 mukaisesti olkoon x 9

10 B B. Riittää löytää jokin B pa B pa siten, että x B pa B. (2) Kannan B määritelmän nojalla B on muotoa B = ]a, b[, missä a < x < b. Tällöin kannan B pa määritelmän mukaan [x,b[ B pa ja koska x [x,b[ ]a,b[, niin ehdossa (2) halutuksi joukoksi B pa voidaan valita B pa = [x,b[. d) Väite T T ei päde. Tämä seuraa suoraan siitä, että B :n alkiot ovat suljettuja välejä, jotka eivät ole avoimia itseisarvotopologiassa. e) Väite T T pa ei päde. Perustelu. Koska esimerkiksi [0, 2] B T, niin riittää osoittaa, että [0, 2] / T pa. Tämän osoittamiseksi riittää nähdä, että 2 ei ole välin [0, 2] sisäpiste topologiassa T pa. Tämä nähdään samoin kuin tehtävän 1.7 ratkaisun kohdassa b) nähtiin, että 1 ei ole välin ]0,1] sisäpiste. f) Väite T pa T ei päde. Tämä seuraa suoraan siitä, että kannan B pa alkiot ovat puoliavoimia välejä, jotka eivät ole avoimia itseisarvotopologiassa. g) Väite T pa T ei päde. Perustelu. Koska esimerkiksi [ 2,2[ B pa T pa, niin riittää osoittaa, että [ 2,2[ / T. Tämän osoittamiseksi riittää nähdä, että x = 2 ei ole välin [ 2,2[ sisäpiste topologiassa T. Tehdään antiteesi: x on sisäpiste. Tällöin on olemassa U T siten, että x U [ 2,2[, joten lauseen 2.5 nojalla on olemassa B B siten että x B U [ 2,2[. Perheen B määritelmän nojalla on tällöin olemassa a Q ja b R \ Q siten, että x [a,b] [ 2,2[, Koska x = 2 R \ Q, niin a x, ja silloin on oltava a < 2 b. Tämä ei ole kuitenkaan mahdollista ehdon [a,b] [ 2,2[ nojalla. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten perustelu on valmis. 10

11 2.1 Kuvaus f : (R, T pa ) (R, T pa ) ei ole jatkuva. Tämä näkyy vaikkapa siitä, että [ 1,0[ B T pa on avoin, mutta f 1 ([ 1,0[) = ]0,1] T pa tämähän nähtiin tehtävän 1.7 b) ratkaisussa. Kuvaus f : (R, T pa ) (R, T pa ) ei ole avoin. Tämän näkee (vaikkapa) seuraavasti. Määritelmistä ja lauseesta 3.2 seuraa suoraan, että kaikille bijektioille g pätee g on avoin g 1 on jatkuva. (1) Nyt tämä f : (R, T pa ) (R, T pa ) on bijektio ja on itsensä käänteiskuvaus, joten ehdon (1) avulla saadaan tälle f ehto f on avoin f on jatkuva. (2) Koska f ei ole jatkuva, kuten alussa todettiin, se ei ehdon (2) nojalla voi olla myöskään avoin. f : (R, T pa ) (R, T pa ) ei ole myöskään suljettu. Tämän voi todistaa vastaavasti. Lauseen 3.5 nojalla saadaan helposti ehtoa (1) vastaava ehto kaikille bijektioille g: g on suljettu g 1 on jatkuva, jonka avulla ehto (2) voidaan tälle f : (R, T pa ) (R, T pa ) kirjoittaa muotoon f on suljettu f on jatkuva. (3) Koska f ei siis ole jatkuva, se ei ehdon (3) nojalla voi olla myöskään suljettu. 2.2 Tämä väite ei päde. Olkoon X = Y = R varustettuna itseisarvotopologialla ja olkoon f : R R, f(x) = xsinx. Tämä kuvaus ei ole avoin, sillä esimerkiksi f(]0,π[) = ]0,π/2]. Valitaan itseisarvotopologian esikannaksi joukko A = { ],a[ a R} { ]b, [ b R}, joka todella on kyseisen topologian esikanta, sillä sen alkioiden äärellisinä leikkauksina saadaan kaikki avoimet välit, jotka puolestaan muodostavat tavallisen topologian kannan. Nyt on ilmeistä, että f(a) = R kaikille A A, joten kaikki esikannan alkioiden kuvat ovat avoimia, vaikka kuvaus ei ole avoin. Voi tietysti miettiä, minkä takia jatkuvuustarkastelu sitten onnistuu pelkällä esikannalla. Tämä johtuu viime kädessä siitä, että alkukuvien ja kuvien leikkaukset käyttäytyvät eri tavalla: Pätee näet f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), mutta yleensä vain f(a B) f(a) f(b). Tämä on taas kertomus siitä, että näiden kuvien ja alkukuvien kanssa temppuillessa on syytä olla tarkkana. 11

12 2.3 a) Väite. {0} = {nπ n Z}. Todistus. Väitteen sulkeumaa tarkastellaan siis topologiassa T. Merkitään R:n itseisarvotopologiaa symbolilla T. Osoitetaan ensin, että {nπ n Z} {0}. (1) Olkoon tätä varten x = nπ jollekin n Z ja U T x:n mielivaltainen ympäristö. Riittää osoittaa, että U {0} eli että 0 U. (2) Koska U T, niin määritelmän 4.2 (ja lauseen 4.1) mukaan Nyt pätee U = f 1 (V ) jollekin V T. (3) f(0) = sin 0 = 0 = sinnπ = f(x) i) f(u) ii) V, (4) missä ehto i) seuraa siitä, että x U ja ehto ii) seuraa ehdosta (3). Ehdon (4) nojalla Väite (2) seuraa ehdoista (5) ja (3). 0 f 1 (V ). (5) Näin väite (1) on todistettu. Tällöin varsinainen väite seuraa, jos osoitetaan, että {0} {nπ n Z}. Tämä väite seuraa, jos osoitetaan, että että R \ {nπ n Z} R \ {0}. (6) Olkoon tätä varten x R \ {nπ n Z} mielivaltainen. Pitää löytää jokin pisteen x ympäristö U T, joka ei leikkaa joukkoa {0}, eli tehtävänä on löytää U siten, että x U T ja 0 U. (7) Koska x R \ {nπ n Z}, niin f(x) = sin x 0 ja näin Koska R \ {0} T, niin määritelmän 6.2 mukaan x f 1 (R \ {0}). (8) f 1 (R \ {0}) T. (9) Ehtojen (8) ja (9) nojalla joukko U := f 1 (R \ {0}) toteuttaa ehdon (7) vaatimukset, jos osoitetaan, että 0 U. 12

13 Tämä seuraa välittömästi siitä, että f(0) = 0 R \ {0}. Näin väite on todistettu. (R, T ) ei ole Hausdorff-avaruus, sillä jos se olisi Hausdorff, niin lauseen 4.10 nojalla f olisi välttämättä injektio, mitä se ei ole. b) Määritelmän 4.2 nojalla T = {f 1 (U) R 2 U T } = {U R U T }. (10) Tästä näkyy syy nimitykseen viipaletopologia : avoimet joukot ovat siis (täsmälleen) y-akselin suuntaisia viipaleita. Toki joukko U T ehdossa (10) voi olla monimutkainen, eli ei sen mikään avoin väli tarvitse olla. Ehdon (10) nojalla kaikki epätyhjät T :n avoimet joukot ovat rajoittamattomia (euklidisessa metriikassa), joten rajoitettu joukko A ei sisällä yhtään epätyhjää avointa joukkoa. Siten A:lla ei voi olla sisäpisteitä lainkaan, joten Osoitetaan sitten, että int(a) =. (11) ext(a) = {(x,y) R 2 x ],1[ ]1, [}. (12) Tätä varten huomataan ensin, että B := {(x,y) R 2 x ],1[ ]1, [} ext(a). (13) Tämä johtuu siitä, että ehdon (10) nojalla B T ja koska selvästi B R 2 \ A, niin B int(r 2 \ A) = ext(a). Ehdon (13) nojalla väite (12) seuraa, jos osoitetaan, että ext(a) {(x,y) R 2 x ],1[ ]1, [}. Tämä väite puolestaan seuraa, jos osoitetaan, että {(x,y) R 2 x [ 1,1]} R 2 \ ext(a). (14) Tehdään tätä varten antiteesi: Olkoon x [ 1,1] ja (x,y) A:n ulkopiste. Tällöin on olemassa U siten, että Koska U T, niin ehdon (10) nojalla (x,y) U T ja U A =. (15) U = V R jollekin V T. (16) Koska (x,y) U, niin tällöin x V. Koska x [ 1,1], niin tällöin joukko V sisältää jonkin välin [ 1,1] pisteen. Koska ehdon (16) mukaan V T, niin ilmeisesti V sisältää myös jonkin välin ] 1, 1[ pisteen z. Tällöin joukon A 13

14 määritelmän mukaan (z,0) A ja toisaalta ehdon (16) nojalla (z,0) V R = U. Siten (z,0) U A, mikä on vastoin ehtoa (15). Tämä ristiriita osoittaa, että väite (14) pätee, ja silloin väite (12) on todistettu. Nyt kun A:n sisä- ja ulkopisteet tunnetaan ehdoista (11) ja (12), niin reunapistetä ovat kaikki loput eli A = [ 1,1] R. Samalla tavalla kuin a)-kohdassa tämäkään topologia ei ole Hausdorff, koska f ei ole injektio. 2.4 a) Väitteenä on Todistus. Osoitetaan ensin, että T 1 = T. Määritelmän 6.2 mukaan T 1 :n esikanta on T 1 T. (1) E 1 = {f 1 (U) U T, f F 1 }. Koska F 1 :n alkiot ovat jatkuvia topologiassa T, pätee lauseen 3.2 nojalla f 1 (U) T kaikille U T ja f F 1, ja silloin Väite (1) seuraa lauseesta 2.16 ja ehdosta (2). Osoitetaan sitten, että E 1 T. (2) T T 1. (3) Identtiselle kuvaukselle id X : X X pätee id X F 1. Tällöin kaikille U T pätee U = id 1 X (U) E 1 T 1, joten väite (3) seuraa. Varsinainen väite seuraa ehdoista (1) ja (3). b) Määritelmän 6.2 mukaan T 2 :n esikanta on E 2 = {f 1 (U) U T, f F 2 }. Kun f F 2 eli f : X X on vakiokuvaus, pätee kaikille joukoille U X joko f 1 (U) = X tai f 1 (U) = riippuen siitä, onko kyseinen vakio joukossa U vai ei. Tällöin E 2 = {,X}, joka on jo valmiiksi topologia, ja silloin myös T 2 = {,X}. c) Oletus. T ei ole minitopologia. 14

15 Väite. T 3 on diskreetti. Todistus. Määritelmän 6.2 mukaan T 3 :n esikanta on E 3 = {f 1 (U) U T, f F 3 }. Olkoon x 0 X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että {x 0 } T 3. (4) Koska T ei ole minitopologia, on olemassa A T siten, että A ja A X. Tällöin voidaan valita pisteet a A ja b X \ A. Määritellään kuvaus f F 3 asettamalla { a kun x = x 0 f(x) = b kun x x 0. Tällöin {x 0 } = f 1 (A) ja koska A T, niin joten väite (4) pätee. {x} = f 1 (A) E 3 T 3, d) Oletetaan, että T on minitopologia ja että X:ssä on vähintään kaksi alkiota. Tällöin topologia T 3 ei ole diskreetti. Tässä tapauksessa joukossa T on vain alkiot ja X, jolloin myös esikannassa E 3 on vain nämä kaksi alkiota. Samoin perustein kuin b)-kohdassa T 3 = {,X} eli tämäkin on minitopologia. Se ei ole diskreetti, koska X:ssä on ainakin kaksi alkiota. 2.5 a) Olkoon T 1 kuvausperheen {f,g} topologiasta T pa indusoima topologia. väitetään, että tämä on diskreetti. Riittää osoittaa, että {x} T 1 kaikille x R. (1) Olkoon tätä varten x R mielivaltainen. Olkoon B topologian T pa kanta kuten tehtävässä 2.1. Koska [x,x + 1[ B T pa, niin määritelmän 4.2 nojalla Vastaavasti [ x, x + 1[ B T pa, joten [x,x + 1[ = f 1 ([x,x + 1[ T 1. (2) ]x 1,x] = g 1 ([ x, x + 1[) T 1. (3) Koska T 1 on topologia, niin ehtojen (2) ja (3) nojalla joten väite (1) pätee. {x} = ]x 1,x] [x,x + 1[ T 1, b) Kuvausperheen {f,g} topologiasta T indusoimalle topologialle T 2 pätee T 2 = T. 15

16 Tämä todistetaan täsmälleen samoin kuin tehtävän 2.4 a)-kohdan väite sillä perusteella, että indusoivan perheen kuvaukset ovat jatkuvia kuvauksina (R, T ) (R, T ) ja lisäksi perheessä on identtinen kuvaus. 2.6 a) Jos Y :ssä on minitopologia, T Y = {,Y }, niin määritelmän 4.2 mukaan T = {f 1 ( ),f 1 (Y )} = {,X} eli indusoitu topologia on myös minitopologia, joka ei ole Hausdorff, mikäli X:ssä on ainakin kaksi alkiota. Tässä tapauksessahan f:n injektiivisyydellä ei ole mitään merkitystä. b) Oletetaan siis, että Y :ssä on Hausdorff-topologia T Y, f : X Y on injektio ja varustetaan X kuvauksen f indusoimalla topologialla T X. Väitteenä on, että (X, T X ) on Hausdorff-avaruus. Todistus. Olkoot x, y X, x y. Pitää löytää U, V T siten, että x U, y V ja U V =. (1) Koska f on injektio ja x y, pätee myös f(x) f(y). Silloin, koska T Y on Hausdorff, on olemassa U Y,V Y T Y siten että Määritellään f(x) U Y, f(y) V Y ja U Y V Y =. (2) U = f 1 (U Y ) ja V = f 1 (V Y ). Osoitetaan, että nämä joukot toteuttavat ehdon (1) vaatimukset. Ensinnäkin, koska U Y,V Y T Y, niin indusoidun topologian määritelmän mukaan U,V T. Koska ehdon (2) mukaan f(x) U Y, niin x U ja vastaavasti y V. Lisäksi U V =, sillä jos olisi z U V, niin f(z) U Y V Y, mikä on ehdon (2) nojalla mahdotonta. Siispä ehto (1) toteutuu näille U ja V, joten homma on selvä. 2.7 Osoitetaan, että jos ainakin yksi kuvauksista f α on injektio, niin T X on välttämättä Hausdorff. Todistus. Olkoon f α injektio jollekin α. Olkoon T α tämän kuvauksen f α yksinään indusoima X:n topologia. Lauseen A ja oletusten nojalla Lauseen 6.4 nojalla Ehdon (2) ja lauseen 4.4 nojalla pätee (X, T α ) on Hausdorff-avaruus. (1) f α : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. (2) T α T X. Tällöin väite seuraa ehdosta (1), sillä triviaalisti Hausdorff-topologiaa hienompi topologia on myös Hausdorff. 16

17 Toiseen suuntaan lause B ei päde. Topologia T X voi tosiaan olla Hausdorff, vaikka yksikään kuvauksista f α ei ole injektio. Esimerkkinä tästä on vaikkapa X = {0,1,2}, Y = {0,1}, Y :ssä diskreetti topologia (joka on Hausdorff) ja määritellään f,g : X Y asettamalla f(x) = { 1 kun x = 1 tai x = 2 0 kun x = 0 ja g(x) = { 1 kun x = 0 tai x = 1 0 kun x = 2. Näistä ei kumpikaan ole injektio, mutta kuvausperheen {f,g} indusoima topologia T X on diskreetti ja siten Hausdorff, sillä {0} = f 1 ({0}) T X, {2} = g 1 ({0}) T X ja {1} = f 1 ({1}) g 1 ({1}) T X. 2.8 Tehtävän 2.7 jälkeen tässä ei ole mitään tekemistä. Jos kaikki f α :t ovat injektioita, niin tehtävän 2.7 nojalla (X, T ) on Hausdorff. Käänteinen suunta ei päde tehtävän 2.7 esimerkki toimii tässäkin. 17

18 3.1 a) Oletetaan ensin, että f : (X, T X ) (Y, T Y ) on upotus. Olkoon T f(x) joukon f(x) Y aliavaruustopologia ja T 1 kuvauksen f indusoima X:n topologia. Väitteenä on T X = T 1. (1) Osoitetaan ensin, että T X T 1. (2) Olkoon tätä varten U T X mielivaltainen. Koska f on upotus, niin f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ) on homeomorfismi. Tällöin f(u) T f(x). Lauseen 5.3 nojalla on olemassa V T Y siten, että f(u) = V f(x). Tällöin f 1 (V ) = U. Tämä johtuu siitä, että jos x U, niin f(x) f(u) V ja siten x f 1 (V ). Kääntäen, jos x f 1 (V ) X, niin f(x) V f(x) = f(u) eli on olemassa u U siten, että f(u) = f(x). Koska f on oletuksen mukaan injektio, on tällöin x = u U. Indusoidun topologian määritelmän mukaan f 1 (V ) T 1 ja koska nyt siis U = f 1 (V ), niin U T 1. Näin väite (2) on todistettu. Osoitetaan sitten, että T 1 T X. (3) Olkoon tätä varten U T 1 mielivaltainen. Indusoidun topologian määritelmän mukaan on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). Lauseen 5.3 nojalla V f(x) T f(x). Koska f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ) on homeomorfismi, niin tällöin f 1 (V f(x)) T X. Nyt pätee U = f 1 (V f(x)). Tämä johtuu siitä, että jos x U, niin f(x) f(u) = f(f 1 (V )) V. Toisaalta triviaalisti f(x) f(x), joten f(x) V f(x) ja siten x f 1 (V f(x)). Kääntäen, jos x f 1 (V f(x)), niin f(x) V f(x) V eli x f 1 (V ) = U. Tällöin saadaan U = f 1 (V f(x)) T X, joten myös väite (3) on todistettu. Väite (1) seuraa ehdoista (2) ja (3). b) Oletetaan sitten kääntäen, että T X = T 1. Pitää osoittaa, että f on upotus eli että f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ) on homeomorfismi. Koska f on oletuksen mukaan injektio, niin on olemassa käänteiskuvaus f 1 : f(x) X. Riittää osoittaa, että f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ) on jatkuva ja että f 1 : (f(x), T f(x) ) (X, T X ) on myös jatkuva. Kuvauksen f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ) jatkuvuus seuraa suoraan lauseesta 5.17, sillä oletuksen mukaan kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. f 1 : (f(x), T f(x) ) (X, T X ) on jatkuva: Olkoon U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että (f 1 ) 1 (U) T f(x) eli että f(u) T f(x). Koska U T X = T 1, niin indusoidun topologian määritelmän mukaan on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). Tällöin f(u) = V f(x) ja lauseen 5.3 nojalla V f(x) T f(x), joten väite seuraa. 18

19 3.2 Olkoon x X mielivaltainen. Pitää osoittaa, että pisteellä x on ympäristö U siten, että f U on upotus. Oletuksen mukaan pisteellä x on ympäristö U siten, että f U on injektio. Olkoot T U ja T f(u) joukkojen U X ja f(u) Y aliavaruustopologiat. Riittää osoittaa, että f U : (U, T U ) (f(u), T f(u) ) on homeomorfismi. Koska f U on injektio, se on bijektio kuvajoukolleen, ja näin riittää osoittaa, että f U : (U, T U ) (f(u), T f(u) ) ja sen käänteiskuvaus (f U ) 1 : (f(u), T f(u) ) (U, T U ) ovat jatkuvia. Kuvauksen f U jatkuvuus seuraa f:n jatkuvuudesta sekä lauseista 5.14 ja Käänteiskuvauksen jatkuvuutta varten oletetaan, että A T U. Riittää osoittaa, että ((f U ) 1 ) 1 (A) T f(u) eli että f(a) T f(u). Lauseen 5.3 nojalla on olemassa B T X siten, että A = B U. Koska U on x:n ympäristö, niin U T X, jolloin myös A on kahden avoimen joukon leikkauksena avoin. Koska f on oletuksen mukaan avoin kuvaus, on tällöin f(a) T Y. Koska f(a) f(u), niin tällöin lauseen 5.3 mukaan pätee f(a) T f(u), ja väite seuraa. Väite ei päde ilman oletusta f:n avoimuudesta. Tästä saa esimerkin, kun valitaan X = [0,1] R itseisarvotopologialla varustettuna ja Y = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 = 1} euklidisella topologialla varustettuna. Kuvaus f : X Y, f(x) = (cos 2πx,sin 2πx) on jatkuva ja lokaali injektio, mutta immersio se ei ole: ilmeisesti pisteen x = 1 mikään ympäristö ei ole homeomorfinen minkään kuvapisteen (1,0) ympäristön kanssa. 3.3 Upotuksien yhdiste on aina upotus. Todistus. Olkoot f : (X, T X ) (Y, T Y ) ja g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) upotuksia. Tällöin f ja g ovat injektioita, joten g f on injektio ja siten bijektio kuvajoukolleen. Olkoot T f(x), T g f(x) ja T g(y ) joukkojen f(x) Y ja g f(x) Z sekä g(y ) Z aliavaruustopologioita. Riittää osoittaa kuvausten h 1 = g f : (X, T X ) ((g f)(x), T (g f)(x) ) ja h 2 = (g f) 1 : ((g f)(x), T (g f)(x) ) (X, T X ) jatkuvuus. Koska f ja g ovat jatkuvia, niin g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva jatkuvien kuvausten yhdisteenä. Kuvauksen h 1 jatkuvuus seuraa tällöin lauseesta Koska f ja g ovat upotuksia, kuvaukset f 1 : (f(x), T f(x) ) (X, T X ) ja g 1 : (g(x), T g(x) ) (Y, T Y ) ovat jatkuvia. Rajoittumakuvaus g 1 (g f)(x) : ((g f)(x), T (g f)(x) ) (Y, T Y ) on jatkuva lauseen 5.14 perusteella ja tällöin 19

20 myös kuvaus g 1 (g f)(x) : ((g f)(x), T (g f)(x) ) (f(x), T f(x) ) on jatkuva lauseen 5.17 nojalla. Koska h 2 = f 1 g 1, niin h 2 on jatkuva jatkuvien kuvausten yhdisteenä. Immersioiden yhdiste on myös aina immersio. Todistus. Olkoot f : (X, T X ) (Y, T Y ) ja g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) immersioita. Olkoon x X mielivaltainen. Tällöin on olemassa x:n ympäristö U siten, että f U on upotus. Vastaavasti on olemassa f(x):n ympäristö V siten, että g V on upotus. Merkitään W = f 1 (V ) U, jolloin f:n jatkuvuuden nojalla W on x:n ympäristö. Lauseiden 5.14 ja 5.17 nojalla f W : (W, T W ) (V, T V ) on upotus. Tällöin todistuksen alkuosan nojalla (g f) W = g V f W : (W, T W ) (Z, T Z ) on upotus ja väite seuraa. 3.4 a) Aina pätee (X, T X ) (X, T X ), sillä identtinen kuvaus id X : (X, T X ) (X, T X ) on upotus. b) Tämä järjestysrelaatio ei ole antisymmetrinen. Tämän näkee valitsemalla esimerkiksi X = ] 1, 1[ ja Y = [ 1, 1] tavallisella itseisarvotopologialla varustettuina. Tällöin kuvaus f : X Y, missä f(x) = x, on selvästi upotus, joten X Y. Toisaalta myös kuvaus g : Y X, missä g(x) = 1 2x on upotus, joten Y X. Kuitenkaan ei ole X Y, sillä X on kompakti ja Y ei, ks. lause MA c) Transitiivisuusominaisuus tällä relaatiolla on. Tämä seuraa suoraan tehtävästä 3.3. d) Tätä totaalisuusominaisuutta sitten taas ei ole: Olkoot a ja b eri pisteitä ja X = {a,b} = Y. Varustetaan X minitopologialla ja Y diskreetillä topologialla. Jos nyt f : X Y olisi upotus, niin f olisi injektio ja siten myös surjektio. Tällöin f olisi homeomorfismi, mikä on mahdotonta, sillä selvästi X Y. Vastaavasti nähdään, että ei voi olla upotusta g : Y X. 3.5 a) Olkoon T Y avaruuden Y metriikan d antama topologia. Tulotopologian T X eräs kanta on joukko B X = { prα 1 (U α ) K I on äärellinen ja U α T Y kaikille α K}. α K Esimerkin 2.12 a) nojalla väite seuraa, jos osoitetaan, että B X T sup. (1) Koska topologia sisältää aina alkioidensa äärelliset leikkaukset, väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että pr 1 α (U α ) T sup kaikille α I ja U α T Y. (2) Olkoon tätä varten α I ja U α T Y sekä x pr 1 α (U α ) mielivaltaisia. Väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että B sup (x,r) pr 1 α (U α ) jollekin r > 0. (3) 20

21 Koska x pr 1 α (U α ), niin pr α (x) U α. Koska U α T Y, niin on olemassa r > 0 siten, että B d (pr α (x),r) U α. (4) Riittää osoittaa, että ehdon (4) säde r toimii myös ehdossa (3). Olkoon tätä varten y B sup (x,r) mielivaltainen. Riittää osoittaa, että y pr 1 α (U α ) eli että pr α (y) U α. (5) Ehdon (4) nojalla väite (5) seuraa, jos osoitetaan, että pr α (y) B d (pr α (x),r) eli että d(pr α (x),pr α (y)) < r. (6) Projektiokuvauksen määritelmän mukaan väite (6) tulee muotoon d(x(α),y(α)) < r. Tämä väite seuraa siitä, että y B sup (x,r), jolloin sup-metriikan määritelmän mukaan sup{d(x(α),y(α)) α I} < r. b) Jos I on äärellinen, niin sup-metriikka on maksimimetriikka, jolloin väite T X = T sup seuraa lauseesta 7.5. Siten riittää osoittaa, että äärettömälle I nämä ovat eri topologioita. Riittää löytää yksikin A T sup \ T X. Koska Y :ssä on ainakin kaksi pistettä, niin voidaan valita pallo B d (y,r) siten, että B d (y,r) Y. (1) Valitaan jokin vakiokuvaus x : I Y, x(α) = y kaikille α I. Avoimet pallot ovat avoimia, joten B sup (x,r) T sup. Siten riittää osoittaa, että Tehdään antiteesi: B sup (x,r) T X. (2) B sup (x,r) T X. Tällöin lauseen 7.14 nojalla on olemassa äärellinen K I siten, että pr α (B sup (x,r)) = Y kaikille α I \ K. Koska I on ääretön, niin I \ K, ja tällöin (AT) pr α (B sup (x,r)) = Y jollekin α 0 I. (3) Ehdon (1) nojalla voidaan valita z Y \ B d (y,r), jolloin Ehdon (3) nojalla d(z,y) r. (4) z = pr α0 (w) jollekin w B sup (x,r). 21

22 Tällöin d sup (x,w) < r, joten sup-metriikan määritelmän mukaan d(x(α),w(α)) < r kaikille α I ja erityisesti d(x(α 0 ),w(α 0 )) < r d(y,pr α0 (w)) < r d(y,z) < r. Tämä on vastoin ehtoa (4), joten (AT) on väärin ja väite (2) pätee. 3.6 a) Oletetaan ensin, että x n x avaruudessa (X, T X ). Pitää osoittaa, että x n x pisteittäin joukossa I eli että jokaiselle α I pätee x n (α) x(α) avaruudessa (X α, T α ). Olkoon α I mielivaltainen ja olkoon U α T α pisteen x(α) X α mielivaltainen ympäristö. Pitää osoittaa, että on olemassa n 0 N siten, että x n (α) U α kun n n 0. Projektiokuvaus pr α : X X α on jatkuva lauseen 6.4 nojalla, joten prα 1 (U α ) X on avoin, ja koska pr α (x) = x(α) U α, niin prα 1 (U j ) on pisteen x ympäristö avaruudessa (X, T X ). Oletuksen mukaan x n x avaruudessa (X, T X ), joten on olemassa n 0 N siten, että x n prα 1 (U α ) kun n n 0. Osoitetaan, että tämä n 0 toimii myös väitteessä, ts. että x n (α) U α kun n n 0. Olkoon siis n n 0, jolloin x n pr 1 α (U α ). Tällöin joten asia on selvä. eli eli x n (α) = pr α (x n ) pr α (pr 1 α (U α )) U α, b) Oletetaan sitten, että x n x pisteittäin joukossa I eli että jokaiselle α I x n (α) x(α) avaruudessa (X α, T α ). Pitää osoittaa, että x n x avaruudessa (X, T X ). Olkoon U T X pisteen x mielivaltainen ympäristö. Pitää osoittaa, että on olemassa n 0 N siten, että x n U kun n n 0. Topologialla T on kanta B = { pr 1 k (U k) K I on äärellinen, U k T k kaikille k K}. k K Koska x U T X niin lauseen 2.5 nojalla on olemassa B B siten, että x B U. Joukko B on siis muotoa B = pr 1 k (U k) k K jollekin äärelliselle K I, missä U k T k kaikille k K. Tällöin kaikille j K pätee x(j) = pr j (x) pr j (B) = pr j ( pr 1 k (U k)) pr j (pr 1 j (U j )) U j. k K Koska lisäksi U j T j, niin U j on pisteen x(j) ympäristö avaruudessa (X j, T j ) kaikille j K. Oletuksen mukaan kaikille j K pätee x n (j) x(j) avaruudessa (X j, T j ) ja siten kaikille j K on olemassa n j N siten, että x n (j) U j kaikille n n j. 22

23 Valitaan nyt n 0 = max{n j j K} ja osoitetaan, että tämä on toimiva valinta, ts. että x n U kun n n 0. Huomaa, että n 0 :n valinta onnistuu, koska joukko K on äärellinen. Olkoon siis n n 0. Koska B U, riittää osoittaa, että x n B. Koska n n j kaikille j K, niin lukujen n j valinnan nojalla x n (j) U j kaikille j K. Tällöin kaikille j K pätee pr j (x n ) = x n (j) U j ja siten x n pr 1 j (U j ). Tämä siis kaikille j K, joten x n k K pr 1 k (U k) = B ja asia on selvä. 3.7 Joukko A R N ei ole avoin tulotopologiassa itse asiassa A:lla ei ole sisäpisteitä lainkaan. Todistus. Tehdään antiteesi: on olemassa x inta. Tällöin on olemassa avoin U siten, että x U A. Lauseiden 6.12 ja 2.5 mukaan on olemassa äärellinen K N ja avoimet joukot U j R, j K siten, että x j K pr 1 j (U j ) U. Määritellään nyt kuvaus y : N R asettamalla { x(n) kun n K y(n) = n kun n N \ K, jolloin y R N. Lisäksi kaikille j K pätee pr j (y) = y(j) = x(j) U j, koska x j K pr 1 j (U j ). Siten myös y j K pr 1 j (U j ). Tällöin y U A eli y on rajoitettu. Näin ei kuitenkaan y:n määritelmän mukaan ole, koska K on äärellinen ja siten N \ K on ääretön ja näin y saa mielivaltaisen suuria arvoja. Tämä ristiriita osoittaa, että antiteesi on väärä, joten väite pätee. A ei ole myöskään suljettu tulotopologiassa. Itse asiassa pätee A = R N. Todistus. Olkoon x R N mielivaltainen ja U pisteen x mielivaltainen ympäristö. Pitää löytää piste y A U. Kuten yllä, lauseiden 6.12 ja 2.5 mukaan on olemassa äärellinen K N ja avoimet joukot U j R, j K siten, että x j K pr 1 j (U j ) U. Määritellään nyt kuvaus y : N R asettamalla { x(n) kun n K y(n) = 0 kun n N \ K, jolloin y R N. Lisäksi kaikille j K pätee pr j (y) = y(j) = x(j) U j, koska x j K pr 1 j (U j ). Siten myös y j K pr 1 j (U j ) U. Lisäksi, koska K on äärellinen, y on rajoitettu, eli y A. Siispä y U A ja asia on selvä. 3.8 Osoitetaan kantalauseen 2.8 avulla, että B = { n N U n U n on R:n avoin väli kaikille n N} on erään R N :n topologian kanta. Ensinnäkin B:n pitää olla R N :n peite. Tämä on selvää, koska voidaan valita U n = R kaikille n N, jolloin suorastaan R N B. Toiseksi B:llä pitää olla seuraava ominaisuus: Jos B 1,B 2 B ja x B 1 B 2, niin on olemassa B B siten, että x B B 1 B 2. Tämäkin on selvää, sillä kaikille tällaisille B:n alkioille B 1,B 2 pätee B 1 B 2 B. Tämä johtuu viime 23

24 kädessä siitä, että avoimien välien epätyhjä leikkaus on aina avoin väli. Nyt siis kantalause takaa, että B on jonkin topologian T kanta. Olkoon A kuten tehtävässä 3. Joukko A on avoin topologiassa T. Todistus. Olkoon x A mielivaltainen. Tällöin x n N]x(n) 1,x(n) + 1[ B T, joten joukko U = n N ]x(n) 1,x(n)+1[ on x:n ympäristö. Koska x A, niin x on rajoitettu; olkoon x(n) M kaikille n N. Jos nyt y U, niin kaikille n N pätee y(n) = pr n (y) ]x(n) 1,x(n) + 1[, joten y(n) M + 1 kaikille n ja siten myös y on rajoitettu. Tällöin U A ja väite on todistettu. Joukko A on suljettu topologiassa T. Todistus. Riittää osoittaa, että R N \ A on avoin. Olkoon x R N \ A mielivaltainen. Tällöin x n N]x(n) 1,x(n) + 1[ B T, joten joukko U = n N ]x(n) 1,x(n) + 1[ on x:n ympäristö. Koska x R N \ A, niin x on rajoittamaton. Jos nyt y U, niin kaikille n pätee y(n) = pr n (y) ]x(n) 1,x(n) + 1[, joten y(n) x(n) 1 kaikille n ja siten myös y on rajoittamaton. Tällöin U R N \ A ja väite on todistettu. 24

25 4.1 a)+b) Näissä pätee kovempikin väite: χ B A jokaiselle osajoukolle B R. (Itse asiassa jopa niin, että ei ole väliä, mitä perustopologiaa R:ssä käytetään, mutta oletetaan tässä tehtävänasettelun mukaisesti, että R:n topologia on itseisarvotopologia.) Olkoon siis B R mielivaltainen. Väitetään, että χ B A. Olkoon U pisteen χ B mielivaltainen ympäristö. Riittää osoittaa, että U A. (1) Koska joukkoperhe B = { pr 1 j (U j ) K R on äärellinen ja U j R on avoin kaikille j K} j K muodostaa tulotopologian kannan, on olemassa äärellinen K R ja avoimet joukot U j R, j K siten, että χ B j K pr 1 j (U j ) U. (2) Tällöin väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että pr 1 j (U j ) A. (3) j K Koska K R on äärellinen, niin B K R on äärellinen tai tyhjä. Silloin joukon A määritelmän mukaan Ehdon (4) nojalla väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että χ B K pr 1 j (U j ) eli χ B K A. (4) j K pr j (χ B K ) U j kaikille j K. (5) Väitettä (5) varten olkoon j K mielivaltainen. Ehdon (2) nojalla pr j (χ B ) U j, joten riittää osoittaa, että Koska j K, niin Väite (6) seuraa ehdosta (7). pr j (χ B K ) = pr j (χ B ) eli että χ B K (j) = χ B (j). (6) j B K j B. (7) c) Koska Q on tunnetusti numeroituva, on olemassa bijektio ϕ : N Q. Määritellään joukot B n R, n N asettamalla B n = {ϕ(i) 1 i n} Q. 25

26 Huomaa, että B n B m kun n m. (8) Nämä joukot B n ovat äärellisiä, joten χ Bn A kaikille n. Tällöin (χ Bn ) on joukon A jono, joten riittää osoittaa, että χ Bn χ Q. Olkoon U pisteen χ B mielivaltainen ympäristö. Pitää osoittaa, että on olemassa n 0 N siten, että χ Bn U, kun n > n 0. Kuten a)+b)-kohdassa on olemassa äärellinen K R ja avoimet joukot U j R, j K siten, että χ Q pr 1 j (U j ) U. j K Koska ϕ : N Q on surjektio ja joukko K Q on äärellinen tai tyhjä, voidaan valita äärellinen tai tyhjä joukko I N siten, että ϕ(i) = K Q. Olkoon m = max I N, jos I. Jos I =, sovitaan, että m = 1. Valitaan nyt n 0 = m ja osoitetaan, että tämä on toimiva valinta, ts. että χ Bn U kun n > n 0. Olkoon siis n > n 0. Koska j K pr 1 j (U j ) U, niin riittää osoittaa, että χ Bn j K pr 1 j (U j ) eli että χ Bn pr 1 j (U j ) kaikille j K. Olkoon j K mielivaltainen. Riittää osoittaa, että pr j (χ Bn ) U j eli että χ Bn (j) U j. (9) Koska χ Q k K pr 1 k (U k), niin χ Q pr 1 j (U j ) eli pr j (χ Q ) U j eli χ Q (j) U j. Silloin väite (9) seuraa, jos osoitetaan, että χ Bn (j) = χ Q (j). (10) Koska j K R, niin joko j on irrationaalinen tai j K Q. Jos j on irrationaalinen, niin j / Q ja j / B n, jolloin χ Bn (j) = 0 = χ Q (j), ja väite (10) pätee. Voidaan siis olettaa, että j K Q, jolloin χ Q (j) = 1. (11) Koska ϕ(i) = K Q, niin on olemassa i I siten, että ϕ(i) = j. Tällöin I ja n > n 0 = m = max I i. Silloin j = ϕ(i) i) B i ii) B n, (12) missä ehto i) saadaan joukon B i määritelmästä ja ehto ii) ehdosta (8), koska i m < n. Ehdon (12) nojalla jolloin väite (10) seuraa ehdosta (11). χ Bn (j) = 1, 26

27 d) Tehdään antiteesi: On olemassa joukon A jono (a n ) siten, että a n χ R. Joukon A määritelmän mukaan jokaiselle n N on olemassa äärellinen tai tyhjä joukko B n R siten, että a n = χ Bn, jolloin siis χ Bn χ R. Merkitään B = n N B n R. Tällöin B on äärellisten tai tyhjien joukkojen numeroituvana yhdisteenä tunnetusti korkeintaan numeroituva. Koska toisaalta R on tunnetusti ylinumeroituva, on välttämättä B R, jolloin on olemassa j R \ B. Tulotopologian määritelmän mukaan joukko pr 1 j (]0, [) on tuloavaruuden R R avoin osajoukko. (Huomaa, että tässä on koko tehtävässä ensimmäinen kohta, jossa tarvitaan tietoa R:n perustopologiasta; kaikki mitä tätä ennen on todistettu, pätee missä tahansa topologiassa ja kaikki tämän jälkeen tuleva pätee kaikissa sellaisissa topologioissa, joissa ]0, [ R on avoin.) Koska pr j (χ R ) = χ R (j) = 1 ]0, [, niin χ R pr 1 j (]0, [) ja siten pr 1 j (]0, [) on pisteen χ R ympäristö. Koska χ Bn χ R, niin χ Bn pr 1 j (]0, [) suurille n. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä jos χ Bn pr 1 j (]0, [), niin pr j (χ Bn ) ]0, [ eli χ Bn (j) ]0, [. Koska karakteristinen funktio saa vain arvot 0 ja 1, niin tällöin on oltava χ Bn (j) = 1, mikä merkitsee sitä, että j B n. Koska B n B, niin tällöin j B, mikä on vastoin valintaa j R \ B. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite pätee. e) Tehdään antiteesi: On olemassa joukon R R metriikka d siten, että tulotopologialle T pätee T = T d. Kuten edellä nähtiin, χ R A, mutta ei ole olemassa joukon A jonoa, joka konvergoisi kohti pistettä χ R. Tämä on vastoin lausetta MA 12.12, jonka mukaan metrisessä avaruudessa (R R,d) jokaista sulkeuman pistettä voidaan lähestyä kyseisen joukon jonolla. Siispä metriikkaa d ei voi olla olemassa. 4.2 Olkoon T avaruuden R n euklidinen normitopologia. Lauseen 6.7 nojalla riittää siis osoittaa, että T T w. Joukkoperhe B = {U 1 U 2 U n U i R on avoin kaikille i = 1,2,...,n} muodostaa tunnetusti R n :n euklidisen topologian T kannan. Tällöin riittää osoittaa, että B T w. (1) Projektiot pr i : R n R, i = 1,2,...,n ovat jatkuvia lineaarikuvauksia ja siten heikon topologian indusoivan perheen alkioita ja U 1 U 2 U n = n i=1 pr 1 i (U i ), jolloin tulotopologian määritelmän mukaan väite (1) seuraa, koska joukot U i R ovat avoimia. Tässä on oleellista, että leikkaus on äärellinen; sama idea toimii kaikissa äärellisulotteisissa avaruuksissa. Ääretönulotteisessa tapauksessa tilanne on toinen. 27

28 4.3 Todistetaan ensin ohjeen jälkimmäinen aputulos (x n ) = n N x n ξ n kaikille (x n ) l 2. (1) Riittää osoittaa, että lim (x n) m m x n ξ n = 0. n=1 Jonon (ξ n ) määritelmän nojalla on selvää, että m x n ξ n = (x 1,x 2,...,x m,0,0,0,...) kaikille m N. n=1 Tällöin joten m (x n ) x n ξ n = (0,0,...,0,x m+1,x m+2,...) n=1 lim (x n) m lim m ( n=m+1 m n=1 x 2 n x n ξ n = lim m (0,0,...,0,x m+1,x m+2,...) = ) 1 2 = 0, sillä kyseessä on suppenevan sarjan jäännöstermin neliöjuuri. Näin aputulos (1) on todistettu. Todistetaan sitteen ohjeen toinen aputulos f((x n )) = n N f(ξ n )x n kaikille (x n ) l 2 ja f l 2. (2) Tämä nähdään näin: f((x n )) i) = f( n N x n ξ n ) = f( lim lim m m n=1f(ξ n )x n = n N m m n=1 f(ξ n )x n. x n ξ n ) ii) = lim m f( m n=1 x n ξ n ) iii) = Tässä yhtälö i) perustuu ehtoon (1), yhtälö ii) f:n jatkuvuuteen ja lauseeseen MA sekä yhtälö iii) f:n lineaarisuuteen. Osoitetaan sitten oikeaksi osasummien yläraja-arvio m f(ξ n ) 2 f 2 kaikille m N ja f l2. (3) n=1 28

29 Kiinnitetään m ja f. Merkitään kuten ohjeessa x = (f(ξ 1 ),...,f(ξ m ),0,0,0,...), jolloin triviaalisti x l 2, joten f(x) on määritelty. Lauseen MA 19.5 nojalla saadaan f(x) f x. (4) Toisaalta saadaan f(x) i) = n N f(ξ n )x n ii) = m f(ξ n )f(ξ n ) = n=1 m f(ξ n ) 2 = x 2. (5) Tässä yhtälö i) seuraa ehdosta (2), yhtälö ii) jonon x määritelmästä ja yhtälössä iii) käytetään x:n määritelmän lisäksi l 2 :n normin määritelmää. Yhdistämällä ehdot (4) ja (5) saadaan arvio x f, jolloin x:n määritelmän ja l 2 :n normin määritelmän perusteella väite (3) seuraa. Koska reaalilukusarja n N f(ξ n) 2 on positiiviterminen, niin ehdon (3) nojalla se suppenee, jolloin sen termit lähestyvät nollaa ja siten n=1 lim f(ξ n) = 0. (6) n Ja nyt sitten varsinaisen väitteen kimppuun. Väitetään siis, että ξ n 0 heikossa topologiassa tässä 0 on avaruuden l 2 origo eli nollajono. Heikko topologia T w on määritelmänsä mukaan l 2:n alkioiden indusoima. Olkoon tätä varten U T w jonon 0 mielivaltainen ympäristö. Pitää osoittaa, että on olemassa n 0 N siten, että ξ n U kun n n 0. Lauseen 6.12 mukaan on olemassa äärellinen joukko K ja kuvaukset f j l2, j K siten, että 0 f 1 j (U j ) U, j K missä U j R on avoin kaikille j K. Koska 0 j K f 1 j (U j ) ja lineaarisuuden perusteella f j (0) = 0 R kaikille f j, niin 0 U j R kaikille j K. Tällöin U j on 0:n ympäristö kaikille j. Ehdon (6) nojalla lim n f j (ξ n ) = 0 kaikille j K, joten jokaiselle j voidaan valita n j siten, että f j (ξ n ) U j kun n n j. (7) Valitaan nyt n 0 = max{n j j K} N. Tämä on mahdollista, koska K on äärellinen joukko. Kun n n 0, niin n n j kaikille j K ja lukujen n j valinnan nojalla f j (ξ n ) U j kaikille j K. Tällöin ξ n f 1 j (U j ) U kaikille n n 0, j K 29

30 joten tämä n 0 :n valinta toimii ja näin on osoitettu, että jono (ξ n ) konvergoi nollaan l 2 :n heikossa topologiassa T w vaikka mikään sen osajono ei konvergoi normitopologiassa, kuten tehtävän MA 7.7 ratkaisussa nähtiin. 4.4 Tehdään antiteesi: Jonolla (x n ) on suppeneva osajono (x ϕ(n) ), missä ϕ : N N on aidosti kasvava kuvaus. Koska tuloavaruuden X = [0,1] P(N) projektiokuvaukset p A : X [0,1], p A (x) = x(a) ovat jatkuvia, niin lauseen 3.15 nojalla jono (p A (x ϕ(n) )) suppenee itseisarvotopologiassa kaikille A P(N). (1) Projektiokuvauksen määritelmän ja jonon (x n ) määritelmän nojalla joten ehdon (1) nojalla p A (x ϕ(n) ) = x ϕ(n) (A) = χ A (ϕ(n)), jono (χ A (ϕ(n))) suppenee itseisarvotopologiassa kaikille A P(N). (2) Valitaan joukko A P(N) asettamalla A = {ϕ(2k) k N}. Koska kuvaus ϕ on aidosti kasvava, niin se on injektio, ja silloin ϕ(n) A kaikille parittomille n N. Tällöin χ A (ϕ(n)) = { 1 kun n on parillinen 0 kun n on pariton. Silloin jono (χ A (ϕ(n))) ei selvästikään suppene itseisarvotopologiassa. Tämä on vastoin ehtoa (2). Tämä ristiriita kaataa antiteesin ja todistaa väitteen. 4.5 Tässähän F 2 F 1 F 3, joten koindusoidun topologian yleisperiaatteen mitä isompi perhe, sitä pienempi topologia nojalla tiedetään heti, että pätee ainakin T 3 T 1 T 2. (1) Huomaa, että indusoiduille topologioille periaate on päinvastainen eli mitä isompi perhe, sitä isompi topologia tämähän näkyy myös tehtävän 2.4 ratkaisusta, jossa ehto (1) tuli voimaan käännetyssä järjestyksessä. a) Väitetään, että Todistus. Määritelmän 8.2 mukaan T 1 = T. (2) T 1 = {U X f 1 (U) T kaikille f F 1 }. Koska jatkuvassa kuvauksessa avoimen joukon alkukuva on avoin, on ainakin T T 1. (3) 30

Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä

Lisätiedot

Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Lassi Kurittu Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Metristyvät topologiset avaruudet

Metristyvät topologiset avaruudet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b,

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b, 1.1 Olkoon f : A B injektio. Tällöin f : A f(a) on bijektio, joten on olemassa bijektiivinen käänteiskuvaus f 1 : f(a) A. Jos f(a) = B, niin tämä f 1 on haluttu surjektio. Voidaan siis olettaa, että f(a)

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

1 Normiavaruudet 1. 2 Metriikka 8. 4 Jatkuvat kuvaukset Jatkuva kuvaus normiavaruuteen Suljetut joukot ja sulkeuma 35

1 Normiavaruudet 1. 2 Metriikka 8. 4 Jatkuvat kuvaukset Jatkuva kuvaus normiavaruuteen Suljetut joukot ja sulkeuma 35 Sisältö 1 Normiavaruudet 1 2 Metriikka 8 3 Avoimet joukot ja ympäristöt 16 4 Jatkuvat kuvaukset 22 5 Jatkuva kuvaus normiavaruuteen 28 6 Suljetut joukot ja sulkeuma 35 7 Relatiivitopologia 50 8 Sisä- ulko-

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE

PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE PRO GRADU -TUTKIELMA HELSINGIN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS SAKU SNICKER OHJAAJA: ERIK ELFVING HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Kompaktien pintojen luokittelu. Inkeri Sundqvist

Kompaktien pintojen luokittelu. Inkeri Sundqvist Kompaktien pintojen luokittelu Inkeri Sundqvist 10.9.2013 Sisältö 1 Perusteita 5 1.0.1 Homeomorfismi.............................. 9 1.0.2 Relatiivitopologia............................. 11 1.0.3 Kompaktius................................

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Determinoiruvuuden aksiooma

Determinoiruvuuden aksiooma Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta

Lisätiedot

Kompaktisuus ja kompaktisointi

Kompaktisuus ja kompaktisointi Kompaktisuus ja kompaktisointi Mikko Salo Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2017 Tiivistelmä: Mikko Salo, Kompaktisuus ja kompaktisointi matematiikan

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA MATTI-PETTERI RAJAHONKA Tiivistelmä. Kvasikonveksit alueet osoitetaan Jordan-käyrä-alueiksi. Kvasikonvekseille alueille, joilla on äärellinen määrä reunan komponentteja, saadaan

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot